Rencana Pembelajaran

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Rencana Pembelajaran"

Transkripsi

1 Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga fungsi tersebut diferensiabel di suatu titik 3) Menyelesaikan turunan suatu fungsi menggunakan aturan rantai 4) Menentukan nilai turunan tingkat tinggi dari suatu fungsi di suatu titik 5) Menentukan turunan fungsi implisit 6) Menentukan selang kemonotonan, dan titik ekstrim dan jenisnya dari suatu kurva 7) Menentukan selang kecekungan dan titik belok dari suautu kurva 8) Menentukan asymtot suatu kurva 9) Menggambarkan grafik suatu fungsi 0) Menyelesaikan limit bentuk tak tentu Prasyarat Pokok bahasan yang harus dipelajari oleh mahasiswa sebelum mengikuti perkuliahan integral dan penerapannya, adalah Fungsi Real: Sistem Bilangan Real, Fungsi dan Grafik, Limit dan kekontinuan, Limit tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Referensi Untuk mendukung dan mempermudah dalam mempelajari materi integral dan penggunaannya, disarankan untuk menggunakan buku berikut Mursita, Danang. (00). Matematika untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains. Bandung. matematika_untuk_perguruan_tinggi.html Turunan dan penggunaan, Pengertian Turunan Misal diberikan grafik fungsi y = f( dengan P(a, b) merupakan titik tetap yang terletak pada kurva y = f(. Bila titik Q(,y) merupakan titik sembarang pada kurva y = f( maka dapat dibuat garis yang menghubungkan titik P dan titik Q (misal dinamakan garis PQ), seperti terlihat pada Gambar berikut. Gradien garis PQ dapat dinyatakan dengan, y b f ( f ( m PQ a a Page of

2 Gambar Bila titik Q digerakkan sehingga berimpit dengan titik P maka akan mendekati a a 0 f ( f ( 0 serta garis PQ akan merupakan garis dan f( mendekati f( singgung kurva f( di titik P. Adapun gradien garis singgung PQ dinyatakan dengan, f ( f ( m lim. Mengapa gradient garis singgung PQ dapat dinyatakan dengan a a notasi limit? Jelaskan. Turunan dari fungsi f( di titik = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgung f ( f ( kurva f( di = a dan diberikan, f ' ( lim. Bila nilai limit ada maka f( a a dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di = a. Misal h = - a. Maka turunan f( ' f ( a h) f ( di = a dapat dituliskan, f ( lim. Notasi lain yang digunakan untuk h 0 h df ( dy( menyatakan turunan adalah f '( y'(. Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fungsi f( di titik = a menyatakan kecepatan, V( benda yang bergerak dengan lintasan f( pada saat = a. Oleh karena itu, dv( didapatkan hubungan V ( f '( dan percepatan, A(, A(. Bila y = f( diferensiabel di = a maka y = f( kontinu di = a. Teorema atau sifat ini tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu tetapi tidak diferensiabel. Bagaimana anda mendapatkan sebuah fungsi kontinu tetapi tidak diferensiabel di suatu nilai? Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi (limit kiri = limit kanan) dan kekontinuan fungsi (kontinu kanan = kontinu kiri), dapat juga diturunkan suatu pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri. Misal fungsi f( diferensiabel di = a, maka dapat ' f ( a h) f ( didefinisikan () Diferensiabel Kanan, f ( lim dan () Diferensiabel h0 h ' f ( a h) f ( Kiri, f ( lim. h0 h Page of

3 Kekontinuan suatu fungsi merupakan syarat perlu dari suatu fungsi yang diferensiabel. Artinya untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi diferensiabel di suatu titik maka fungsi tersebut harus kontinu di titik tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai diferensiabel kanan sama dengan diferensiabel kiri. Jadi syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f( diferensiabel di = a adalah () Fungsi f( kontinu di = a, yaitu f ( lim f ( dan () Turunan kiri di ' ' = a sama dengan turunan kanan di = a, yaitu f ( f (. Misalkan fungsi f( kontinu f ( a h) f ( f ( a h) f ( di = a dan kedua limit berikut ada, lim dan lim. Fungsi h0 h h0 h f( diferensiabel di = a bila dan hanya bila nilai kedua limit ada. Selanjutnya nilai turunan f ( a h) f ( f ( a h) f ( dari fungsi f( di = a dinyatakan dengan f '( lim lim h0 h h0 h. a Bagaimana cara menentukan nilai a dan b agar fungsi diferensiabel di =? Kemudian tentukan nilai f '(). f ( a b,,. Rumus Turunan Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus digunakan definisi formal di atas, namun akan lebih mudah digunakan rumus sebagai berikut. Selanjutnya tugas Anda adalah membuat contoh soal yang dipakai untuk menerapkan rumusan tersebut. r d d f ( g( d f ( dg( d f ( g( d f ( d g( g( f ( f ( d g ( g( d f ( f ( dg( g ( r. r ; r Turunan Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri (sinus dan cosinus) merupakan fungsi kontinu, sehingga limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu lim sin sin a dan lim cos cosa. Turunan dari fungsi sinus dan fungsi cosinus a a Page 3 of

