1 Sistem Bilangan Real

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "1 Sistem Bilangan Real"

Transkripsi

1 Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak 3) Menentukan domain dan range dari ungsi khusus 4) Menentukan rumusan ungsi komposisi 5) Menetukan domain ungsi komposisi 6) Menyelesaikan limit ungsi di suatu titik 7) Menentukan nilai sehingga suatu ungsi kontinu 8) Menyelesaikan limit ungsi di tak hingga 9) Menyelesaikan limit ungsi tak hingga Reerensi Untuk mendukung dan mempermudah dalam mempelajari materi integral dan penggunaannya, disarankan untuk menggunakan buku berikut Mursita, Danang. (00). Matematika untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains. Bandung. matematika_untuk_perguruan_tinggi.html Turunan dan Penggunaan. Sistem Bilangan Real Anda mungkin masih mengenal beberapa bilangan berikut: -, 0, /, - 7/5, 3, 0, 4 5, Manakah di antara bilangan tersebut yang merupakan bilangan real? Mengapa bilangan tersebut dikatakan bilangan real? Jelaskan jawaban Anda. Kalau sebuah bilangan bukan merupakan bilangan real maka dinamakan bilangan imajiner. Ada beberapa istilah bilangan yang lain yaitu bilangan bulat, bilangan pecah, bilangan rasional, bilangan irrasional. Jelaskan pengertian beberapa istilah bilangan tersebut disertai contoh. Bilangan real dinotasikan dengan, memainkan peranan yang sangat penting dalam Kalkulus. Pertama kali Anda harus memahami beberapa akta dan terminologi dari bilangan real. Siat-siat yang dimiliki bilangan real adalah siat trikotomi, yaitu bila ada dua bilangan real a dan b, maka hanya akan berlaku salah satu dari tiga siat berikut: () a = b atau, () a < b atau (3) a > b. Perhatikan deinisi berikut: Misal a dan b bilangan real, maka () a < b berarti b a merupakan bilangan real positi, () a b berarti bahwa a < b atau a = b, (3) a b berarti bahwa a > b atau a = b. Dalam matematika dan beberapa ilmu lain, kata dan dan atau mempumyai pengertian yang tidak sama. Bilamana kata dan / atau digunakan? Page o

2 Berikan penjelasan. Berikut disampaikan siat-siat pertidaksamaan dari bilangan real yang sangat undamental dan sering digunakan,. Bila a < b dan b < c maka a < c. Bila a < b maka a + c < b + c atau a c < b c 3. Bila a < b dan c < d maka a + c < b + d 4. Bila a < b dan c > 0 maka ac < bc 5. Bila a < b dan c < 0 maka ac > bc 6. Bila a dan b keduanya bilangan real positi atau negati dan a < b maka a b Secara geometri, bilangan real dapat digambarkan sebagai garis bilangan. Bila digunakan notasi interval maka bilangan real dinyatakan dengan = (-,). Kalau garis bilangan dipenggal menjadi beberapa bagian maka penggalan tersebut kita sebut dengan himpunan bagian dari garis bilangan. Penggalan dari bilangan real ini berupa segmen garis atau interval yang dapat dikelompokkan menjadi () Interval Tutup, dinotasikan dengan...,..., () Interval Buka, dinotasikan dengan...,..., (3) Interval Setengah Buka / Setengah Tutup (Tutup Buka atau Buka Tutup), dinotasikan dengan...,... atau...,.... Selengkapnya kemungkinan interval yang ada pada sebuah garis bilangan bila diberikan dua buah bilangan sembarang a dan b dinyatakan dengan Gambar Berikut. Symbol bacalah dengan tak hingga sedangkan symbol - bacalah dengan minus tak hingga. Tugas Anda selanjutnya adalah menuliskan semua kemungkinan dari penggalan garis bilangan tersebut dengan menggunakan ketiga notasi di atas. Gambar. Garis Bilangan Pertidaksamaan Aljabar Permasalahan Matematika yang berkaitan dengan interval terletak pada pertidaksamaan aljabar. Contoh pertidaksamaan aljabar seperti: () + < 3 () + 5 (3) > 5 dan + masih banyak lagi. Nilai yang memenuhi pertidaksamaan aljabar () adalah > 5 atau dalam notasi himpunan dapat dituliskan menjadi (5, ). Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa (5, ) merupakan himpunan jawab atau himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar (). Dari () maka tidak ditemukan nilai yang memenuhi pertidaksamaan aljabat tersebut. Mengapa? Coba Jelaskan jawaban Anda. Oleh karena itu, pertidaksamaan aljabar () dikatakan tidak mempunyai himpunan jawab atau himpunan solusi. Bagaimana dengan himpunan jawab dari pertidaksamaan aljabar (3)? Himpunan jawab atau solusi dari pertidaksamaan aljabar merupakan salah satu dari bentuk interval yang dikenalkan di alinea sebelumnya. Adapun penjelasan matematis tentang himpunan jawab atau himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar diberikan berikut. Bentuk umum pertidaksamaan aljabar dinyatakan oleh, A( C( B( D( Page o

