Bagian 2 Matriks dan Determinan
|
|
- Sucianty Hartanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika dan operasi yang digunakan. Pada bagian Limit akan mempelajari konsep dasar mengenai limit, cara menghitung nilai limit, dan penggunaan limit untuk fungsi trigonometri. Sedangkan pada bagian kontinuitas akan dipelajari tentang kontinuitas berbagai macam fungsi dalam penggambarannya pada sebuah grafik. Fungsi dan limit merupakan konsep dasar dalam kalkulus. Pada bagian selanjutnya, yaitu Differensial dan Integral, Anda akan mengerti bagaimana limit memegang peranan penting dalam menjelaskan suatu konsep matematika. Untuk itu perlu penguasaan yang baik untuk bagian ini. Kompetensi yang diharapkan setelah menyelesaikan bagian Fungsi dan Limit adalah Anda diharapkan mampu :. Melakukan operasi fungsi, meliputi penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian. Menghitung komposisi fungsi. Melukiskan grafik fungsi pada bidang koordinat kartesius. Menerapkan teknik perhitungan limit untuk berbagai macam fungsi. Menghitung kontinuitas fungsi. Pendahuluan Matriks adalah susunan bilangan (riil atau komplek) dalam persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung siku atau tanda kurung biasa. Contoh : 8 ; a b ; ; c d [ a a a ] ordo matriks adalah banyak susunan bilangan horizontal dan vertikal. suatu matriks dikatakan ber-ordo x jika matriks tersebut mempunyai baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertikal) Contoh : a b c d e f g h matriks berordo (baris) x (kolom) atau matriks x i j k l Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
2 Notasi matriks Masing-masing elemen suatu matriks memiliki tempat yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem indeks. Indeks pertama menyatakan baris dan Indeks kedua menyatakan kolom. Jika ada matrik A = [ maka elemen a menunjukkan elemen yang terletak pada baris yang ketiga dan kolom ketiga. Bilangan m dan n dikatakan sebagai unsur (entri) dari matriks A atau elemen matriks A. Garis horisontal disebut sebagai baris atau vektor baris Dengan demikian suatu matriks A berikut a a a a A = dapat dinyatakan dengan [ a ij ] atau [ a mn ] atau [ a ] a a a a a a a a atau A saja x Serupa dengan itu, matriks B = dapat dinyatakan dengan [ x i ] atau [ x ] x x atau X saja. ] Kesamaan Matriks Dua matriks A = [ a jk ] dan B = [ b jk ] dikatakan sama jika dan hanya jika A x B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama serta mempunyai unsur-unsur yang bersesuaian dengan letak yang sama pula. Kedua matriks harus mempunyai orde yang sama a a a Contoh : = kedua matriks tersebut dikatakan a a a sama Maka : a =, a = dan seterusnya Demikian demikian, jika [ a ij ] = [ x ij ], maka a ij = x ij untuk semua harga i dan j. Jenis Matriks Matriks Bujursangkar Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom sama atau dengan kata lain matriks tersebut adalah matriks yang berorde m x m. Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
3 Contoh : 8 matriks bujur sangkar [ a ij ] disebut simetrik jika a ij = a ji, yaitu matriks tersebut simetris terhadap diagonal utamanya. diagonal utama adalah diagonal yang membuat unsur a, a, a dan seterusnya atau a ii.perhatikan bahwa disini berlaku A = A T. Matriks bujur sangkar [ a ij ] disebut anti simetris, jika a ij = - a ij seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut. Contoh : 9 9 Matriks Diagonal Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya sama dengan nol kecuali unsur yang terletak pada diagonal utamanya. Contoh : Matriks satuan Matriks adalah matrik bujur sangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya sama dengan (satu) sedangkan unsur lainnya sama dengan nol. Contoh : atau matriks satuan dinyatakan dengan I (idenstitas) Sifat penting untuk matriks I adalah : A = dan I = maka 9 8 Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