4 adalah f (sin = cos dan f (cos = sin. Bagaimanakah cara Anda mendapatkan rumus turunan tersebut dengan menggunakan definisi fungsi trigonometri, identitas trigonometri dan limit fungsi sinus dan limit fungsi cosinus? Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, diberikan berikut. Lantas, Bagaimana detail cara mendapatkannya, supaya tidak masuk ke hafalan semata? sin tan d cos d d cot d sec d csc cos d sin d cos d sin sec csc sectan csccot Gambaran sekilas tentang bagaimana mendapatkan turunan dari fungsi sin f ( cos diberikan berikut. Misalkan u( = sin dan v( = cos, maka turunan dari kedua fungsi berturut-turut adalah u ( = - cos dan v ( = - sin. Dengan menggunakan rumus turunan u' v v' u f '( maka didapatkan turunan dari f(, v coscos sin sin sin '(. cos cos f Bila kita hitung nilai turunan fungsi turunan dari fungsi f( di sin 6 f '. 6 cos maka diperoleh Jawab : 6 Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit tak hingga, digunakan sifat atau teorema apit berikut. Misal f( g( h( berlaku untuk setiap sin di dalam domainnya. Bila lim f ( lim h( L maka lim g( L. Diberikan lim. sin sin Misal f (. Dari - sin maka. Karena lim lim 0 maka sin dengan menggunakan teorema apit diperoleh lim 0. Bagaimana cara menghitung cos lim? 0 sin Page 4 of

5 .3 Teorema Rantai Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan cara mencari bentuk ekplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara langsung menggunakan metode atau aturan rantai. Misal diberikan fungsi komposisi dy d f u( d y f u( u, maka turunan pertama terhadap yaitu f ' u( u' du(. Bila y = f(u) dengan u = v( maka turunan pertama dari y terhadap dicari dy d f u duv dv f ' u u' v v'. Metode penurunan ini dikenal dengan du dv y sin 3 dilakukan berikut. nama teorema rantai. Untuk mendapatkan turunan dari fungsi Misal f( = sin dan u( = 3, maka fungsi y merupakan komposisi dari fungsi f( dan fungsi u(, yaitu y = (f o u) (. Turunan terhadap dari fungsi f( dan u( berturut-turut adalah dy f ( = cos dan u ( = 3 sehingga diperoleh : f ' uu' 3cos3. Bagaimana cara yang Anda lakukan untuk mencari nilai turunan pertama di = dari fungsi y tan?.4 Turunan Tingkat Tinggi Turunan kedua dari fungsi f( didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n -), ) Turunan pertama, ) Turunan kedua, 3) Turunan ketiga, (n) Turunan ke-n, f f '( df f d f "( 3 d f f '''( 3 n n d f (. n Penerapan dari turunan tingkat tinggi terhadap fungsi Turunan pertama, hasilbagi, f"( = f '( (+ ) 3 f ( sebagai berikut.. Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi 3 f "'( (Bagaimana detail pengerjaan dan 5 detail dari turunan kedua dan ketiga?)fungsi Implisit Page 5 of

6 Fungsi dengan notasi y = f( disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan fungsi implisit. Notasi yang biasa digunakan untuk menyatakan fungsi implisit adalah F(,y) = k dengan k merupakan bilangan real. Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan, dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, oleh karena itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut. Nyatakan fungsi implisit y 4 y 5 ke dalam bentuk eksplisit, y = f(, selanjutnya gunakan rumus turunan untuk mendapatkan turunan pertama dari fungsi tersebut. Fungsi implisit dapat dinyatakan secara eksplit, dalam = f(y), seperti y 4 y 3. Selanjutnya, carilah turunan pertama dari fungsi tersebut. Beberapa fungsi implisit tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, seperti y 4 y 3. Turunan dari fungsi ini dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi implisit. Misal turunan dari dan y berturut-turut dinyatakan dengan dan dy. Bila dalam satu suku terdapat dua peubah ( dan y) maka kita lakukan penurunan secara bergantian, bisa terhadap dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. dy Hasil turunan akan nampak bila masing-masing ruas dibagi oleh. y 4 y 3 dy 4 4 y 4 y dy 0 dy 4 4 y 4 dy y 0 (ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan d dy 4 4 y 4 y.5 Kemonotonan Kurva Kemonotonan dari suatu kurva dibedakan menjadi dua yaitu monoton naik dan monoton turun. Pengertian monoton diijelaskan secara ilustrasi melalui Gambar 3. Grafik fungsi dikatakan y = f( monoton naik bila seseorang menyusuri kurva dari arah kiri ke kanan dengan mendaki, sedangkan untuk menoton turun bila seseorang menyusuri kurva dari arah kiri ke kanan dengan menurun. Dari Gambar, diperlihatkan bahwa grafik fungsi y = f( monoton naik pada selang / interval (a, b) atau (c, d), sedangkan grafik fungsi y = f( monoton turun pada selang / interval (b, c). Page 6 of

7 Gambar Misal diberikan kurva y = f( dan selang / interval I yang terletak pada domain dari y = f(. Maka () Grafik fungsi f( dikatakan Monoton naik pada selang / interval I bila f f untuk ; I dan () Grafik fungsi f( dikatakan Monoton turun, pada selang / interval I bila f f untuk ; I., Gambar 3 Dalam menentukan selang / interval fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun digunakan pengertian secara geometris berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut () yang dibentuk oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan. Perhatikan Gambar, garis g merupakan garis singgung kurva y = f( di = a. Bila sudut lancip ( < ½ ) maka m > 0 dan m < 0 untuk sudut tumpul ( > ½ ). Karena gradien garis singgung suatu kurva y = f( di titik (,y) diberikan dengan m = f ( dan selang / interval fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka kemonotonan fungsi diberikan berikut :. Fungsi f( monoton naik pada selang / interval I bila f '( 0 untuk I. Fungsi f( monoton turun pada selang / interval I bila f '( 0 untuk I Selang / interval fungsi kemonotonan dari fungsi 3 f ( dapat dicari dengan menentukan nilai pembuat nol dari turunan pertama. Selanjutnya dari nilai di tiap selang akan dapat ditentukan fungsi monoton turun dan monoton naik. Bagaimana penyelesaian detail dari masalah ini? Page 7 of

8 .6 Kecekungan Kurva Secara geometris, grafik fungsi y = f( dikatakan cekung ke bawah di suatu titik bila kurva terletak di bawah garis singgung kurva yang melalui titik tersebut. Sedangkan grafik fungsi y = f ( dikatakan cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui titik tersebut. Dari Gambar 4, nampak kurva y = f( akan cekung ke bawah pada selang / interval (a,e) dan akan cekung ke atas pada selang / interval (e,d). Gambar 4 menunjukkan kecekungan kurva y = f( di titik = a. Gambar 4 Misal diberikan fungsi f( dan selang / interval I yang terletak pada domain dari fungsi f(. Maka () Fungsi f( dikatakan cekung ke atas pada selang / interval I bila fungsi f ( monoton naik pada selang / interval I dan () Fungsi f( dikatakan cekung ke bawah pada selang / interval I bila fungsi f ( monoton turun pada selang / interval I. Dari pengertian kemonotonan, fungsi f( monoton naik pada selang / interval I bila berlaku f ( > 0 untuk I dan fungsi f( monoton turun pada selang / interval I bila f ( < 0 untuk I. sehingga bila f ( naik maka akan berlaku f ( > 0 dan bila f ( turun maka akan berlaku f ( < 0. Oleh karena itu dapat disimpulkan tentang kecekungan fungsi menggunakan pengertian kemonotonan dan definisi kecekungan sebagai berikut, () Bila f "( 0, I maka f( cekung ke atas pada selang / interval I dan () Bila pada selang / interval I. f "( 0, I maka f( cekung ke bawah Selang / interval kecekungan dari fungsi, f ( dicari dengan menentukan turunan pertama dan turuna kedua dari f(. Carilah turunan tersebut. Fungsi cekung ke atas, bila f "( 0. Bagaimana Anda menentukan selang tersebut?.7 Nilai Ekstrim Page 8 of

