Reduksi Persamaan Dirac ke Persamaan Cauchy Nondegenerate

Transkripsi

1 Jurnal San & Maemaka JSM rkel ISSN enelan olume 5, Nomor, Januar 007 rkel enelan: Reuk eramaan ra ke eramaan Cauhy Nonegenerae Sulo Haryano Juruan Maemaka FMI UNI BSRK---eramaan ra abrak aalah uau em peramaan ferenal paral yang memlk rukur abrak ebaga berku ψ - m τ engan maa m>0, keepaan ahaya >0. alam arkel n kaj uau ara mereuk peramaan ra abrak yang apa panang ebaga maalah Cauhy egenerae, ke maalah Cauhy abrak nonegenerae. Reuk n apa lakukan engan memformulakan maalah yang barakan alam ruang Hlber H an ranforma : H H efnkan ebaga fung berku: H yang Kaa kun: Cauhy egenerae, Nonegenerae, eramaan ra, Ruang Hlber ENHULUN erhakan maalah Cauhy abrak, Mz z, z0 z0 engan operaor M ak haru mempunya nver.maalah Cauhy abrak ebu maalah Cauhy abrak egenerae jka M ak mempunya nver. Maalah Cauhy abrak ebu maalah Cauhy abrak nonegenerae jka M mempunya nver. apun alam pembahaan n akan barakan kemungknan mereuk peramaan ra abrak ψ - m τ yang apa panang ebaga maalah Cauhy abrak egenerae ke permaalahan menyeleakan maalah Cauhy abrak nonegenerae. KONSE SR Seap penyeleaan r maalah Cauhy abrak egenerae pa memenuh z unuk emua 0, engan { z z Ran M } alam menyeleakan maalah Cauhy abrak egenerae awal engan aum bahwa operaor,m eruup an erefn ene. Hal n berakba operaor eruup. Karena M operaor eruup, maka Ker M merupakan ruang bagan eruup ar H. Malkan proyek orogonal paa Ker M, akbanya juga merupakan proyek orogonal paa Ker M. Karena M eruup an erefn ene alam H, maka M * eruup an erefn ene alam K. Unuk elanjunya malkan pula Q proyek orogonal paa Ker M *, akbanya Q - Q juga merupakan proyek orogonal paa Ker M *. engan emkan apa ulkan : H Ker M, * H Ran M, QK Ker M * an Q K Ran M. Operaor M njekf jka an hanya jka Ker M{0}. Oleh karena u agar mungknkan mereuk operaor M yang belum enu mempunya nver ke operaor yang mempunya nver erlebh ahulu efnkan operaor pembaaan ar M paa Ker M M ebaga berku: M r M M, engan r M r ker M M. Operaor M M M r mempunya nver. r Sulo Haryano: Reuk eramaan ra 39

2 rkel enelan Malkan bayangan nver ar x erhaap proyek {x} merupakan Ker M yau {x}{ x y yker M}, x Ker M. pabla perhakan hmpunan {x} belum enu merupakan ngelon. Selanjunya akan efnkan operaor 0 yang merupakan operaor pembaa ar operaor paa Ker M ebaga berku: 0 {x} { x } Ran M, unuk eap x 0 engan, 0 x Ker M Operaor 0 bernla unggal jka { x } { x } merupakan ngelon. Unuk u perlukan aum an operaor Q mempunya nver yang erbaa.engan aum erebu, maka vekor zh merupakan anggoa ruang bagan apabla z, z Q Q z an eap x ker M menyaakan engan unggal z ehngga x z an z -Q - Q x. Selanjunya apa efnkan operaor Z yau ebaga berku: Z Q Q Operaor Z erefn paa Z. embaaan aalah Z - Q - Q paa yang merupakan nver ar proyek alam ar: Z paa an Z, paa Ja operaor 0 apa nyaakan menja 0 Z,paa 0 an unuk eap z peroleh 0 x z engan x z. Operaor eruup an mempunya nver erbaa ekuvalen engan operaor njekf engan Ran K. Hal n berakba mempunya nver erbaa yau : : Q K - : Q K engan emkan operaor - 0 Z - Q Q K. K erbaa an erefn paa HSIL N EMBHSN berkan : H H operaor nvolu uner, erbaa an operaor : H H elf ajon, erefn ene an an komuaf engan, yau :, 0 paa. berkan pula : H H operaor mer, erbaa relaf erhaap an komuaf engan,yau :, - 0 paa. eramaan ra abrak aalah uau em peramaan ferenal paral yang memlk rukur abrak ebaga berku ψ - m τ 3 engan maa m>0, keepaan ahaya >0. Oleh karena nvolu maka operaor mempunya nla egen an aau. Unuk menghlangkan rvala ar operaor, malkan aumkan bahwa an merupakan nla egen operaor. berkan merupakan proyek orogonal paa ruang Hlber H engan efn H H. Sehngga ruang Hlber H apa nyaakan ebaga jumlahan langung keua ruang egen H + an H - yang alng orogonal, yau HH + H - J. San & Ma. ol. 5, No. Januar 007:

3 rkel enelan Sulo Haryano: Reuk eramaan ra 4 Selanjunya ar efn operaor-operaor,,, apa fa-fa hubungan ebagamana eruang alam Lemma berku. Lemma. + +, paa.. - -, paa.. + -, paa. v. - +, paa. Buk : Hanya akan bukkan unuk an eangkan buk unuk analog engan an v analog engan.. Unuk eap berlaku,..unuk eap berlaku,. perhakan peramaan ra 3, unuk menar penyeleaan lm non relavk erlebh ahulu efnkan ranforma : : H H H. Oleh karena u -. Lemma Unuk eap berlaku :. m Buk : engan ranforma peramaan 3 apa nyaakan ebaga : m kbanya m aau m aau m 4 Rua kanan peramaan 4 apa ul engan : m

4 rkel enelan. 5 enghungan elanjunya kerjakan unuk mang-mang uku peramaan 5 : perhakan uku ke- peramaan 5. 6 perhakan uku ke- peramaan 5 : m m m m m m m m m m. 7 perhakan uku ke-3 peramaan 5: Selanju. 4.8 nya Lemma apa bukkan engan peramaan 4,6,.7an 8. perhakan Lemma, jka maka apa : m -,. 9 eramaan n merupakan maalah Cauhy abrak 3., engan m an M. 0 Karena merupakan operaor proyek elf ajon maka M merupakan operaor elf ajon an erbaa. erlu nga bahwa H Ker M, H Ker M an Q Ker * H M, Q H Ker M. Karena M merupakan operaor elf ajon, maka H QH Ker M an H Q H Ker M. ampng u karena M juga merupakan proyek orogonal maka H H H Ker M Ker M. engan mengnga bahwa ruang Hlber H apa nyaakan ebaga hal jumlahan langung ar eap anggoa H apa nyaakan eara unggal engan anggoa berakba Q an Q. Ker M an Ker M, era unuk Ker M an Ker M, maka KESIMULN Unuk menyeleakan peramaan ra abrak yang merupakan benuk maalah Cauhy egenerae apa lakukan engan erlebh ahulu mereuk ke maalah Cauhy nonegenerae. Hal n ap lakukan engan menggunakan beberapa aum-aum yang baha alam ruang Hlber an uau ranforma erenu, ehngga apa reuk ke benuk berku: m -, J. San & Ma. ol. 5, No. Januar 007:

5 rkel enelan. eramaan n meru-pakan maalah Cauhy abrak, engan m an M, mana M merupakan operaor yang nverbel. FR USK. Kappel, F. & Shappaher, W., 000, Srongly Connuou Semgroup, n Inrouon.. azy,., 983, Semgroup of Lnear Operaor an pplaon o aral fferenal Equaon, Sprnger-erlag, New York. 3. haller, B. & haller, S., 996, Faorzaon of egenerae Cauhy roblem : he Lnear Cae, J. Operaor heory, Weman, J., 980, Lnear Operaor n Hlber Spae, Sprnger-erlag, Berln- Heelberg-New York. 5. Haryano Sulo, 005, Reuk Maala Cauhy brak egenerae ke Maalah Cauhy brak Non egenerae, Jurnal Maemaka ol 8, No prl 005; Hal: Haryano Sulo, 006, enyeleaan Maalah Cauhy egenerae engan Mereuk ke Benuk Maalah Cauhy Nonegenerae, Jurnal San & Maemaka ol. 4, No. 4, Okober 006; Hal: 4-45 Sulo Haryano: Reuk eramaan ra 43