Tinjauan Kasus Persamaan Panas Dimensi Satu secara Analitik

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 016 T - 5 Tinjauan Kasus Persamaan Panas Dimensi Sau secara Anaiik Ahmadi, Harono, Nikenasih Binaari Program Sudi Maemaika, Universias Negeri Yogyakara ahmadi_adi0@yahoocoid Absrak Pada paper ini, akan diinjau kasus persamaan panas dimensi sau dengan niai awa dan syara baas berbeda secara anaiik Pada proses pemodean persamaan panas digunakan hukum ermodinamika dengan asumsi baang ogam yang menjadi bahan injauan adaah baang ogam yang homogen Berdasarkan hasi anaisis ersebu, sehingga diperoeh aju perubahan suhu erhadap waku sama dengan hasi kai difusi erma dengan urunan parsia kedua fungsi aas suhu erhadap posisi Seeah diperoeh mode persamaan panas dimensi sau, kemudian akan diseesaikan persamaan ersebu dengan masaah niai awa dan syara baas yang berbeda dengan menggunakan meode separasi variabe Perama, unuk syara baas Diriche yaiu suhu di kedua ujung baang ogam diperahankan no deraja, dengan sumber panas dieakkan epa di engah baang ogam, diperoeh sousi daam benuk dere fungsi sinus kai eksponensia daam Syara baas yang kedua adaah Neumann, perubahan suhu di kedua ujung baang ogam diperahankan no deraja dengan sumber panas dieakkan epa pada posisi paing kanan dari baang ogam, diperoeh sousi daam benuk dere fungsi cosinus kai eksponensia daam Syara baas yang keiga adaah Robin, perubahan suhu di ujung yang paing kiri no deraja dan suhu di ujung yang paing kanan diperahankan no deraja dengan sumber panas dieakkan di bawah baang ogam epa pada posisi engah, sousinya berupa dere fungsi cosinus kai eksponensia daam Kaa kunci: Persamaan Panas, Syara Baas Diriche, Neumann, Robin I PENDAHULUAN Persamaan diferensia merupakan saah sau opik daam maemaika yang cukup menarik unuk dikaji ebih anju Ha iu karena banyak permasaahan kehidupan sehari-hari yang dapa dimodekan dengan persamaan diferensia, dianaranya daam bidang kesehaan yaiu pemodean penyaki, perkembangan bakeri, sedangkan daam bidang eknik yaiu pemodean geombang air au, pemodean perambaan panas pada baang ogam, dan sisem kerja pada pegas Persamaan diferensia secara umum dibedakan menjadi dua, yaiu persamaan diferensia biasa dan persamaan diferensia parsia Daam proses pemodean maemaika banyak diemukan kasus daam benuk Persamaan diferensia parsia, dianaranya pada pemodean persamaan panas, persamaan geombang, persamaan Lapace, dan persamaan eegraf Perisiwa daam kehidupan sehari-hari seperi perambaan panas pada kemasan kaeng, perambaan panas pada kabe, sisem kerja pada emari pendingin merupakan apikasi dari persamaan panas Seain iu, conoh perambaan panas pada bidang daar anara ain serika isrik dan prosesor Secara umum erdapa iga cara perpindahan panas, yaiu perpindahan panas secara konduksi, konveksi, dan radiasi Masaah persamaan diferensia parsia dapa diseesaikan dengan menggunakan meode kanonik, meode separasi variabe, meode D Aember, Meode Transformasi Lapace Meode separasi variabe adaah suau meode yang digunakan unuk menransformasikan suau persamaan diferensia parsia kedaam persamaan diferensia biasa dengan cara memisahkan sousi persamaan diferensia parsia menjadi fungsi-fungsi yang memua sau variabe