SRI REDJEKI KALKULUS I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "SRI REDJEKI KALKULUS I"

Transkripsi

1 SRI REDJEKI KALKULUS I

2 KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih besar yang disebut himpunan bilangan bulat :, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, n Himpunan bilangan bulat masih merupakan himpunan bagian dari klas himpunan yang lebih besar yang disebut bilangan rasional. Bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat. Sebagai contoh adalah : n 2, 7, 6, 0, 5 (= -5 = 5 ) n

3 " Bilangan irrasional adalah bilanganbilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan bilangan bulat. Contoh bilangan irasional : " 3, 5, 1 + 2, 3 7, π, cos 19 " Bilangan rasional dan irasional bersamasama membangun suatu klas bilangan yang lebih besar yang disebut bilangan riil atau kadang disebut system bilangan riil.

4 PEMBAGIAN DENGAN NOL Pada perhitungan dengan bilangan riil, pembagian dengan nol tidak pernah diperkenankan karena hubungan dalam bentuk y = p/0 akan mengakibatkan 0. y = p

5 BILANGAN KOMPLEKS Karena kuadrat suatu bilangan riil tidak negatif, persamaan : 2 = -1 i = -1 didefinisikan memiliki sifat i2 = -1. Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang berbentuk : a + bi dengan a dan b bilangan riil. Beberapa contohnya adalah : 2 + 3i [a = 2, b = 3] 3 4i [a = 3, b = -4] 6i [a = 0, b = 6] 2 [a = 2, b = 0]

6 REPRESENTASI DESIMAL DARI BILANGAN RIIL Bilangan rasional dan bilangan irrasional dapat dibedakan berdasarkan bentuk penyajian desimalnya. 4 = 1.333, [3 berulang] 3 3 = , [27 berulang] 11 5 = , [ berulang] 7 Desimal berulang yang memuat nol setelah beberapa titik disebut desimal terakhir. 1 =.50000, 12 = , 8 =

7 GARIS KOORDINAT " Geometri analitik adalah suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya, kurva geometri dengan rumus aljabar. " Dalam geometri analitik, langkah kuncinya adalah menentukan hubungan bilangan real dengan titik pada garis, hal ini dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan yang lain sebagai arah negatif.-+titik Asal " Bilangan riil yang bersesuaian dengan titik pada garis disebut koordinat dari titik tersebut. " Pada gambar diberi tanda tempat titik-titik dengan koordinat 4, -3, -2,75, -1/2, 2, π, dan 4. Tempat dari 2 merupakan hampiran yang diperoleh dari hampiran desimalnya yaitu π 3.14 dan " /2 2 "

8 SIFAT-SIFAT URUTAN KETIDAKSAMAAN : 1. a < b atau b > a Interpretasi geometri : a sebelah kiri b Ilustrasi : a b 2. a b atau b a Interpretasi geometri : a sebelah kiri b atauberimpit dengan b Ilustrasi : a b a b 3. 0 < a atau a > 0 Interpretasi geometri : a sebelah kanan titik asal Ilustrasi : 0 a Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal

9 4. a < 0 atau 0 > a Interpretasi geometri : a sebelah kiri titik asal Ilustrasi : a 0 5. a < b < c Interpretasi geometri : a sebelah kiri b dan b sebelah kiri c Ilustrasi : a b c Simbol a < b c artinya a < b dan b c. Silahkan menyimpulkan arti symbol-simbol seperti : a b < c, a b c dan a < b < c < d Ketidaksamaan berikut adalah benar : 3 < 8, -7 < 1.5, -12 π, 5 5, , 1.5 > -7, -π > -12, 5 5, 3 > 0 > -1.

