Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA-ITS ( ) Abstrak

Transkripsi

1 PEMODELAN DAYA LISTRIK DENGAN PENDEKATAN MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY (GARCH). (STUDI KASUS: PT. PJB UNIT PEMBANGKITAN GRESIK) Firoh Amalia, Drs. Haryono, MSIE Mahasiswa Jurusan Saisia FMIPA-ITS ( ) Dosen Jurusan Saisia FMIPA-ITS Absra Salah sau upaya yang dapa dilauan unu menjaga esabilan produsi yaiu dengan melauan pemodelan produsi unu mengeahui pola produsi. Pada beberapa asus erdapa auoorelasi anar pengamaan. Pengamaan yang berauoorelasi dapa dimodelan dengan meode ARIMA. Dalam meode ini diperluan asumsi residual whienoise sehingga diperoleh residual yang independen. Pada daa daya lisri erjadi heerosedasisias arena perminaan daya lisri berbeda iap selang wau erenu sehingga asumsi ersebu ida erpenuhi dan perlu dilauan pemodelan varians residual. Dalam peneliian ini pemodelan ersebu dilauan dengan menggunaan model Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH). Kaa unci: Auoorelasi, EWMA residual, ARIMA, GARCH.. Pendahuluan Pengendalian ualias sanga pening bagi perusahaan dalam memperahanan muu produ yang dihasilan. Kualias produ yang selalu erjaga aan menean biaya perbaian dan pengembalian produ sera memberi epuasan bagi onsumen. Pengendalian produsi aan menghasilan efisiensi proses produsi sehingga dapa meminimuman biaya produsi dan memberian eunungan yang masimal bagi perusahaan. Salah sau upaya yang dapa dilauan yaiu dengan melauan pemodelan produsi unu mengeahui pola produsi. Sering dalam proses produsi pengamaan berauoorelasi aau erdapa eeraian anar pengamaan pada variabel erenu pada suau wau dengan pengamaan pada variabel iu sendiri pada wau sebelumnya. Adanya auooelasi ini menyebaban perlunya dilauan pemodelan ime series. Pengamaan yang berauoorelasi dapa dimodelan dengan menggunaan model ARIMA. Model ARIMA membuuhan pemenuhan asumsi residual bersifa whie-noise yaiu independen, ideni dan berdisribusi normal. Residual bersifa independen yaiu ida ada orelasi anar residual. Residual bersifa independen dimana varians residual model homogen dengan aa lain varians residual sama. Auoorelasi proses salah saunya dapa erjadi pada produsi daya lisri. Daa produsi daya lisri memilii auoorelasi. Daya lisri yang diprodusi saa ini berpengaruh erhadap produsi daya lisri beriunya. Daa daya lisri ida dapa diasumsian independen. Pada peneliian ini digunaan daa daya lisri PT. Pembangian Jawa Bali Uni Pembangian Gresi selama bulan Mare 00. Pengendalian ualias produsi daya lisri pening dilauan dalam ranga menjaga efisiensi mesin dan produivias pembangi. Daa daya lisri yang diprodusi memilii

2 auoorelasi sehingga daa ida bersifa independen. Keadaan ini mengaibaan perlu dilauan pendeaan ime series. Dalam model ARIMA diperluan pemenuhan asumsi residual whie-noise. Jia asumsi ersebu ida erpenuhi, maa diperluan meode lain unu mengaasi masalah ersebu. Daa daya lisri yang diprodusi mempunyai indiasi varians ida homogen arena perminaan lisri berbeda seiap selang waunya. Adanya unsur heerosedasisias ersebu mengaibaan pemodelan dengan ARIMA ida lagi valid sehingga diperluan meode lain unu memodelan unsur heerosedasisias ersebu. Dalam peneliian ini pemodelan ersebu dilauan dengan menggunaan meode Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH).. Tinjauan Pusaa Model