4 A. I = 9 8 Serupa dengan itu, jika bentuknya perkalian I.A diperoleh A.I = I.A jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan satu dalam ilmu hitungan aljabar biasa. Matriks Nol adalah martriks yang semua unsurnya sama dengan nol contoh : sering dinyatakan dengan atau cukup (nol) saja jika A.B =, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = atau B =, karena jika A =, B = 9 9 jika A.B = = ) ( 8) ( 8) ( ) ( ) ( 8 ) ( maka jelas bahwa A. B =, tetapi A dan B Matriks Segi Tiga Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur atau elemen yang letaknya dibawah atau diatas diagonal utama sama denga nol. Jika elemen nol terletak dibawah diagonal utama matriks segitiga atas. Jika elemen nol terletak diatas diagonal utama matriks segitiga bawah contoh : matriks S. dibawah Matriks S. diatas Matriks Simetri adalah matriks bjur sangkar yang memenuhi sifat A T = A. jika A T = -A maka A disebut materiks tak simetri Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
5 Contoh : A = B = Matriks tak simetri Matriks simetri Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!. Tentukan domain dan range dari fungsi x y =. Tentukan selang domain dari fungsi ) ( = x x y. Tentukan selang domain dan range yang mungkin dari fungsi ) ( = x x y. Tentukan domain dan range dari fungsi = x y. Operasi Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Martriks Agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka kedua matriks tersebut harus memiliki orde yang sama. Jumlah atau selisih dari kedua matriks tersebut dapt diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen yang bersesuaian. Contoh : = = = = ) ( Sifat penjumlahan matriks a) A B = B A b) (u v) w = u (v w) c) A = A Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
6 d) A (-A) = Perkalian Matriks A. Perkalian Skalar Perkalian sebuah matriks A dengan sebuah bilangan (skalar, k) akan menghasilkan sebuah matriks baru, B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan A dengan k k.a = B Contoh : 8 x = 8 Secara umum = k [ a ij ] = [ k.a ij ] Perkalian skalar dapat pula dinyatakan dengan mengeluarkan suatu faktor yang sama dari setiap unsur. B. Perkalian Dua Matriks Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap lainnya jika banyaknya kolon dalam matriks yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks yang kedua. Contoh: b a a a A = [ a ij ] = dan B = [ b i ] = a a a b b Maka a.b = a a a a a a b a. = b b a. b. b a a. b. b a a Jika matriks A = dan matriks B =. b. b 8 9 ( x ) ( x ) Maka perkalian matriks A dan matriks B adalah A. B = = 9 Matematika Teknik \Matriks dan Determinan 8
7 Perhatikan bahwa perkalian matriks ordo ( x ) dengan matriks orde ( x ) akan menghasilkan matriks berorde ( x ) Orde ( x ). orde ( x ) orde ( x ) Sama Secara umum, perkalian matriks orde ( L x m) dengan matriks (m x n) akan menghasilkan matriks berorde ( L x n ). Perhatikan bahwa dalam perkalian dua buah matriks A. B B. A, yaitu perkalian matriks non komutatif. Urutan faktor dalam perkalian matriks sangatlah penting Jika A = dan B = 9 ( ) Maka A.B =, ( 8) 8 9 ( ) 8 8 B.A = ( ) 8 ( ) Sifat perkalian matriks a) (ka).b = k (A.B) = A (kb) b) A (BC) = (AB) C c) (A B) C = AC BC d) C ( A B) = CA CB Tranpose Matriks Tranpose matriks adalah jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan, yaitu baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga dan seterusnya. Matriks yang baru terbentuk disebut tranpose dari matriks semula. Jika matriks semula adalah matriks A, maka tranposenya dinyatakan dengan A atau A T Contoh : Matematika Teknik \Matriks dan Determinan 9
8 Jika A =, maka A T = ordo A ( x ) A T ( x ) 9 9 Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!. Lakukan operasi terhadap fungsi f ( x) = x dan g ( x) = x. Berdasarkan soal, lakukan operasi terhadap fungsi g ( x) = x dan f ( x) = x. Berdasarkan fungsi yang diberikan dalam soal no., lakukan operasi komposisi fungsi.. Berdasarkan soal no., carilah nilai f(x) yang mungkin untuk nilai x =, x =, dan x =. Berdasarkan soal no., carilan nilai hasil komposisi fungsi jika diberikan nilai x =, x =, dan x =. Grafik Fungsi Grafik sebuah fungsi f(x) pada bidang x y didefinisikan sebagai lukisan persamaan y = f(x) pada bidang tersebut. Contoh. Gambarkan grafik fungsi y = x dan grafik fungsi y = x Translasi Contoh. Diberikan fungsi y = f(x) = x. Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