9 Nilai ekstrim dari suatu fungsi f( yang dimaksud pada pembahasan disini merupakan nilai ekstrim relatif (bukan absolut). Nilai ekstrim dibedakan menjadi dua yaitu () Nilai Ekstrim Maksimum dan () Nilai ekstrim Minimum. Misal diberikan kurva f( dan titik (a,b) merupakan titik ekstrim (titik maksimum atau minimum) seperti terlihat pada Gambar 5, maka garis singgung kurva di titik (a,b) akan sejajar sumbu X atau mempunyai gradien m = 0, yaitu garis y = b. Sehingga syarat perlu bahwa suatu fungsi f( akan mencapai nilai ekstrim di = a adalah f ( = 0. Titik (a, b) disebut titik ekstrim, nilai = a disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim. Dari Gambar, diperlihatkan bahwa di = b dan = c, fungsi y = f( mencapai nilai ekstrim. Gambar 5 Misal diberikan fungsi y = f( dan selang / interval I yang memuat = a. Maka () Nilai f( disebut nilai (ekstrim) maksimum pada selang / interval I bila f( > f( untuk setiap I. Titik dengan koordinat (a, f() dinamakan titik maksimum dari fungsi y = f( dan () Nilai f( disebut nilai (ekstrim) minimum pada selang / interval I bila f( < f( untuk setiap I. Titik dengan koordinat (a, f() dinamakan titik minimum dari fungsi y = f(. Secara geometris, untuk menentukan apakah di nilai, fungsi f( mencapai nilai ekstrim, dapat dilihat dari selang / interval kemonotonan fungsi. Bila di nilai tersebut terjadi perubahan kemonotonan maka fungsi akan mencapai nilai ekstrim di nilai tersebut. Perhatikan Gambar 6. Misal nilai = a, = b dan = c berturut merupakan nilai stationer, yaitu f ( = f (b) = f (c) = 0. Karena terjadi perubahan kemonotonan di = a, = b, dan = c maka f(, f(b) dan f (c) merupakan titik ekstrim. Jenis dari titik ekstrim dapat ditentukan dari perubahan kemontonan. Gambar 6 Untuk menentukan jenis nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari fungsi f( dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut, () Tentukan turunan pertama dan kedua, f '( ) dan f"( ), () Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama f '( 0, misalkan nilai stasioner adalah = a dan (3) Nilai f( merupakan nilai maksimum bila f "( 0, sedangkan nilai f( merupakan nilai minimum bila f "( 0. Turunan Page 9 of

10 4 3 3 pertama dari fungsi f ( 5 adalah f '( 4 6. Nilai stasioner dari f( terjadi pada saat f ( = 0 yaitu di = -, = - ½ dan = 0. Turunan kedua dari f(, f "(. Dengan menguji nilai turunan kedua, f ( di = -, = - ½ dan = 0 maka akan diperoleh jenis nilai ekstrim fungsi tersebut. Tentukan jenis dan nilai ekstrim fungsi tersebut..8 Titik Belok Misal diberikan fungsi y = f( maka syarat perlu agar = b merupakan absis dari titik belok dari fungsi f( bila berlaku () f "( b) 0 atau () f( tidak diferensiabel dua kali di = b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan kata calon, maksudnya bahwa untuk nilai = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti berikut. Misal f( kontinu di = b. Maka (b, f(b)) disebut titik belok dari kurva f( bila terjadi perubahan kecekungan di = b, yaitu di satu sisi dari = b cekung ke atas dan disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya. Titik belok dari fungsi f ( 3 terjadi di = 0 (kerjakan secara detail) dan fungsi 4 f ( tidak mempunyai titik belok. Mengapa? Jelaskan..9 Asymtot Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva. Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu () Asymtot tegak = a, () Asymtot datar, y = b dan (3) Asymtot miring, y = a + b. Gambar 7 merupakan contoh dari ketiga asymtot tersebut. Gambar 7 Misal diberikan kurva y = f (, maka garis y = b disebut asymtot datar dari y = f ( dengan syarat () lim f ( b atau () lim f ( b. Untuk mendapatkan asymtot datar dari sebuah kurva maka dilakukan perhitungan limit fungsi untuk dan untuk -. Sedangkan garis = a disebut asymtot tegak bila berlaku salah satu dari () lim f ( () lim f ( (3) lim f ( (4) lim f (. Garis y = a + b dikatakan sebagai a a a a Page 0 of