ARIMA Time Series Dere Wau (Time series) adalah serangaian pengamaan erhadap suau variabel yang diambil dari wau e-wau dan dicaa secara beruruan menuru uruan wau ejadiannya dengan inerval wau yang eap (Wei, 990). Model ARIMA ime series erdiri dari dua aspe yaiu aspe auoregressive dan moving average. Secara umum, model ARIMA diulisan dengan noasi ARIMA (p,d,q) dimana p menyaaan orde dari proses auoregressive (AR), menyaaan pembedaan (differencing), dan q menyaaan orde dari proses moving average (MA). Unu suau proses {x } yang sasioner, dengan E ( Z ) µ dan Var ( x ) E ( x µ ) σ adalah onsan, sera Cov ( x, xs ) yang merupaan fungsi selisih wau ( -s ). Persamaan dari ovarians anara x dan x + adalah (Wei, 990) γ Covx (, x + ) E( x µ )( x + µ ) () dan orelasi anara x dan x + adalah (Wei,990) Jia diberian suau observasi ime series x, x,..., x n maa fungsi auoorelasi (ACF) sampel dapa dihiung dengan menggunaan perumusan sebagai beriu : ˆ γ ˆ ρ ) γ 0,,,...n- n ( x x) ( x + n 0 ( x x) x) () Auoorelasi Parsial digunaan unu menguur inga eeraan anara x dan x, apabila pengaruh dari lag wau,, 3,..., - dianggap erpisah. Fungsi Auoorelasi Parsial dapa dirumusan sebagai beriu: φ corr( x, x x, x,..., x + ) (3) Perhiungan nilai PACF dimulai dari menghiung ˆ φ ˆρ, sedangan unu φˆ menghiung dengan menggunaan perumusan sebagai beriu (Wei, 990): ρˆ + ˆ φ j j ρˆ + j ˆ φ +, + (4) ˆ φ ρˆ j Model ARIMA (p, d, q) yang dienalan oleh Box dan Jenins dengan orde p sebagai operaor dari AR, orde d merupaan differencing, dan orde q sebagai operaor dari MA. Benu persamaan unu model ARIMA adalah (Wei, 990) : Fungsi orde (p) unu operaor dari AR yang elah sasioner: φ B θ 0 + θ ( B) a d p ( )( B) x a j j (5) (6) Fungsi dari orde (q) unu operaor MA yang elah sasioner (7) Idenifiasi Model ARIMA dan Peneapan Model Semenara Idenifiasi model ARIMA Box-Jenins dapa dijadian sebagai langah dalam mengidenifiasi adanya eidasasioneran model. Bila daa ida sasioner dalam mean maa harus di differencing dan jia ida sasioner dalam varians maa harus diransformasi. Peneapan model semenara dilauan dengan meliha lag yang signifian q

3 pada plo ACF unu mengidenifiasi orde MA dan pada plo PACF unu menenuan orde AR. Uji Signifiansi Model ARIMA Model ARIMA yang bai adalah model yang menunjuan bahwa penasiran parameernya signifian berbeda dengan nol. Secara umum, misalan θ adalah suau parameer pada model ARIMA Box-Jenins dan θˆ adalah nilai asiran dari parameer ersebu, sera SE( ˆ θ ) adalah sandar error dari θˆ, maa uji esignifianan parameer dapa dilauan dengan hipoesis sebagai beriu: H 0 : θ 0 H : θ 0 dengan saisi uji: ˆ θ (8) SE( ˆ) θ > p Tola H 0 jia α df n n, n p banyanya parameer aau ola H 0 jia p- value <α. Diagnosic Checing Pemerisaan diagnosi pada residual melipui uji asumsi whie noise yang melipui residual independen, ideni, dan berdisribusi normal (0, σ a ). Pengujian independensi residual dilauan dengan menggunaan uji L-jung Box dengan hipoesis: H 0 : ρ ρ... ρ 0 H : minimal ada sau nilai ρ 0, dimana,,..., K. dengan saisi uji: K ( n + ) ( n ) ˆ ρ Q n (9) dimana n adalah banya pengamaan dan ρˆ adalah sampel ACF residual pada lag e-. Daerah Kriis Q > χ ( α, K m) aau p-value < α 5%. Unu mengeahui apaah residual berdisribusi normal aau ida dilauan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipoesis sebagai beriu (Daniel, 