10 TEOREMA 1.1 Misal a, b, c, dan d bilangan riil : a) Jika a < b dan b < c, maka a < c b) Jika a < b, maka a + c < b + c dan a c < b c c) Jika a < b, maka ac < bc untuk c positif dan ac > bc untuk c negatif d) Jika a < b dan c < d, maka a + c < b + d e) Jika a dan b keduanya positif atau keduanya negatif dan a < b, maka 1/a > 1/b

11 Jika arah suatu ketidaksamaan menyatakan maknanya, maka bagian (b)-(e) teorema di atas dapat diuraikan secara informal sebagai berikut : b) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. c) Ketidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya digandakan dengan bilangan positif yang sama, tetapi ketidaksamaan berbalik arah jika kedua sisinya digandakan dengan bilangan negatif yang sama. d) Ketidaksamaan dengan tanda yang sama dapat dijumlahkan. e) Jika kedua sisi ketidaksamaan mempunyai tanda yang sama, maka tanda ketidaksamaannya akan berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang berlawanan pada setiap sisinya.

12 Pernyataan dlm teorema 1.1 diilustrasikan : n 1. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 n Operasi : kedua sisi ditambah dengan 7 n Ketidaksamaan hasil : 5 < 13 n 2. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 n Operasi : kedua sisi dikurangi dengan 8 n Ketidaksamaan hasil : -10 < -2 n 3. Ketidaksamaan awal : -2 < 6 n Operasi : kedua sisi digandakan 3 n Ketidaksamaan hasil : -6 < 18 n 4. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 n Operasi : kedua sisi digandakan 4 n Ketidaksamaan hasil : n 5. Ketidaksamaan awal : 3 < 7 n Operasi : kedua sisi digandakan 4 n Ketidaksamaan hasil : -12 > -28

13 PENYELESAIAN KETIDAKSAMAAN n Penyelesaian ketidaksamaan dalam yang tidak diketahui merupakan nilai untuk yang membuat ketidaksamaan itu sebagai pernyataan yang benar. Sebagai contoh = 1 merupakan penyelesaian dari ketidaksamaan < 5, tetapi = 7 bukan merupakan penyelesaian. n Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu ketidaksamaan disebut menyelesaikanketidaksamaan. n Contoh : Selesaikan n Penyelesaian : akan digunakan operasi dalam teorema 1.1 dengan mengumpulkan pada satu sisi ketidaksamaan n [diberikan] n [kurangkan 3 dari kedua sisi] n 5-12 [kurangkan 2 dari kedua sisi] n - 12 [gandakan kedua sisi dengan 1/5] n 5 n krn sudah tidak dapat digandakan dgn yang mengandung, ketidaksamaan (1)=(4). Jadi himpunannya berupa selang (-, - 12/5) n -12 n 5

14 Contoh : Selesaikan < 9

15 NILAI MUTLAK n Nilai mutlak atau magnitude suatu bilangan riil a dinotasikan dengan a dan didefinisikan dengan : n a = +a jika a 0 n -a jika a < 0 n Contoh : n 5 = +5 [karena 5 > 0] n -4/7 = -(-4/7) = + 4/7 n [karena 4/7 < 0] n 0 = +0 [karena 0 0]

16 Pengambilan nilai mutlak pada sebuah bilangan berakibat pada hilangnya tanda minus jika bilangan negatif dan tidak berubah jika bilangan itu tak-negatif. Jadi a merupakan bilangan tak-negatif untuk semua nilai a dan - a a a

17 HUBUNGAN ANTARA AKAR KUADRAT DAN NILAI MUTLAK n Bilangan yang kuadratnya adalah a disebut akar kuadrat dari a. Setiap bilangan riil positif a mempunyai dua akar kuadrat riil, satu positif dan satu negatif. Akar kuadrat positif dinotasikan dengan a. n Sebagai contoh, bilangan 9 mempunyai dua akar kuadrat 3 dan 3. Karena 3 merupakan akar kuadrat positif, diperoleh 9 = 3. Sebagai tambahan didefinisikan 0 = 0.

18 n Terdapat kesalahan yang umumnya pada penulisan a2 = a. Meskipun persamaan ini benar apabila a tak negatif, tetapi salah untuk a negatif. Sebagai contoh jika a = -4, maka : n a2 = (-4)2 = 16 = 4 a n Teorema : Untuk setiap bilangan riil a n n a2 = a n Bukti : Karena a2 = (+a)2 = (-a)2, maka bilangan +a dan a merupakan akar-akar kuadrat dari a2. Jika n a 0, maka +a merupakan akar kuadrat tak-negatif dari a2, dan jika a < 0, maka a akar kuadrat tak-negatif dari a2, sehingga diperoleh n a2 = +a jika a 0 n a2 = - a jika a < 0 n Jadi a2 = a.

