Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n"

Transkripsi

1 Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n

2 Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan

3 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh fungsi yang telah dipelajari dalam Kalkulus I f(x) = x 2 f(x) merupakan fungsi bernilai real dari peubah real. Kalkulus 2: Fungsi bernilai real dari dua peubah real Contoh f(x,y) = x 2 + 3y 2

4 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih f(x,y) = x 2 + 3y 2 Fungsi f memadankan setiap pasangan berurutan (x,y) dalam himpunan D pada bidang dengan bilangan real tunggal f(x,y). Contoh: f(x,y) = x 2 + 3y 2 f(-1,4) = (-1) 2 + 3(4) 2 = 1 + 3(16) = 49

5 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Dalam fungsi ada beberapa istilah: 1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D 2. jelajah (daerah nilai) 3. peubah bebas 4. peubah tak bebas Wilayah asal, yakni himpunan semua titik (x,y) pada bidang tempat fungsi berlaku dan menghasilkan suatu bilangan real. Contoh: f(x,y) = x 2 +3y 2 wilayah asal fungsi adalah seluruh bidang wilayah asal fungsi adalah

6 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Dalam fungsi ada beberapa istilah: 1. wilayah (daerah) asal fungsi, himpunan D 2. jelajah (daerah nilai) 3. peubah bebas 4. peubah tak bebas Jelajah (daerah nilai) adalah himpunan semua nilai fungsi f. Peubah bebas dan peubah tak bebas f(x,y) = x 2 +3y 2 z = f(x,y) adalah peubah tak bebas x dan y adalah peubah bebas z = g(x,y) adalah peubah tak bebas x dan y adalah peubah bebas

7 Contoh grafik fungsi f dua peubah dari persamaan z = f(x,y). Biasanya grafik merupakan permukaan. Karena setiap (x,y) di daerah asal hanya berpadanan dengan satu nilai z, maka setiap garis tegak memotong permukaan paling banyak di satu titik.

8 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1: Sketsa grafik dari Penyelesaian: perhatikan bahwa. 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 kedua ruas dikuadratkan Persamaan elipsoid. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg)

9 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 Persamaan elipsoid. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg) ELIPSOID

10 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): sehingga 9x 2 + 4y 2 +9 z 2 =36 Grafik dari persamaan yang diberikan merupakan sebagian dari permukaan atas elipsoid.

11 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 2: Sketsa grafik z = f(x,y) = y 2 x 2 Penyelesaian: Grafiknya merupakan sebuah paraboloid hiperbol. (Pasal 14.6, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J.Purcell & Dale Varberg) PARABOLOID HIPERBOL

12 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): Sketsa grafik z = f(x,y) = y 2 x 2 adalah sebagai berikut:

13 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Apakah mudah untuk mensketsa permukaan yang berpadanan dengan grafik fungsi dua peubah z = (x,y)? Kontur merupakan cara lain dan biasanya lebih mudah untuk menggambarkan sebuah permukaan. Setiap bidang mendatar z = c memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva. Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian.

14 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian. Kumpulan lengkungan-lengkungan disebut peta kontur.

15 Peta kontur. 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih

16 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Contoh 3: Gambar peta-peta kontur untuk permukaan Penyelesaian: Kurva-kurva ketinggian dari dengan z = 0; 1; 1,5; 1,75; 2. berpadanan Peta konturnya adalah:

17 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Beberapa contoh grafik permukaan di ruang dimensi-tiga

18 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Beberapa contoh grafik permukaan di ruang dimensi-tiga

19 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih Untuk tugas studio: Sketsalah peta kontur untuk a. z = f(x,y) = xy b. z = y 2 x 2

20 2. Diferensial Parsial Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y ditahan agar konstan, misal y = y 0, Maka f(x, y 0 ) menjadi fungsi satu peubah x. Diferensial f di x = x 0 disebut diferensial parsial f terhadap x di (x 0, y 0 ) dan dinyatakan sebagai f x (x 0, y 0 ).

21 2. Diferensial Parsial Diferensial parsial f terhadap x di (x 0, y 0 ) dinyatakan sebagai f x (x 0, y 0 ) dan ditulis sebagai: Diferensial parsial f terhadap y di (x 0, y 0 ) dinyatakan sebagai f y (x 0, y 0 ) dan ditulis sebagai:

22 2. Diferensial Parsial Cara menyelesaikan: 1. Mencari f x (x,y) dan f y (x,y) dengan menggunakan aturan baku diferensial. 2. Substitusikan x = x 0 dan y = y 0

23 2. Diferensial Parsial Contoh 1: Carilah f x (1,2) dan f y (1,2) jika f(x,y) = x 2 y + 3y 3 Penyelesaian: Untuk mencari f x (x,y), kita anggap y sebagai konstanta dan mendiferensialkan fungsi ini terhadap x. f(x,y) = x 2 y + 3y 3 f x (x,y) = 2xy + 0 f x (1,2) = = 4 f(x,y) = x 2 y + 3y 3 f y (x,y) = x 2 + 9y 2 f y (1,2) = = 37

24 2. Diferensial Parsial Jika z = f(x,y), kita gunakan cara penulisan lain, maka Lambang khas dalam matematika dan disebut tanda diferensial parsial

25 2. Diferensial Parsial Contoh 2: Jika z = x 2 sin(xy 2 ), cari z/ x dan z/ y. Penyelesaian: =?

26 2. Diferensial Parsial Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): z = x 2 sin(xy 2 )

27 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung Permukaan yang mempunyai persamaan z = f(x,y). Bidang y = y 0 memotong permukaan kurva pada bidang PQR. Nilai f x (x 0,y 0 ) adalah kemiringan (gradien) garis pada kurva tersebut di P(x 0,y 0 ).

28 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung

29 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Kemiringan (gradien) garis singgung Bidang x = x 0 memotong permukaan pada kurva bidang LPM. f y (x 0,y 0 ) adalah kemiringan garis singgung pada kelengkungan di titik P.

30 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Diferensial parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan (sesaat). Misal dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang xz. Gambar di atas menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t.

31 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) z = f(x,t) menyatakan tinggi senar di titik P dengan absis x pada saat t. z/ x adalah kemiringan dawai di P. z/ t adalah kecepatan tegak dari P.

32 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Contoh 3: Volume suatu gas tertentu dikaitkan terhadap suhunya T tekanannya P menurut hukum gas PV = 10T. V diukur dalam inci kubik, P dalam pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat Celsius. Jika T diusahakan konstan 200, berapa laju perubahan sesaat tekanan terhadap volumenya pada V = 50? Penyelesaian:

33 2. Diferensial Parsial TAFSIRAN GEOMETRIK DAN FISIS: Laju perubahan (sesaat) Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): Laju perubahan sesaat tekanan terhadap volume Jadi

34 2. Diferensial Parsial DIRENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Secara umum, karena diferensial parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, diferensial tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x dan y untuk memperoleh empat buah diferensial parsial kedua fungsi f.

35 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4: Cari keempat diferensial parsial kedua dari Penyelesaian:

36 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

37 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 4 (lanjutan penyelesaian):

38 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Diferensial parsial tingkat tiga dan lebih didefinisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, diferensial parsial ketiga f yang diperoleh dengan mendiferensialkan f secara parsial, pertama kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan oleh

39 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y, dan z. Diferensial parsial f terhadap x di (x, y, z) dinyatakan oleh f x (x, y, z) atau dan didefinisikan oleh Jadi, f x (x, y, z) diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkan terhadap x. Diferensial parsial terhadap y dan z didefiniskan dengan cara yang sama.

40 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 5: Jika f(x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, cari f x, f y dan f z. Penyelesaian: f x (x, y, z) = y + 3z f y (x, y, z) = x + 2z f z (x, y, z) = 2y + 3x

41 2. Diferensial Parsial DIFERENSIAL PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh 6: Jika f(x, y, z) = x cos(y - z), Cari f/ x, f/ y, dan f/ z. Penyelesaian:

42 LIMIT Arti lambang limit di atas: Nilai f(x,y) semakin dekat ke bilangan L pada waktu (x,y) dapat mendekati (a,b) dengan cara tak berhingga.

43 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Kita memerlukan suatu definisi yang memberikan L yang sama, tidak bergantung pada jalur (x,y) yang diambil dalam mendekati (a,b).

44 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Definisi Untuk mengatakan bahwa berarti bahwa untuk setiap > 0 (betapa pun kecilnya) terdapat d > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga dengan syarat bahwa

45 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Titik-titik yang memenuhi adalah titik-titik di dalam suatu lingkaran dengan radius d terkecuali pusat (a,b).

46 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Perhatikan beberapa segi dari definisi ini: 1. Secara lengkap definisi ini mengabaikan jalur pendekatan ke (a,b). Ini berarti bahwa jika jalur pendekatan yang berlainan menuju nilai-nilai L yang berlainan, maka limit tidak ada. 2. Perilaku f(x,y) di (a,b) tidak relevan, bahkan fungsi tidak harus terdefinisi di (a,b). Ini sebagai akibat pembatasan

47 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Perhatikan beberapa segi dari definisi ini: 3. Definisi diungkapkan sedemikian sehingga langsung dapat diperluas ke fungsi tiga peubah (atau lebih). Cukup menggantikan (x,y) dan (a,b) oleh (x, y, z) dan (a, b, c) pada kemunculan mereka

48 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh: Contoh pada slide selanjutnya menggambarkan bahwa kita harus hati-hati

49 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1: Perhatikan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh tidak mempunyai limit di titik asal. Penyelesaian: Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang xy terkecuali di titik asal. Di semua titik pada sumbu x, yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah

50 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x adalah

51 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Serupa dengan langkah sebelumnya, di semua titik pada sumbu y, yang berlainan dari titik asal, nilai f adalah:

52 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Limit f(x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu y adalah

53 LIMIT 3. Limit dan Kekontinuan Contoh 1 (lanjutan penyelesaian): Jadi, kita mendapatkan jawaban berbeda yang tergantung bagaimana (x,y) (0,0). Sebenarnya terdapat titik-titik yang dekat terhadap (0,0) tempat nilai f adalah 1 dan titik-titik lain yang sama dekatnya tempat nilai f adalah -1. Limit tidak terwujud.

54 LIMIT Tugas: Andaikan 3. Limit dan Kekontinuan a. Perlihatkan bahwa f(x,y) 0 untuk (x,y) (0,0) sepanjang garis lurus sebarang y = mx. b. Perlihatkan bahwa untuk (x,y) (0,0) sepanjang parabola y = x 2 c. Kesimpulan apa yang anda tarik? (No 17 halaman 242, Buku Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid II, Edwin J.Purcell dan Dale Varberg)

55 3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI Dalam bahasa sehari-hari, kata kontinu digunakan untuk menggambarkan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Bagaimana pengertian fungsi yang kontinu? Dari ketiga gambar di atas, gambar yang mana yang mengilustrasikan suatu fungsi kontinu?

56 3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS 1: KEKONTINUAN FUNGSI tidak ada ada tetapi

57 3. Limit dan Kekontinuan REVIEW KALKULUS1: KEKONTINUAN FUNGSI Definisi: (Kekontinuan di suatu titik). Kita katakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan Dengan definisi di atas, syarat suatu fungsi kontinu adalah: 1. ada 2. f(c) ada 3. Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.

58 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Seperti pafa fungsi peubah tunggal, pada fungsi peubah banyak, untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu di titik (a,b), kita syaratkan bahwa: 1. f mempunyai nilai di (a,b) 2. f mempunyai limit di (a,b) 3. Nilai f di (a,b) sama dengan limitnya di sana.

59 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Seperti halnya dengan fungsi satu peubah: jumlah, hasil kali, dan hasil bagi fungsi-fungsi kontinu adalah kontinu (asalkan pada kasus pembagian, kita menghindari pembagian oleh nol). Dapat dikatakan bahwa fungsi polinom dua peubah kontinu dimana-mana, karena merupakan jumlah dan hasil kali kontinu ax, by, dan c dengan a, b, dan c adalah konstanta. Umpamanya, fungsi f(x, y) = 5x 4 y 2 2xy adalah kontinu dimana-mana di bidang xy.

