ESTIMASI PARAMETER PADA REGRESI SEMIPARAMETRIK UNTUK DATA LONGITUDINAL

Transkripsi

1 Abstrak ESIMASI PARAMEER PADA REGRESI SEMIPARAMERIK UNUK DAA LONGIUDINAL Msal y merupakan varabel respon, Lls Laome Jurusan Matematka FMIPA Unverstas Haluoleo Kendar 933 e-mal : lhs@yahoo.com X adalah varabel predktor yang berhubungan lner dengan y dan t adalah varabel predktor lan yang berhubungan secara tdak lner dengan y, model tersebut dkatakan model semparametrk dan dapat dtuls dengan : y X β f ( t ),,,..., n dmana, f ( t ) adalah fungs yang tdak dketahu. Suatu model semparametrk untuk data longtudnal dapat dtuls dengan : y X β f ( t ),,,..., n ; j,,..., n j j j j Dengan menggunakan metode Penalzed Lkelhood dperoleh estmator komponen parametrk ˆ β = X PX X Py dan estmator komponen nonparametrk fˆ ( ) V K V I - X X PX X P y, dmana P = V V ( V K ) V Kata kunc : regres semparametrk, data longtudnal, dan penalzed lkelhood. Abstract Let y s response varable, X s predctor varable whch lnear relaton wth predctor whch nonlnear relaton wth y, the model s semparametrc, y X β f ( t ),,,..., n where, f ( t ) s unknown functon. he semparametrc model for longtudnal data s : y X β f ( t ),,,..., n ; j,,..., n j j j j Wth usng Penalzed Lkelhood method are obtaned parametrc component estmator ˆ β = X PX X Py And nonparametrc component estmator fˆ ( ) V K V I - X X PX X P y, where P = V V ( V K ) V Keywords: semparametrc regresson, longtudnal data, and penalzed lkelhood y and t s another I. LAAR BELAKANG Analss regres adalah salah satu alat statstk yang banyak dgunakan untuk mengetahu hubungan antara dua atau lebh varabel. Msalkan y adalah varabel respon dan t adalah varabel predktor, maka untuk n pengamatan hubungan varabel tersebut dapat dnyatakan dengan : y f ( t ),,,..., n

2 JIM, Vol 5 No., Nopember 008 : 60-64: dengan f ( t ) adalah fungs regres dan adalah error random yang dasumskan ndependen dan dentk dengan mean 0 dan varans. Ada dua pendekatan yang dapat dgunakan untuk mengestmas f ( t ) yatu pendekatan parametrk dan nonparametrk. Pendekatan parametrk dgunakan bla bentuk fungs f ( t ) dketahu berdasarkan pada teor dan pengalaman masa lalu. Sedangkan pendekatan nonparametrk dgunakan bla tdak adanya nformas tentang bentuk hubungan varabel respon dan varabel predktor. Namun dalam perkembangan analss regres, untuk mengatas permasalahan bla varabel predktornya tdak dapat destmas dengan pendekatan parametrk maupun nonparametrk, maka dperkenalkan regres yang merupakan gabungan dar regres parametrk dan regres nonparametrk, yatu regres semparametrk []. Peneltan tentang regres semparametrk telah banyak dlakukan. [] tentang estmator splne pada model semparametrk. [3] tentang pendekatan kernel dalam regres semparametrk dan pemlhan bandwdth optmal. Dan [4] tentang model lner parsal pada hlangnya data komponen parametrk. Namun peneltan-peneltan tersebut hanya pada data cross secton atau data yang damat pada suatu waktu tertentu. Untuk kasus khusus, regres semparametrk dapat dgunakan pada data longtudnal. II. INJAUAN PUSAKA II. Data Longtudnal Stud longtudnal ddefnskan sebaga suatu stud terhadap unt ekspermen dengan respon yang damat dalam dua atau lebh nterval. Data longtudnal adalah pengamatan berulang pada unt ekspermen, berbeda dengan data cross secton yatu data dar masng-masng ndvdu damat dalam sekal waktu [5]. Ada beberapa keuntungan dar stud mengena data longtudnal dbandngkan dengan data cross secton. Pertama, stud longtudnal lebh powerful dar stud cross secton untuk sejumlah subjek yang tetap. Dengan kata lan, untuk memperoleh kekuatan uj statstk yang sama, stud longtudnal membutuhkan subjek yang lebh sedkt. Kedua, dengan jumlah subjek yang sama, hasl pengukuran error menghaslkan penaksr efek perlakuan yang lebh efsen dar data cross secton. Ketga, data longtudnal mampu menyedakan nformas tentang perubahan ndvdu, sedangkan data cross secton tdak [5].

3 Estmas Parameter pada Regres Semparametrk untuk Data Longtudnal II. Model Semparametrk Untuk Data Longtudnal Regres semparametrk adalah gabungan antara regres parametrk dan regres nonparametrk. Model regres semparametrk dapat dtuls sebaga berkut : y X f ( t ),,,..., n () dmana y adalah varabel respon ke -, dan adalah error random, dmana dapat dtuls dengan : X adalah komponen parametrk, f ( t ) adalah fungs regres N (0, ). Regres semparametrk untuk data longtudnal y X β f ( t ),,,..., n ; j,,..., n () j j j j dmana terdapat n subjek dengan subjek ke- mempunya n observas menurut waktu. y j, =,...,n, j =,...,n merupakan respon untuk subjek ke- pada waktu ke-j. β (,,..., ) p adalah vektor p pada koefsen regres parametrk X, dengan X β dasumskan tdak mempunya ntersep, j f ( t ) adalah fungs yang terdeferensabel dua kal dengan panjang perode sama dengan P dan j j adalah eror random yang salng bebas dengan mean 0 dan varans R. III. PEMBAHASAN Asums data mengkut model pada persamaan () dengan f W m dan ε N( 0, R). Estmas parameter pada model regres semparametrk untuk data longtudnal, dperoleh dengan cara memaksmumkan Penalzed Log Lkelhood (PLL). Msalkan fungs dstrbus dar ε adalah f ( ε) exp N ( V ) ε V ε n N n dan V R maka (3) selanjutnya akan dcar dstrbus dar y = Xβ + f + ε dengan metode Moment Generate Functon (MGF) dperoleh : 3

4 JIM, Vol 5 No., Nopember 008 : 60-64: M ( t) E[exp( t y)] y E[exp{ t ( Xβ + f + ε)}] exp( t ( Xβ + f )) E[exp( t ε)] exp( t ( Xβ + f ) t Rt) exp( t ( Xβ + f )) exp( t Rt) sehngga dar metode MGF datas dperoleh y N ( Xβ + f, R). Berkut dberkan fungs lkelhood dar y adalah: N β f y V ε V ε (,, ) ( ) exp (4) dengan ε y Xβ f. Selanjutnya, untuk estmas parameter β dan fungs f ddapat dar memaksmumkan PLL. Dketahu fungs log lkelhood ( β, f, y) dar model semparametrk tersebut adalah : N N (5) log ( β, f, y ) log( ) log ( V ) ( y Xβ f) V ( y Xβ f ) Selanjutnya, fungs PLL untuk model () dapat dtuls dengan : b PLL '' ( β, f, y) [ f (t)] dt (6) a dmana ( β, f, y) merupakan fungs lkelhood, 0 merupakan parameter smoothng dan merupakan fungs penalt. Persamaan (6) dapat dsederhanakan dengan : b a '' [ f (t)] dt N N PLL log( ) log( ) ( β X V Xβ β X V f + f V f ) f Kf V y V y y V Xβ y V f (7) PLL Dengan membuat 0 β akan dperoleh : 4

5 Estmas Parameter pada Regres Semparametrk untuk Data Longtudnal y V X X V Xβ X V f 0 X V y X V Xβ X V f 0 (8) PLL Selanjutnya dengan membuat 0 f akan dperoleh : y V β X V V f K f 0 y V β X V f V f K 0 ( V K ) f V ( y Xβ) f V K V y Xβ ( ) ( ) (9) Untuk memperoleh estmator ˆβ, substtus (9) ke (8) : dmana X V y X V Xβ- X ( V K ) V ( y Xβ ) = 0 X V XX ( V K ) V X β = X V X ( V K ) V y ˆ ( ) ( ) β = X PX X Py β = X V X X V K V X X V X V K V y ˆ (0) P = V ( V K ) V Substtus (0) ke (9), dperoleh : f ˆ = ( V K ) V y - X X PX X Py fˆ ( V K ) V I - X X PX X P y () Untuk mendapatkan matrk A ( ), substtus (0) dan () ke : yˆ Xβ ˆ fˆ ( ) ( ) X X PX XPy V K V I-X X PX X P y X XPX X P V K V I-X X PX XP y I ( V K ) V X XPX X P ( V K ) V y A( ) y dmana ( ) ( ) A I V K V X X PX X P 5

6 JIM, Vol 5 No., Nopember 008 : 60-64: IV. KESIMPULAN Dberkan model y X β f ( t ) dmana j j j,,..., n, j,,..., n. Error random ε berdstrbus normal dengan mean nol dan varans V. Berdasarkan analss yang dlakukan dapat dsmpulkan dalam estmas model semparametrk yatu estmas parameter untuk komponen parametrk dperoleh : ˆ β X PX X Py dan estmas komponen nonparametrk dperoleh : ˆ ( ) f V K V I - X X PX X P y dmana P = V V ( V K ) V V. DAFAR PUSAKA [] Engle, R. F., Granger, C. W. J., Rce, J., dan Wess, A Semparametrc Estmates of he Relaton Between Weather and Electrcty Sales, Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. Vol. 8, hal [] Srnad, I.A.M. 00. Estmator Splne pada Model Semparametrk. ess. Surabaya: Insttut eknolog Sepuluh Nopember. [3] Mulanah Pendekatan Kernel dalam Regres Semparametrk dan Pemlhan Bandwth Optmal. ess. Surabaya : Insttut eknolog Sepuluh Nopember. [4] Ampa, A Model Lner Parsal Pada Hlangnya Data Komponen Parametr. ess. Surabaya : Insttut eknolog Sepuluh Nopember. [5] Kuswanto, H Model Gamma-Fralty Untuk Data Longtudnal dan Pendugaan Korelas Seral dengan Metode Composte Lkelhood, ess. Surabaya : Insttut eknolog Sepuluh Nopember. 6