989): H 0 : F ( a ) F0 ( a) (residual berdisribusi normal) H : F( a ) F0 ( a ) (residual ida berdisribusi normal) dengan saisi uji: D Sup S( a ) F0 ( a ) (0) a dimana D adalah ja-ra erjauh anara S ( a ) dan F 0( a ), S ( a ), F 0( a ), S up masing-masing merupaan fungsi Kolmogorov peluang umulaif yang dihiung dari daa sampel, fungsi peluang umulaif disribusi normal, dan nilai supremum unu semua a. Daerah Kriis: To-la H 0 jia D D( α, n) aau p-value < α, dengan α 5%. Salah sau cara yang dapa digunaan unu menduga ehomogenan varians adalah memodelan varians dalam proses AR(q) dengan menggunaan uadra dari residual. Model ini dapa diulisan sebagai beriu : ˆ ε α 0 + αεˆ - + αεˆ αqεˆ -q + v. () Unu mengeahui ehomogenan varians (residual ideni) dapa diuji dengan menggunaan uji Ljung Box dari uadra residual hasil pemodelan (Wang, Gelder, Vrijling dan Ma, 005) dan uji Lagrange Muliplier (Luepohl dan Krazig, 004). Selain iu, heerosedasisias dapa dideesi dengan meliha plo ACF dan PACF dari uadra residual (Tsay dalam Noviany, 009). Pengujian Ljung Box dari uadra residual hasil pemodelan, dengan hipoesis sebagai beriu : H 0 : ρ ρ... ρ 0 H : minimal ada sau nilai ρ 0, dimana,,..., K. dengan saisi uji: K ( n + ) ( n ) ˆ ρ Q n () dimana n adalah banya pengamaan dan ρˆ adalah sampel ACF uadra residual pada lag e-. Daerah Kriis Q > χ ( α, K m) aau p-value < α 5%. Pengambilan epuusan, jia H 0 diola maa varians residual ida homogen. Pemilihan Model Terbai Pada Permodelan daa ime series, ada emunginan erdapa beberapa model yang sesuai yaiu semua parameernya signifian, 3

4 residual memenuhi asumsi whie noise. Dalam peneliian ini hanya digunaan rieria insample arena penerapan meode ime series yang digunaan hanya unu memilih model yang erbai dan ida sampai pada peramalan daa beriunya. Krieria in-sample yang digunaan adalah sebagai beriu:. AIC (Aaie s Informaion Crierion) Krieria AIC dirumusan sebagai beriu (Wei, 990): AIC(M) nln ˆ σ a + M (3) dengan n adalah banyanya residual, ˆa σ adalah esimasi maximum lielihood dari varians residual( σ a ), M adalah order opimal dari model, sebagai fungsi p dan q sehingga AIC minimum.. SBC (Schwar z Bayesian Crierion) Schwarz (978) di dalam Wei (990) menggunaan rieria Bayesian dalam pemilihan model erbai yang disebu dengan SBC dengan perumusan sebagai beriu : SBC(M) nln ˆ σ a + M ln n (4) dengan n dan ˆa σ adalah banyanya jumlah residual dan esimasi maximum lielihood dari varians residual( σ a ), se-dangan M adalah jumlah parameer dalam model. Model GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Condiional Heerosedasiciy) Pada ahun 986, Bollerslev mengembangan model yang dienalan Engle dengan eni varians bersyara yang menganggap nilai ramalan residual mengiui proses ARMA (p, q). Model ini emudian disebu Auoregressive Condiional Heeroedasiciy (GARCH(p, q)). Model GARCH(p, q) ini dinyaaan dalam persamaan (Wei, 006) : σ α αpa p + βσ βqσ p dimana: σ varians residual (5) a uadra residual model ARIMA e ~ iid N(0,) Tasiran residual dapa diperoleh dari: ε σ e (6) Idenifiasi model GARCH sama dengan idenifiasi model ARIMA dengan meliha lag signifian pada plo ACF dan PACF dari uadra residual. Pada pengendalian ualias dalam peneliian ini digunaan residual dari model ime series sebagai daa inpu dalam diagram onrol sehingga erbenu diagram onrol EWMA residual. Diagram onrol EWMA residual bai dalam menganalisis pergeseran mean dan varians proses unu pengamaan yang berauoorelasi (Lu dan Reynold, 999). 