11 asymtot miring dari y = f( bila berlaku () lim f ( a b 0 lim f ( a b 0 atau (). Untuk mendapatkan asymtot miring dari fungsi rasional P( f ( [pangkat P( = + pangkat Q(] dilakukan dengan cara membagi P( dengan Q( Q( sehingga hasilbagi yang didapatkan merupakan asymtot miring dari f(. atau 3 Misal diberikan fungsi f (. Dari nilai yang memenuhi lim f ( lim f ( akan diperoleh asymtot miring. Selanjutnya, bila nilai lim f ( 0 maka akan diperoleh asymtot datar. Bagaimana Anda mendapatkan kedua asymtot tersebut? Apakah asymtot datar dan asymtot miring bisa terjadi secara bersama-sama? Jelaskan. Apakah syarat dari sebuah fungsi agar terjadi asymtot datar atau asymtot miring? Jelaskan..0 Grafik Fungsi Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu () Selang / interval kemonotonan, () Selang / interval kecekungan, (3) Titik ekstrim dan jenisnya, (4) Titik potong terhadap salib sumbu (sumbu X dan sumbu Y), (5) Titik belok (bila ad, (6) Semua asymtot (bila ad dan (7) Titik lain (sembarang) yang dapat membantu memudahkan menggambarkan grafik. Bila diberikan fungsi f( = + grafik fungsi tersebut dengan cara mengikuti langkah () sd (7). +, gambarkan. Dalil Delhopital Penerapan dari turunan pertama dilakukan untuk menghitung limit fungsi. Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit yaitu : 0,,0.,dan. Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh 0 Delhopital. 0 Bentuk dan. Misal lim f( = lim g( = 0 atau lim f( = lim g( =. Maka 0 f ( f '( 0 lim lim. Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk atau maka g( g' ( 0 dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan bentuk tak tentu tersebut. Penulisan lim di atas mengandung maksud lim, lim, lim, lim atau lim. a a a Bentuk 0.. Misal lim f( = 0 dan lim g( =. Maka lim f( g( merupakan bentuk 0.. Page of

12 Untuk menyelesaikannya kita ubah menjadi bentuk g( f ( 0 0 atau yaitu : f ( g( lim f ( g( lim lim. Selanjutnya solusi dari limit tersebut diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya. Bentuk -. Misal lim f( = lim g( =. Maka untuk menyelesaikan lim [ f( - g( ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f( - g( ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya. Catatan khusus, tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan menggunakan dalil Delhopital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit fungsi f( dengan f( bukan merupakan fungsi rasional. Untuk permasalahan yang terakhir, dapat dilihat dari limit berikut, () lim 3 dan () lim. Bentuk limit () merupakan bentuk tak tentu namun tidak dapat diterapkan dalil delhopital. Mengapa? Jelaskan. Penyelesaian limit demikian digunakan bantuan sifat dari nilai mutlak, yaitu. Tanda adalah dan, 0 dan, 0 berarti bahwa < 0 sehingga bentuk tak hingga yang digunakan. Bagaimana selengkapnya penyelesaian masalah ini? Limit () mempunyai bentuk tak tentu. Untuk menyelesaikannya dilakukan dengan mengalikan dan membagi sekawan yaitu. Dengan menggunakan bantuan definisi nilai mutlak tersebut? dan (sebab ), bagaimana menyelesaikan limit Page of

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS

TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) MAYA KURNIAWATI SMA N SUMBER PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari

Lebih terperinci

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19

AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI MIA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 06-07 XI MIA Semester Tahun Pelajaran 06 07 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan 1

5. Aplikasi Turunan 1 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Soal Jika f ( ) sin cos tan maka f ( 0) Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri: y sin y cos y cos y sin y tan y sec Karena maka f ( ) sin

Lebih terperinci

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)

MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA) MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini

Lebih terperinci

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Aplikasi Turunan. Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XI IPS SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 015-016 XI IPS Semester Tahun Pelajaran 015 016 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2

APLIKASI TURUNAN ALJABAR. Tujuan Pembelajaran. ) kemudian menyentuh bukit kedua pada titik B(x 2 Kurikulum 3/6 matematika K e l a s XI APLIKASI TURUNAN ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menerapkan aturan turunan aljabar untuk