19 SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK n Teorema : Jika a dan b bilangan riil, maka n (a) -a = a Suatu bilangan dan negatifnya mempunyai nilai mutlak sama n (b) ab = a b Nilai mutlak dari perkalian merupakan perkalian nilai mutlak n (c) a/b = a / b Nilai mutlak dari perbagian merupakan pembagian nilai mutlak n Bukti (a) : -a = (-a)2 = a2 = a n Bukti (b) : ab = (ab)2 = a2b2 = a2 b2 = a b

20 KETIDAKSAMAAN SEGITIGA Secara umum tidak selalu benar bahwa a + b = a + b Sebagai contoh, jika a = 2 dan b = -3, maka a + b = -1, sehingga a + b = -1 = 1 Sedangkan ; a + b = = = 5 Jadi a + b a + b. Akan tetapi, benar bahwa nilai mutlak suatu jumlahan selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah nilai mutlak. Hal ini merupakan isi teorema yang sangat penting, yang dikenal dengan ketidaksamaan segitiga.

21 Teorema (Ketidaksamaan Segitiga) : Jika a dan b sebarang bilangan riil, maka a + b a + b Bukti :- a a a dan - b b b Dengan menambahkan kedua ketidaksamaan tersebut didapat -( a + b ) a + b ( a + b )

22 INTERPRETASI GEOMETRIK DARI NILAI MUTLAK Notasi nilai Mutlak muncul secara alamiah dalam masalah jarak. Karena jarak tak negatif, maka jarak d antara A dan B adalah : b a jika a < b d = a b jika a > b 0 jika a = b A B B A a b b a b-a a-b (1) b-a = positif, jadi b-a = b-a (2) b-a = negatif, jadi a-b = -(b-a) = b-a

23 n Rumus Jarak ; TEOREMA 1.5 n Jika A dan B titik titik pada suatu garis koordinat yang masing-masing mempunyai koordinat a dan b, maka jarak d antara A dan B adalah ; n d = b - a n Rumus diatas memberikan interpretasi geometrik yang berguna untuk beberapa ekspresi matematika yang umum dan dapat dituliskan sbb ;

24 TABEL RUMUS JARAK EKSPRESI INTERPRE GEOMETRIK PADA GRS KOORDINAT - a Jarak antara dan a + a Jarak antara dan a (krn +a = -(-a) ) Jarak antara dan titik asal (karena = -0 ) Ketidaksamaan dalam bentuk -a < k dan -a > k, sering digunakan, sehingga dijabarkan lagi dlm tabel berikut ; Ketidak Interpretasi Gambar Bentuk Alternatif Himpunan Samaan geometrik ketidaksamaan penyelesain (k>0) -a <k didlm k k k -k<-a<k (a-k, a+k) satuan dr a a-k a a+k -a >k lebih dr k k -a<-k atau (-,a-k) U k stn dr a a-k a a+k -a>k (a+k, + ) Dlm tabel diatas, < dapat diganti dgn dan > dgn, yaitu titik2 terbuka diganti dgn titik2 tertutup dlm ilustrasi diatas

25 l Selesaikan ; - 3 <4 l Contoh ; Penyelesaian : ketidaksamaan tsb ditulis kembali sebagai l -1 < < 7-4 < 3 < 4 (+3) l dlm notasi selang ;(-1,7) l l Selesaikan : l Penyelesaian : ketidaksamaan dpt ditulis kembali l l atau atau lebih sederhana atau l l

26 BIDANG KOORDINAT DAN GRAFIK SISTEM KOORDINAT SIKU-SIKU Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut sistem koordinat Cartesian) merupakan pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian sehingga keduanya berpotongan di titik asal. Biasanya, salah satu garis tersebut horizontal dengan arah positif ke kanan, dan yang lain vertical dengan arah positif ke atas. titik asal sumbu-y sumbu-

