Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham

2 Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua dari kalkulus aitu diferensial dan integral. Seperti halna pada waktu membahas fungsi dan grafik, pembahasan diferensial dan integral juga dilakukan dengan pendekatan dari sisi aplikasi.

3 Turunan Fungsi-Fungsi Cakupan Bahasan Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung. Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial d dan d. Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial Integral Integral Tak Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Integral Tentu. Penerapan Integral. Luas Bidang Di Antara Dua Kurva. Volume Sebagai Suatu Integral. Persamaan Diferensial Pengertian. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua.

4

5 Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian - Δ Δ 4 Kita telah melihat bahwa kemiringan garis lurus adalah m ( ( ) ) Bagaimanakah dengan garis lengkung?

6 Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian f() P P Δ Δ di perkecil menjadi * f() pada kondisi mendekati nol P Δ* P Δ* lim lim f ( ) f ( ) f ( ) fungsi turunan dari f () di titik P ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

7 Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian (, ) (, ) f () f () di titik (, ) adalah turunan di titik (, ), f () di titik (, ) adalah turunan di titik (, )

8 Turunan Fungsi, Pengertian-Pengertian Jika pada suatu titik di mana lim benar ada maka dikatakan bahwa fungsi f() dapat didiferensiasi di titik tersebut d d d d ( ) lim kita baca turunan fungsi terhadap. Penurunan ini dapat dilakukan jika memang merupakan fungsi. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

9 Fungsi Mononom

10 Turunan Fungsi, Mononom Fungsi Mononom Contoh-. f ( ) k lim f ( ) f ( ) Contoh-. f ) ( ( ) f ( ) lim f ( ) 4 5 Fungsi ramp Fungsi tetapan

11 ) ( f f 4 ) ( lim ) ( lim ) ( lim ) ( Turunan fungsi mononom pangkat berbentuk mononom pangkat (kurva garis lurus) Turunan Fungsi, Mononom Contoh-. ) ( f 6 lim ) ( lim ) ( lim ) ( f Turunan fungsi mononom pangkat berbentuk mononom pangkat (kurva parabola) Contoh-.4

12 Turunan Fungsi, Mononom Secara umum, turunan mononom f ( ) adalah n m ( n) ( m n) Jika n maka kurva fungsi n m berbentuk garis lurus *) dan turunanna berupa nilai konstan, Jika n >, maka turunan fungsi fungsi, f () n m f ( ) k akan merupakan Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutna, ang mungkin masih dapat diturunkan lagi f () turunan dari f () f () turunan dari f () *) Untuk n berupa bilangan tak bulat akan dibahas kemudian

13 Turunan Fungsi, Mononom f ( ) d d disebut turunan pertama, f ( ) d d turunan kedua, f ( ) d d turunan ke-tiga, dst. Contoh-.5: ( 4 f4 ) () () 4 () 6 ; 4 6() ; 4

14 Turunan Fungsi, Mononom Kurva fungsi mononom f ( ) n m ang memiliki beberapa turunan akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunanna. Contoh-.6: Fungsi 4 dan turunan-turunanna

15 Fungsi Polinom

16 Turunan Fungsi, Polinom Contoh-.7: f( ) 4 { 4( ) } { 4 } f ( ) lim f () 4 f ) - -,5 -,5,5 ' ( 4 Turunan fungsi ini sama dengan turunan f()4 karena turunan dari tetapan adalah. Secara Umum: Jika F() f() K maka Fʹ() f () Kita akan melihat hal ini dalam pembahasan integral tak tentu

17 Turunan Fungsi, Polinom Contoh-.8: f ) 4( ) f ( ) 4 8 ( f ( ) 4 f ( ) 4( ) f ( ) 4

18 Turunan Fungsi, Polinom Contoh-.9: 5 4 ) ( f { } { } ) ( ) 4( lim ) ( 4 4 f { } { } ) ( ) 4( ) 5( lim 4 Contoh-.: Secara Umum: Turunan suatu polinom, ang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan sarat setiap mononom ang membentuk polinom itu memang memiliki turunan.

19 Nilai Puncak Suatu Fungsi

20 Turunan Fungsi, Nilai Puncak Titik puncak kurva suatu fungsi adalah titik pada kurva di mana garis singgung kurva memiliki kemiringan nol (garis sejajar sumbu-). Jadi di titik ini turunan pertama fungsi bernilai nol. Contoh-.: Polinom Orde Dua Jika fungsi turunan pertama ini maka 4 5, 75 p p Inilah absis titik puncak Ordinat titik puncak diperoleh dengan memasukkan p ke persamaan kurva p p 5p (-,75) 5 (,75) 5,5 Jadi koordinat titik puncak adalah: P(.5, -5.5)

21 Turunan Fungsi, Nilai Puncak Secara umum, p dari fungsi kuadrat a b c dapat diberoleh dengan membuat a b sehingga diperoleh b p a Ordinat titik puncak dapat diperoleh dengan memasukkan p ke persamaan. p a p b p b b c c 4a 4a 4ac

22 Turunan Fungsi, Nilai Puncak Maksimum dan Minimum Bagaimanakah mengetahui bahwa suatu nilai puncak merupakan nilai minimum atau maksimum? Kita manfaatkan karakter turunan kedua di sekitar nilai puncak. (kemiringan garis singgung) sekitar titik maksimum terus menurun P bernilai negatif di sekitar titik maksimum Apabila di titik puncak <, titik puncak tersebut adalah titik maksimum. Apabila di titik puncak <, titik puncak tersebut adalah titik minimum Q (kemiringan garis singgung) sekitar titik minimum terus meningkat bernilai positif di sekitar titik minimum

23 Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-.: 5 p,75 4 p 5,5 Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai minimum, karena > Ini disebut minimum absulut: nilai ang lain memberi > min Contoh-.: 5,75 4, 5 p 4 p Nilai puncak fungsi dan ini merupakan nilai maksimum, karena < Ini disebut maksimum absulut: nilai ang lain memberi < maks

24 Turunan Fungsi, Nilai Puncak Contoh-.4: 6 6 6( ) memberikan p dan p puncak puncak 6 Untuk 6 Untuk 6 maksimum relatif minimum relatif 5 P[,] Q[,] 5 - -,5 - -,5-5,5,5,

25 Turunan Fungsi, Garis Singgung Garis Singgung Kemiringan garis singgung di titik R ang terletak pada kurva suatu fungsi sama dengan turunan pertama fungsi di titik R. Contoh-.5: 6 6 6( ) Titik R dengan absis R memiliki ordinat R(,7) R Kemiringan garis singgung di titik R adalah m ,5 - -,5-5,5,5,5 - s -5 - R Persamaan garis singgung: s 7 s K K 7 K 7 4 7

26 Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

27 Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Jika maka ( vw ) ( v v)( w w) ( vw v w w v w v) ( ) ( wv v w w v w v vw ) w v v w v w d d d( vw) d v dw d w dv d

28 Turunan Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi Contoh-.6: Turunan 5 6 adalah 4 Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi d( ) d 4 Jika Contoh-.7: uvw d( uvw) d d( uv)( w) d dw d( uv) ( uv) w d d dw dv du ( uv) ( uw) ( vw) d d d 5 6 d d ( )(4) 6 )() ( 4 dw dv ( uv) w u d d Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi d( uvw) ( d 4 )(6) 4 4 v du d

29 Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-.8: 6 v v v v d d ( v v v 5 5 6v v dv d dv v d 5 dv d 4 dv ) ( v d v dv dv v v d d 5 dv d v) v dv 5 d dv d ( v v v 4 v) v v dv d dv d dv d v v dv d dv d Contoh ini menunjukkan bahwa Secara Umum: dv n d nv n dv d 6 6 dv dv dv 5 6v d dv d dv d

30 Turunan Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi Contoh-.9: ( ) ( ) Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi d ( d ( 6 6( ) ) ( d( ( ) )( d )( ( ) ) ) 6( ( ( ) ( ) ) ) ) d( ( ( d ) ) )

31 Fungsi Rasional

32 Turunan Fungsi, Fungsi Rasional Fungsi Rasional Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi w v vw d dw v d dv w w d dv w d dv w v d dv w d dv vw d dv w d dw v d vw d w v d d d d ) ( w d dw v d dv w w v d d atau Jadi:

33 Turunan Fungsi, Fungsi Rasional ) 9 ( ) )( ( ) ( d d Contoh-.: 4 d d Contoh-.: dengan ; ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( d d (agar penebut tidak nol) Contoh-.:

34 Fungsi Implisit

35 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk eplisit namun sebagian ang lain tidak. Untuk fungsi ang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti ang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi ang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, ang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi dapat didiferensiasi terhadap.