60 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Fungsi rasional dua peubah adalah hasil bagi dua fungsi polinom sehingga kontinu asalkan penyebutnya bukan nol. Sebagai contoh: kontinu dimana-mana di bidang xy kecuali di titik-titik pada parabol y 2 = 4x. Seperti untuk fungsi satu peubah, suatu fungsi kontinu dari fungsi yang kontinu adalah kontinu.

61 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Teorema 15.3A (Fungsi tersusun). Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka fungsi tersusun yang didefinisikan oleh adalah kontinu di (a,b) Tugas Baca Teorema 2.7D Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1

62 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK Contoh 2: Perlihatkan bahwa F(x,y) = cos(x 3 4xy +y 2 ) adalah kontinu di setiap titik dari bidang. Penyelesaian: Fungsi g(x,y) = x 3 4xy +y 2 yang merupakan sebuah polinom, adalah kontinu dimana-mana. Juga f(t) = cos t adalah kontinu di setiap bilangan t di R. Berdasarkan teorema 15.3A, kita simpulkan bahwa F(x,y) = f(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang.

63 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Arti fungsi f(x,y) kontinu pada suatu himpunan S adalah jika f(x,y) kontinu di setiap titik dari himpunan. Beberapa istilah terkait himpunan-himpunan di bidang (dan ruang dimensi lebih tinggi), adalah: 1. Lingkungan beradius d dari suatu titik P, yaitu: Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d

64 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d Di ruang berdimensi 2, suatu lingkungan adalah bagian dalam suatu lingkaran.

65 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Himpunan semua titik Q yang memenuhi Q P < d. Q P < d P - d < Q < P + d Di ruang berdimensi 3, suatu lingkungan adalah bagian dalam suatu bola.

66 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Titik P adalah titik dalam himpunan S jika terdapat suatu lingkungan dari P yang mengandung S. Himpunan semua titik dalam dari S adalah bagian dalam dari S.

67 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Sebaliknya, P adalah titik batas dari S jika semua lingkungan dari P mengandung titik-titik yang berada di S dan titik-titik yang bukan S. Himpunan semua titik batas dari S disebut batas dari S.

68 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Pada gambar di atas, A: suatu titik dalam dari S B: suatu titik batas dari S Suatu himpunan adalah terbuka jika semua titik-titiknya adalah titik dalam. Suatu himpunan adalah tertutup jika mengandung semua titik batasnya.

69 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Jika S suatu himpunan terbuka, untuk mengatakan bahwa f kontinu pada S secara tepat berarti bahwa f kontinu di setiap titik S. Sebaliknya, jika S mengandung beberapa atau semua titik batasnya, kita harus hati-hati untuk memberikan tafsiran yang benar dari kekontinuan pada titik-titik yang demikian. Untuk mengatakan bahwa f kontinu pada suatu titik batas P dari S berarti bahwa f(q) harus mendekati f(p) untuk Q mendekati P melalui titik-titik dari S. Contoh untuk membantu memperjelas, dapat dilihat pada slide selanjutnya.

70 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Andaikan Jika S adalah himpunan adalah benar untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu pada S. Sebaliknya, akan tidak benar untuk mengatakan bahwa f(x,y) kontinu pada seluruh bidang.

71 3. Limit dan Kekontinuan KEKONTINUAN PADA HIMPUNAN Teorema 15.3B (Kesamaan parsial campuran). Andaikan f, f x, f y, f xy, dan f yx kontinu pada suatu himpunan terbuka S. Maka f xy = f yx pada tiap titik dari S.

72 TERIMAKASIH

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z

Lebih terperinci

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor

Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Pertemuan : 4 Materi : Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva Bab II. Diferensial Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : Setelah mengikuti perkuliahaan ini mahasiswa diharapkan dapat : 1.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

Lebih terperinci

Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial

Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Pengoptimalan fungsi dua peubah Secara geometri diferensial Drs. Johannes P. Mataniari FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Suatu peubah

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH

PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi

Lebih terperinci

BAB I INTEGRAL TAK TENTU

BAB I INTEGRAL TAK TENTU BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 TIU : Mahasiswa dapat memahami dasar-dasar Kalkulus TIK : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM

KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang

Lebih terperinci

ANALISIS VARIABEL REAL 2

ANALISIS VARIABEL REAL 2 2012 ANALISIS VARIABEL REAL 2 www.alfirosyadi.wordpress.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 1/1/2012 IDENTITAS MAHASISWA NAMA : NIM : KELAS : KELOMPOK : 2 PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

A. PERSAMAAN GARIS LURUS

A. PERSAMAAN GARIS LURUS A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALIT DI R3

GEOMETRI ANALIT DI R3 GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

Turunan dalam Ruang berdimensi n

Turunan dalam Ruang berdimensi n Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan

Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan 4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22 TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika

Lebih terperinci

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd

MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6

Lebih terperinci

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI /

KALKULUS 1. Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI / Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 08125218506 / 082334051234 E-mail : sriestits2@gmail.com Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Frank Ayres J. R., Calculus, Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company.

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

Institut Manajemen Telkom

Institut Manajemen Telkom Institut Manajemen Telkom Osa Omar Sharif JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 18 September 2013

Hendra Gunawan. 18 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 18 September 2013 Review: Teorema Nilai Antara Jika f kontinu pada [a,b],, f(a) < 0 dan f(b) > 0 (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes

Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Pertemuan : 9 Materi : Teorema Green Bab IV. Teorema Green, Teorema Divergensi Gauss, dan Teorema Stokes Standar Kompetensi : 1. Memahami Teorema Green Kompetensi Dasar : 1. Menyebutkan kembali pengertian

Lebih terperinci

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac

2. FUNGSI KUADRAT. , D = b 2 4ac . FUNGSI KUADRAT A. Persamaan Kuadrat 1) Bentuk umum persamaan kuadrat : ax + bx + c =, a ) Akar akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus: x 1, b D, D = b 4ac a 3) Jumlah,

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius

Pengertian Persamaan Garis Lurus 1. Koordinat Cartesius a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius Pengertian Persamaan Garis Lurus Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c 1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu

Lebih terperinci

Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada

Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth,

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai.

I. PENDAHULUAN. dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk. ke dalam sungai dan langsung tercampur dengan air sungai. I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Masalah Dalam kehidupan, polusi yang ada di sungai disebabkan oleh limbah dari pabrikpabrik dan kotoran manusia atau kotoran binatang. Semua polutan tersebut masuk

Lebih terperinci

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah

Bil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk

Lebih terperinci

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah

syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan dari sebuah 2 Tempat Kedudukan dan Persamaan 2.1. Tempat Kedudukan Tempat kedudukan (locus) adalah himpunan titik-titik yang memenuhi suatu syarat tertentu yang diberikan. Atau bisa juga diartikan sebagai lintasan

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd

IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian

Lebih terperinci

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61

Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61 Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung

Lebih terperinci

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih

1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih ] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c

: Pramitha Surya Noerdyah NIM : A. Integral. ʃ f(x) dx =F(x) + c Nama : Pramitha Surya Noerdyah NIM : 125100300111022 Kelas/Jur : L/TIP A. Integral Integral dilambangkan oleh ʃ yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(X )dari F -1 (X). Hitung integral adalah

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB

SOAL-SOAL LATIHAN TURUNAN FUNGSI SPMB SOL-SOL LTIHN TURUNN FUNGSI SPM 00-007. SPM Matematika asar Regional I 00 Kode 0 Garis singgung kurva di titik potongnya dengan sumbu yang absisnya postif y mempunyai gradien.. 9 8 7. SPM Matematika asar

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi 2.1.1 Pengertian Sebuah fungsi adalah suatu kaidah yang menghasilkan korespondensi di antara dua himpunan. Jika pada setiap nilai yang dapat diambil oleh sebuah variabel

Lebih terperinci

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR

PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL ALJABAR DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP

Lebih terperinci

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E

1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E 1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci

Lebih terperinci

Kalkulus: Fungsi Satu Variabel Oleh: Prayudi Editor: Kartono Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2006 Hak Cipta 2005 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan

Lebih terperinci

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN

Integral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p) dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n.

Lebih terperinci

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah

Lebih terperinci