Ukuran Dispersi Multivariat

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Ukuran Dispersi Multivariat"

Vera Lie
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Bab IV Ukua Disesi Mulivaia Pada bab ii, eama-ama aka dikemukaka defiisi eag veko vaiasi vaiabel-vaiabel sada (VVVS sebagai ukua disesi mulivaia akala seluuh vaiabel yag eliba adalah vaiabel sada. Selajuya aka diuuka disibusi asimoik dai VVVS samel. IV. Veko Vaiasi Vaiabel-Vaiabel Sada Misalka X ( adalah veko acak yag meuaka sueosisi dai X ( da X, di maa masig-masig bedimesi da q, X X X. Misalka ula, (i µ (i E X ; i, da (i (i ( j ( j Σ E ( X µ ( X µ ; i, j,. Oleh kaea iu, maiks kovaiasi dai X, sebu saja Σ, daa diuliska dalam beuk aisi Σ Σ Σ. Djauhai (007 megemukaka bahwa Cleoux Σ Σ (987 megguaka T ( ΣΣ uuk meguku hubuga liea aaa dua veko acak X ( da (. Paamee ii disebu veko kovaiasi yag X meuaka jumlah semua eleme diagoal dai Σ Σ. Dega demikia, seei dikemukaka Djauhai (007, T ( Σ da ( T Σ secaa beuu-uu disebu ( vaiasi veko (VV dai X da dai X. Jika q, kovaiasi veko adalah kuada dai kovaiasi sedagka vaiasi veko adalah kuada dai vaiasi klasikal. Djauhai (007 meuuka secaa ici bahwa VV meuaka ukua disesi mulivaia di samig Geealized Vaiace (GV aau deemia maiks kovaiasi seei dikemukaka Adeso (963, Seflig (980, Muihead (98 da Djauhai (007. GV adalah ukua disesi mulivaia yag sudah elebih dahulu oule da bayak diguaka. Alikasiya dalam Mulivaiae Saisical Pocess Cool (MSPC daa dumai, misalya, dalam Al da Smih (988, Wieda (994, Woodall da Mogomey (999, Mogomey 6

2 (00, 005 da Djauhai (005a. Sedagka alikasiya dalam eaksia obus bagi aamee lokasi da disesi daa diliha dalam beuk algoima FMCD (Fas Miimum Covaiace Deemia yag saga oule da dikemukaka dalam Rousseeuw (985, Rousseeuw da Leoy (987, Rousseeuw da Hube (999, Rousseeuw da va Diesse (999, Hube dkk. (005 da Hewidiai dkk. (007. Sebagai ukua disesi mulivaia, VV elah behasil dialikasika dalam meeduksi igka komleksias komuasi FMCD seei dikemukaka dalam Hewidiai dkk. (007. Dega megacu keada hasil eeliia Djauhai (007 da Hewidiai dkk. (007, maka eeliia ii megguaka VV sebagai ukua disesi mulivaia. Sekaag, misalka X adalah veko acak bedimesi dega maiks kovaiasi Σ yag besifa defii osiif. Dega megguaka oeao vec, VV dai X daa diuliska sebagai vec ( Σ. Uuk selajuya, dalam eeliia ii, eulis memfokuska dii keada masalah di maa seluuh vaiabel yag eliba meuaka vaiabel sada. Misalka Z adalah veko acak bedimesi di maa komoe ke-k ya meuaka komoe ke-k dai veko acak X yag elah disadaka; k,,,. Oleh kaea iu, maiks kovaiasi dai Z adalah maiks koelasi dai X. Maiks koelasi ii kia ulis P. Sejala dega defiisi VV di aas, selajuya aamee vec P kia sebu veko vaiasi vaiabelvaiabel sada (VVVS. IV. Disibusi Asimoik VVVS Samel Misalka Z,Z,,Z samel acak beukua dai Z dega maiks kovaiasi P. Jika R adalah maiks koelasi samel, maka vec R aau T ( R kia sebu VVVS samel. Uuk meyelidiki disibusi asimoik dai VVVS samel, eulis megguaka Teoema III. yag elah dibahas ada Bab III. Uuk iu, misalka { X } adalah suau baisa veko acak yag salig bebas. Misalka ula u( X adalah suau fugsi beilai eal di maa u ada da 7

3 u X 0 ( 0 uuk seia X 0 di ligkuga dai c. Djauhai (005 b meujukka Y u X daa diulis dalam beuk uaia Taylo beiku, bahwa vaiabel acak ( di maa R ( X c A( X c ξ ξ u( c Y u( c + ( X c + R X, eleme (i,j dai maiks simeeis Aξ adalah u ξ ai,j ;i,j,,, da X i adalah eleme ke-i dai X da ξ di XiX j ligkuga dai c dega ξ c < X c. Selajuya, bedasaka uaia Taylo esebu, Djauhai (005 b meuuka disibusi dai Y u( X diumuska dalam eoema beiku. ξ yag Teoema IV. Jika baisa { X } c, c adalah suau veko kosa di R da d { X } N( c, Σ maka vaiabel acak Y d ( N Y, Y u( c u( c σy Σ. X X µ σ di maa µ u( c da Y Buki. Kaea X c da beuk kuada Rξ lebih cea meuju 0 dai ada beuk liea u( c X ( X c, maka Y u( X u( c v u c + X c X da ( kovege dalam disibusi ke disibusi yag sama. Selajuya, kaea d d X N ( c, Σ v u X N µ, σ di, meuu Seflig (980, hal. 4, ( ( υ υ maa E( u( c µ υ a. υ µ E v da σ υ u c X X u( c Σ, sebab 8

4 u( c E u c + ( X c X u( c E u c E + ( X c X ( Kaea X c yag beai u c E ( X c 0 X, maka E( u( c µ υ u( c. b. σ υ Va ( v u( c Va u c + ( X c X u( c u( c E ( X c ( X c X X Kaea σ υ u( c u( c E ( X c E ( X c X X u( c u( c E ( X c( X c X X u( c u( c { E( X c }{ E( X c } X X X c, yag beai E X c X c u c ( ( X X u( c E X c X c aau Σ, maka u( c u( c συ Σ. X X Secaa umum, Teoema III.. da IV.. di aas memugkika uuk melakuka kajia eag disibusi asimoik dai seia fugsi beilai eal dai maiks koelasi samel R. Sebagai akiba dai kedua eoema iu, eulis sajika oosisi beiku. 9

5 Poosisi IV. Jika u( R adalah suau fugsi beilai eal di R, u ada, da u ( R* 0 uuk semua R* dalam ligkuga P, maka d ( µ σ u R N, dega µ u( P, u( P σ u P M M R Φ R, M I K Φ { I ( I P }( P P I ( I P { } + di maa Λ Λ da Λ dibeika ada Teoema III.. Poosisi IV. daa diguaka uuk meyelidiki disibusi asimoik dai VVVS samel. Uuk iu diguaka oeao vec yag aka daa meyedehaaka eulisa. Jika A maiks sembaag beukua x, maka yag dimaksud dega vec ( A adalah veko bedimesi yag dieoleh dega meyusu veko-veko kolom dai A yag sau di bawah yag lai. Jadi, adalah eeseasi maiks koelasi R dalam beuk veko kolom bedimesi yag dieoleh dai R dega meyusu veko-veko kolomya, yag sau di bawah yag lai. Dega demikia, VVVS samel idak lai adalah vec R aau T ( R yag meuaka jumlah kuada semua eleme dai R yaki, dega i j T R adalah eleme ke-(i,j dai R. Aabila ada Poosisi IV. kia defiisika u (, maka ada oosisi beiku disajika disibusi dai VVVS samel. Poosisi IV.3 Jika ada Poosisi IV. didefiisika u (, maka dega vec R N, d µ σ 30

6 a. µ vec ( P da vec R 8 b. σ ( vec( P M ( Φ M vec P... (IV. Buki Pehaika bahwa u ( memeuhi sifa u ada da u ( R* 0 uuk semua R* dalam ligkuga P. Kaea ρ uuk seia i,j,,... vec R N vec P, M Φ M, d,, sila liha juga El Maache (997, da maka di maa d u ( vec ( R N, µ σ a. µ E ( u ( E ( u ( vec ( P vec( P da vec R b. σ u vec P u vec P M M Φ. Selajuya kaea ( vec ( R u vec P adalah veko bedimesi di maa elemeelemeya adalah i j uuk seia i,j,,...,, 3

7 ( ( Φ u vec P M u vec P maka M 4 vec P M M vec P dega demikia, 8 σ ( vec ( P M ( Φ M vec P. Φ (. Jadi, Paamee mea da vaiasi ada oosisi di aas daa juga diuuka secaa lagsug bedasaka uaia Taylo fugsi veko beilai eal seei dikemukaka dalam Masde da Tomba (999. Uaia Taylo uuk u ( di sekia vec ( P samai suku kedua adalah Oleh kaea iu, u ( ( u vec P + a. Mea dai u ( adalah ( u vec R P ( vec( P. E ( u ( E vec P + vec R vec P P ( E ( vec P + E vec R vec P P ( Kaea E vec R vec P P ( maka E u ( E vec P vec P. 0, b. Vaiasiya adalah va ( u ( va vec P + vec R vec P P ( va vec R vec P P (, kaea vec P kosaa 3

8 E ( vec ( R vec( P ( vec ( P P P vec ( R vec ( R E ( vec ( R vec ( P E ( vec ( R vec ( P vec ( R vec ( R P P Suku kedua ada uas kaa sama dega 0 sebab E u ( Akibaya, vec P. va ( u ( vec ( R E ( ( ( vec R vec P vec R vec P vec R aau va u ( vec ( R aau ( P P Γ P P Φ vec ( R vec ( R P P va u vec R M M sebab bedasaka Teoema III., Γ M Φ M. Dega demikia, vec R vec R va ( u ( vec ( R M Φ M. vec R vec R P P Aka eai adalah ( vec ( R u vec P adalah veko bedimesi dimaa eleme-elemeya i j uuk seia i,j,,...,. da 33

9 i j ( ( ρ. Oleh kaea iu, (, ρ (, ρ (, ρ u( vec( P vec P vec ( R (, ρ (, ρ (, ρ Jadi, ( u ( vec( P Φ ( Φ ( da u vec P M M vec P M M vec P vec R vec R 8 vaiasi dai ( vec( P M Φ M ( vec( P. Dega demikia daa disimulka bahwa 8 vec R N vec P, vec P M M vec P d ( Φ ( Bedasaka Poosisi IV.3 elah dikeahui bahwa vaiasi dai 8 ( vec( P M Φ M ( vec( P. Selajuya aka disedehaaka beuk eulisa vaiasi dai vec R melalui sifa-sifa oeao vec da maiks komuasi. Hasil yag elah dieoleh daa diliha dalam BAB V ada diseasi ii. 34

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III PENAKSIR DERET FOURIER. Dalam statistika, penaksir adalah sebuah statistik (fungsi dari data sampel

BAB III PENAKSIR DERET FOURIER 3. Peaksi Dalam saisika, peaksi adalah sebuah saisik (fugsi dai daa sampel obsevasi) yag diguaka uuk meaksi paamee populasi yag idak dikeahui (esimad) aau fugsi yag memeaka