27 *KOORDINAT GRAFIK Kuadran II Kuadran III Kuadran I Kuadran IV ( -, + ) ( +, + ) ( -, - ) ( +, - )

28 Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = 2 Himpunan penyelesaian dari y = 2 mempunyai tak hingga banyak anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya y = 2 (, y) (0, 0) (1, 1) (2, 4) (3, 9) (-1, 1) (-2, 4) (-3, 9) Sebaiknya diingat bahwa kurva dalam gambar di atas hanyalah hampiran grafik y = 2. Pada umumnya, hanya dengan cara kalkulus bentuk grafik yang benar dapat diketahui dengan pasti.

29 Contoh : Buatlah sketsa grafik dari y = 3 8 y -2 2 y = 3 (, y) (0, 0) (1, 1) (2, 8) (-1, -1) (-1, 1) -8

30 PERPOTONGAN Perpotongan grafik dengan sumbu- berbentuk (a, 0) dan perpotongan dengan sumbu-y berbentuk (0, b). Bilangan a tersebut dinamakan perpotongan- dari grafik dan bilangan b dinamakan perpotongan-y. Contoh : Dapatkan semua perpotongan- dan perpotongany dari (a) 3 + 2y = 6, (b) = y2 2y, (c) y = 1/ Penyelesaian (a) : Untuk mendapatkan perpotongan-, berikan y = 0 dan diselesaikan untuk : 3 = 6 atau = 2 Untuk mendapatkan perpotongan-y diberikan = 0 dan diselesaikan untuk y : 2y = 6 atau y = 3

31 Grafik dari 3 + 2y = 6 merupakan garis seperti ditunjukkan dalam gambar. (0, b) perpotongan-y (a, 0) perpotongan y = 6 2

32 GRAFIK DENGAN SKALA TIDAK SAMA Sebagai contoh, y = 3 untuk nilai antara 10 dan 10, akan mempunyai mempunyai nilai y antara (-10)3 = -1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau halaman cetak; satusatunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama 8 y 140 y

33 KATALOG GRAFIK-GRAFIK DASAR y y y = 2 y y = - 2 y = y 2 = -y 2 y y y = y = -

34 y y y = 3 y = 3 y y y = 1/ y = -1/

35 GARIS o *Kemiringan o Dalam pengamatan, tanjakan atau kemiringan suatu bukit didefinisikan sebagai perbandingan jarak horisontal (run) dengan ketinggian (rise). y P 2 ( 2, y 2 ) y2 y1 P 1 ( 1, y 1 ) (rise) 2 1 (run)

36 Definisi ; Jika P1(1,y1) dan P2(2,y2) adalah titik-titik pada bidang koordinat maka kemiringan m dari garis tersebut didefinisikan dengan m= rise = y2-y1 run 2-1 n Definisi diatas; tidak diterapkan untuk garis vertikal. Untuk garis vertikal akan diperoleh 2=1, sehingga memuat perbandingan dengan nol. Kemiringan garis vertikal tidak didefinisikan. Garis vertikal mempunyai kemiringan tak hingga

37 Contoh ; Pada tiap bagian tentukan kemiringan dan garis yang melalui (a) titik (6,2) dan titik (9,8) (b) titik (2,9) dan titik (4,3) (c) titik (-2,7) dan titik (5,7) n Penyelesaian n (a) m = 8-2/9-6 = 6/3 = 2 n (c) m = 7-7/5-(-2) = 0/7 = 0 n (b) m = 3-9/4-2 = -6/2 = -3 y P 2 ( 2, y 2 ) P 2 ( 2, y 2 ) y 2 y 1 P 1 ( 1, y 1 ) 2 1 P 1 ( 1, y 1 ) 2 1 Q y 2 y 1 Q

38 PERSAMAAN UMUM GARIS l Suatu persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk l A + By + C = 0 l disebut persamaan derajat-pertama dalam dan y. Sebagai contoh, l 4 + 6y 5 = 0 l adalah persamaan derajat-pertama dalam dan y karena memiliki bentuk sesuai di atas dengan l A = 4, B = 6, C = -5 l Teorema : Setiap persamaan derajat-pertama dalam dan y mempunyai grafik berupa garis lurus, sebaliknya, setiap garis lurus dapat disajikan oleh suatu persamaan derajat-pertama dalam dan y. l Bentuk persamaan A + By + C = 0 kadang disebut persamaan umum dari suatu garis atau persamaan linear dalam dan y.