9 Fungsi awal f(x) = x jika ditambahkan konstanta pada f(x) menjadi fungsi baru f(x)= x. f(x) = (x) f(x) = x Fungsi awal f(x) = x, ditambahkan konstanta pada x menjadi fungsi baru f(x) = (x ) Refleksi Contoh. Diberikan fungsi y = f(x) = x Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
10 Jika diberikan fungsi awal f(x) = x, maka perkalian f(x) dengan membuat fungsi baru f(x)= - x. Translasi dan refleksi dinamakan transformasi kaku karena operasi tersebut tidak merubah bentuk grafik hanya merubah letak grafik. Ada operasi yang disebut operasi skala yang merubah bentuk dari grafik, terutama untuk persamaan-persamaan fungsi trigonometri. Uji Garis Vertikal Sebuah kurva dalam bidang x y adalah grafik fungsi y = f(x) untuk beberapa fungsi f(x) jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva tersebut lebih dari kali. Uji garis vertikal terutama untuk menentukan apakah fungsi masih tetap sama jika dilakukan penulisan dalam bentuk yang lain. Contoh. Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
11 Uji Garis Horizontal Sebuah kurva dalam bidang x - y adalah grafik fungsi x = g(y) untuk beberapa fungsi g(y) jika dan hanya jika tidak ada garis horizontal yang memotong kurva tersebut lebih dari kali. Seperti halnya uji garis vertikal, uji garis horizontal digunakan untuk melihat apakah fungsi masih tetap sama jika ditulis dalam bentuk yang lain. Contoh berikut akan menjelaskan kepada Anda, bagaimana uji garis horizontal digunakan untuk melihat fungsi tetap sama atau tidak jika ditulis dalam bentuk yang lain. Contoh.8 sb. y y = x tidak ekivalen x = y sb. x Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!. Lukiskan grafik fungsi y = x dan gambarkan fungsi tersebut jika ditranslasikan sejauh x =. Sama dengan soal satu, tapi ditranslasikan sejauh x =. Limit (Pendahuluan) Dua masalah dasar yang dipelajari dalam Calculus adalah garis singgung dan luas. Dalam geometri bidang, sebuah garis disebut garis singgung pada lingkaran jika garis tersebut bertemu lingkaran hanya pada satu titik (gambar a). Bagaimanapun pengertian ini tidak memuaskan untuk kurva-kurva yang lain. Pada gambar b garis bertemu kurva tepat satu titik tapi bukan garis singgung. Pada gambar c garis bertemu lebih dari satu titik. Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
12 Garis singgung sebagai limit a) b) c) Untuk mendefinisikan konsep sebuah garis singgung yang dipakai dalam penerapannya di kurva atau lingkaran kita harus memandang pengertian garis singgung dengan cara lain. Anggap sebuah titik P pada kurva di bidang x y. Jika Q adalah sembarang titik pada kurva yang berbeda dengan P, garis yang menghubungkan P dan Q disebut garis potong (secant line) untuk kurva tersebut. Hal ini menandakan bahwa jika kita memindahkan titik Q sepanjang kurva menuju P, garis potong kita anggap menjadi garis singgung pada titik P. Luas sebagai Limit. Luas dari beberapa bidang dapat dihitung dengan membagi lagi bidang tersebut dalam bilangan tertentu beberapa segiempat atau segitiga lalu menjumlahkannya. Kita dapat menghitung luas di bawah kurva dengan cara membagi dengan beberapa/banyak segiempat. Selain itu jika kita mengulang proses penggunaan segiempat lebih banyak lagi akan cenderung untuk mengisi Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
13 kekosongan di bawah kurva dan perkiraan kita akan mendekati luas eksak di bawah kurva sebagai suatu nilai limit. Notasi limit Situasi matematika Notasi Cara membaca Nilai f(x) mendekati l dimana x didekati dari sisi kanan Nilai f(x) mendekati l dimana x didekati dari sisi kiri Nilai f(x) mendekati l dimana x didekati dari sisi kiri dan sisi kanan Limit f(x) = Limit f(x) = l x x x x Limit f(x) = l x x o Limit f(x) = l x x o Limit f(x) sama dengan l dimana x menuju x dari sisi kanan Limit f(x) sama dengan l dimana x menuju x dari sisi kiri Limit f(x) = l Limit f(x) sama dengan l x x o dimana x menuju x Beberapa contoh berikut ini akan menambah pengertian akan limit. Contoh.9 x f(x) = x Nilai x Nilai f(x) Nilai x Nilai f(x),,,?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8,8,,,9,9,,,99,99,999,999,9999,9999 Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