Seeah diperoeh persamaan diferensia biasa, kemudian seesaikan dengan inegra biasa Berdasarkan angkah ersebu diperoeh sousi dari persamaan diferensia parsia Unuk memperoeh sousi khusus, diperukan adanya niai awa dan syara baas Apabia yang menjadi bahan injauan adaah poongan baang ogam, dengan mengambi permisaan u x,0 yang menyaakan suhu pada posisi x saa waku sama dengan no Suhu saa 0 unuk seiap posisi dikaakan masaah niai awa Ada iga syara baas agar diperoeh sousi secara khusus yaiu MT 3

2 ISBN syara baas Diriche, syara baas Neumann, dan syara baas Robin aau yang biasa dikena dengan syara baas campuran Peneiian enang persamaan panas dimensi sau pernah dieii oeh [1] dengan judu Masaah Syara Baas Bebas Persamaan diferensia Parsia Paraboik Sau Peneiian ersebu membahas enang Pendekaan berbagai masaah syara baas bebas yang ekspisi maupun impisi unuk persamaan difusi sau-dimensi dengan mempergunakan sau barisan masaah syara baas dari sau persamaan diferensia biasa Peneiian ain diakukan oeh [3] dengan judu Eksisensi dan Keunggaan Sousi Persamaan Panas Daam peneiian ersebu membahas enang pembenukan persamaan panas dimensi sau dan keunggaan sousi daam suau persamaan panas dimensi sau yang diengkapi syara awa dan syara baas Di ahun yang sama [4] meneii enang persamaan panas dimensi sau dengan judu Anayica Souions of he One-Dimensiona Hea Equaions Arising in Fraca Transien Conducion wih Loca Fraciona Derivaive, peneiian ersebu membahas enang gradasi panas pada persamaan panas dimensi sau yang imbu pada konduksi fraka Persamaan panas dimensi sau dengan syara baas yang berbeda eah dibahas pada buku berjudu Advanced Engineering Mahemaics wih Maab Second Ediion oeh [], namun pada buku ersebu ebih menekankan perhiungan secara maemais pada kasus syara baas yang berbeda Oeh karena iu, pada paper ini akan dibahas persamaan panas dimensi sau secara maemais dan diberikan impemenasi secara rii dengan syara baas yang berbeda Syara baas yang digunakan daam ha ini adaah syara baas Diriche, syara baas Neumann, sera syara baas Robin Proses penyeesaian persamaan panas dimensi sau akan digunakan meode separasi variabe Meode ini dipiih karena penyeesaian kasus persamaan panas dimensi sau dapa dipisahkan menjadi fungsi-fungsi sau variabe II HASIL DAN PEMBAHASAN Daam proses pemodean persamaan panas sau dimensi akan diambi poongan baang ogam ipis seperi pada Gambar (1) Daam proses pemodean, ada asumsi yang harus diperhaikan, dianaranya 1 Airan panas yang mengair pada baang ogam hanya mengair dari suhu yang ebih inggi menyebabkan suhu yang ebih rendah, dan ini sejaan dengan sumbu x posiif Semua permukaan baang ogam erisoasi aau dengan kaa ain idak ada airan panas yang mengair di seuruh permukaan baang ogam 3 Tidak ada airan panas yang dihasikan pada baang ogam 4 Bahan mea yang digunakan adaah ogam yang homogen, 5 Poongan uas penampang yang sama 6 Panas jenis dan konduksi erma pada bahan ogam dianggap konsan Gambar (1) merupakan poongan baang ogam dengan panjang diparisi sebesar x yang dibenangkan erhadap sumbu x, au dipiih subparisi, x Pada inerva, x,akan diparisi agi sebesar s dengan iik-iik parisinya s0 s1 s sn 1 x Misakan Q merupakan jumahan panas saa pada inerva, x, m massa baang ogam pada inerva * si, si 1, kaor jenis c, dan u s, merupakan suhu pada posisi s saa waku Apabia si si, si 1, maka * i, u s merupakan perubahan suhu pada inerva s i sampai si 1, sehingga diperoeh MT 4