39 Contoh : Gambarkan grafik persamaan 3 4y + 12 = 0 y (0, 3) (-4, 0) 3 4y + 12 = 0

40 FUNGSI *KONSEP FUNGSI Luas lingkaran bergantung pada jari-jari r dengan persamaan A = πr2, sehingga dikatakan A fungsi dari r. Sebagai contoh, y = mendefinisikan y sebagai fungsi dari sebab setiap nilai yang diberikan pada menentukan tepat satu nilai y. y = f () (dibaca y sama dengan f dari ) menyatakan bahwa y adalah fungsi dari. Besaran pada persamaan di atas disebut peubah bebas dari f dan y peubah tak bebas dari f.

41 " Contoh 1 : Jika f () = 3 4 maka " f (0) = = - 4 " f (1) = (3.1) 4 = -1 " f (2) = (3.2) 4 = 2 " f (-3) = (3.-3) 4 = -13 " f ( 5) = (3. 5) 4 = " Contoh 2 : Jika Φ() = 1 maka " 3 1 " Φ(3 7) = 1 = 1 = 1/6 " (3 7) " Φ(5 1/6 ) = 1 = 1 " (5 1/6 )

42 PEMBALIKAN PERAN DAN y " Sebagai contoh, = 4y 5 2y 3 + 7y 5 " merupakan bentuk = g(y) ; yaitu sebagai fungsi dari y. y dipandang sebagai peubah bebas dan sebagai peubah tak bebas. ". Sebagai contoh, persamaan " 3 + 2y = 6 " dapat ditulis " y = atau = - 2 y " Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana persamaan tersebut digunakan.

43 OPERASI-OPERASI PADA FUNGSI OPERASI-OPERASI ARITMATIK PADA FUNGSI Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, digandakan dan dibagi. Sebagai contoh, jika f() = dan g() = 2, maka f() + g() = + 2 Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dari f dan g dan dituliskan dengan f + g. Jadi (f + g)() = f() + g() = + 2

44 Definisi : Diketahui fungsi f dan g, maka rumusrumus untuk jumlah f + g, selisih f g, hasil kali f. g dan hasil bagi f /g didefinisikan dengan; (f + g)() = f() + g() (f g)() = f() g() (f. g)() = f(). g() (f /g)() = f() /g() Contoh : Dimisalkan f() = dan g() = 1 Dapatkan (f + g)(), (f g)(), (f. g)(), (f /g)()

45 KOMPOSISI FUNGSI n Secara informal dinyatakan bahwa operasi komposisi dibentuk dengan mensubstitusikan beberapa fungsi pada peubah bebas dari fungsi lainnya. Sebagai contoh, misalkan f() = 2 dan g() = + 1 n Jika g() disubstitusikan pada dalam rumus f, diperoleh fungsi baru f(g()) = (g()) 2 = ( + 1) 2 n yang dituliskan dengan f o g. Jadi f o g = f(g()) = (g()) 2 = ( + 1) 2

46 Contoh :f() = 2 +3 dan g() =. Dapatkan; a). (f o g)() b).(gof)() P e n y e l e s a i a n (a) : f(g()) = () = ( ) =+3 (b);g(f())= ()= 2 +3

47 SATU CONTOH DALAM KALKULUS Contoh : Misalkan f() = 2 dan h adalah sebarang bilangan riil tak nol. Dapatkan ; f( + h) f() h dan sederhanakan Penyelesaian : f( + h) f() = ( + h) 2 2 = 2 + 2h + h 2 2 h h h = 2h + h 2 = h(2 + h) h h Dengan mencoret h dan dengan memperhatikan pembatasan pada h, diperoleh f( + h) f() = 2 + h, h 0

48 KLASIFIKASI FUNGSI l Fungsi yang paling sederhana disebut fungsi konstan. Contohnya ; f() = 3 maka l f(-1) = 3, f(0) = 3, f( 2) = 3, f(9) = 3 l Fungsi dengan bentuk c n, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak negatif, disebut monomial dalam. l contoh 2 3, π 7, 4 0 (= 4), -6, 17 l Fungsi-fungsi 4 1/2 dan -3 bukan monomial sebab pangkat dari bukan bilangan bulat tak negatip.

49 POLINOMIAL DALAM X. Contoh : , , 9, 17 2, 5 Rumus untuk polinomial dalam adalah f() = a 0 + a 1 + a a n n 3 atau f() = a n n + a n-1 n-1 + a n-2 n-2 + +a 0

50 Polinomial-polinomial derajat pertama, kedua, ke-tiga DESKRIPSI Polinomial linier Polinomial kuadratik Polinomial kubik RUMUS UMUM a 0 + a 1 (a 1 0) a 0 + a 1 + a 2 2 (a 2 0) a 0 + a 1 + a a 3 3 (a 3 0)

51 Fungsi rasional Adalah suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial. Contoh : X X A 0 + a 1 + a a n n F() = b 0 + b 1 +b b n n fungsi-fungsi aljabar eksplisit Contoh : f() = 2/3 = ( ) 2 dan g() = ( 3)

52 GRAFIK FUNGSI Definisi grafik fungsi Grafik suatu fungsi f pada bidang y didefinisikan sebagai grafik dari persamaan y = f(). Contoh : Buatlah sketsa grafik f() =

53 Menggambar fungsi dengan geseran (translasi) Contoh : gambarkan grafik fungsi berikut ini ; y = y = 2 2 y = (+2) 2 y = ( 2) 2

54 L I M I T " Kalkulus berpusat di sekitar dua permasalahan dasar ; " Masalah garis singgung y Garis singgung di P y = f () P( 0, y 0 )

55 Masalah luas Diberikan fungsi f, dapatkan luas antara grafik f dan suatu selang [a, b] pada sumbu-. luas sebenarnya dibawah kurva tersebut sebagai suatu nilai limit y y = f () a b

56 Limit menggambarkan perilaku suatu fungsi jika peubah bebasnya bergerak menuju suatu nilai tertentu. Contoh ; f() = sin /, dibuat tabel sbb ; f() = sin / f() = sin/ 1,0 0, ,0 0, ,9 0, , ,8 0, ,8 0, ,7 0, ,7 0, ,6 0, ,6 0, ,5 0, ,5 0, ,4 0, ,4 0, ,3 0, ,3 0, ,2 0, ,2 0, ,1 0, ,1 0, , ,99998

57 BEBERAPA LIMIT DASAR Limit lim k = k à a lim k = k à + lim k = k à - lim = a à a lim = + à + lim = - à - Contoh lim 3 = 3 lim 3 = 3 à 2 à -2 lim 3 = 3 lim 0 = 0 à + à + lim 3 = 3 lim 0 = 0 à - à - lim = 5 lim = 0 lim = -2 à 5 à 0 à -2

58 Teorema : Dimisalkan lim di sini berarti satu dari limit-limit lim, lim, lim, lim atau lim. Jika à a à a- à a+ à + à - L 1 = lim f() dan L 2 = lim g() keduanya ada, maka (a) lim [ f() + g()] = lim f() + lim g() = L 1 + L 2 (b) lim [ f() g()] = lim f() lim g() = L 1 L 2 (c) lim [ f()g()] = lim f() lim g() = L 1 L 2 (d) lim f() = lim f() = L 1 jika L 2 0 g() lim g() L 2 (e) lim n f() = n lim f() = n L 1, untuk L 1 0 jika n genap.