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN

KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi

Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi 8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1A4 KALKULUS 1 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini

Lebih terperinci

5.1 Menggambar grafik fungsi

5.1 Menggambar grafik fungsi 5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP)

SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) SATUAN ACARA PEMBELAJARAN (SAP) Mata Kuliah Kode Mata Kuliah SKS Durasi Pertemuan Pertemuan ke : Kalkulus : TSP-102 : 3 (tiga) : 150 menit : 1 (Satu) A. Kompetensi: a. Umum : Mahasiswa dapat menggunakan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 25 September 2013

Hendra Gunawan. 25 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 25 September 2013 Kuis 1 (Kuliah yang Lalu) 1. Selesaikan pertaksamaan 2x 3 < x. 2. Diketahui i f(x) ) = x 2 sin (1/x) untuk x 0 dan f(0) = 0.

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a

f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a Nama Siswa Kelas : : aasdaa. PENGERTIAN DIFERENSIAL (TURUNAN) Turunan fungsi atau diferensial didefinisikan sebagai laju perubahan fungsi sesaat dan dinotasikan f (x). LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN

Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Kalkulus Pertemuan 6 APLIKASI TURUNAN Menggambar Grafik Fungsi : Gambarlah grafik dari fungsi berikut! 4 f ( ) Beberapa informasi yang diperlukan untuk mengambar grafik dari fungsi tersebut adalah sebagai

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya

Penyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya . Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat

GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Metode Media/ Alat Mata Kuliah Kode/Bobot Deskripsi Singkat : Tujuan Instruksional Umum : : Kalkulus : TSP-102/3 SKS GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN (GBPP) Mata kuliah ini membahas tentang konsep dasar matematika. Pembahasan

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:

tanya-tanya.com Turunan Pertama Turunan Fungsi Trigonometri Persamaan Garis Singgung Fungsi Naik Turun Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Turunan Pertama Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah: Jika f(x) = x n, maka f (x) = nx n-1, dengan n R Jika f(x) = ax n, maka f (x) = anx n-1, dengan a konstan dan n R Rumus turunan fungsi aljabar:

Lebih terperinci

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75

( ) 2. Nilai x yang memenuhi log 9. Jadi 4x 12 = 3 atau x = 3,75 Here is the Problem and the Answer. Diketahui premis premis berikut! a. Jika sebuah segitiga siku siku maka salah satu sudutnya 9 b. Jika salah satu sudutnya 9 maka berlaku teorema Phytagoras Ingkaran

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN

SATUAN ACARA PERKULIAHAN SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB

Lebih terperinci

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

15. TURUNAN (DERIVATIF)

15. TURUNAN (DERIVATIF) 5. TURUNAN (DERIVATIF) A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Untuk u dan v adalah fungsi dari x, dan c adalah konstanta, maka:. y = u + v, y = u + v. y = c u, y = c u. y = u v, y = v u

Lebih terperinci

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB SOL-SOL LTIHN TURUNN FUNGSI SPM 00-007. SPM Matematika asar Regional I 00 Kode 0 Garis singgung kurva di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya postif y mempunyai gradien.. 9 8 7. SPM Matematika asar

Lebih terperinci

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS)

RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) MUG1B4 KALKULUS 2 Disusun oleh: Jondri, M.Si. PROGRAM STUDI S1 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS INFORMATIKA TELKOM UNIVERSITY LEMBAR PENGESAHAN Rencana Semester (RPS) ini

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk

Lebih terperinci

SILABUS MATERI PEMBELAJARAN. Statistika: Diagram batang Diagram garis Diagram Lingkaran Tabel distribusi frekuensi Histogram dan Ogif

SILABUS MATERI PEMBELAJARAN. Statistika: Diagram batang Diagram garis Diagram Lingkaran Tabel distribusi frekuensi Histogram dan Ogif SILABUS Nama Sekolah : SMA Negeri 1 Sungai Penuh Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Program : XI / IPA Semester : 1 STANDAR KOMPETENSI: 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

SILABUS PEMBELAJARAN

SILABUS PEMBELAJARAN SILABUS PEMBELAJARAN Nama Sekolah : Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : XI / IPA Semester : GENAP STANDAR KOMPETENSI: 4 Menggunakan aturan dalam penyelesaian masalah Kompetensi Dasar Materi Ajar

Lebih terperinci

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk

Lebih terperinci