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 016 n1 * mcu si, Q karena m V A s, maka Persamaan (1) dapa diuiskan menjadi i1 n1 * i Q A cu s, s Apabia diambi niai iminya mendekai 0, maka Persamaan () menjadi i1 n1 * i Q im A cu s, s s 0 i 1 Menuru definisi dari Inegra Tenu, maka Persamaan (3) menjadi x x i i Q Acu s *, ds Diasumsikan Persamaan (4) merupakan fungsi koninu aas s pada inerva, x Menuru Teorema Niai Raa-Raa Inegra yang mengaakan bahwa erdapa, x, sedemikian sehingga Persamaan (4) menjadi Q () A c x u s * i, ds Seanjunya, akan diinjau perambaan panas pada baang ogam apabia erjadi perbedaan suhu Pada Gambar (1) perambaan panas pada baang ogam erdapa perbedaan suhu dianara kedua sisi, yaiu u 1 dan u dengan u1 u Menuru hasi percobaan yang diakukan oeh Fourier, maka kecepaan arus panas pada penampang meinang di posisi x i adaah u, E, ka x Demikian pua unuk kecepaan arus panas pada bagian penampang meinang di posisi u x, E x, ka x x, yaiu Berdasarkan Persamaan (6) dan (7), sehingga perbedaan kecepaan arus panas yang mengair pada penampang di posisi x i dan posisi x adaah,, u x u Q( ) ka ka x x Berdasarkan Hukum Fick, bahwa perbedaan kecepaan arus panas akan sebanding dengan gradien konsenrasi jumahan perambaan panas, sehingga dari Persamaan (5) dan (8) diperoeh,, u(, ) u x u xc k x x (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) u x x (, ) u( x, ) (9) dengan difusi erma, Persamaan (9) kemudian disebu dengan Persamaan panas dimensi sau Seanjunya akan dibahas enang beberapa kasus persamaan panas dimensi sau dengan niai awa dan syara baas yang berbeda MT 5

4 ISBN Masaah Niai Awa dan Syara Baas Diriche pada Persamaan Panas Dimensi sau Diberikan sebuah iin dan baang ogam yang homogen dengan panjang Liin ersebu dieakkan di bawah baang ogam epa di engah, kemudian diberikan benda yang bersifa isoaor yang dieakkan di kedua ujungnya Daam ha ini, isoaor berfungsi unuk memperahankan suhu di kedua ujung ogam yaiu no deraja Seeah iu, iin ersebu dinyaakan daam beberapa waku, au iin dimaikan Unuk iusrasi ebih jeas ampak pada Gambar () Akan dienukan disribusi panas pada Gambar () dengan persamaan yang diberikan u u, 0 x, x (10) unuk seiap 0 Niai awa u x,0 x( x), 0 x (11) dan syara baas u 0, u, 0 (1) unuk seiap 0 Permasaahan pada Persamaan (10) dengan niai awa (11) dan syara baas (1) akan diseesaikan dengan menggunakan meode separasi variabe dan diambi konsana pemisah sehingga diperoeh T '( ) X "( x) Apabia Persamaan ini diseesaikan, maka diperoeh sousi T () X( x) 8 1 (m 1) x u x, sin e 3 3 m1 m 1 m1 (13) Seanjunya diakukan simuasi perambaan panas pada baang ogam yang eah dipanasi Jika diambi panjang baang ogam sebesar 3,14 sauan panjang, maka diperoeh domain 0 x Daam kasus ini, akan diamai perambaan panas seama sauan waku, sehingga diperoeh domain 0 Oeh karena iu, Persamaan (13) dapa diuiskan menjadi unuk 0, 0 x u x, 8 m1 sin (m 1) x e 3 m 1 m1 Apabia Persamaan (14) dipo dengan menggunakan Sofware Ocave, maka eriha seperi pada Gambar (3) (14) MT 6