14 sb. y sb. x Contoh. π f(x) = Sin x Nilai x (radian) Nilai f(x) Sin π =, Sin π =, Sin π =, Sin π =, Sin π = Sin π = -, Sin π = -, Sin π = -, Sin π = -, Sin π = Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!. Untuk grafik fungsi y = f(x) seperti pada gambar, tentukan: a. lim f ( x) b. lim x c. lim f ( x) d. x x f () f ( x) e. lim f ( x) f. x lim f ( x) x. Untuk grafik fungsi berikut, tentukan: Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
15 a. lim φ( x) x c. limφ( x) x e. lim φ( x) x b. lim φ( x) x d. φ () f. lim φ( x) x. Teknik Perhitungan Limit Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana interpretasi limit terhadap sebuah grafik. Pada bagian ini kita akan menentukan nilai limit sebuah fungsi berdasarkan rumus langsung. Dasar- dasar limit lim k = k lim x = a x a x a lim k = k lim x = x x lim k = k lim x = - x - x - limit k = k x a limit k = k x - limit k = k x Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
16 Teorema : Diberikan limit yang berlaku untuk : lim ; lim ; lim ; lim x a x a - x x - Jika l = lim f(x) dan l = lim g(x) ada, maka : a. lim [f(x) g(x)]=lim f(x) lim g(x) = l l b. lim [f(x) - g(x)]=lim f(x) - lim g(x) = l -l c. lim [f(x). g(x)]=lim f(x). lim g(x) = l.l f ( x) lim f ( x) d. lim = = g( x) lim g( x) l l, jika l e. lim n f(x) = n lim f(x) = n l, asal l >, jika n genap. Contoh. Tentukan lim (x -x) x Penyelesaian: lim (x - x ) = lim x - lim x lim x x x x = -. = 8 Bentuk Limit Ada beberapa bentuk limit yang kita kenal, yaitu :. Limit Polynominal Untuk sembarang fungsi polynominal berbentuk : P(x)=C C x C x... C n x n dan sembarang bilangan real a, maka: Lim P(x)=C C x C x... C n x n = P(a) x a. Limit berbentuk l/x Lim /(x-a)= ~ lim /(x-a)= x a x ~ Lim /(x-a)= -~ lim /(x-a)= x a x -~. Limit Polynominal berbentuk x ~ atau x -~ lim x n = ~ n =,,,... x ~ lim x n = ~ n =,,,... x -~ Matematika Teknik \Matriks dan Determinan 8
17 lim x n = -~ n =,,,... x -~ lim /x n =(lim /x) n = x ~ x ~ lim /x n =(lim /x) n = x -~ x -~ lim (C C x C x... C n x n x ~ ) = lim C n x n x ~ Lim (C C x C x... C n x n )= lim C n x n x -~ x -~. Limit Fungsi Rasional berbentuk x a. Limit Fungsi Rasional berbentuk x ~ atau x -~ Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!!. Hitung. Hitung. Hitung. Hitung lim x x lim x x lim x x lim x x. Limit (Pendekatan Yang Lebih Teliti) Pada bagian awal telah dibicarakan limit secara tidak formal yang diartikan sebagai : lim f(x) = L x a untuk menyatakan bahwa nilai f(x) mendekati L selama x mendekati a dari kedua sisi (tetapi berlainan dengan a). Bagaimana pun kata f(a) mendekati L dan x mendekati a hanyalah instuisi tanpa defenisi limit tersebut menjadi tepat. Tujuan kita adalah membuat definisi limit tersebut menjadi tepat. Karena konsep tentang limit adalah rumit, maka definisi tentang limit akan dikembangkan dalam tahap-tahap dengan pertama-tama memberikan dua defenisi pendahuluan tentang limit. (Masingmasing sangat berguna yang akan menjadi gagasan dasar limit). Matematika Teknik \Matriks dan Determinan 9
18 Untuk mengarah pada definisi yang tepat tentang limit pandanglah fungsi f(x) yang grafiknya terlukis sebagai berikut : Kita memang sengaja meletakkan tanda pada grafik pada x = a untuk menegaskan bahwa fungsi f(x) tidak perlu didefinisikan pada titik dalam diskusi selanjutnya. Untuk grafik fungsi pada gambar kita mengerti limit memberikan kesan bahwa f(x) mendekati I pada x mendekati a. Ini memberikan pengertian bahwa jika memilih bilangan positif sembarang, kita namakan ε dan membangun sebuah interval terbuka pada sumbu yang memperpanjang nilai ε di atas dan di bawah (gambar b). Lalu nilai f(x) akan jatuh terbatas dalam interval ( ε, ε) dimana x mendekati a dari kedua sisi. Definisi Awal Pertama Misalkan f(x) terdefinisi untuk setiap x dalam interval terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengecualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi pada a, kita akan menyatakan : Lim f(x) = x a Jika diberikan sembarang bilangan ε > kita dapat menemukan sebuah interval terbuka (x,x ) sedemikian sehingga terdapat titik a yang mana f(x) memenuhi : ε < f(x) < ε... untuk setiap x dalam interval (x,x ), kemungkinan pengecualian pada x = a. Hal tersebut berarti bahwa x berlaku untuk : (x,a) U (a,x)... Definisi Awal Kedua Misalkan f(x) terdefenisi untuk setiap x dalam intervak terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengcualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi sebagai a, kita akan menyatakan : Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
