DISTRIBUSI GAMMA. Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma.

Transkripsi

1 DITRIBUI GAMMA Ada beberaa dsrbus eg dalam dsrbus uj hdu, salah sauya adalah dsrbus gamma. A. Fugs keadaa eluag (fk) Fugs keadaa eluag (fk) dar dsrbus gamma dega dua arameer yau da adalah sebaga berku: dmaa: f e,,, Г() = (-)! adalah fugs gamma. Nla mea dar dsrbus gamma adalah: E f d e d! e d!!! e d E f e d d e d!! Nla varas dar dsrbus gamma adalah:!! e d Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka

2 Var B. Fugs survvor E E Fugs survvor adalah eluag suau dvdu aau objek mash ea hdu sama dega waku yag elah deuka. Fugs survvor ddefska sebaga berku: Pr T Pr T F f d I,, e d e d dmaa F() adalah fugs dsrbus. Fugs survvor dsrbus gamma yag ka eroleh adalah suau fugs survvor dsrbus gamma dalam beuk eksls. Ka membarka fugs survvor dsrbus gamma dalam beuk eksls karea uuk meyelesaka egegrala yag ada dalam rumus daas egegralaya cuku rum C. Fugs hazard Karea fugs survvor dsrbus gamma dak dalam beuk eksls, maka fugs hazardya juga dak dalam beuk eksls juga. Fugs hazard ddefska sebaga berku: Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka

3 h h F' f e e D. Fugs hazard kumulaf Fugs hazard kumulaf u dak bsa ka yaaka dalam beuk mls, karea fugs hazardya sedr dyaaka dalam beuk eksls. Fugs hazard kumulaf ddefska sebaga berku: H H h d e e d E. Esmas Msalka X, X,, X adalah varabel radom dar waku-waku kegagala da varabel radom u berdsrbus Gamma dega arameer da.. amel legka uau samel dkaaka samel legka aabla ada sebayak objek yag demaka ada eguja da eguja dheka seelah semua em objek ma. o Fugs keadaa eluag (fk) bersama dar X, X,, X adalah: f,,,,! f, o Fugs lkelhoodya adalah: Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 3

4 L,,,,! f, L,,,,!! L,,,, l L,l! l! l e e l e Nla maksmum dar L, l L, l L, aau l aka dcaa aabla. l L, sehgga ˆ ˆ da ˆ da ka eroleh ˆ. Berdasarka hasl esmas ehada yag ka eroleh daas, maka ka daa membukka bahwa Eˆ da Varˆ. Dsrbus dar ˆ meruaka dsrbus gamma dega arameer da. eer ka keahu X, X,, X adalah dsrbus dek deede (d) yag berdsrbus gamma dega arameer da, oleh karea u maka Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 4

5 berdsrbus gamma dega arameerya da, sedagka uuk ˆ meruaka dsrbus gamma dega arameerya da. ehgga ka eroleh fugs keadaa eluag (fk) dar ˆ adalah sebaga berku: g ˆ, ˆ e ˆ deroleh L,,, g ˆ, ˆ bebas dar arameer yag dak dkeahu. Karea u, ˆ adalah cocok uuk. Kelegkaa dar ˆ daa dbukka dega megguaka sfa uk dar rasform Lalace da megacu ada Lehma da cheffe (955). ehgga ka memeroleh hasl bahwa ˆ dak haya meruaka MLE ea juga meruaka UMVUE dar. Dalam model dsrbus gamma ka megeahu bahwa raa-raa hdu adalah maka MLE da UMVUE dar da jka ka megesmas adalah sama uuk raa-raa samel Besar dar arameer da dak dkeahu. Ka aka melakuka esmas arameer da. Berdasarka erhuga daas ka elah memeroleh hasl esmas. arameer yau ˆ. elajuya ka aka megesmas arameer berdasarka ada esmas yag elah ka eroleh. o Fugs keadaa eluag (fk) bersama dar X, X,, X adalah: f,,,,! f, Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 5

6 Fugs o Fugs lkelhoodya adalah: L,,,,! f, L,,,,!! L,,,, l L,l! l! l e e l e Nla maksmum dar L, l L, l L, l L, l L, l aau l, l aka dcaa aabla. l l sul uuk decahka sehgga uuk rumus daas ka daa meyelesakaya dega megguaka meode eras Newo-Rahso. Meode la yag daa ka adalah dega mesubsuska l L, seer dbawah : l l l ˆ ke dalam ersamaa. ehgga deroleh ersamaa Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 6

7 d d l l l. MLEya adalah ˆ ˆ dmaa ˆ adalah hasl dar eyelesaa d d l l l d d. Persamaa l l l daa ka selesaka dega megguaka meode erolas vers. Fugs d d l dkeahu sebaga fugs gamma da erluasaya daa dlha ada abel dalam Abramowz da egu (964) da Parma (99). Uuk la yag besar, ka megguaka aroksmas. amel ersesor e I 3. amel ersesor e II F. Esmas relabl Msalka F, adalah fugs relabl. Maka uuk dsrbus gamma dega arameer da, fugs relablya,, e d MLE dar, doaska dega ˆ,ˆ da. Oleh karea u uuk samel legka deroleh: ˆ Uuk la, ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ adalah sebaga berku: dmaa ˆ da ˆ adalah MLE dar e d ˆ e y dy, ˆ, da ˆ yag dkeahu, hasl egegralaya daa ka eroleh dega megguaka abel fugs gamma ak legka [K. Pearso, 968] Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 7

8 Pada kasus dmaa dkeahu, MLE dar, ˆ,ˆ dmaa sebaga berku: aka berubah mejad ˆ. Karea u rumus esmas relabl dmaa dkeahu adalah UMVUE dar ˆ, y e y dy eer elah dkeahu daas bahwa aabla dkeahu maka da ˆ daa dujukka ˆ adalah Fra Agusa Jurusa Peddka Maemaka 8