3 dengan A(, B(, C( dan D( merupakan suku banyak. Apakah suku banyak tersebut? Jelaskan tentang suku banyak disertai contoh. (tanda < dapat digantikan oleh,, ). Sebagai 3 gambaran diberikan pertidaksamaan. Maka pertidaksamaan terdiri dari suku banyak A( = -, B( =, C( = + 3 dan D( = +. Sedangkan untuk bentuk pertidaksamaan terdiri dari suku banyak A( = +, B( =, C( = - dan D( =. Cara mencari himpunan solusi dari pertidaksamaan aljabar dilakukan sebagai berikut: () Nyatakan pertidaksamaan aljabar sehingga didapatkan salah satu ruasnya menjadi nol. A( C( Misalkan ruas kanan dibuat menjadi nol. Maka didapatkan 0. () Sederhanakan B( D( P( bentuk ruas kiri menjadi satu suku, misalkan 0. Bagaimana cara membuat ruas kiri Q( menjadi satu suku? Jelaskan dan nyatakan P( dan Q( dalam notasi A(, B(, C( dan D(. (3) Cari dan gambarkan pada garis bilangan semua pembuat nol dari P( dan Q(. (4) Tentukan setiap tanda (+ atau -) pada setiap interval yang terjadi dari garis bilangan di atas. Misalkan pembuat nol dari P( dan Q( berturut-turut dari kecil ke besar adalah a, b dan c. Maka interval dan tanda pada setiap interval diperlihatkan oleh Gambar. Interval dengan tanda negative atau (- ) merupakan solusi pertidaksamaan atau himpunan solusi. Mengapa? Selanjutnya tuliskan himpunan solusinya. Gambar Himpunan Solusi Perhatikan pertidaksamaan aljabar berikut,. Ada dua buah penyelesaian pertidakssamaan aljabar berikut. Manakah diantara dua penyelesaian ini yang menurut anda yang benar? Jelaskan dengan pilihan Anda? ( + )( ) 0 Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah (, 0] Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah 0 dan. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Page 3 o

4 Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah 0, 3 Sekarang Anda bisa berlatih dengan pertidaksamaan aljabar berikut,. 3 3 Penyelesaian dilakukan dengan cara : 0 3 0, Mengapa tidak diperbolehkan untuk dikalikan silang sehingga pertidaksamaan aljabar menjadi ( )( + ) > ( + 3)( )? Jelaskan. Pembuat nol dari pembilang dan penyebut adalah, /3 dan. Pada garis bilangan didapatkan nilai dari tiap selang, yaitu: Himpunan penyelesaian (solusi) pertidaksamaan adalah, / 3, 3 Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak Secara geometris, nilai mutlak atau nilai absolut dari bilangan real dideinisikan sebagai jarak dari terhadap 0 jarak tidak pernah dinyatakan dengan bilangan negati - sehingga nilai mutlak dari setiap bilangan selalu bernilai positi. Notasi yang digunakan adalah:, 0, 0 Bentuk nilai mutlak dinyatakan oleh gambar berikut, 0 Bila diberikan bentuk nilai mutlak maka dapat dituliskan menjadi atau dapat, disederhanakan menjadi seperti berikut,. Lantas, Nyatakan bentuk, dalam bentuk gambar. Bentuk nilai mutlak dapat diperumum menjadi: Page 4 o

5 a b, b / a a b ; a 0. Berikut merupakan contoh bentuk terakhir, yaitu nilai a b, b / a mutlak yang dapat diuraikan menjadi, 4, atau ( 4), 4 0 4, 4 4, Selanjutnya Anda diminta untuk mempelajari siat-siat nilai mutlak berikut dan penerapannya pada masalah pertidaksamaan aljabar... < a -a < < a 3. > a < -a atau > a 4. + y + y (ketidaksamaan segitiga) 5. y = y y y y y Bagaimana Anda menyelesaikan pertidaksamaan aljabar berikut, kemudian tunjukkan siatsiat dari nilai mutlak mana yang digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan aljabar ini?. 5 <. - + > Perhatikan bentuk pertidaksamaan aljabar ini () dan () + - <, keduanya tidak dapat diselesaikan hanya dengan menggunakan siat-siat nilai mutlak, namun dengan menggunakan deinisi nilai mutlak, pertidaksamaan aljabar ini dapat diselesaikan pada setiap interval yang terjadi.. Pertama yang dilakukan adalah dengan menguraikan bentuk nilai mutlak, menjadi, 0, atau. Pertidaksamaan diselesaikan pada ( ), 0, interval yang terjadi yaitu pada dan <. Untuk < Untuk /3-5 Page 5 o