19 Lim f(x) = x a Jika diberikan sembarang bilangan ε > kita dapat menemukan sebuah bilangan δ > sedemikian sehingga f(x) memenuhi : ε < f(x) < ε... Persamaan ), ), ) kita nyatakan : [ f(x) - ] < ε < [x-a] < δ Definisi Limit Misalkan f(x) terdefinisi untuk setiap x dalam interval terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengecualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi pada a, kita akan menyatakan : Lim f(x) = x a Jika diberikan sembarang bilangan ε > kita dapat menemukan sebuah bilangan δ > sedemikian sehingga f(x) memenuhi: [ f(x) - ] < ε jika x memenuhi < [x-a] < δ Contoh. Buktikan bahwa lim = Penyelesaian: x / x Jika diberikan nilai ε >, maka ada nilai δ > sehingga berlaku ( / x ) < ε jika < x / < δ ( / x ) = ( / x)(/ x) = / x x = x x Atau / x x < ε jika < x / < δ / Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!!. Buktikan bahwa lim = x x. Buktikan bahwa lim = x x Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
20 . Buktikan bahwa lim(x ) = x. Kontinuitas Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu pada titik C, jika kondisi berikut semuanya terpenuhi.. f(x) terdefenisi pada C. Lim f(x) ada x C. Lim f(x) = f(c) x C Jika satu atau lebih kondisi dalam definisi tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di C dan C dinamakan titik diskontinu fungsi f(x). Jika f(x) kontinu disemua titik pada interval terbuka (a,b) maka f(x) dikatakan kontinu pada (a,b). Sebuah fungsi yang kontinu pada (-, ) dikatakan kontinu di setiap tempat. Contoh. Selidikilah apakah fungsi f(x) = ( x ) x kontinu pada titik x = Penyelesaian: ( ) f () = = tidak terdefinisi ( ) lim f ( x) x ( x )( x ) lim x ( x ) = = f () lim f ( x), jadi fungsi f(x) diskontinu pada titik. x Kontinuitas Fungsi Polynominal Teorema : jika f dan g kontinu di C, maka : a. f g adalah kontinu di C b. f g adalah kontinu di C c. f. g adalah kontinu di C d. f / g adalah kontinu di C jika g(x) Kontinuitas Fungsi Rasional Teorema : Sebuah fungsi rasional adalah kontinu disembarang nilai kecuali pada titik dimana penyebutnya bernilai. Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
21 Teorema : Misalkan limit berlaku untuk limit limit berikut : lim ; lim ; lim ; lim ; lim x C x C x C - x x - Jika limit g(x) = dan jika fungsif kontinu di, maka lim f(g(x)) = f(), Teorema : Jika fungsi g kontinu di titik C dan f kontinu di titik g(c) maka fungsi komposisi fog kontinu di C. Kontinuitas Fungsi Dari Kiri Ke Kanan Definisi : Sebuah fungsi dikatakan kontinu dari kiri ke kanan pada titik C dan dikatakan kontinu dari kanan pada titik C jika kondisi berikut dipenuhi :. Nilai f(x) pada C ada. lim f(x) ada lim f(x) ada x C - x C. lim f(x) = f(c) lim f(x) = f(c) x C - x C Definisi : Sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kondisi berikut terpenuhi :. f kontinu pada (a,b). f kontinu dari kanan di a. f kontinu dari kiri di b Contoh. Selidiki apakah fungsi f(x) = (9 x ) kontinu pada selang [-,] Penyelesaian:. lim f(x) = lim (9 x ) x C x C = lim (9 x ) x C = (9 x ) = f(c). lim f(x) = lim (9 x ) x C x - = lim (9 x ) x - = (9 (-) ) = = f(). lim f(x) = lim (9 x ) x C x = lim (9 x ) Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
22 x = (9 ) = = f(-) Dari penyelesaian di atas (langkah sampai ) dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) kontinu pada selang [-, ]. Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk soal dan, carilah titik dimana fungsi f(x) diskontinu, jika ada x. f ( x) = x x,... x. f ( x) =,... x > x x... x <. Carilah nilai a dan b sehingga fungsi f ( x) = ax b... x < kontinu x... x.8 Limit dan Kontinuitas Fungsi Trigonometri Limit dan kontinuitas dapat digunakan untuk fungsi trigonometri. Pengerjaan sama seperti perhitungan limit. Pengetahuan tambahan yang perlu diingat kembali adalah persamaan identitas fungsi trigonometri. Contoh. Hitunglah limit sin (C h) untuk nilai h mendekati. Penyelesaian lim Sin (C h) = lim (Sin C. Cos h Cos C. Sin h) h h = lim (Sin C. Cos h ) lim Cos C. Sin h) h h = Sin C. (lim Cos h ) Cos C.(lim Sin h) h h = Sin C () Cos C () = Sin C Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
23 Contoh. tan x Hitung lim x x Penyelesaian: tan x sin x lim = lim. x x x x Contoh. sin x Hitung lim x sin x cos =. = x Penyelesaian: sin x sin x lim = lim x x sin x x sin x x sin x. = lim x x sin x. x =.. = Latihan Soal.8 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk soal dan, carilah titik diskontinu fungsi jika ada. y = cos x. y = sec x Matematika Teknik \Matriks dan Determinan
MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 Materi Pokok : Integral Pertemuan Ke- : 1 dan Alokasi Waktu : x pertemuan (4 x 45 menit) Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciBagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI
SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6 4 ). ( -1 4 ) E. ( 5 4 ) B. ( 6 4) D. ( 1 4 ) BAB
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciMatematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperincikarena limit dari kiri = limit dari kanan
A. DEFINISI LIMIT Istilah it dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai it sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.. Pengertian Limit secara Intusi Untuk memahami
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
Lebih terperinciBab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35
Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2010/2011 Program Studi IPA
Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 010/011 Program Studi IPA 1. Akar-akar persamaan 3x -1x + = 0 adalah α dan β. Persamaan Kuadrat baru yang akar-akarnya (α +) dan (β +)
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciBagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.1. Limit x a Contoh A.1: Contoh A.2 : 2 4)
LIMIT FUNGSI A. Menentukan Limit Fungsi Aljabar A.. Limit a Contoh A.:. ( ) 3 Contoh A. : 4 ( )( ) ( ) 4 Latihan. Hitunglah nilai it fungsi-fungsi berikut ini. a. (3 ) b. ( 4) c. ( 4) d. 0 . Hitunglah
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1991
Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka
Lebih terperinciGARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO
GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP) UNIVERSITAS DIPONEGORO SPMI- UNDIP GBPP xx.xx.xx xx Revisi ke Tanggal Dikaji Ulang Oleh Dikendalikan Oleh Disetujui Oleh Ketua Program Studi GPM DekanFakultas. UNIVERSITAS
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
Lebih terperinciKALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR
KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Pengertian dan notasi dari it suatu fungsi, f() di suatu nilai = a diberikan secara intuitif berikut. Bila nilai f() mendekati L untuk nilai mendekati a dari arah kanan maka dikatakan
Lebih terperinciPAKET 4 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA
Kumpulan Soal - Soal Latihan UN Matematika IPA SMA dan MA 009. (Suprayitno) 49 PAKET 4 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA PETUNJUK UMUM. Kerjakan semua soal - soal ini menurut
Lebih terperinciBAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciMODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciOSN Guru Matematika SMA
ocsz Pembahasan Soal OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE GURU MATEMATIKA
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciPEMERINTAH KABUPATEN LOMBOK UTARA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH (MKKS) SMA TRY OUT UJIAN NASIONAL 2010
PEMERINTAH KABUPATEN LOMBOK UTARA DINAS PENDIDIKAN PEMUDA DAN OLAHRAGA MUSYAWARAH KERJA KEPALA SEKOLAH (MKKS) SMA TRY OUT UJIAN NASIONAL 00 Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XII IPA Alokasi Waktu : 0
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinci