Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Transkripsi

1 Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto

2 Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri, trigonometri banyak terkait dalam penyelesaian untuk masalah-masalah geometri, vektor dan kemudian dikembangkan untuk pembahasan-pembahasan lainnya. Banyak siswa yang mengeluh ketika harus mempelajari materi trigonometri. Hal tersebut sebagian besar dikarenakan banyaknya rumus dalam materi trigonometri dan mereka lebih menekankan pada hapalan rumus semata tanpa mengetahui konsep dasarnya. Untuk hal yang paling sederhana saja, contohnya masih banyak siswa yang sudah belajar trigonometri namun tidak mengetahui mengapa nilai sin 30 o = 2. Dalam buku ini dikupas mendalam materi-materi dalam trigonometri yang lebih menekankan pada konsep dasar. Buku ini bukan hanya diperintukkan bagi siswa namun juga dapat diperuntukkan bagi guru, mahasiswa teknik dan siapapun yang ingin mempelajari trigonometri mulai dari konsep dasar. Dalam penulisan buku ini, jelas bahwa tulisan pada buku ini bukan hanya merupakan hasil kerja penulis sendiri. Banyak gagasan, materi dan soal yang diambil dari berbagai sumber yang ada di daftar pustaka dan dari berbagai bantuan banyak pihak. Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam buku ini. Penulis mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca mengenai materi, cara penyajian maupun soal. Jika ada kekurangan dalam penyajian di buku ini, penulis mohon maaf. Jakarta, Oktober 20 Doddy Feryanto, M.Si i

3 DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi i ii Pendefinisian Trigonometri Nilai Trigonometri pada Sudut Istimewa 6 Nilai Trigonometri Sudut yang Berelasi 4 Derajat dalam Radian 29 Identitas-Identitas Trigonometri 32 Trigonometri untuk Penjumlahan Sudut 36 Penjumlahan Trigonometri 50 Persamaan Trigonometri 52 Hubungan Koordinat Cartesius dengan Koordinat Polar 64 Grafik Fungsi Trigonometri 68 Ketaksamaan Trigonometri 8 Aturan Trigonometri pada Segitiga 88 Kumpulan Soal 0 Jawaban Soal 23 Daftar Pustaka 25 ii

4 Pendefinisian Trigonometri Kita telah mengenal rumus Pythagoras dalam suatu segitiga siku-siku, yaitu kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lainnya. AC 2 = AB 2 + BC 2 Namun bagaimana cara mengetahui panjang sisi suatu segitiga jika yang diketahui adalah sudut dan salah satu sisinya, seperti gambar berikut: Jika diketahui CAB = 5 o dan AC = 6 dapatkah kita mencari panjang sisi lainnya dengan menggunakan Pythagoras? Tentu saja hal tersebut tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan rumus Pythagoras. Sekarang kita akan mempelajari suatu fungsi yang memetakan suatu ukuran sudut ke bilangan real. Fungsi tersebut dinamakan fungsi trigonometri. Sekarang perhatikan gambar dua buah garis yang berpotongan dan membentuk sudut θ berikut:

5 Dari titik-titik A, A dan A ditarik proyeksi yang tegak lurus di titik B, B dan B. Sehingga masing-masing OAB, OA B dan OA B membentuk segitiga siku-siku yang sebangun. Kita dapat melihat adanya persamaan perbandingan berikut: AB AO = A B A O = A B A O OB OA = O B O A = O B O A AB OB = A B O B = A B O B Perbandingan-perbandingan di atas bernilai sama untuk titik dimanapun pada garis g yang ditarik tegak lurus ke garis l sehingga membentuk segitiga siku-siku. Perbandingan di atas nilainya bergantung pada sudut θ yang dibentuk kedua garis g dan l, sehingga dinamakan sebagai 2

6 berikut: AB AO = A B A O = A B A O = sin θ OB OA = O B O A = O B O A = cos θ AB OB = A B O B = A B O B = tan θ Kemudian dikembangkan lagi beberapa fungsi yang merupakan kebalikan dari fungsi lainnya: csc θ = sin θ sec θ = cos θ cot θ = tan θ Perhatikan juga terdapat hubungan antara tan θ dengan fungsi lainnya, tan θ = AB AB OB = AO OB OA = sin θ cos θ Sehingga mengakibatkan cot θ = cos θ sin θ. Dalam suatu segitiga siku-siku, kita dapat melihat lebih mudah definisi perbandingan fungsi trigonometri sebagai berikut: 3

7 Diketahui CAB = A, ABC = B dan BCA = C dan untuk mempermudah penulisan sin A ditulis sin A, begitu juga lainnya, sehingga sin A = a c, cos A = b c, tan A = a b sin B = b c, cos B = a c, tan B = b a Terdapat pendefinisian lain selian sinus, cosinus dan tangent, yaitu cosecant, secant dan cotangent dimana csc θ = sin θ sec θ = cos θ sehingga untuk segitiga ABC pada gambar di atas, cot θ = tan θ csc A = c a sec A = c b tan A = b a dan csc B = c b sec B = c a cot B = a b Contoh [EBTANAS 993]: Jika 0 o < a < 90 o dan tan a = 5 maka sin a =... A. 5 6 B C. 6 D E. 36 Jawab: Karena tan a = 5 dan 0 o < a < 90 o maka kita dapat gambarkan a dalam sebuah segitiga siku-siku dengan perbandingan sisi sebagai berikut: 4

8 dimana: AB = dan BC = 5 kemudian dengan Pythagoras, kita peroleh AC = ( ) = 6 sehingga sin a = BC AC = 5 6 5

9 2 Nilai Trigonometri pada Sudut Istimewa 2. Nilai Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku Sudut 45 o Misal pada ABC, A = B = 45 o sehingga membentuk segitiga sama kaki dan sekaligus siku-siku dengan AC = BC = k untuk suatu k bilangan bulat dan AB = k 2. sehingga sin A = sin 45 o = BC AB = dan dengan cara yang serupa, diperoleh dan tan 45 o = sin 45o cos 45 o =. cos A = cos 45 o = 2 2 k k 2 = = 2 2 2

10 Sudut 30 o dan 60 o Untuk menentukan nilai sin 30 o, cos 30 o, sin 60 o dan cos 60 o maka kita buat ABC dengan A = 60 o dan B = 30 o. Kemudian refleksikan terhadap garis BC sehingga membentuk segitiga sama sisi. Karena D = 60 o maka AD = AB dan AC = AD 2. Karena ABC siku-siku maka berlaku AB 2 = AC 2 + BC 2. sehingga BC 2 = AB 2 AB 2 4 = 3 AB 2 4 atau BC = 3 AB 2. Jadi sin A = sin 60 o = BC BA = 2 3. Karena cos 30 o = sin(90 o 30 o ) = 2 3. Sedangkan sin 30 o = cos 60 o = 2, tan 30 o = cot 60 o = 3 3, dan tan 60 o = cot 30 o = 3. Jadi kita telah memperoleh nilai-nilai trigonometri pada sudut -sudut berikut: 30 o 45 o 60 o sin θ cos θ tan θ Berdasarkan definisi csc θ = sin θ, sec θ = dapat juga peroleh cos θ 30 o 45 o 60 o csc θ sec θ cot θ dan cot θ = tan θ kita 7

11 Contoh [OSP 2003]: Sebuah bola dengan jari-jari r ditendang dari B ke A. Bola tersebut menggelinding sebanyak tepat 0 kali putaran sebelum membentur bidang miring dan berhenti. Berapakah jarak dari B ke A? Ket: CAB = 60 o. Jawab: Perhatikan gambar di bawah ini: Perhatikan bahwa OAD = EAO = 30 o dan BD = 2πr.0 = 20πr. Karena DAO = 30 o maka cot DAO = DA OD 8

12 sehingga DA = OD cot DAO = r cot 30 o = r 3 kita peroleh BA = BC + CA = 20πr + r 3 = (20π + 3)r. 2.2 Trigonometri dalam Lingkaran Sudut-sudut istimewa yang telah dibahas sebelumnya hanya sudut-sudut yang berada diantara 0 o dan 90 o. Namun bagaimana nilai trigonometri pada sudut-sudut selain itu? Fungsi trigonometri merupakan fungsi yang memetakan sudut ke bilangan real. Untuk 0 o < θ < 90 o kita dapat menggunakan gambaran suatu segitiga siku-siku seperti dibahas sebelumnya. Mengingat bahwa ukuran sudut berkisar dari 0 o θ 360 o dan kelipatannya maka kita tidak dapat lagi menggunakan gambaran segitiga siku-siku untuk mencari nilai trigonometri untuk sudut-sudut istimewa diluar 0 o < θ < 90 o, bahkan untuk sudut 0 o dan 90 o sendiri kita belum menentukan nilai trigonometrinya. Sekarang kita pandang definisi trigonometri dalam suatu lingkaran: 9

13 Dengan tidak menyalahi definisi sebelumnya, kita dapat definisikan fungsifungsi trigonometri pada lingkaran sebagai berikut: sin θ = y r = ordinat jari-jari cos θ = x r = absis jari-jari tan θ = y x = ordinat absis Sekarang kita akan mencari nilai sin 0 o, cos 0 o dan tan 0 o. Perhatikan untuk θ = 0 o kita dapat melihat bahwa garis OA dengan koordinat A(r, 0) sehingga kita peroleh : sin 0 o = y r = 0 r = 0 cos 0 o = x r = r r = tan 0 o = y x = 0 r = 0 Untuk mencari nilai sin 90 o, cos 90 o dan tan 90 o, kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A(0, r) 0

14 sehingga kita peroleh : sin 90 o = y r = r r = cos 90 o = x r = 0 r = 0 tan 90 o = y x = r 0 = Untuk mencari nilai sin 80 o, cos 80 o dan tan 80 o, kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A( r, 0)

15 sehingga kita peroleh : sin 80 o = y r = 0 r = 0 cos 80 o = x r = r r = tan 80 o = y x = 0 r = 0 Untuk mencari nilai sin 270 o, cos 270 o dan tan 270 o, kita dapat menggambarkan posisi sudut yang dibentuk garis OA dengan sumbu X dengan koordinat A(0, r) 2

16 sehingga kita peroleh : sin 270 o = y r = r r = cos 270 o = x r = 0 r = 0 tan 270 o = y x = r 0 = Untuk nilai sin 360 o, cos 360 o dan tan 360 o nilainya akan sama dengan sin 0 o, cos 0 o dan tan 0 o. Sehingga sekarang kita telah memperoleh tabel nilai trigonometri pada sudut-sudut istimewa dasar sebagai berikut : 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 80 o 270 o sin θ cos θ tan θ