6 Solusi pada interval ini adalah irisan dari < dan -/3, yaitu -/3 < Solusi pada interval ini adalah irisan dari dan -5, yaitu Solusi pertidaksamaan merupakan gabungan dari -/3 < dan, yaitu -/3 atau [-/3, ).. Seperti sebelumnya, pertidaksamaan diselesaikan dengan terlebih dahulu menguraikan bentuk nilai mutlak yang ada. Bentuk nilai mutlak yang ada pada pertidaksamaan adalah,, dan. Dari sini kita dapatkan tiga buah,, interval yang akan digunakan untuk mendapatkan solusi pertidaksamaan, yaitu: (-, -), [-, ½) dan [½, ). Untuk interval (-, -). Maka bentuk pertidaksamaan nilai mutlak berubah menjadi: - (- + ) < atau < 3 atau (-, 3). Solusi merupakan irisan antara interval (-, -) dan (-, 3) yaitu: (-,-). b. Untuk interval [-, ½). Bentuk pertidaksamaan berubah menjadi: + (- + ) < atau < /3 atau (-, /3). Solusi merupakan irisan antara interval [-, ½) dan (-, /3) yaitu: [-, /3). Untuk interval [½, ). Bentuk pertidaksamaan berubah menjadi: + ( - ) < atau > atau (,). Solusi merupakan irisan antara interval [½, ) dan (, ) yaitu: (, ). Jadi solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak merupakan gabungan solusi di atas (a, b dan c) yaitu: (-,-) [-, /3) (, ) atau (-, /3) (, ). Coba kerjakan dengan menggunakan bahasa atau alur sendiri khusus untuk masalah ini. 4 Fungsi dan Graik Pembahasan mengenai ungsi tidak bisa dilepaskan dari masalah pemetaan atau pengaitan. Suatu pengaitan dari himpunan a ke himpunan B disebut ungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan a dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Hal ini diperlihatkan seperti pada Gambar 3 berikut. Gambar 3 Fungsi Himpunan a disebut domain atau daerah asal dari ungsi dinotasikan D, sedangkan himpunan B disebut kodomain dari ungsi. Bila semua elemen dari himpunan B yang merupakan pasangan dari elemen dari himpunan a dihimpun maka akan didapatkan himpunan yang merupakan sub himpunan atau himpunan bagian dari himpunan B yang dinamakan Range atau daerah hasil dari ungsi. Notasi untuk range dari ungsi adalah R. Dari gambar 3 di atas`maka didapatkan range R a, c. Buatlah gambar yang menunjukkan bahwa pengaitan yang Anda dari ungsi yaitu Page 6 o

7 buat mendeinisikan ungsi dan bukan ungsi. Apakah banyak anggota dari domain harus sama dengan banyak anggota range? Jelaskan. Misal himpunan a dan B merupakan sub himpunan dari himpunan bilangan Real (A dan B ). Maka ungsi yang memetakan dari himpunan a ke himpunan B dapat dinyatakan dengan, : a B ( = y Daerah hasil atau range dari ungsi dinyatakan dengan y ( y, A R. Nampak bahwa setiap anggota range dari ungsi ( juga merupakan anggota dari B sehingga R B. Perhatikan ungsi ( 6. Akan dicari nilai sehingga nilai ungsi ( terdeinisi (merupakan bilangan real). Ini dimungkinkan bilamana didalam tanda akar harus merupakan bilangan 3 3, nol atau positi, yaitu 6 0 atau 3. Jadi domain dari ungsi ( adalah. Bila nilai dari D disubstitusikan ke dalam ungsi ( maka akan didapatkan range dengan anggota paling rendah nol dan paling tinggi tak hingga atau y y 0 0, R. D 5 Fungsi Polinom Bentuk umum ungsi polinom (suku banyak) order atau pangkat n (n bilangan bulat positi ) n dinyatakan oleh ( a a a... a 0 n dengan a n 0. Berikut bentuk khusus dari ungsi polinom, yaitu: Fungsi konstan: ( = a0. Domain (daerah asal) dari ungsi konstan adalah bilangan Real R D sedangkan range (daerah hasil) adalah Fungsi Linear: ( a0 a. (( = : ungsi identitas). Domain dan range dari ungsi linear adalah Real D dan R Fungsi Kuadrat: ( a a a 0 a 0 Gambar 4 Parabola Diperlihatkan pada Gambar 4, yang merupakan graik dari ungsi kuadrat (berupa parabola). Bila dari parabola diketahui titik puncak dan sebuah titik yang lain maka persamaan ungsi kuadrat dapat dinyatakan oleh ( a b c, dengan (b,c) merupakan titik puncak. Dari Gambar 5, 3 maka didapatkan persamaan kuadrat, (. Dengan melakukan pengamatan pada 4 graik / parabola maka range dari ungsi kuadrat tersebut berturut-turut adalah dan [, ). Bagaimana dengan domain dari (? jelaskan mengapa range dari ( adalah [, )? Melihat Page 7 o

