TRANSFORMASI BILINEAR

Transkripsi

1 TRANSFORMASI BILINEAR Di susun untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibimbing oleh Ibu Indriati Nurul H. KELOMPOK 7 Anggota: Maharani Kusuma Arumsari ( ) Andrie Kurniawan ( ) Herlin Dwi Kartikasari ( ) Erlina Tri Susianti ( ) MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG November 011

2 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kelompok lain yang penting dari pemetaan elementer dipelajari oleh Ferdinand Bilinear Agustus ( ). Pemetaan ini dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua ekspresi linear dan biasanya dikenal sebagai transformasi bilinear atau pecahan linier. Mereka muncul secara alami dalam masalah pemetaan yang melibatkan fungsi arctan (). Transformasi Bilinear didefinisikan pada bidang kompleks perluasan (yaitu bidang kompleks ditambah dengan titik di tak terhingga) yaitu. Bidang perluasan komplek ini dapat dianggap sebagai suatu bidang. Transformasi tersebut adalah bentuk paling umum dari pemetaan konformal dari domain. Sebuah transformasi bilinear dapat dinyatakan sebagai transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan invers. Beberapa sifat-sifat pada transformasi bilinear analog pada transformasi kebalikan. Kemudian transformasi bilinear dapat ditentukan bahwa transformasi tersebut memiliki dua titik tetap. Dalam makalah ini akan dijelakan bagaimana bidang perluasan dapat terbentuk pada transformasi bilinear. Serta akan ditunjukkan bahwa transformasi bilinear dapat dinyatakan dalam transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan inversnya yang juga merupakan transformasi bilinear. Dan akan ditentukan bahwa transformasi bilinear memiliki sifat-sifat yang salah satunya akan analog dengan transformasi kebalikan. Pada transformasi bilinear akan ditentukan bagaimana mencari titik tetapnya. B. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud transformasi bilinear?. Bagaimana contoh dan non contoh dari transformasi bilinear? 3. Bagaimana sifat-sifat dan bukti dari transformasi bilinear? 4. Bagaimana teorema, bukti teorema, dan contoh penggunaan dalam soal dari transformasi bilinear?

3 C. Tujuan 1. Mengetahui definisi transformasi bilinear pada bidang kompleks.. Dapat membedakan contoh dan noncontoh dari trasnformasi bilinear. 3. Mengetahui sifat-sifat transformasi bilinear beserta buktinya. 4. Mengetahui teorema dan buktinya dari transformasi bilinear serta penggunaannya dalam soal.

4 BAB II PEMBAHASAN A. Definisi Transformasi bilinier a b Pemetaan w, dengan dinamakan transformasi c d bilinear. Keterangan: 1. Dalam hal, maka transformasi bilinier akan menjadi transformasi (fungsi) konstan.. Untuk selanjutnya, diasumsikan bahwa untuk menghindari transformasi bilinier berubah menjadi transformasi linier. Syarat agar tidak menjadi linear karena jika maka 3. Persamaan bilinier ini memetakan bidang- diperluas dalam bentuk satu-satu ke bidang w diperluas; titik perkecualian pada pemetaan ini adalah yang dipetakan ke dan yang dipetakan ke

5 Oleh karena itu, agar pada analitik dank arena maka untuk kita petakan ke a b w c d w( c d) a b wc wd a b wc a b wd ( cw a) dw b dw b cw a Maka untuk nilai invers transformasinya diberikan Kita dapat memperluas ke pemetaan dalam bidang kompleks diperluas. Nilai dapat ditentukan dari nilai limit untuk. Oleh karena itu, dan inversnya adalah ( ). Dengan cara yang sama, nilai diperoleh dengan

6 dan inversnya adalah ( ). Dengan perluasan kita simpulkan bahwa transformasi adalah pemetaan satu-satu dari bidang komplek diperluas ke bidang komplek diperluas. B. Contoh Transformasi Bilinear w Alasan: 1 a 1, b 0, c 1, d 1 c 1 0, ad bc C. Bukan Contoh Transformasi Bilinear w 1 Alasan : a 1, b 0, c 0, d 1 c 0 menjadikan persamaan linear ad bc 0 menjadikan fungsi konstan D. Sifat-Sifat dan Teorema pada Transformasi Bilinear 1. Pemetaan bilinier merupakan gabungan dari fungsi-fungsi berikut Dengan demikian, transformasi bilinier merupakan gabungan dari transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier sekali lagi.

