BAB II MACAM-MACAM FUNGSI

Transkripsi

1 BAB II MACAM-MACAM FUNGSI (Pertemuan ke 3) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang macam-macam fungsi, yaitu fungsi aljabar, fungsi trigonometri, fungsi logaritma, fungsi eksponensial, fungsi siklometri, dan fungsi hiperbolik. Manfaat Macam-macan fungsi banyak digunakan di bidang mesin. Fungsi aljabar merupakan fungsi dasar, fungsi logritma, eksponen dan hiperbol misalnya sering digunakan dalam bidang perpindahan kalor. Fungsi trigonometri banyak sekali digunakan dalam bidang mesin. Contohnya adalah menghitung luas lingkaran maka harus tahu bagaimana hubungannya dengan jari-jari, mengetahui hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut, untuk mengetahui volume suatu benda sebagai akibat perubahan temperatur, maka volume sebagai fungsi temperatur harus diketahui, dan masih banyak contoh lainnya. Relevansi Sesuai dengan definisi fungsi adalah menyatakan hubungan antara dua peubah bebas dan tak bebas, maka di bidang mesin menjadi hal yang sangat penting. Contoh yang sederhana adalah menghitung luas lingkaran, besarnya tergantung dari jari-jari yang merupakan peubah bebasnya. Disamping itu, fungsi-fungsi tersebut banyak dipakai di dalam mata kuliah lain yang sangat mendukung pemahaman bidang mesin, di antaranya adalah fisika, perpindahan kalor, kinematika dan dinamika. Sebagai contoh untuk mengetahui kecepatan tangensial suatu roda yang berputar, maka harus mengetahui fungsi yang menyatakan hubungan antara jari-jari roda dan kecepatan sudutnya. Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menerapkan berbagai macam fungsi, khususnya yang erat kaitannya dengan bidang mesin. s. johanes, dtm sv ugm 5

2 PENYAJIAN. Fungsi Aljabar Fungsi disebut fungsi aljabar bila untuk mendapatkan harga y digunakan operasi aljabar (penjumlahan, penguangan, perkalian, pembagian, pangkat & akar) terhadap peubah. Ada dua macam: a. Fungsi rasional, dimana peubah tak berada di bawah tanda akar. Contoh:, (disebut fungsi rasional bulat), (disebut fungsi rasional pecah) b. Fungsi irasional, bila peubah berada di bawah tanda akar. Contoh:, 2. Fungsi Trigonometri (Goniometri) Fungsi disebut fungsi Trigonometri (Goniometri) bila untuk mendapatkan harga y digunakan operasi goniometri terhadap peubah. Contoh:,,. Definisi- definisi:,,, Pythagoras:,,, a c c,,, b Gambar 2- Kesamaan Pythagoras Kesamaan sudut ganda s. johanes, dtm sv ugm 6

3 Perubahan menjadi sudut lancip: 90 o 80 o Sin + II I Semua + 0 o III IV tan + Cos o Gambar 2-2 Cara mengingat: Dimulai 90 o /270 o berubah Dimulai 80 o tidak berubah Perubahan: sin cos tan cos sin cotan Kesamaan ganjil-genap Kesamaan penambahan Kesamaan jumlah Kesamaan hasil kali s. johanes, dtm sv ugm 7

4 y 90 o 80 o R= π/3 0 o 0 π/3 π/2 π 3π/2 2π 270 o Diputar 90 o, bjj 0 o - Gambar 2-3 y π/2 90 o R= 270 o 0 π/2 π 3π/2 2π 80 o - Gambar Fungsi Logaritma & Fungsi Eksponensial Fungsi disebut fungsi logaritma bila untuk mendapatkan harga y digunakan operasi logaritma terhadap peubah. Contoh:, Bentuk persamaan: atau a = bilangan pokok (dasar) logaritma = 0 (disebut logaritma biasa) b = bilangan yang di log kan c = hasil s. johanes, dtm sv ugm 8

5 jika: maka: Bilangan pokok logaritma, a = 0, biasanya tidak ditulis. Contoh: cukup ditulis SIfat fungsi logaritma: Bila bilangan pokok logaritma, a adalah sama dengan bilangan riil positif (bilangan tak rasional), yaitu bilangan Napier (bilangan transendental), diberi simbul e = 2,782..., diperoleh dari, maka berubah menjadi, dan cukup dituli menjadi (ln = logaritma Napier), dalam buku-buku kalkulus disebut logaritma asli (natural). Pertama kali bilangan e diperkenalkan oleh Leonhard Euler (seorang matematikawan terbesar pada abad 8) sebagai bilangan dasar untuk logaritma asli. Definisi: invers dari ln desebut fungsi eksponen asli, dan ditulis sebagai ep. Maka dari definisi ini diperoleh:. ep(ln ) =, atau cara penulisan lain y adalah:, untuk >0, y = 2. ln(ep y) = y, atau cara penulisan lain adalah:, untuk semua y y = ep Oleh karena ep dan ln adalah fungsi-fungsi invers, grafik y = ep adalah grafik y = ln yang dicerminkan pada garis y y = ln =. Contoh fungsi eksponensial: Gambar 2-5., a & b adalah konstanta. 2. Pembangkitan kalor dinding reaktor nuklir oleh sinar gamma, dinyatakan oleh persamaan :,, a = konstanta, 3. (persamaan distribusi temperatur sirip panjang tak hingga) s. johanes, dtm sv ugm 9

6 4. Fungsi Siklometri Bentuk: dengan hubungan ARCUS, disingkat arc, merupakan kebalikan dari trigonometri (goniometri). Contoh:. atau ditulis, 2. Pengertian: jika dikatakan bahwa sin kan hasilnya sama dengan., artinya bahwa a adalah sudut yang apabila di Contoh:, 2 30 o maka atau Gambar Fungsi Hiperbol (Hiperbolik) Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai berikut: a) b) c) d) e) f) Hubungan-hubungan fungsi hiperbolik a) b) c) d) e) f) g) s. johanes, dtm sv ugm 20

7 Contoh: ) 2) 3) Laju perpindahan kalor melalui sirip panjang tertentu dan melepaskan kalor dari ujungnya, dinyatakan oleh persamaan: 4) Distribusi temperatur sirip panjang tertentu dan melepaskan kalor dari ujungnya, dinyatakan oleh persamaan: s. johanes, dtm sv ugm 2