8 dari siat dari ungsi konstan, ungsi linear dan ungsi kuadrat maka dapat disimpulkan bahwa domain dari ungsi polinom adalah bilangan real D. Mengapa? Jelaskan jawaban Anda. 6 Fungsi Rasional p( Bentuk umum ungsi rasional adalah ( dengan p( dan q( merupakan ungsi q( polinom. Fungsi rasional ( tidak terdeinisi pada nilai yang menyebabkan penyebut sama dengan nol [q( = 0]. Sedangkan pembuat nol dari pembilang p( tetapi bukan pembuat nol penyebut q( merupakan pembuat nol dari ungsi rasional (. Domain dari ungsi rasional ( adalah bilangan real q( 0. Perhatikan kecuali pada pembuat nol penyebut q(, atau dapat dituliskan, 3 ungsi rasional berikut, (. Nilai yang membuat ungsi ( bernilai nol adalah 4 hanya =, Mengapa? Pembuat nol dari penyebut adalah {-, } sehingga domain dari ( adalah D,. Bagaimana Anda menjelaskan tentang hal ini? D 7 Fungsi bernilai mutlak Bentuk dasar ungsi bernilai mutlak dinyatakan oleh ( =. Graik ungsi ( simetris terhadap sumbu Y dan terletak di atas dan atau pada sumbu X seperti terlihat pada Gambar 5. Hal ini menunjukkan bahwa ( 0 untuk setiap D, sehingga domain dari ( adalah R 0,. Secara umum ungsi bernilai mutlak dapat dinyatakan oleh: g(, A C ( g( ; D C A A. Kesimpulannya adalah range dari ungsi bernilai g(, A mutlak yaitu [0, ). Gambar 5 Bagaimana menentukan nilai agar graik ungsi ( terletak di bawah garis y =? Gambarkan terlebih dahulu graik ungsi ( dan garis y =. Selanjutnya himpun nilai yang memenuhi. Sekarang bandingkan hasil yang ada peroleh dengan hasil berikut. Menggunakan siat pertidaksamaan nilai mutlak didapatkan. Sebab + 3 deinit positi yaitu selalu bernilai positi untuk setiap real maka < 0. Sehingga nilai yang memenuhi adalah < < atau <. Page 8 o

9 8 Fungsi banyak Aturan Fungsi ini merupakan bentuk pengembangan dari ungsi bernilai mutlak, untuk ungsi dengan (, A C dua aturan dinyatakan oleh: ( ; A A D C. Fungsi banyak aturan dapat (, A dikembangkan sampai n buah ungsi j ( dengan j =,,,n, yaitu ( ( ( ( ; A ; A ; n A n dengan A A... A n D dan A A... A n Untuk memudahkan di dalam memahami ungsi banyak aturan lakukan langkah berikut. ; Gambarkan graik ungsi dari ( ; 3. ; 3 9 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi ( disebut ungsi genap bila ( = (- untuk setiap di domain ( [graik ( simetris terhadap sumbu y]. Fungsi ( disebut ungsi ganjil bila ( = - (- untuk setiap di domain ( [graik ( simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu]. Bila suatu ungsi bukan merupakan ungsi genap maka belum tentu merupakan ungsi ganjil. Graik ungsi ( ) ditunjukkan oleh Gambar 6. Sebab simetris terhadap sumbu Y maka ungsi ( ) terkategori ungsi genap. Gambar 6 Parabola ( Manakah diantara ungsi berikut yang merupakan ungsi genap, ganjil atau bukan keduanya ( dan (. Langkah mana yang Anda lakukan untuk menentukan ungsi genap, ungsi ganjil atau tidak keduanya? Apakah Anda punya cara lain? Page 9 o

10 Siat siat aljabar yang dimiliki antara ungsi genap dan ungsi ganjil diperlihatkan pada tabel berikut. Tabel yang ada belum lengkap sebab masih ada kotak yang belum terisi. Langkah selanjutnya, Anda diminta mengisi tabel yang kosong dan membuat contoh ungsi yang bersesuaian serta hasil kali dan pembagian dari kedua ungsi tersebut. ( g( ( g( Genap Genap Genap Ganjil Ganjil Ganjil Genap Ganjil ( g( 0 Fungsi Trigonometri Misal diberikan titik A(a,b) dan t menyatakan sudut yang dibentuk antara sumbu X positi dengan ruas garis OA, t bertanda positi (+) bila berlawanan arah jarum jam (arah dari sumbu X positi menuju ke ruas garis OA) diperlihatkan pada Gambar 7. Bila panjang ruas garis OA = r maka didapatkan rumusan bentuk trigonometri sebagai berikut: a sin t r b cos t r a tan t b csc t r a r sec t b b cot t a Gambar 7 Dari rumusan trigonometri tersebut maka dapat dinyatakan bentuk dasar dari ungsi trigonometri sebagai berikut o ( = sin o ( = cos o ( = tan ( = csc ( = sec ( = cot Page 0 o

11 Domain dari ungsi sinus dan ungsi cosinus adalah bilangan real sedangkan domain dari n ungsi tangen adalah dengan n bilangan bulat. Mengapa? Jelaskan. Graik ungsi ( = sin, ( = cos dan ( = tan diperlihatkan pada Gambar 8 berikut Gambar 8 Graik Fungsi Trigonometri Beberapa persamaan atau identitas yang berlaku pada ungsi trigonometri diberikan berikut. Bagaimana Anda menjelaskan tanpa harus menghaal terhadap identitas trigonometri ini?. sin (- = - sin. cos (- = cos 3. tan (- = - tan 4. csc (- = - csc 5. sec (- = sec 6. cot (- = cot 7. sin (/ - = cos 8. cos (/ - = sin 9. tan (/ - = cot 0. sin ( + y) = sin cos y + sin y cos. cos ( + y) = cos cos y sin sin y tan tan y. tan y tan tan y 3. sin ( - y) = sin cos y sin y cos 4. cos ( - y) = cos cos y + sin sin y tan tan y 5. tan y tan tan y 6. sin = sin cos 7. cos = cos = sin tan 8. tan tan 9. sin cos y 0. cos cos y sin sin y Page o

