Penyelesaian Masalah Cauchy Degenerate dengan Mereduksi ke Bentuk Masalah Cauchy Nondegenerate

Transkripsi

1 Junal Sains & Maemaika JSM) ISSN Kajian Pusaka Volume14, Nomo 4, Okobe 26 Kajian Pusaka: Penyelesaian Masala Caucy Degeneae engan Meeuksi ke Benuk Masala Caucy Nonegeneae Susilo Haiyano 1 1 Juusan Maemaika Univesias Diponegoo BSRK---Dalam aikel ini iseliiki caa mencai penyelesaian masala Caucy absak egeneae melalui masala Caucy absak nonegeneae Pemasalaan ini ibicaakan alam uang Hilbe * H yang apa inyaakan sebagai asil amba langsung ai Ke M an Ran M ) c Selanjunya meoe ini igunakan unuk menyelesaikan limi nonelaivisik ai pesamaan Diac Kaa kunci: masala Caucy absak egeneae, masala Caucy absak nonegeneae,pesamaan Diac PENDHULUN Dalam eoi kuanum seing ijumpai masala-masala Caucy absak egeneae apun yang imaksu engan masala Caucy absak aala sebagai beiku: Dibeikan uang Hilbe H, K aas lapangan C, opeao M : DM) H K an : D) H K masing-masing opeao linea Pesamaan ifeensial, Mz z, z) z 1) engan opeao M iak aus mempunyai inves isebu masala Caucy absak Masala Caucy absak 1) isebu masala Caucy absak egeneae jika M iak mempunyai inves Masala Caucy absak 1) isebu masala Caucy absak nonegeneae jika M mempunyai inves Ole kaena masala Caucy absak egeneae mempunyai banyak eapan, maka beiku ini akan iseliiki caa mencai penyelesaian masala Caucy absak egeneae engan elebi aulu mencai penyelesaian masala Caucy absak nonegeneae Ole sebab iu juga akan iseliiki asumsi-asumsi yang ipelukan aga masala Caucy absak egeneae apa ibawa ke masala Caucy absak nonegeneae yang lebi mua unuk icai penyelesaiannya geneao suau semigup koninu kua eoieoi enang semigup koninu kua ibaas ole Kappel an Scapacce 2) plikasi masala Caucy nonegeneae paa limi nonelaivisik ai pesamaan iac juga ela ibaas ole alle 1996) apun sebagai penunjang peneliian ini ipelukan eoi-eoi enang opeao linea paa uang Hilbe, yang ianaanya ela ibaas ole Weimann 198) Beiku akan ibeikan bebeapa efinisi an eoema asa yang ipelukan unuk pembaasan selanjunya Definisi Weimann, 198) Opeao : H1 H2 ikaakan euup jika ipenui: Jika baisan {f n } D) konvegen i alam H 1 an baisan {f n } konvegen i alam H 2, maka lim f n D) an lim f n )=lim f n Definisi Kappel & Scappace, 2) Dibeikan S ) :, H keluaga opeao ebaas paa X S ) isebu semigup jika i) S ) I, ii) S s) S S s),, s Selanjunya jika ipenui : iii) lim ), S x x unuk seiap x X, maka S) isebu semigup koninu kua KONSEP DSR Masala Caucy absak nonegeneae secaa lengkap sua ibaas ole Pazi 1983) Penyelesaian masala Caucy absak egeneae bekaian engan infiniesimal Susilo Haiyano: Penyelesaian Masala Caucy Degeneae 141

2 Definisi Kappel & Scappace, 2) Dibeikan S ) :, H semigup koninu kua paa X Opeao linea ikaakan infineisimal geneao ai S ), jika 1 x lim S ) x x, unuk x D) = 1 x X lim S ) x x aa eoema Pazi, 1983) Dibeikan opeao linea eefinisi ense engan ) Masala nilai awal, u u, > an u)=x mempunyai penyelesaian unggal yang uunannya koninu paa, unuk seiap nilai awal yang ibeikan jika an anya jika meupakan infineisimal geneao ai suau semigup koninu kua Selanjunya penyelesaian masala Caucy absak 1) yang imaksu alam pembaasan ini iefinisikan sebagai beiku: Definisi Penyelesaian sic ai masala Caucy absak 1) aala suau fungsi koninu z :[,) H seingga z D) DM) unuk semua, Mz mempunyai uunan yang koninu an memenui pesamaan 1) HSIL DN PEMBHSN Seiap penyelesaian sic masala Caucy absak egeneae pasi memenui z D unuk semua, engan D = { z D) z Ran M ) } Dalam menyelesaikan masala Caucy absak egeneae ibeikan asumsi-asumsi sebagai beiku sumsi 1 Opeao, M euup an eefinisi ense Lemma 2 Dengan sumsi 1 opeao D euup Buki : Misalkan z n D D) seemikian ingga lim z n u an lim z n v Kaena euup maka ud) an u = v kan eapi pelu iinga bawa unuk seiap z n D, maka z n Ran M ) Ole kaena iu v Ran M ) seingga ud Kaena M opeao euup, maka Ke M meupakan uang bagian euup ai H Misalkan P poyeksi oogonal paa Ke M, akibanya P 1 P juga meupakan poyeksi oogonal paa Ke M) Kaena M euup an eefinisi ense alam H, maka M * euup an eefinisi ense alam K Unuk selanjunya misalkan pula Q poyeksi oogonal paa Ke M *, akibanya Q = 1 - Q juga meupakan poyeksi oogonal paa Ke M * ) Dengan emikian apa iuliskan : PH= Ke M, * P H= ) Ran M, QK= Ke M * an Q K= Ran M ) Opeao M injekif jika an anya jika Ke M={} Ole kaena iu aga imungkinkan meeuksi opeao M yang belum enu mempunyai inves ke opeao yang mempunyai inves elebi aulu iefinisikan opeao pembaasan ai M paa Ke M) DM) sebagai beiku: M = M D M ), engan DM )= ke M) DM) Opeao M D M ) =M mempunyai inves sepei euang alam lemma beiku Lemma 3 Opeao M mempunyai inves Misalkan 1 bayangan inves ai eaap 1 poyeksi P {} meupakan Ke M ) P yaiu P {}={ y yke M}, Ke M ) pabila ipeaikan impunan 1 P {} belum enu meupakan singelon Selanjunya akan iefinisikan opeao yang meupakan opeao pembaas ai opeao paa Ke M ) sebagai beiku: J Sains & Ma Vol 14, No4 Okobe 26:

3 {} = 1 P { } D Ran M ), unuk seiap D ) 2) engan, D )= 1 ) Ke M ) P { )} D Opeao benilai unggal jika 1 P { } D meupakan singelon Unuk iu ipelukan asumsi sebagai beiku: sumsi 4 PD D an opeao QP) PD mempunyai inves yang ebaas Lemma 5 Dengan sumsi 1 an 4, veko zh meupakan anggoa uang bagian D jika an anya jika z D) an 1 Pz QP) QP z kiba 6 Seiap x P ke M ) D menyaakan engan unggal z D seingga = P z an z = 1-QP) - 1 Q) Menuu kiba 6 apa isimpulkan 1 bawa impunan P { } D meupakan singelon Selanjunya beasakan kiba 6 apa iefinisikan opeao Z yaiu sebagai beiku: 1 Z P QP) QP Opeao Z eefinisi paa D Z ) P D Pembaasan aala 1 Z P D - QP) -1 Q paa P D yang meupakan inves ai poyeksi P alam ai: Z P 1 paa D an P Z 1, paa P D Jai opeao lia 2) apa inyaakan menjai: = Z, paa D )= P D an unuk seiap z D ipeole )= z engan P z sumsi 7 Opeao mempunyai inves yang ebaas D Opeao euup an mempunyai inves ebaas ekuivalen engan opeao injekif engan Ran = K Hal ini beakiba D mempunyai inves ebaas yaiu : D : D Q K D ) -1 : Q K D Dengan emikian opeao -1 = Z ) -1 = 1 P Q K ebaas an eefinisi paa Q K Poposisi 8 i) Jika z meupakan penyelesaian ai masala Caucy absak 1), maka y e z meupakan penyelesaian masala Caucy absak : My M ) y 3) ii) Jika y meupakan penyelesaian ai masala Caucy absak 3), maka z e y meupakan penyelesaian masala Caucy absak 1) Buki : Hanya ibukikan unuk i), seangkan buki ii) analog engan i) i) Jika z meupakan penyelesaian masala Caucy absak 1) - an y e z, maka engan pesamaan 3) ipeole : My Me z M e z M{ e z e z } Me z e Mz My e z My y M) y ) kiba 9 Jika eapa skala λ seemikian ingga opeao M mempunyai inves ebaas, maka sumsi 7 iak ipelukan Susilo Haiyano: Penyelesaian Masala Caucy Degeneae 143

4 Lemma 1 Dengan sumsi 1, 4 an 7 opeao sumsi ) membangun semigup koninu kua i euup paa D )= P D K H ) Pelu iinga kembali bawa unuk eoema 13 seiap zd ipeole Dengan sumsi 1, 3, 7,11 an 12 iapa : z engan P z Lebi Kasus a) Unuk seiap nilai awal z D, lanju unuk zdm), ipeole masala Caucy absak egeneae mempunyai Mz MPz P z MP z M, engan penyelesaian ) P z sic unggal Dengan emikian engan asumsiasumsi i aas masala Caucy absak 1 1 z Z M ) e Mz egeneae apa ieuksi menjai masala Kasus b) Unuk seiap nilai awal z - Caucy absak nonegeneae sebagai 1 Ran M, penyelesaian sic unggal beiku: z Z e 2 P z ) M, ) P z engan M mempunyai inves Unuk poses selanjunya eganung asumsi ai opeao M sumsi 11 Dibeikan D DM) an sala sau penyaaaan i bawa ini ipenui : Kasus a) M ) -1 ebaas an eefinisi paa Q K Kasus b) M ebaas an eefinisi paa P H Unuk kasus a) iefinisikan opeao : 1 = M ) -1, Dengan D 1 )={y Q K M ) -1 yd )} = M P D = MD Opeao 1 euup, kaena meupakan komposisi ai opeao euup an opeao ebaas M ) -1 Jai opeao 1 eefinisi ense i alam uang Hilbe K = MD ) Unuk kasus b) iefinisikan opeao : 2 =M ) -1, P engan D 2 )={ D Ran M}= -1 Ran M Opeao 2 euup kaena meupakan komposisi ai opeao ebaas M ) -1 an opeao euup Jai opeao 2 eefinisi ense i alam uang Hilbe H = P D ) Buki : Kasus a) Misalkan z D, maka M z D 1 ) Dengan sumsi 12 masala Caucy absak nonegeneae, y 1 y, y) Mz mempuny ai penyelesaian unggal 1 ) y ) yang mempunyai uunan koninu an y D 1 ) unuk semua Kaena M ) -1 ebaas, =M ) -1 y juga mempunyai uunan yang koninu, engan P D Diefinisikan z=z, maka Mz M y mempunyai uunan yang koninu an z 1 y y Mz Hal ini menunjukkan bawa z koninu an kaena -1 ebaas maka z juga koninu Dengan emikian z Z M ) e 1 Mz ) meupakan penyelesaian sic masala Caucy absak egeneae Kasus b) Misalkan z ) D engan z Ran M maka P z ) D 2 ) Dengan sumsi 12 masala Caucy absak egeneae 2, ) P z mempunyai penyelesaian unggal x 2 ) e x ) yang mempunyai uunan yang koninu an D 2 ) unuk semua Dengan emikian J Sains & Ma Vol 14, No4 Okobe 26:

5 z Z Z P z D Kaena M ebaas maka Mz M mempunyai uunan yang koninu, seingga Mz M M 2 koninu Inga bawa =z, al ini beakiba z koninu engan mempeaikan keebaasan opeao -1 Jai ) 2 z Z e P z ) penyelesaian sic an unggal ai masala Caucy absak egeneae KESIMPULN Unuk mencai penyelesaian masala Caucy absak egeneae apa ilakukan engan elebi aulu meeuksi masala Caucy egeneae ke masala Caucy nonegeneae yang lebi mua icai penyelesaiannya Selanjunya engan opeao eenu yang mengawankan seiap penyelesaian nonegeneae ke egeneae, apa icai penyelesaian masala Caucy absak egeneae DFR PUSK 1 Kappel, F & Scappace, W, 2, Songly Coninuous Semigoups, n Inoucion 2 Pazy,, 1983, Semigoups of Linea Opeaos an pplicaions o Paial Diffeenial Equaions, Spinge-Velag, New Yok 3 alle, B & alle, S, 1996, Facoizaion of Degeneae Caucy Poblems : e Linea Case, J Opeao eoy, Weiman, J, 198, Linea Opeaos in Hilbe Spaces, Spinge-Velag, Belin- Heielbeg-New Yok 5 Susilo, 25 Reuksi Masala Caucy bsak Degeneae ke Masala Caucy bsak NonDegeneae, Junal Maemaika, Volume 8, Nomo 1, al Susilo Haiyano: Penyelesaian Masala Caucy Degeneae 145