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 016 Berdasarkan oupu Ocave pada Gambar (3) bahwa suhu pada posisi x 0 dan x saa waku 0 seau no deraja, ha ini dikarenakan suhu di kedua ujungnya diperahankan sebesar no deraja Namun demikian, suhu pada posisi x saa waku 0 paing inggi dibandingkan posisi yang ain Ha ini karena pada posisi x merupakan pusa sumber panas pada baang ogam Suhu pada posisi x akan urun, seiring dengan berjaannya waku hingga diperoeh suhunya menuju no Masaah Niai Awa dan Syara Baas Neumann pada Persamaan Panas Dimensi sau Diberikan sebuah iin dan baang ogam homogen dengan panjang Liin ersebu dieakkan epa di bawah posisi x, kemudian iin dinyaakan seama beberapa waku, seeah iu iin dimaikan Daam ha ini perubahan suhu di kedua ujung baang ogam diperahankan no deraja, ha ersebu dapa digambarkan seperi pada Gambar (4) di bawah ini Akan dienukan disribusi panas pada Gambar (4) dengan persamaan yang diberikan sama dengan Persamaan (10), namun niai awa dan syara baas u x,0 x, 0 x (15) 0,, u u x x 0, unuk seiap 0 Apabia Persamaan (10) dengan niai awa Persamaan (15) dan syara baas Persamaan (16) diseesaikan dengan menggunakan meode separasi variabe dan diambi konsana pemisah, sehingga diperoeh T '( ) X "( x) Jika Persamaan ini diseesaikan, maka diperoeh sousi T () X( x) (16) MT 7

6 ISBN m1 4 1 m 1 u x, cos x e m1 m 1 Seanjunya diakukan simuasi perambaan panas pada baang ogam yang eah dipanasi Jika diambi panjang baang ogam sebesar 1 sauan panjang, maka diperoeh domain 0 x 1 Daam kasus ini, akan diamai perambaan panas seama 1 sauan waku, sehingga diperoeh domain 0 1 Oeh karena iu, Persamaan (17) akan menjadi u x, cos 1 m x e m1 m 1 m1 unuk 0 1, 0 x 1 Apabia Persamaan (18) dipo menggunakan Sofware Ocave, maka eriha seperi pada Gambar (5) (17) (18) Berdasarkan oupu Ocave pada Gambar (5) eriha bahwa pada saa waku 0 pada posisi x 1 suhunya paing inggi dibandingkan dengan posisi yang ain Ha ini erjadi karena sumber panas ereak pada posisi x 1,sedangkan unuk posisi x 1 suhunya akan kurang dari sau deraja Proses perambaan panas dari x 1 sampai dengan x 0 saa 0 berupa kurva u( x,0) x yang daam ha ini merupakan niai awa Akiba dari sumber panas yang ereak pada posisi x 1, sehingga suhu di posisi x 0 mengaami kenaikan unuk beberapa saa, menuju 0,5 deraja 3 Masaah Niai Awa dan Syara Baas Robin pada Persamaan Panas Dimensi sau Diberikan sebuah iin dan baang ogam homogen dengan panjang Liin ersebu dieakkan di bawah baang ogam epa di posisi di engah, seeah iu iin dinyaakan beberapa waku au dimaikan Daam ha ini, perubahan suhu pada posisi x 0 diperahankan pada no deraja dan suhu pada posisi x diperahankan no deraja Unuk memperahankan suhunya no deraja akan digunakan bahan yang bersifa isoaor Unuk iusrasi ebih jeasnya ampak pada Gambar (6) Akan dienukan disribusi panas pada Gambar (6) dengan persamaan yang diberikan sama dengan Persamaan (10), namun niai awa u x,0 x( x), 0 x (19) MT 8

7 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 016 dan syara baas u 0, x u, 0 unuk seiap 0 Permasaahan pada Persamaan (10) dengan niai awa Persamaan (19) dan syara baas Persamaan (0) akan diseesaikan dengan menggunakan meode separasi variabe dan diambi konsana pemisah sehingga diperoeh T '( ) X "( x) Apabia Persamaan ini akan diseesaikan, maka T () X( x) diperoeh sousi dengan B (n1) x u x, Bncos e n1 n n1 4 4 n 3 n 3 n 4 n 1 1 n n1 Seanjunya diakukan simuasi perambaan panas pada baang ogam yang eah dipanasi Jika diambi panjang baang ogam sebesar 1 sauan panjang, maka diperoeh domain 0 x 1 Daam kasus ini, akan diamai perambaan panas seama 1 sauan waku, sehingga diperoeh domain 0 1 Oeh karena iu, Persamaan (1) akan menjadi unuk 0 1, 0 x n1 n1 x 8 u x, B 3 ncos e n1 4 Apabia Persamaan () dipo dengan menggunakan Sofware Ocave, maka eriha seperi pada Gambar (7) (0) (1) () Berdasarkan oupu Ocave pada Gambar (7) eriha bahwa suhu yang berada pada iik engah baang ogam unuk 0 paing panas dibandingkan dengan dengan posisi yang ain Ha ini dikarenakan pada 1 posisi ersebu merupakan pusa pemberian panas Namun, seeah 0 suhu pada posisi x urun seiring dengan berjaannya waku Unuk 0, suhu pada posisi x 0 dan x 1 no deraja, ha ini sesuai dengan niai awa pada Persamaan (19) Akiba dari pemberian panas epa di iik engah dari baang ogam, sehingga panas akan meramba menuju kedua ujung baang ogam Oeh karena iu, suhu pada posisi x 0 yang awanya no deraja akan naik unuk beberapa waku, seeah iu urun hingga suhunya konsan menuju no deraja Namun, pada posisi x 1 saa 0 suhunya no deraja akan eap no deraja, ha ini dikarenakan adanya isoaor di posisi x 1 MT 9

8 ISBN III SIMPULAN DAN SARAN A Simpuan Berdasarkan pembahasan yang eah diuraikan di aas dapa disimpukan bahwa : 1 Mode persamaan panas dimensi sau adaah u( x, ) u( x, ), dengan x menggambarkan domain posisi yang ereak dianara 0 x u x, suhu pada posisi x saa waku, dan merupakan difusi erma sampai, Beberapa sousi dari kasus persamaan panas dimensi sau dengan syara baas yang berbeda a Sousi dari persamaan panas dimensi sau dengan masaah niai awa ux x x,0, 0 x dan syara baas Diriche adaah m1 8 1 m1 x u x, sin e 3 3 m1 m 1 b Sousi dari persamaan panas dimensi sau dengan masaah niai awa ux,0 syara baas Neumann adaah B m 1 4 m 1 u x, B cos m xe m1 m1 x dan, dengan m 1 c Sousi dari persamaan panas dimensi sau dengan masaah niai awa ux x x B 0 x dan syara baas Robin adaah (n1) x u x, Bncos e n1 n,0, n1 4 4 n 3 n 3 n 4 n 1 1 n n1 3 3, dengan B Saran Pada paper ini hanya dibahas persamaan panas dimensi sau yang homogen Oeh karena iu, pada peneiian seanjunya dapa diperuas unuk pokok bahasan persamaan panas dimensi dua, dimensi iga yang homogen maupun yang nonhomogen aau apikasi persamaan panas DAFTAR PUSTAKA [1] Agah D Garnadi (004) Masaah Syara Baas Bebas Persamaan Diferensia Parsia Paraboik Sau-Dimensi Diakses dari hp://mahipbacid/indexphp?iemid=16&opion=com_mahipb&ac=pubikasi&ask=view&id=18 pada angga 30 Apri 016, puku 1540 WIB [] Duffy, D G (003) Advanced Engineering Mahemaics wih Maab nd Ed Forida: Chapman and Ha/CRC [3] Eminugroho Rana Sari, Dwi L& Firiana Yui S(013) Eksisensi dan Keunggaan Sousi Persamaan Panas Jurna Sains Dasar (Nomor ahun 013) Hm41-48 [4] Yang, Ai-Ming,dkk (013) Anayica Souions of he One-Dimensiona Hea Equaions Arising in Fraca Transien Conducion wih Loca Fraciona Derivaive Diakses dari hp://dxdoiorg/101155/013/46535researchariceanayica pada angga 0 Desember 015, puku 1140 WIB MT 30