12 y y sin sin y sin cos y y cos cos y cos cos cos y cos y sin sin y sin y sin y sin cos y cos y cos y cos cos y Fungsi Periodik Fungsi ( disebut ungsi periodik jika ada bilangan real positi p sehingga berlaku (+p) = ( untuk setiap di domain (. Nilai p terkecil disebut periode dari (. Fungsi dasar trigonometri merupakan ungsi periodik dengan periode p, yaitu: ( = sin = sin ( + ) = sin ( + 4) =...= ( + ) = ( + 4) =... Nilai p terkecil merupakan periode dari ( = sin yaitu p =. Dengan pengertian yang sama diberikan periode untuk ungsi cosinus dan ungsi tangen berikut: () ( = cos = cos ( + ) = ( + ), p = dan () ( = tan = tan ( + ) = ( + ), p =. Bagaimana cara Anda menentukan periode dari ungsi berikut () ( = sin n () ( = cos n dan (3) ( = tan n? Translasi (Pergeseran) Bila graik ungsi ( digeser ke kanan / ke kiri (searah atau sejajar sumbu sepanjang k maka hasil pergeseran merupakan graik dari ungsi ( - k). Bila graik ungsi ( digeser ke atas / ke bawah (searah atau sejajar sumbu Y) sepanjang a maka hasil pergeseran merupakan graik ungsi ( + a. Sebagai ilustrasi, misal diberikan ungsi ( =. Graik ungsi tersebut berupa parabola dengan titik minimum di pusat sumbu (Gambar 9). Bila graik kita geser ke kanan sepanjang satuan maka parabola mempunyai titik minimum di (,0) dan ungsi dinyatakan dengan ( = ( ) (Gambar 0). Sedangkan hasil pergeseran graik ke arah bawah sepanjang 3 satuan menghasilkan para bola dengan titik minimum di (0,3) dan dinyatakan dengan ( = 3 (Gambar ). Oleh karena itu graik ungsi ( = ( - ) 3 berupa parabola dengan titik minimum di (,-3) yang merupakan pergeseran graik ( = sepanjang satuan ke arah kanan dan 3 satuan ke arah bawah (Gambar ). Gambar 9 Parabola y Page o

13 Gambar 0 Parabola y Gambar Parabola y 3 Gambar Parabola y 3 Bagaimana cara yang Anda lakukan bila diberikan sebuah parabola dengan persamaan ( = + 6 8, merupakan pergeseran dari parabola ( =? Jelaskan jawaban Anda. 3 Fungsi Komposisi Misal diberikan ungsi yang memetakan dari himpunan a ke himpunan B, : a B dan ungsi g yang memetakan dari himpunan B ke himpunan C, g: B C. Maka dapat dilakukan komposisi antara ungsi dan ungsi g yang diperlihatkan pada Gambar 3 berikut. Page 3 o

14 Gambar 3 Fungsi Komposisi Dari Gambar 3 nampak bahwa agar dua ungsi dan g dapat dilakukan komposisi (g o ) maka ungsi tersebut harus tersambung. Ini berarti ada dua kemungkinan: () Range dari harus termuat di dalam domain dari g yaitu ( a) b D atau () Domain dari g harus termuat di dalam range dari yaitu b R. Hal ini menunjukkan bahwa agar terjadi komposisi antara ungsi dan ungsi g, [g o ] maka harus dipenuhi syarat bahwa ada anggota yang termuat di dalam range dari, R dan juga termuat di dalam domain dari g, D. Dengan kata lain bahwa untuk terjadi komposisi g o maka syarat yang harus dipenuhi adalah R D g, yaitu irisan antara range dari ungsi dan domain dari ungsi g tidak boleh kosong, sehingga dapat dideinisikan Komposisi Dua Fungsi. Komposisi antara ungsi ( dan ungsi g( dideinisikan sebagai () g( o ( g o ( dengan syarat R atau () ( o g( o g ( dengan syarat ) Rg D D g g g Anda Pasti masih ingat bagaimana cara mencari domain dan range dari dua ungsi berikut, ( dan g(. Bagaimana Anda menentukan bahwa g o terdeinisi dan o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan kedua ungsi komposisi tersebut. Untuk lebih memudahkan Anda mempelajari komposisi dua ungsi, sebaiknya ada ahamkan diri Anda terhadap siat siat yang dimiliki oleh ungsi komposisi berikut. Berikan contoh yang mendukung siat siat tersebut.. o g g o (tidak berlaku siat komutati). ( o g) o h = o (g o h) (berlaku siat asosiati) 3. Untuk setiap komposisi g o maka akan berlaku : Dgo D dan Dg R 4. Bila R Dg maka Dgo D 4 Limit Fungsi Pengertian dan notasi dari limit suatu ungsi ( di suatu nilai = a diberikan secara intuiti menggunakan bantuan Gambar 4 sd Gambar 8 berikut. Page 4 o

15 Gambar 4 Gambar 5 Gambar 6 Gambar 7 Page 5 o

16 Gambar 8 Dari Gambar 4, bila nilai ( mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a dari kanan a sama dengan L dan dinotasikan () lim ( L. Bila nilai ( mendekati K untuk nilai mendekati a dari arah kiri a maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a dari arah kiri a sama dengan K dan dinotasikan () lim ( K. Bila L = K (Gambar 5 dan Gambar 7) maka dikatakan a bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a a sama dengan L (nilai limit dari ( di = a ada dan sama dengan L) dan dinotasikan (3) lim ( L. Sedangkan bila L K (Gambar 6 a dan Gambar 8) maka dikatakan bahwa limit ungsi ( untuk mendekati a tidak ada. Bentuk (.) dan (.) disebut limit sepihak. Sedangkan (3) mengisyaratkan bahwa nilai limit ungsi ( pada suatu titik dikatakan ada bila nilai limit sepihaknya sama atau nilai limit kanan (.) sama dengan nilai limit kiri (.). Dari keberadaan limit sebuah ungsi, nilai limit ungsi ( di = a tidak selamanya sama dengan nilai ungsi ( di = a atau (a). Gambar 8 menunjukkan nilai limit dari ungsi ( di = a ada namun tidak sama dengan (a), lim ( L ( a). Limit ungsi ( di titik = a tidak ada sebab nilai limit kanan dari ( di = a tidak sama dengan nilai limit kiri dari ( di = a, diperlihatkan pada Gambar 4, Gambar 6, dan Gambar 8. Gambar 5 dan Gambar 7 memperlihatkan nilai limit dari ( di mendekati a dari arah kiri sama dengan nilai ungsi ( di = a, lim ( ( a). Gambar 5 memperlihatkan nilai limit dari ( di a mendekati a dari kanan sama dengan nilai ungsi ( di = a, lim ( ( a) dan Gambar 7 memperlihatkan bahwa nilai limit kanan maupun nilai limit kiri tidak sama dengan nilai ungsi ( di = a. Kesimpulan yang dapat diambil dari penjelasan tentang limit di atas adalah () Nilai limit sebuah ungsi di suatu titik bisa ada dan tidak ada dan () Bila nilai limit sebuah ungsi ada maka ada dua kemungkinan yaitu nilai limit sama dengan nilai ungsi dan nilai limit tidak sama dengan nilai ungsi. Dalam melakukan perhitungan limit dari ungsi ( di = a dilakukan dengan mensubstitusikan nilai = a terhadap ungsi ( namun sebetulnya nilai yang dimaksud adalah nilai pendekatan. Contoh berikut menjelaskan perhitungan sederhana terhadap limit ungsi berikut, lim a a. Misal (. Untuk mendekati baik dari kanan maupun dari kiri maka nilai ungsi ( mendekati 3 ( 3 3 lim (Gambar 9). Jadi dapat dituliskan. Kita bandingkan penjelasan di atas dengan mensubstitusikan nilai = pada ungsi ( maka akan didapatkan hasil yang sama, yaitu lim lim lim 3 3 Gambar 9 Page 6 o

17 Untuk ungsi sederhana, hal ini dapat dilakukan namun untuk beberapa bentuk ungsi yang lain maka langkah dengan cara mensubstitusikan tidak dapat langsung diterapkan begitu saja. Bagaimana Anda membuat contoh perhitungan limit ungsi yang ternyata cara substitusi menhasilkan jawaban yang salah? Hal ini mungkin dilakukan bila nilai ungsi setelah disubstitusikan terdeinisi, yaitu diperoleh bilangan yang bukan berbentuk nol per nol atau bentuk tak tentu yang lain. Limit dengan bentuk demikian (bentuk tak tentu) akan dibahas pada sub bab selanjutnya. Berikut siat-siat limit ungsi, selanjutnya tugas Anda membuat contoh ungsi ( dan ungsi g( yang memenuhi siat tersebut. Misal lim ( L danlim g( G, maka () lim ( g( L G () lim ( g( L G (3) ( g( LG a ( lim a g( L G, bilag 0 (5) a a a a lim (4) lim n ( n n lim ( L untuk L > 0 bila n genap. Sebagai a a catatan bahwa siat-siat di atas juga berlaku untuk limit sepihak (limit kiri dan limit kanan). Bagaimana cara yang Anda lakukan untuk menguji keberadaan limit dari ungsi, 3 () (, dan () lim? Jelaskan langkah-langkah yang anda, 4 lakukan. Bagaimana cara yang harus Anda lakukan untuk mendapatkan nilai a dan b agar ungsi a ; 3 ( a b ; 3 3 limitnya ada di = - 3 dan = 3? b 5 ; 3 5 Kekontinuan Fungsi Pada pembahasan limit ungsi, nilai limit ungsi di suatu titik kadangkala sama dengan nilai ungsi di titik tersebut. Graik ungsi yang demikian dinamakan graik ungsi yang kontinu. Pengertian ormal dari ungsi kontinu diberikan berikut. Fungsi ( dikatakan kontinu pada suatu titik = a bila nilai limit ( pada mendekati a sama dengan nilai ungsi di = a atau (a). Secara lebih jelas, ( dikatakan kontinu di = a bila berlaku () (a) terdeinisi atau (a) () lim ( ada, lim ( lim ( dan (3) lim ( ( a). Bila minimal salah satu dari a a a a persyaratan di atas tidak dipenuhi maka ( dikatakan tidak kontinu atau diskontinu di = a dan titik = a disebut titik diskontinu. Secara geometris, graik ungsi kontinu tidak ada loncatan atau tidak terputus. Bilamana kita menggambarkan suatu graik ungsi sembarang dengan menggerakkan pensil kita di atas kertas dan tanpa pernah mengangkat pensil tersebut sebelum, selesai maka akan kita dapatkan ungsi kontinu. Perhatikan ungsi ( 3., Untuk menentukan nilai ungsi di = - maka digunakan rumusan ungsi ( = - sehingga nilai ungsi ( di = - yaitu (-) = -3. Kemudian limit sepihak ditentukan sebagai berikut, Page 7 o

18 3 lim ( lim lim 3 4 dan lim ( lim 3. Sebab nilai limit kanan tidak sama dengan nilai limit kiri maka nilai limit ungsi ( di = - tidak ada. Jadi ungsi tidak kontinu di = - atau dapat dikatakan bahwa = - merupakan titik diskontinu dari (. Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan kekontinuan dari ungsi dengan dua aturan seperti contoh di atas dapat dilakukan dengan lebih sederhana. Nilai ungsi ( di = - akan sama dengan nilai limit ( untuk mendekati - dari arah kanan, sehingga kekontinuan ungsi dapat ditentukan apakah nilai ungsi di = - sama dengan nilai limit dari ( untuk mendekati - dari arah kiri. 6 Kekontinuan Fungsi pada Interval Fungsi ( dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) bila ( kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut, Sedangkan ( dikatakan kontinu pada interval tutup [a,b] bila () ( kontinu pada (a,b), () ( kontinu kanan di = a lim ( ( a) dan (3) ( kontinu kiri a di = b lim ( ( b). Bila ( kontinu untuk setiap nilai maka dikatakan ( kontinu b atau kontinu dimana-mana. Bagaimana cara menetukan nilai k agar ungsi k, ( kontinu di = -? Jelaskan langkah-langkah yang Anda buat., 7 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Dalam sub bab ini pengertian limit tak hingga dan limit di tak hingga dijelaskan secara intuisi diberikan melalui contoh berikut. Misal diberikan ungsi. Maka Nilai ungsi ( untuk beberapa nilai yang mendekati baik dari kanan maupun dari kiri diberikan pada tabel berikut,... 0,9 0,99 0, ,00,0,... ( td Catatan: td = tidak terdeinisi Page 8 o

19 Gambar 0 Menggunakan table di atas atau Gambar 0, maka nilai ungsi ( menuju tak hingga () untuk mendekati dari kanan, sedangkan menuju minus tak hingga (-) untuk mendekati dari kiri. Pengertian tersebut dapat dinotasikan dengan limit sebagai berikut, lim ( dan lim ( Bila maka nilai ungsi ( untuk mendekati darin arah kanan maupun arah kiri diberikan pada table berikut,... 0,9 0,99 0, ,00,0,... ( td Catatan: td = tidak terdeinisi Gambar Menggunakan tabwel di atas atau Gambar, maka didapatkan nilai limit kiri dan limit kanan dari ungsi ( untuk mendekati yaitu lim ( dan lim (. Karena nilai limit kanan dan nilai limit kiri dari ( di = sama maka nilai limit ungsi ( di = ada dan dituliskan lim (. Bentuk limit tersebut dinamakan limit tak hingga, yaitu nilai ungsi ( untuk mendekati sama dengan tak hingga (). 3 Misal diberikan limit berikut, lim. Nilai dari pembilang untuk mendekati 3 dari 3 3 arah kanan adalah mendekati 6, sedangkan nilai penyebut akan mendekati negati bilangan yang sangat kecil. Bila 6 dibagi oleh bilangan negati kecil sekali akan menghasilkan bilangan yang 3 sangat kecil. Jadi lim. 3 3 Page 9 o

20 8 Limit di Tak Hingga Bentuk limit di titik mendekati tak hingga diilustrasikan berikut. Misal diberikan ungsi, maka nilai ungsi ( untuk beberapa nilai diberikan pada tabel berikut ( 0, 0,0 0,00 0, Gambar Dari table dia atas atau Gambar, untuk nilai semakin besar (cukup besar = menuju tak hingga) maka nilai ungsi akan mendekati nol. Hal ini dikatakan limit dari ungsi ( untuk mendekati tak hingga ada (sama dengan nol) dan dinotasikan: lim 0. Sedangkan untuk semakin kecil (cukup kecil = menuju minus tak hingga) maka nilai ungsi ( juga akan menedekati nol. Hal ini dikatakan limit dari ungsi ( untuk mendekati tak hingga ada dan dinotasikan: lim 0. Graik ungsi ( yang ditunjukkan pada Gambar, nampak nilai ungsi menuju nol untuk semakin besar atau semakin kecil. Bila diberikan ungsi maka nilai ungsi ( untuk semakin besar dan semakin kecil diberikan pada tabe; berikut ( 0, 0,0 0,00 0, Page 0 o

21 Gambar 3 Graik ungsi ditunjukkan pada Gambar 3. Dengan menggunakan tabel di atas atau Gambar 3 maka dapat disimpulkan bahwa nilai limit ungsi ada dan sama dengan nol untuk menuju tak hingga atau minus tak hingga, dinotasikan dengan, lim 0 dan lim 0 nb n,. Secara umum, limit ungsi dari untuk mendekati tak hingga atau minus tak hingga sama dengan nol, dituliskan dengan () lim 0 n lim n 0. Bila ( merupakan ungsi rasional, misal dan () p( ( dengan p( dan q( merupakan q( polinom maka untuk menyelesaikan limit di tak hingga dari ( dilakukan dengan cara sebagai berikut, Untuk Pangkat p( pangkat q(. Dilakukan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat pangkat tertinggi yang terjadi di penyebut. Untuk Pangkat p( > pangkat q(. Dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebut terlebih dahulu sehingga diperoleh suku rasional dengan pangkat pembilang kurang dari atau sama dengan pangkat penyebut, kemudian baru ditentukan nilai limitnya. 3 Berikut cara menerapkan metode di atas. Untuk menghitung limit lim 3, caranya bagilah ungsi pembilang dengan ungsi penyebut. Berapakah hasil yang diperoleh? Hasil yang Anda peroleh mestinya berupa dua suku. Suku pertama berupa polinom dan suku kedua berupa ungsi rasional. Masing-masing Anda hitung limitnya, hasilnya anda jumlahkan sehingga ketemu nilai limit tersebut. Bagaimana detail perhitunggannya? Page o

22 Beberapa pengertian dari nilai mutlak dapat diterapkan untuk menghitung limit ungsi seperti lim dan lim. Siat nilai mutlak yang mana yang digunakan untuk 4 4 menyelesaikan limit teserbut? Jelaskan. Selanjutnya hitung nilai limit tersebut. Page o

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. Kalkulus Dasar 2

Pengertian Fungsi. Kalkulus Dasar 2 Funsi Penertian Funsi Relasi : aturan an menawankan himpunan Funsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu unsi jika setiap elemen di dalam A dihubunkan denan tepat satu elemen

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional?

Sistem Bilangan Real. Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional? Oleh: Endang Ded Sistem Bilangan Real Apa ang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional? Bilangan Real adalah bilangan-bilangan ang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK KED. Fungsi Bukan Fungsi Definisi

FUNGSI DAN GRAFIK KED. Fungsi Bukan Fungsi Definisi FUNGSI DAN GRAFIK Deinisi Funsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan nilai ya diperoleh

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK KED

FUNGSI DAN GRAFIK KED FUNGSI DAN GRAFIK 1.1 Pendahuluan Deinisi unsi adalah suatu aturan padanan yan menhubunkan tiap objek x dalam satu himpunan, yan disebut daerah asal, denan sebuah nilai unik x dari himpunan kedua. Himpunan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id ekop2003@yahoo.com Materi Fungsi ( deinisi, daerah asal dan daerah hasil ) Fungsi Surjekti, Injekti, Bijekti dan Invers Operasi Pada Fungsi dan Fungsi

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA

3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3. FUNGSI DAN GRAFIKNYA 3.1 Pengertian Relasi Misalkan A dan B suatu himpunan. anggota A dikaitkan dengan anggota B berdasarkan suatu hubungan tertentu maka diperoleh suatu relasi dari A ke B. : A = {1,

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Materi ke-4 eko@uns.ac.id Materi Fungsi Fungsi Surjekti, Fungsi Injekti, dan Fungsi Bijekti Operasi Pada Fungsi Fungsi Invers Fungsi Komposisi Graik Fungsi Dalam Sistem Koordinat

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA

Pembahasan Soal SIMAK UI 2012 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Matematika IPA Pembahasan Soal SIMAK UI 0 SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA Disusun Oleh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pembahasan

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS Jika A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong, fungsi f dari A ke B; f : A B atau A f B adalah cara pengawanan anggota A dengan anggota B yang memenuhi aturan setiap

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :

4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : 4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota

Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota Suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B disebut ungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan

Lebih terperinci

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat BAB II BAB II Misalkan a,b,c Є R dan a 0 maka persamaan yang berbentuk dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax bx c 0, a adalah koefisien dari x, b adalah koefisien dari x dan c

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya BAB I A. SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan real dan berbagai sifatnya merupakan basis dari kalkulus. Sistem bilangan real terdiri dari himpunan unsur yang dinamakan Bilangan Real yang sering dinyatakan

Lebih terperinci

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)

OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2009 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Waktu : 210 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks

Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI ANALITIK

BAB II FUNGSI ANALITIK BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan

Lebih terperinci

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR Telp. 051-84411, email: prohumasi@smkwikrama.net, FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Pembahasan : 1. Pengertian ungsi, daerah asal daerah hasil Fungsi merupakan Daerah Asal : Suatu ungsi : A B, dengan daerah

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

KISI-KISI UJIAN SEKOLAH TAHUN 2016

KISI-KISI UJIAN SEKOLAH TAHUN 2016 KISI-KISI UJIAN SEKOLAH TAHUN 2016 MATA PELAJARAN : MATEMATIKA WAJIB Penyusun : Team MGMP Matematika JENJANG : SMA SMA DKI Jakarta KURIKULUM : Kurikulum 2013 No Urut Kompetensi Dasar Bahan Kls/Smt Materi

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.

Lebih terperinci

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran

matematika TURUNAN TRIGONOMETRI K e l a s A. Rumus Turunan Sinus dan Kosinus Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran Kurikulum 006/03 matematika K e l a s XI TURUNAN TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan rumus turunan trigonometri

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci