Fungsi Bernilai Vektor

Transkripsi

1 Fungsi Bernilai Vekor 1

2 Deinisi Fungsi bernilai vekor adalah suau auran yang memadankan seiap F R R dengan epa sau vekor Noasi : : R R F i j, 1 1 F i j k 1 dengan 1,, ungsi bernilai real

3 Conoh : 1. 1 F i j. F cos i sin j k. F ln i 6 j Daerah Asal D F F D R D D D Daerah Hasil R F R F R D F F 1

4 Conoh : Tenukan Domain dari F i 1 j Jawab : 1 D 1 [, D R {} 1 Jadi F D R D D 1 R [, R [, [,, 4

5 . F ln i 6 j Jawab: 1 ln 6 0, D D 1, 6] F D R D D 1 R 0,,6] 0,6] 5

6 Laihan Tenukan daerah asal dari ungsi vekor beriku 1. F 4 i j. F i 4 j 1. F i j F i j 4 6

7 Persamaan Parameer Persamaan kurva di ruang dalam benuk parameer: x ; y ; z, I 1 Conoh : 1. F cos i sin j k x cos, y sin, z. F 4 i j x 4, y 7

8 Garis Garis adalah himpunan semua iik P sehingga P0 P v z Px,y,z P 0 =x 0,y 0,z 0 w 0 w v x y 8

9 P0 P v v= vekor yang sejajar dengan garis w0 w v w w v 0 Persamaan garis dalam benuk vekor Jika w x, y, z w x, y z 0 0 0, 0 v a, b, c Maka persamaan garis dalam benuk parameer: x y z x 0 a y 0 b z c 0 9

10 Conoh 1. Tenukan persamaan garis yang melalui iik 4,-5, dan sejajar vekor<-1,,> Jawab: x, y, z 4, 5, 1,, Persamaan parameer garis iu: x 4 y 5 z 10

11 Conoh. Tenukan persamaan garis yang melalui iik,-,-1 dan 5,-1,-4 Jawab: Vekor yang sejajar dengan garis ersebu adalah v 5, 1, 4 1,, Pilih iik,-,-1 Sehingga Persamaan parameer garis ersebu: x ; y ; z 1 11

12 Laihan 1. Tenukan persamaan parameer dari garis yang melalui pasangan iik yang diberikan: a. 1, -,, 4, 5, 6 b., -1, 5, 7, -, c. 4,,, 6,, -1. Tuliskan persamaan parameer garis yang melalui iik yang diberikan dan sejajar erhadap vekor yang diberikan a. 4,-6,, <-,1,5> b.,5,-, <,-1,4,> 1

13 Graik Fungsi Bernilai Vekor Misalkan F i j 1 y D =[a,b] a c [ ] b ab Jika berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung menjelajahi lengkungan kurva C dengan arah erenu a disebu iik pangkal lengkungan C b Jika disebu iik ujung lengkungan C a b kurva C disebu kurva eruup x 1

14 Graik ungsi vekor Graik ungsi bernilai vekor berupa lengkungan/kurva di R dengan arah erenu Cara menggambar graik ungsi vekor : 1. Tenukan persamaan parameer dari kurva. Tenukan persamaan Caresius kurvaeliminasi parameer dan gambarkan. Tenukan arahnya 14

15 Conoh Gambarkan graik ungsi vekor 1. F cos i sin j ; 0 Persamaan parameernya: x = cos y = sin Arahnya F 0 i,0 F j 0, F i,0 F j 0, F i,0 x/ = cos y/ = sin - cos + sin =1 x y 1 ellips y C x - 15

16 . F 4 i j ; 0 4 Persamaan parameernya: x 4 x 4 y y x 4 x y 4 y parabola Arahnya: C F0 4 i 4,0 F4 j0, -4 x 16

17 Laihan Gambarkan graik ungsi vekor beriku: 1. F i j 4 ;. F 4 i j ;. F 4 1 i j ; 0 4. F i j ; 5. F i a j ; a a 17

18 Ekivalen Fungsi dan g disebu ekivalen jika dan g menjelajahi suau lengkungan C yang sama dengan arah yang sama pula. Conoh Norm acos i asin j, 0 g i a j, a a Misalkan i j k maka norm dari

19 19 Sia ungsi vekor k j i 1 Misalkan k g j g i g g 1 dan cos. 1 1 g g g g g 1. k g g j g g i g g g g g k j i g x k g c j g c i g c g c 1 1. c =konsana adalah sudu anara dua vekor ersebu

20 Limi Deinisi lim L a L a Ilusrasi y a-. a a+ L - L x ε 0

21 Teorema Misalkan 1 i j, maka mempunyai limi di a 1 dan mempunyai limi di a, dan 1 lim lim i lim j a a a Conoh: Hiung limi ungsi vekor beriku jika ada, Jika idak ada beri alasan: 9 1. lim i. lim 0 sin i e 6 9 j j. lim 0 ln, ln 1

22 Jawab j i lim. 1 j i 9 6 lim 9 lim j i lim lim j i lim lim j i j e i sin lim. 0 j e i lim sin lim 0 0 i j i 0

23 . lim 0 ln, ln lim ln 0, lim 0 ln karena Maka lim ln 0 lim 0 ln, ln idak ada idak ada

24 4 Laihan Hiung limi ungsi vekor beriku jika ada, Jika idak ada beri alasan: j i 6 4 lim 1. j i 1 sin lim. e 1, lim. 1 / 0

25 Turunan Deinisi: Misalkan i j k 1 ' lim h0 h i h j h k i j k h 1 h h lim i j k h 0 h h h h h h h lim i lim j lim k h0 h h0 h h0 h 1 1 ' i ' j ' k 1 Jadi ' ' i ' j ' k 1 5

26 Conoh 1. Dikeahui i e j. Tenukan '0 dan ''0 Jawab i. ' i e j 8 1 i e j '0 1i j ii. " 8i 4e j ''0 8i4 j 6

27 Conoh. Dikeahui cos i e j Tenukan a. ' dan '' b. sudu anara '0 dan ''0 Jawab a. ' sin i e j, '' 4cos i e j b. '0 j ; "0 4i j cos '0. "0 '0 " cos

28 Laihan 1. Dikeahui Tenukan. Dikeahui Tenukan an i e j ln 1 k '0 dan ''0 1 r e i ln j D [ r. r ' ]. Tenukan r' dan r" a. b. r e e i e j 5/ r an i j 8

29 Ari Geomeris z D =[a,b] Vekor h [ ] a b O x P h - h, h 0 searah dengan vekor h - h h lim ' h0 h Jika h 0, maka merupakan vekor singgung pada kurva C di iik P pada saa D Ari Geomeris ' : Vekor Singgung c y 9

30 Garis Singgung z P '0 D =[a,b] 0 [ ] ab O x Persamaan garis singgung pada kurva C pada iik P adalah aau x ' 0 0 x, y, z,, ', ' 0, ' c y 0

31 Conoh Dikeahui cos i sin j k Tenukan persamaan garis singgung di iik P 1, 0,. Jawab: 0 = waku saa P ercapai, yaiu 0 = ' sin i cos j k ' 0 i 1 j k 0, 1, 1 1 i 0 j k 1,0, Persamaan parameer garis singgung di iik P 1, 0, adalah x = 1, y =, z = + 1

32 Laihan 1. Dikeahui sin i4cos j Tenukan persamaan garis singgung di iik P 0, 4.. Dikeahui sin e i e cos j 1 k Tenukan persamaan garis singgung di iik P 0, 1, 1.. Dikeahui i j Tenukan persamaan garis singgung di iik P,.

33 Gerak Sepanjang Kurva Misalkan menyaakan waku dan P iik yang bergerak dienukan oleh persamaan parameer x = ; y = g. maka r i menyaakan vekor posisi dari iik P. Jika berubah ujung vekor r g j bergerak sepanjang linasan iik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva Gerak Curvilinear

34 Deinisi Conoh 1. Kecepaan v v iik P adalah r' 'î g'ĵ v. Percepaan di sebu laju iik P a a iik P r'' ''î g''ĵ a p, q 1. Gerak Linear r vekor p hq eap;h. Gerak pada Lingkaran di sebu besar percepaan. Gerak pada ellips pada saa r a cos î bsin ĵ, 4. Gerak pada heliks ungsi real r a cos î asin ĵ, a 0 Lingkaran r a cos a,b 0 î asin ĵ b k 4

35 Conoh Gerak Sepanjang Kurva Persamaan parameer sebuah iik P yang bergerak pada bidang adalah x = cos dan y = sin = waku a. Gambarkan graik linasan P. b. Tenukan rumus unuk kecepaan, laju dan percepaan c. Tenukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saa mana nilai iu dicapai 5

36 Jawab a. Persamaan parameer x = cos y = sin - x/ = cos y/ = sin y v. P a cos + sin =1 x y 1 ellips x - b. r cos i sin j r ' v sin i cos j r" a cos i sin j r 6

37 v 9 sin 4cos 5 sin 4 sin 4cos 5 sin 4 sin cos 5 sin 4 b. Laju maks =, dicapai saa sin = ±1, aau = /, / yaiu pada iik 0, ± Laju min =, dicapai saa sin = 0, aau = 0, yaiu pada iik ±, 0 7

38 Laihan Persamaan parameer sebuah iik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos dan y = sin = waku a. Gambarkan graik linasan P. b. Tenukan rumus unuk kecepaan, laju dan percepaan c. Tenukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saa mana nilai iu dicapai 8

39 Kelengkungan Andaikan ab, r i g j Panjang linasan s dari Pa ke P adalah vekor posisi iik P. s b a 'u g'u Laju iik yang bergerak iu adalah ds d d ds r' 1 v v du a r'u du 9

40 Deinisi. Vekor Singgung Sauan di P, Noasi T dideinisikan sbb r ' r' Apabila P bergerak dt ds T T v v berubah arah disebu vekor kelengkungan di P y o x 40

41 Kelengkungan di P; kappa. Dengan auran ranai diperoleh Jadi dt ds dt ds dt d d T' ds T ' v 1 v T' v dt ds dan R 1 disebu jari-jari kelengkungan 41

42 4 1, 8sin 8cos 1. pada P iik di j i r Tenukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari Jawab: j i v r cos 4sin sin 4cos ' v 4 4 cos sin sin cos 4 j i v v T sin cos sin cos 4 sin cos sin cos 4 j i T cos sin ' v T sin 1 1 sin 4cos 1 sin 4cos cos sin ' Conoh:

43 sin 1 sin R 6 Jari-jari kelengkungan 1 6 Jadi kelengkungan kurva diaas di = /1 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya R adalah 6 4

44 Laihan Tenukan vekor singgung sauan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di iik yang diberikan 1. r e sin i e cos, j di iik P pada. r i 1, j di iik P pada 1. r 4 i 4, j di iik P pada 1 4. r 8sin i 8cos j 4 k, di iik P pada 5. r 6 sin i cos j k, di iik P pada 9 44

45 Teorema Andaikan x = dan y = g adalah persamaan parameer kurva yang mulus. Maka x' y" y' x" x' y' Khususnya, unuk kurva dengan persamaan y =gx, berlaku y" 1 y' 45

46 Conoh 1. Tenukan kelengkungan elips x = cos, y = sin pada iik = 0 dan = / Jawab: x = sin x = cos Kia peroleh x' y" y' x" x' y' Sehingga 0 6 4sin 0 9cos 0 y = cos y = sin 6sin 6cos sin cos sin 9cos 4sin 9cos

47 . Tenukan kelengkungan kurva y = x di P1, 1 Jawab: y = x y = Kia peroleh y" 1 y' 1 x Sehingga /

48 Laihan Tenukan kelengkungan kurva beriku di iik P 1. y = x x, di P1,0. r=+ i + + j, di P,. r= i + 4+ j, di P,- 4. r=41 sin i + 4+cos j, di P8,6 48