3. Meodologi Sumber Daa Daa yang aan digunaan dalam peneliian ini adalah daa seunder yang merupaan daa produsi daya lisri iap seengah jam pada PLTU uni 3 selama bulan Mare 00. Variabel Peneliian Variabel peneliian yang digunaan dalam peneliian ini adalah daya lisri yang diprodusi iap seengah jam X daya lisri yang diprodusi pada seengah jam e-. dimana,, 3,..., 488 Langah-Langah Analisis Langah-langah analisis dalam penyusunan peneliian ini adalah sebagai beriu:. Memerisa auoorelasi daa daya lisri yang diprodusi. Membua model ARIMA dari daa daya lisri yang diprodusi Adapun langah-langah dalam membua model ARIMA adalah sebagai beriu: a. Mengidenifiasi model ARIMA unu mengeahui esasioneran daa erhadap mean dan varians dengan meliha plo ime series dan plo ACF b. Jia daa ida sasioner erhadap mean, maa dilauan differencing jia ida sasioner erhadap varians maa dilauan ransformasi c. Meneapan model-model semenara dengan meliha plo PACF dan ACF pada lag yang signifian d. Melauan pendugaan dan pengujian parameer model 4

5 e. Melauan diagnosic checing erhadap residual f. Melauan pemilihan model erbai g. Mendapaan model erbai 3. Mendapaan residual dari model ARIMA yang diperoleh 4. Membua model GARCH 5. Mendapaan residual dari model yang sesuai 4. Analisis dan Pembahasan Nilai-nilai auoorelasi daya lisri menunjuan bahwa erdapa auoorelasi yang cuup besar anara daya lisri pada seengah jam e- dan daya lisri pada seengah jam e -. Nilai ACF pada lag perama sebesar 0,9553 dan pada lag edua sebesar 0, Plo ACF urun secara lamba dan nilai ACF pada lag e- ida jauh berbeda dengan nilai ACF pada lag e -. Hal ini menunjuan adanya auoorelasi daa. Dalam pembuaan diagram onrol residual digunaan pendeaan ime series pada daa yang berauoorelasi. Meode ARIMA digunaan dalam pembuaan diagram onrol residual unu memperoleh residual yang ida berauoorelasi. Beriu penenuan model ARIMA produsi daya lisri. Idenifiasi Model ARIMA Langah awal dalam membua model ARIMA adalah melauan idenifiasi model ARIMA dengan menggunaan plo ime series dan plo ACF unu meliha esasioneran daa Time Series Plo of daya yang hanya dilauan differencing saja sehingga pada daa ini ida dilauan ransformasi. Dari plo ACF erliha bahwa nilai ACF mempunyai pola musiman dimana nilai ACF punca berada pada lag 48 dan elipaannya.unu mengaasi eidasasioneran ersebu dilauan differencing musiman dan non musiman (,48). C Time Series Plo of C Gambar 4 Plo Time Series daya lisri seelah dilauan differencing (,48) Seelah dilauan differencing diperoleh daa yang sasioner erhadap mean yang erliha dari fluuasi daa yang berada di seiar garis engah grafi. Peneapan Model Semenara Peneapan model semenara dilauan dengan meliha lag yang signifian pada plo ACF dan PACF. Parial Auocorrelaion,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 745 Index Parial Auocorrelaion Funcion for C8 (wih 5% significance limis for he parial auocorrelaions) Gambar 5 Plo PACF daya lisri seelah didifferencing,48 50 Lag daya 70 Auocorrelaion Funcion for C8 (wih 5% significance limis for he auocorrelaions), Index Gambar 3. Plo Time Series daya lisri Plo di aas menunjuan bahwa daa daya lisri belum sasioner dalam mean dan varians sehingga perlu dilauan ransformasi dan differencing. Pada daa ini seelah dilauan ransformasi dan differencing sebanya sau ali, plo ime series dan ACF yang diperoleh sama dengan plo pada daa Auocorrelaion 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 -, Lag Gambar 6 Plo ACF daya lisri seelah didifferencing,

6 Lag yang signifian pada plo PACF menujuan orde AR pada model ARIMA sedangan lag yang signifian pada plo ACF menunjuan orde MA pada model ARIMA. Dari plo ACF dai daa yang elah sasioner, nilai ACF yang signifian erdapa pada lag,, 48 dan sedangan pada plo PACF nilai yang signifian berada pada lag,, 48 sehingga model ARIMA yang mungin adalah (,,)(,,) 48,(,,)(,,) 48, (,,)(,,0) 48, (,,)(,,0) 48 dan ombinasi model lainnya. Esimasi Parameer Langah selanjunya dilauan esimasi parameer dengan perumusan hipoesis : H 0 : θ 0 H : θ 0 Seelah melauan uji parameer, dari berbagai model yang mungin beriu modelmodel yang mempunyai parameer yang signifian (P-value < α5%): ARIMA(,,)(,,0) 48, ARIMA(,,0)(,,0) 48, ARIMA(,,)(,,0) 48, ARIMA(,,)(,,0) 48, dan ARIMA(,,)(,,0) 48 Pemerisaan Asumsi Residual Residual model ARIMA harus memenuhi asumsi whie-noise dimana residual bersifa independen, ideni, dan berdisribusi normal (0, σ a ). Pemerisaan asumsi residual ersebu melipui empa rieria yaiu independensi residual, enormalan residual dan ehomogenan varians residual. Uji Independensi Residual Salah sau asumsi residual yang harus dipenuhi adalah independen. Pemerisaan asumsi ini dapa dilauan dengan menggunaan uji Ljung-Box dengan hipoesis sebagai beriu : H 0 : ρ ρ... 0 ρk H : minimal ada sau ρ i yang ida sama dengan nol unu i,,...,k Saisi uji: K ( ) Q n n + ( n ) ˆ ρ Nilai P-value uji Ljung Box dari seluruh model yang mungin bernilai 0,00 sehingga dapa disimpulan bahwa model-model ARIMA ersebu ida independen. Uji Kenormalan Residual Pemerisaan asumsi residual selanjunya adalah dengan menguji asumsi residual berdisribusi normal edua model ARIMA ersebu dengan hipoesis sebagai beriu : H 0 : F ( a ) F0 ( a) (residual berdisribusi normal) H : F( a ) F0 ( a ) (residual ida berdisribusi normal) Saisi uji: D Sup S a ) F ( a ) a ( 0 dengan α sebesar 5% Tabel. Nilai P-value Uji Kenormalan Residual Model P-value ARIMA(,,)(,,0) 48 <0,00 ARIMA(,,0)(,,0) 48, <0,00 ARIMA(,,)(,,0) 48 0 <0,00 ARIMA(,,)(,,0) 48 <0,00 ARIMA(,,)(,,0) 48 0 <0,00 Dari edua plo di aas dapa diiha bahwa model-model ida signifian. Hal iu dapa diliha dari nilai P-value yang urang dari 0.00 dimana nilai ersebu lebih ecil dari nilai oleransi 5 % sehingga H 0 diola. Uji Kehomogenan Varians Residual Salah sau cara yang dapa digunaan unu menduga ehomogenan varians adalah memodelan varians dalam proses AR(q) dengan menggunaan uadra dari residual. Unu mengeahui ehomogenan varians (residual ideni) dapa diuji dengan menggunaan uji Ljung Box dari uadra residual hasil pemodelan. H 0 : ρ... ρ65 0 ρ 6

7 H : minimal ada sau ρ i yang ida sama dengan nol unu i,,...,65 Saisi uji: Q n K ( n + ) ( n ) ˆ ρ ( a ) Nilai saisi Q diperoleh dari uji Ljung Box MINITAB). Dengan mengambil baas signifian sampai lag 65, diperoleh nilai Q sedangan nilai Karena nilai Q > χ( α, K n) χ (0,05,6) maa H 0 diola yang berari varians residual ida homogen. Seelah melauan pemerisaan asumsi residual dapa disimpulan bahwa residual model-model yang mungin ida memenuhi asumsi whie-noise. Hal ini disebaban residual ida independen, ida berdisribusi normal, dan varians residual ida homogen. Varians produsi daya lisri iap selang wau ida sama. Daya lisri diprodusi Pembangi berdasaran perminaan aau onsumsi lisri masyaraa. Penggunaan lisri seiap harinya berbeda-beda pada selang wau erenu sehingga produsi daya lisri berbeda iap selang wau dan mengaibaan varians daya lisri ida homogen. Karena sebab iulah perlu dilauan permodelan dengan menggunaan meode Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH). Pemilihan Model Terbai Pada edua model yang mempunyai parameer signifian dilauan pemilihan model erbai dengan rieria AIC dan SBC unu menenuan model mana yang digunaan. Tabel. Nilai Krieria Pemilihan Model Terbai Model AIC SBC ARIMA(,,)(,,0) , ,70 ARIMA (,,0)(,,0) , , ARIMA (,,0)(,,0) , ,70 ARIMA(,,0)(,,0) , ,30 ARIMA(,,)(,,0) , ,73 Berdasaran abel di aas diperoleh model erbai dengan nilai AIC dan SBC erecil yaiu model ARIMA (,,)(,,0) 48 Model GARCH Pembenuan model GARCH pada peneliian ini ida dapa dilauan dengan menggunaan perinah AUTOREG pada sofware SAS arena GARCH residual mempunyai orde subse.. Sehingga model GARCH dilauan dengan menggunaan perinah yang sama dengan perinah model ARMA. GARCH([,9,47,48,49],[,9,47,48,49,65] mempunyai beberapa parameer yang ida signifian dan ida memenuhi asumsi residual whie-noise. Dengan mengubah orde menjadi m [,48] diperoleh model ARCH arena model GARCH hanya mempunyai orde m yang seluruh parameernya signifian eapi ida mempunyai residual yang memenuhi asumsi whie-noise. Model ARCH([,48]) dengan hasil esimasi parameernya dapa diulis dalam persamaan beriu: σˆ,54 + 0,00ˆ + 0,430εˆ -48 ε + a 5. Kesimpulan dan Saran Kesimpulan Kesimpulan yang dapa diambil dari analisa dan pembahasan pada bab sebelumnya adalah sebagai beriu: Pemodelan daya lisri dengan menggunaan meode ARIMA ida memenuhi asumsi residual whie-noise. Kemudian diauan pemodelan varians residual dengan model GARCH. Model GARCH yang diperoleh merupaan mode ARCH([,48]) sebagai beriu: σˆ,54 + 0,00ˆ + 0,430εˆ -48 ε + a Saran Dalam peneliian ini dilauan pemodelan dengan menggunaan meode ARIMA dan dianjuan dengan meode GARCH yang ernyaa ida menghasilan residual yang memenuhi asumsi whie-noise. Unu peneliian selanjunya pada daa daya lisri disaranan unu menggunaan meode ime series yang lain sehingga diperoleh residual yang memenuhi asumsi whie-noise seperi meode Analisis Fourier aau Mixure Auoregressive. 7

8 DAFTAR PUSTAKA Daniel, W.W. (989). Saisia Nonparameri Terapan,Georgia Sae Universiy. Jaara: PT Gramedia. Koehler, AB., Mars, NB.,O'Connell, RT. (00). EWMA Conrol Chars for Auoregressive Processes. Journal of he Operaional Research Sociey (00) 5, Mongomery, Douglas C. (005). Inroducion o Saisical Qualiy Conrol Fifh Ediion. New Yor: John Wiley & Sons, Inc. Tsay, R. S. (00). Analysis of Financial Time Series. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc. Wang, W., Van Gelder, P. H. A. J. M., Vrijling, J. K. Ma, J. (005). Tesing and Modelling Auoregressive Condiional Heerosedasiciy of Sreamflow Processes. Journal Nonlinear Processes in Geophysics,, Wei, W.W.S. (990). Time Analysis Univariae and Mulivariae Mehods. New Yor: Addison Wesley Publishing Company, Inc. Wei, W.W.S. (006). Time Analysis Univariae and Mulivariae Mehods. New Yor: Addison Wesley Publishing Company, Inc. 8