7 Bukti: b a ( ) a b w f ( ) a c d d c ( ) c d d b d b a( ) a( ) a c c a c a d d c( ) c c( ) c c d d b d b a( ) a( ) c c a a c a d d c( ) c c( ) c c ad b a c a ( bc ad) c c( c d) c c( c d) Diperoleh komposisi. Analog dengan transformasi kebalikan, maka transformasi bilinier juga memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran. Bukti: Bukti didasarkan pada dua kenyataan sebagai berikut: (a). Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari tiga fungsi berikut, dalam urutan yang diberikan Jadi pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear diikuti dengan pemetaan kebalikan, kemudian sekali lagi dengan pemetaan linear. (b). Pemetaan linear merupakan transformasi sama dan transformasi kebalikan memetakan garis-garis dan lingkaran-lingkaran ke garis-garis atau lingkaranlingkaran. Kenyataan-kenyataan diatas dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu garis atau lingkaran, katakanlah pada bidang oleh fungsi pertama dalam (a) akan diputar, diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran, selanjutnya oleh fungsi yang kedua hasilnya akan dibalikkan menjadi garis atau lingkaran dan akhirnya oleh fungsi yang ketiga akan diputar, diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran.

8 3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap, yang merupakan akar-akar persamaan. Bukti: misalkan w, sehingga a b c d ( c d) a b c d a b c d a b 0 c d a b ( ) 0 1, dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh akar-akarnya ( ) ( ) 4 a d a d bc c 4. Invers dari transformasi bilinier transformasi bilinier. Bukti: a b w c adalah dw b yang juga merupakan d cw a a b w c d w( c d) a b wc wd a b wc a b wd ( cw a) dw b dw b cw a 5. Teorema Jika 1 3 sebarang titik pada bidang-z dan w 1 w w 3 sebarang titik pada bidang-w, maka terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan i ke w i dengan i=1,,3 adalah ( w w1 )( w w3 ) ( 1)( 3) ( w w )( w w ) ( )( ) Bukti:

9 Misal: dengan Maka,

10 Bentuk pecahan di atas dikenal sebagai pecahan silang dari titik-titik dan. Bila dikalikan silang, maka persamaan di atas menjadi Dengan melakukan penyederhanaan, persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk Bukti : w w w w w w w w ( w w1 )( w w3 ) ( 1)( 3) ( w w )( w w ) ( )( ) w( w w w ( w w w )) w( w w w ( w w w )) ( w w w w w w ( w w w w w w )) ( w w w w w w ( w w w w w w ))

11 misalkan : a w w w w w w ( w w w w w w ) b w w w w w w ( w w w w w w ) c w w w ( w w w ) d w w w ( w w w ) maka diperoleh wc wd a b 0 cw dw a b 0 cw dw a b w( c d) a b a b w c d Contoh 1: Di bawah pemetaan bilinier setengah bidang dipetakan ke dalam lingkaran satuan. Penyelesaian : Pemetaan dapat dinyatakan sebagai gabungan fungsi-fungsi Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1. Diputar sebesar, didilatasi, dan ditranslasi sejauh..

12 ( ) Daerah dalam lingkaran dengan pusat dan jari-jari 3. Diputar sebesar, di dilatasi, dan ditranslasi sejauh 1. Perhatikan Gambar

13 Contoh ( Penggunaan Teorema ) Tentukan suatu transformasi bilinier yang memetakan titik-titik berturu-turut ke titik-titik. Penyelesaian : Dengan memasukan nilai-nilai dan, pada persamaan (*), diperoleh Yang menghasilkan transformasi bilinier E. Soal-Soal dari Buku Paliouras 14.1) Carilah bayangan setiap titik 0, 1, -1, i, i di bawah pemetaan Jawab untuk 0, i(0) w 0 i i i i i i 1 untuk = 1, i(1) w 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 3i ( ) i w i

14 untuk = i, ( ii ) w i i 1 i 3 i i i 3 i untuk =- i, ( i)( i) w i i tidak terdefinisi, oleh karena itu i dipetakan ke w 0

15 14.) Carilah titik-titik tetap pada transformasi a. b. i i w i misalkan w i i i ( i) i i i i i i 0 i i ( ) 0 4 i i ( )( ) 0 i i i i ( ) ( ) ( )( ) 0 i i ( ( ))( ( )) 0 w 1 misalkan w 1 ( 1) 0 ( (1 i))( (1 i)) 0 (1 i) i 14.3) Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0, 1, dan i, ke -1, 0, dan i. misalkan 0 w w 0 i w i 3 3

16 ( w w1 )( w w3 ) ( 1)( 3) ( w w )( w w ) ( )( ) ( w 1)( i) (1 i) ( w i) ( i) ( i)( w i) ( i)( wi i) w w 1 w w 1 w( 1) 1 1 w I( ) w 14.4) Carilah bayangan garis di bawah pemetaan i i Penyelesaian: Misalkan,, dan. Diperoleh pengaitannya adalah Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1. Dibawah pemetaan, merotasikan sebesar, diperbesar dengan faktor, dan digeser dengan vektor.. Dibawah pemetaan, garis dipetakan kebagian dalam lingkaran

17 ( ) ( ) Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari 3. Dibawah pemetaan, merotasikan t sebesar, diperbesar dengan faktor, dan digeser dengan vektor. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut )

18 14.5 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang mempunyai tepat satu titik tetap Penyelesaian : w 1 misalkan w 1 ( 1) Jadi w 1 memiliki satu titik tetap yaitu Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang tidak mempunyai titik tetap Penyelesaian : w 1 untuk mencari titik tetap, misal w 1 jadi w 1 tidak punya titik tetap. w 3 untuk mencari titik tetap, misal w 3 Tidak mempunyai titik tetap jadi w 3 tidak punya titik tetap Buktikan bahwa jika ad bc 0, maka (1) berubah menjadi pemetaan konstan jika ad bc 0 ad bc maka bc a d bc b a b d c d c d bc bd dc d b c d ( ) d c d b bernilai konstan d

19 d 14.8 Buktikan bahwa pemetaan bilinear kontinu pada semua c d Jika c Maka pemetaanya adalah a b w c d d a( ) b c d c( ) d c ad b c d d ad b c TD 0 d sehingga mengakibatkan bukan pemetaan bilinear kontinu c 14.9 Carilah bayangan setengah bidang dibawah pemetaan Penyelesaian: Misalkan,, dan. Diperoleh pengaitannya adalah Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 4. Dibawah pemetaan, setiap titik pada setengah bidang yang diberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor

20 (tidak berubah), dan digeser dengan vektor (-1) sehingga menghasilkan setengah bidang 5. Dibawah pemetaan setengah bidang dipetakan kebagian dalam lingkaran ( ) ( ) Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari 6. Dibawah pemetaan, bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua akan diputar dengan sudut sebesar arg(1)=0, diperbesar dengan faktor, dan digeser dengan vektor 1. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah 0 0 -i 0 1 0

21 14.10 Carilah bayangan setengah bidang dibawah pemetaan Penyelesaian: Misalkan,, dan. Diperoleh pengaitannya adalah Pemetaaan ini dilaksanakan dalam tiga tahap, sebagai berikut 1. Dibawah pemetaan, setiap titik pada setengan bidang yang diberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor (tidak berubah), dan digeser dengan vektor sehinggan menghasilkan setengah bidang. Dibawah pemetaan setengah bidang dipetakan kebagian dalam lingkaran ( ) ( ) Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari

22 3. Dibawah pemetaan bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua akan diputar dengan sudut sebesar, diperbesar dengan faktor, dan di geser dengan vektor 1. Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut

23 i

24 BAB III PENUTUP Kesimpulan a b Pemetaan w, dengan dinamakan transformasi bilinear. c d Sifat-sifat pada transformasi bilinear antara lain 1. Analog dengan transformasi kebalikan (memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran).. Pemetaan bilinier merupakan gabungan (komposisi) dari beberapa fungsi. 3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap. 4. Invers dari transformasi bilinier juga merupakan transformasi bilinier.

25 DAFTAR PUSTAKA Paliouras, John D Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Terjemahan Wibisono Gunawan. Jakarta : Erlangga. Dedy, E., Encum Sumiaty Fungsi Variabel kompleks. Bandung : JICA Wikipedia, 011. Möbius transformation [online] Diakses tanggal 9 Oktober 011