dan ABSTRAK ABSTRACT

Transkripsi

1 AALISA PRADIGA PRHIUGA L HIGGA DGA GGUAKA L SGIIGA COSA SRAI RIAGL DA L SGIPA ILIAR QUADRILARAL Sadven Purba dan ohanne argan Deparemen eknk Spl Unvera Sumaera Uara lperpuakaan o. Kampu USU edan mal :adven_mp@yahoo.com Saf Pengajar Deparemen eknk Spl Unvera Sumaera Uara. l Perpuakaan o. edan mal : johanne.argan@uu.ac.d dan johnar@ndoa@ne.d ASRAK Peroalan-peroalan yang menyangku geomer yang rum eper peroalan pembebanan erhadap rukur yang komplek pada umumnya ul dpecahkan melalu maemaka anal. Formula dar meode elemen hngga dapa dgunakan unuk mengaa permaalahan n. Akba adanya beban pada ebuah balok akan mengakbakan adanya lenduan. Pemaalahan n dapa dnjau dan deleakan dengan menghungnya ecara elemen hngga. lemen yang dapa dgunakan malnya elemen egga aau yang lebh dkenal dengan conan ran rangle aau elemen egempa yang debu juga blner quadrlaeral. enunya lenduan pada balok n juga dapa dhung ecara ekak. Dalam ulan n akan djelakan ecara ngka bagamana mencar bear lenduan yang erjad ehngga ka dapa membandngkan berapa bear lenduan yang erjad danara kega cara erebu. Kaa kunc : balok lenduan meode elemen hngga elemen egga egempa ASRAC Iue nvolvng complcaed geomere uch a he problem of loadng on he rucure of he comple n general dffcul o olve hrough mahemacal analy. Formulaon of he fne elemen mehod can be ued o overcome h problem. Due o he load on he beam wll reul n a deflecon. Pemaalahan can be revewed and reolved by he fne elemen coun. lemen ha can be ued for eample rangular elemen or beer known a he conan ran rangle or quadrlaeral elemen called blner quadrlaeral. Of coure he beam deflecon can alo be calculaed eacly. In h paper we decrbe brefly how o fnd a large deflecon gong on o we can compare how much deflecon ha occur beween he hrd way. Keyword: beam deflecon fne elemen mehod elemen rangle quadrlaeral. PDAHULUA Dalam anala rukur yakn menghung lenduan dgunakan meode konvenonal dengan cara bdang momen ebaga muaan. Dalam kau balok ngg perhungan lenduan dengan cara bdang momen ebaga muaan dak lag epenuhnya benar maka dalam hal n dgunakanlah meode elemen hngga. Pada ulan n akan dbua dengan dua pe perbandngan yakn elemen egga conan ran rangle dan elemen egempa blner quadrlaeral.. OD AALISA Unuk perhungan dengan menggunakan lemen egga Conan Sran rangle mark kekakuan dan mark beban nodal konen dar elemen n dapa durunkan dengan menggunakan peramaan andar yang ederhana. Pada eap nodal erdapa palng edk deraja kebebaan yau u yang merupakan perpndahan d arah dan v yang merupakan perpndahan d arah y. Dengan demkan akan erdapa deraja kebebaan mang-mang unuk u dan v yang dapa dnyaakan ebaga fung perpndahan polnomal dengan buah konana. Dalam uruan penomeran dlakukan dengan arah berlawanan dengan perpuaran jarum jam CCW. lemen egga dalam gambar daa debu elemen Iopramerk. lemen Ioparamerk adalah elemen yang menggunakan koefen nerpola yang ama anara fung dplacemen dan fung koordna paal. 67

2 Koordna lokal ap dar ap node dnyaakan dalam : u = unuk arah horonal v = unuk arah verkal Koordna lokal dalam kaan dengan Koordna Global dhubungkan lewa peramaan: u y = + + y v y = + + y Gambar. lemen Segga Cona Sran rangle erdaarkan R Wllam Weaver dan Paul R ohnon. 99 ark Kekakuan elemen egga Conan Sran rangle dapa dnyaakan ebaga : k C h dengan [k] = mark kekakuan rukur h = ebal elemen = luaan elemen [] = mark gabungan [C} = mark elaa Sedangkan unuk lemen Quadrlaeral mark dar uau elemen dak dak lag merupakan konana yang dapa dkeluarkan dar negra karena kedua mark erebu mah merupakan fung dar Koordna naural dan. lemen quadrlaeral mark [ ] dar uau elemen dak lag merupakan konana yang dapa dkeluarkan dar negra karena kedua mark erebu mah merupakan fung dar Koordna aural dan. Keulan yang akan dhadap adalah dalam menghung negral. Ada ga hal yang perlu unuk mendapakan perhaan dalam menganala jen elemen n yakn Koordna naural dar elemen Quadrlaeral koefen dar fung nerpola hape funcon unuk elemen n dan negra numerk dar perkalan dar [] [C] [] unuk eluruh luaan elemen. Penomeran node denukan dalam arah lawan perpuaran jarum jam CCW. Dua umbu Koordna aural dan berpoongan dak haru egak luru. Fung nerpola aau fung Dplacemen dalam arah dan y adalah : u = u + u + u + u v = v + v + v + v 5 68

3 69 erdaarkan Ir Yerr Suao 00 Deermnan acoban dapa dhung ebaga berku: y y y y 6 j j y { Penggambaran k node dalam elemen Segempa adalah ebaga berku : Gambar. lemen Segempa lner Quadrlaeral erdaarkan R Wllam Weaver dan Paul R ohnon. 99 akan dperoleh formla mark kekakuan unuk elemen egempa adalah ebaga berku da h K A 7 dd h K 8 Formula d bawah unuk negral numerk Gau k w hw w hw hw w hw w K 9

4 . HASIL DA PAHASA Perhungan ecara manual dengan eode lemen Hngga adalah uau meode perhungan yang mengaplkakan em mark dalam perhungannya. Dmana dalam analanya dkenal dua meode uama yau eode Kekakua langung Drec Sffne ehod/dplacemen ehod dan eode Flekbla Flebly ehod/force ehod. eode Kekakuan Langung merupakan meode yang ddaarkan pada konep kekakuan ffne dan dplacemen ranla dan roa adalah ebaga varabel uama yang dak dkeahu dan dcar lebh dulu. Kemudan repon rukur lannya yau reak umpuan dan gaya-gaya dalam gaya akal momen lenur momen or dan gaya geer akan deleakan kemudan. Secara beruruan peramaan-peramaan yang dgunakan dalam formula adalah peramaan ak-deforma peramaan keembangan dan peramaan kompabla. Pada eode Flekbla gaya reak umpuan dan gaya-gaya dalam merupakan varabel uama yang dak dkeahu dan dcar lebh dulu. Secara beruruan peramaan yang dgunakan dalam formula adalah peramaan ak-deforma peramaan kompabla dan peramaan keembangan. Dalam perhungan kal n eode Kekakuan Langung Drec Sffne ehod adalah formula yang dgunakan. Secara ngka dan beruruan proedur perhungan yang haru dempuh adalah: Semua kekakuan elemen dalam benuk mark kekakuan devalua eua dengan hubungan anar ak dan deforma dengan referen koordna lokal elemen erebu mark kekakuan elemen dranformakan ke em koordna global mark kekakuan elemen-elemen dalam koordna global duperpokan dengan mempermbangkan kompabla menjad mark kekakuan rukur berdaarkan pembebanan yang bekerja duun vekor gaya dengan referen koordna global kond baa dplacemen paa k-k nodal umpuan maupun kond baa gaya pada k-k nodal beba dformulakan dalam benuk vekor dplacemen dan vekor gaya. Selanjunya dgunakan kondena a unuk memperoleh mark kekakuan ffne mar rukur ereduk mark kekakuan rukur yang elah ereduk erebu memberkan peramaan keembangan rukur yang olunya menghalkan dplacemen d eap k nodal. Selanjunya reak d eap k nodal umpuan dapa dperoleh kemudan ahap erakhr adalah penghungan gaya-gaya dalam dan egangan-egangan dalam unuk eap elemen. Adapun daa-daa yang dpergunakan dalam anala n adalah ebaga berku dengan panjang benang L = 0 meer = 000 cm dan lebar benang h = meer = 00 cm ebal balok = 0 cm. Sedangkan bearnya beban yang dberkan adalah beban horzonal P I = 50 on= 500 K= dan P II = 50 on= 500 K = la dan bearnya elaa yang dpaka adalah = 0 6 /cm ; angka poon adalah v = 0. Perleakan yang dgunakan adalah perleakan jep-jep. Adapun penggambaran dar pembebanan adalah ebaga berku : 0000mm Gambar. Penggambaran pembebanan dan perleakan 70

5 erdaarkan Chu-Ka Wang 99 perhungan lenduan dengan menggunakan momem ebaga muaan adalah ebaga berku. P = P = A C D 00cm 00cm 00cm Gambar. Penggambaran beban eban yang erjad dkerjakan dengan perhungan adapun bearnya momen yang erjad adalah ebaga berku: C C = P 00 cm = cm = cm = P 00 cm = cm = cm encar lenduan yang erjad adalah Lenduan yang erjad akba gaya adalah ebaga berku : RA00 00RA00 00 I I I 80 0 I Lenduan yang erjad akba momen adalah ebaga berku : 0 I A A I I 80 I Sehngga bearnya lenduan adalah : cm ad bearnya lenduan adalah = cm cm 7

6 Perhungan balok dgunakan dengan membag-bag elemen menjad elemen egga conan ran rangle. ap elemen memlk panjang 00 cm era ngg 50 cm. alok dengan panjang 000 cm era ngg 00 cm dbag menjad 80 elemen. Dalam pemberan k global erdapa jumlah k global ebear 55 k global. Gambar 5. Penggambaran perhungan dengan lemen Segga Seelah dperoleh nla K kemudan akan duun ark Kekakuan Gabungan unuk 80 lemen Segempa aau 55 k global. Dengan menggunakan rumu Gaya = ark Kekakuan Perpndahan aau { f } = [ K ] {d} Selanjunya akan dcar bearnya perpndahan yang erjad adalah : {d} = [ K ] - { f } 0 dengan d = perpndahan yang erjad [K] = mark kekakuan dan f = gaya yang dberkan Sehngga akan dperoleh bearnya perpndahan u dan v unuk eap k global. earnya perpndahan yang ddapa dengan pembagan lemen Segga yakn 80 elemen dengan 55 k global adalah d k k njau dperoleh u = cm dan v = 0906 cm edangkan d k k njau dperoleh u = cm dan v = cm. Perhungan balok dgunakan dengan membag-bag elemen menjad elemen egempa blner quadrlaeral. ap elemen memlk panjang 00 cm era ngg 5 cm. alok dengan panjang 000 cm era ngg 00 cm dbag menjad 80 elemen. umlah elemen elemen yang dberkan eap ama dengan jumlah elemen yang dberkan pada perhungan dengan menggunakan elemen egga conan ran rangle. Dalam pemberan k global erdapa jumlah k global ebear 99 k global. Gambar 6. Penggambaran perhungan dengan lemen Segempa 7

7 Seelah dperoleh nla K kemudan akan duun ark Kekakuan Gabungan unuk 80 lemen Segempa aau 99 k global. Dengan menggunakan rumu Gaya = ark Kekakuan Perpndahan aau { f } = [ K ] {d} Selanjunya akan dcar bearnya perpndahan yang erjad adalah : {d} = [ K ] - { f } dengan d = perpndahan yang erjad [K] = mark kekakuan dan f = gaya yang dberkan Sehngga akan dperoleh bearnya perpndahan u dan v unuk eap k global. earnya perpndahan yang ddapa dengan pembagan lemen Segempa dengan 99 k global adalah : d k 0 k njau dperoleh : u = cm dan v = cm dan dk 56 k njau dperoleh :u = cm dan v = 007 cm. Grafk dan Perbandngan dapa dlha dalam abel dan grafk eper erera d bwah n: abel. Perbandngan hal dengan Secara kak lemen Segga dan lemen egempa Secara kak lemen Segga lemen Segga Keerangan k njau = cm = cm = cm = k = k 0 = cm = cm = cm = k 0 = k : ecara ekak : elemen egempa : elemen egga Grafk. Grafk Perbandngan nla Secara kak lemen Segga dan lemen egempa. 7

8 . SIPULA DA SARA Dar hal perhungan dan pembahaan dapa dmpulkan hal-hal ebaga berku yakn : earnya perpndahan yang ddapa dengan pembagan lemen Segga yakn 80 elemen dengan 55 k global adalah : d k k njau dperoleh u = cm dan v = 0906 cm dan d k k njau dperoleh u = cm dan v = 0060 cm. Sedangkan unuk pembagan dengan lemen Segempa dengan 99 k global adalah : d k 0 k njau dperoleh u = cm dan v = dan dk 56 k njau dperoleh u = cm dan v = 007 cm. Sedangkan dengan perhungan ecara ekak akan dperoleh perpndahan akba gaya = dan perpndahan akba momen = Sehngga bearnya dperoleh adalah - = aau cm. ka dbandngkan anara hal yang dperoleh dengan cara perhungan el dan ekak erdapa elh. Dan nla yang lebh mendeka adalah nla lemen Segempa yakn memlk elh palng kecl ebear : cm. Unuk perhungan ebuah balok maka lebh bak dgunakan elemen egempa karena pada aa elemennya berdeforma -nya blner aau kaa lan dak eap luru.eap unuk perhungan rukur yang elemnnya mendeka ke benuk dak berauran malnya bendungan aau jarng anga bak menggunakan elemen egga regangan konan unuk anal regangan bdang dan grava dan bagan fundanya. alnya pada bendungan beban-beban dakbakan oleh beban ma dan ekanan ar pada muka kr. Dalam perhungan ebuah balok eper uga akhr n maka nla yang palng mendeka ke nla ekak adalah nla dalam perhungan lemen Segempa. Hal n debabkan karena lemen Segempa adalah blner yang mana aa elemennya berdeforma maka -nya daklah eap luru. Sanga berbeda halnya degan elemen egga regangan konan yang debu lner karena -nya eap luru pada aa elemennya berdeforma dpengaruh juga oleh jumlah k global yang berbeda dengan jumlah elemen yang ama. Dar perhungan dan pembahaan ada beberapa aran yang danggap perlu ebaga berku : Perbedaan hal dar perhungan croof el dengan perhungan ecara ekak debabkan karena pembulaan koma. Dalam mengerjakan oal eode lemen Hngga angalah dperlukan keelan dan ngka konenra agar memnmalkan kealahan dalam penjumlahan aau penggabungan mar dar eap elemen-elemen yang ada. DAFAR PUSAKA D Cook Rober Konep dan Aplka eode lemen Hngga. erjemahan Ir. ambang Suryoamono. andung: P RSCO. Lumanarna enjamn dan enny anoo urnal: Aplka Vual unuk Program lemen Hngga dengan lemen Segga dan Segempa Subparamerk dan Ioparamerk. Dmen eknk Spl Vol. o. Sepeember Pnem hd.daud. 00. Anal Srukur dengan eode elemen Hngga Fne lemen ehod. andung: Rekayaa San. Sofa W. Aljahbana urnal: lemen Segga unuk aalah laa Dua Dmen.urnal eknk Spl F.. UAR/o. ahun Ke IV are/ 998. Suao Yerr Ir. 00. Daar-daar eode lemen Hngga. Yokyakara: Penerb And. Uaja urnal: Pembenukan lemen dan ode unuk endukung Pemakaan eoda lemen Hngga. Ralah Lokakarya Kompua dalam San dan eknolog uklr XVI Aguu Wang Chu-Ka dan Charle G. Salmon. 98. Inroducory Srucural Analy. Prence-Hall. Weaver R Wllam dan Paul R ohnon. 99. Fne lemen for Srucural Analy lemen Hngga unuk Anal Srukur. erjemahan oleh arku Rubjano Kuuma. andung: P. reco. 7