59 Untuk sebarang fungsi yang banyaknya berhingga lim [ f 1 () + f 2 () + + f n ()] = lim f 1 () + lim f 2 () + + lim f n () lim [f 1 () f 2 () f n ()] = lim f 1 () lim f 2 () lim f n () lim [ f()] n = [lim f()] n lim n à a = [ lim ] n = a n à a Contoh : lim 4 = 3 4 = 81 à 3

60 LIMIT DARI POLINOMIAL UNTUK à a Contoh : Dapatkan lim dan jelaskan à 5 setiap langkahnya. Penyelesaian : lim ( ) = lim 2 lim 4 + lim 3 à 5 à 5 à 5 à 5 = lim 2 4 lim + lim 3 à 5 à 5 à 5 = 5 2 4(5) + 3 = 8

61 Contoh : Limit dari fungsi rasional untuk a dapatkan ; lim Penyelesaian ; lim = lim = = lim - 3 2

62 Limit pembilang dan penyebut mendekati nol " Dapatkan ; lim " Lim 2 4 = lim ( 2)( + 2) = lim ( + 2) =

63 LIMIT YANG MEMUAT 1/X 1/ 1/ 1/ 1/ NILAI ,1 0,01 0,001 0, ,1 -,001 -,001-0, ,1 0,01 0,001 0, ,1-0,01-0,001-0, KESIMPULAN Untuk nilai dari 1/ turun menuju nol Untuk - nilai dari 1/ bertambah/naik menuju nol Untuk o + nilai dari 1/ naik menuju tanpa batas Untuk o - nilai dari 1/ turun menuju tanpa batas

64 Lim 1/ = +, lim 1/ = -, lim 1/ =0, lim 1/ = 0 o + o y=1/ y=1/ Lim 1/ = +, lim 1/ =- o + o - lim 1/ =0, lim 1/ = 0 + -

65 Limit dari Polinomial untuk + atau - y y 8 8 y= y= Lim = +, lim 2 = +, + + Lim = -, lim 2 = +, - - y y 8 8 y= 3 y=

66 Lim n = +, untuk n = 1,2,3, lim n = +, untuk n = 2,4, = -, untuk n = 1,3,5... untuk perkalian n bilangan real negatip menghasilkan tanda berlawan. Tapi untuk perkalian n bilangan real positip menghasilkan tanda sama. Contoh ; lim 2 5 = + lim 2 5 = lim -7 6 = - lim -7 6 = lim 1 = (lim ) n = 0, n + +

67 Limit Fungsi Rasional untuk + atau - -pembilang dan penyebut dibagi dengan pangkat tertinggi dari penyebut ; Contoh : Dapatkan ; lim Penyelesaian : bagi dengan untuk pembilang dan penyebut The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red still appears, you may have to delete the image and then insert it again. Lim = lim 3 + lim 5/ = lim lim 1/ = 1/2 lim 6 + lim 8/ lim lim 1/

68 c d n m n m Metode cepat Limit Fungsi Rasional untuk + atau - Limit fungsi rasional untuk + atau -, tidak terpengaruh jika semua suku dlm pembilang dan penyebut dihilangkan kecuali suku pangkat tertinggi Lim d c c + d c d = lim + + n m n m c d n m n m

69 Untuk contoh berikut gunakan rumus tersebut ; Selesaikan limit berikut ini : 1. lim + 2. lim lim

70 LIMIT YANG MEMUAT AKAR CONTOH, DAPATKAN ;limit + Penyelesaian ; lim it Limit = =

71 Bentuk limit akar lainnya ; n Selesaikan ; n A. limit B.limit n + - n Penyelesain ; n dengan cara manipuasi fungsi dengan membagi pembilang dan penyebut dengan n Dimana = 2

72 Soal-soal Diberikan f() = {, >3 2, 3 dapatkan ; (a) f(-4) b) f(4) f(t 2 + 5) 2. Misalkan f() = 3/ dapatkan ; 1 1 a). f + f ( ) b.). f(2 ) + f 2 () 3. Dapatkan : f o g dan g o f dari pers.berikut ini ; a. f() = sin 2, g() = cos b. f() = 2 1+, g() = 1 4. Buat sketsa grafik fungsinya dari ; a). f() = 2 sin b). g() = { 2, ± 4 0, = 4

73 Soal-soal 5. a. lim b. lim a.lim b. lim a. lim b. lim a. Lim b. lim y y lim s s s b. lim t t s + s +

74 Definisi ; Kontinuitas Suatu fungsi f dikatakan kontinu di titik c, jika syarat-syarat berikut dipenuhi ; 1. f(c) terdefinisi 2. lim f () ada c 3. lim f() = f(c) c Jika salah satu tidak terpenuhi, maka fungsi disebut : diskontinu

75 Contoh diskontinuitas y = f() y = f() c Pada gambar diatas terjadi lubang pada titik c Karena fs f tidak terdifinisi di ttk tsb (a) y = f() Pada gb diatas terjadi patahan pd grafiknya, fs f terdifinisi di c, tapi lim f() tdk ada (b) c c y = f() c Sama seperti gambar (b) c Pada gambar diatas, fs f terdifinisi di c dan lim f() ada, tetapi ada patahan pd ttk c, lim f() f(c)

76 Contoh Kontinu dan diskontinu 1. f ( ) = g() = 2 4 2, 2 3, = 2

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Perlukah Bagi Siswa?

Perlukah Bagi Siswa? PERENCANAAN KARIR Perlukah Bagi Siswa? Nitya Wismaningsih Fakultas Psikologi Universitas Padjadjaran Pada awalnya kegiatan bimbingan untuk merencanakan karir lebih ke arah pemberian informasi tentang pekerjaan,

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63

FUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63 FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT

MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)

LIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4) LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth,

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI Pembahasan pada bab ini dibagi dalam dua bagian. Pada bagian pertama dibahas it fungsi yang meliputi pengertian, sifat, dan penghitungan nilai it suatu fungsi. Pada

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22 TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika

Lebih terperinci

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi

Materi UTS. Kalkulus 1. Semester Gasal Pengajar: Hazrul Iswadi Materi UTS Kalkulus 1 Semester Gasal 2016-2017 Pengajar: Hazrul Iswadi Daftar Isi Pengantar...hal 1 Pertemuan 1...hal 2-5 Pertemuan 2...hal 6-10 Pertemuan 3...hal 11-13 Pertemuan 4...hal 14-21 Pertemuan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)

Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN TINGKAT PROPINSI JAWA TENGAH 2010 BIDANG MATEMATIKA TEKNOLOGI SESI III (ISIAN SINGKAT DAN ESSAY) WAKTU : 180 MENIT ============================================================

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut :

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2012 Kode 521. Oleh Tutur Widodo. 1. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 0 Kode 5 Oleh Tutur Widodo. Misalkan x dan y bilangan bulat yang memenuhi sistem persamaan berikut : maka nilai x y

Lebih terperinci

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya

Sedangkan bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat adalah bilangan irasional, contohnya BAB I A. SISTEM BILANGAN REAL Sistem bilangan real dan berbagai sifatnya merupakan basis dari kalkulus. Sistem bilangan real terdiri dari himpunan unsur yang dinamakan Bilangan Real yang sering dinyatakan

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Dasar 1 Kode / SKS : IT012314 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi 1 & 2 HIMPUNAN BILANGAN Mahasiswa memahami konsep himpunan

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.

Lebih terperinci

Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs

Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan

Lebih terperinci

karena limit dari kiri = limit dari kanan

karena limit dari kiri = limit dari kanan A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami

Lebih terperinci

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Bahan Kuliah Prinsip Teknik Pangan Dosen : Prof. Dr. Purwiyatno Hariyadi Departemen Ilmu & Teknologi Pangan Fakultas Teknologi Pertanian IPB BOGOR REVIEW MATEMATIKA

Lebih terperinci

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000 Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL UAN MATEMATIKA 2009 KELOMPOK TEKNIK

PREDIKSI SOAL UAN MATEMATIKA 2009 KELOMPOK TEKNIK PREDIKSI SOAL UAN MATEMATIKA 2009 KELOMPOK TEKNIK 1. Jarak kota P dan kota R pada sebuah peta adalah 20 cm. Jika skala pada peta tersebut 1:2.500.000, maka jarak sebenarnya dua kota tersebut adalah. A.

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai. I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk

Lebih terperinci