36 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Contoh-.: 8 Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi ang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh d d d d d ( ) d d d Jika ( ) kita peroleh turunan d d

37 Turunan Fungsi, Fungsi Implisit Contoh-.4: Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh 4 4 4( d 4 d d(4) d( ) d d d d ) 4 d d 4 Untuk ( ) kita dapat memperoleh turunan d d ( ( ) )

38 Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

39 Turunan Fungsi, Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Fungsi Berpangkat Tidak Bulat Bilangan tidak bulat p n dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q q q Jika, kita dapatkan v ( p / q) q p( p / ) v v q q n v p / q q v d q p d d d d d p pv p / q d( v d sehingga p / q d( v d dv d ) ) p q pv q qv v p q pv p dv d p( p / q) ( p / q) dv d dv d (v adalah fungsi ang bisa diturunkan) p q v ( p) p ( p / q) dv d Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, hana perlu persaratan bahwa v untuk p/q <.

40 Kaidah Rantai

41 Turunan Fungsi, Kaidah Rantai Kaidah Rantai Apabila kita mempunai persamaan maka relasi antara dan dapat dinatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan ang berbentuk F() Kaidah rantai Jika maka f ( t) dan f ( t) F() dapat diturunkan terhadap dan f (t) dapat diturunkan terhadap t, ( f ( t) ) g( t) F dapat diturunkan terhadap t menjadi d dt d d d dt

42 Diferensial d dan d

43 Turunan Fungsi, Diferensial d dan d Diferensial d dan d Turunan fungsi () terhadap dinatakan dengan formulasi d lim f ( ) d Sekarang kita akan melihat d dan d ang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio d/d, jika d, sama dengan turunan fungsi terhadap. Hal ini mudah dilakukan jika adalah peubah bebas dan merupakan fungsi dari : F() d dan d didefinisikan sebagai berikut: ). d, ang disebut sebagai diferensial, adalah bilangan nata dan merupakan peubah bebas lain selain ; ). d, ang disebut sebagai diferensial, adalah fungsi dari dan d ang dinatakan dengan d F' ( ) d

44 Turunan Fungsi, Diferensial d dan d Penjelasan secara grafis P d d θ Ini adalah fungsi (peubah tak bebas) d F' ( ) d Ini adalah peubah bebas P d d θ Jika d berubah, maka d berubah sedemikian rupa sehingga d/d sama dengan kemiringan garis singgung pada kurva d d tanθ d (tanθ)d ; laju perubahan besar perubahan nilai sepanjang terhadap perubahan. garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai berubah sebesar d Diferensial d dianggap bernilai positif jika ia mengarah ke kanan dan negatif jika mengarah ke kiri. Diferensial d dianggap bernilai positif jika ia mengarah ke atas dan negatif jika mengarah ke bawah. d d θ P P d d θ d d P θ

45 Turunan Fungsi, Diferensial d dan d Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ini v adalah fungsi. Turunan Fungsi dc d ; c dcv dv c d d konstan Diferensial dc ; c dcvcdv konstan d( v w) d dvw d v d w d n dv d dc d n dv d dw d d ( v w) dv dw dw dv v w d ( vw) vdw wdv d d dv w d w dw v d d v w wdv vdw w n dv n n nv dv nv dv d cn n d( c n n ) cn d

46 Turunan Fungsi, Diferensial d dan d Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. ).Mencari turunanna lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan d. ). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel) Contoh-.5: sehingga d ( 6 5) d Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas d d( ( ) d( 6 5) d ) d(5) d( 6) d 6d 5d

47 Fungsi Trigonometri

48 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Trigonometri Jika sin maka d d d sin sin( ) sin d sin cos cos sin sin Untuk nilai ang kecil, menuju nol, cos dan sin. Oleh karena itu d sin d cos

49 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Jika cos maka d d d cos cos( ) cos d cos cos sin sin cos Untuk nilai ang kecil, menuju nol, cos dan sin. Oleh karena itu d cos d sin

50 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Turunan fungsi trigonometri ang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. d d d d sec cos cos ) sin ( sin cos cos sin tan d d d d csc sin sin ) (cos cos sin sin cos cot d d d d tan sec cos sin cos ) sin ( cos sec d d d d cot csc sin cos sin ) (cos sin csc

51 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-.6: Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah dvc ic C dt Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C -6 farad merupakan fungsi sinus v C sin4t volt. Arus ang mengalir pada kapasitor ini adalah dvc 6 d ic C ( sin 4t),6 cos 4t ampere dt dt Daa adalah perkalian tegangan dan arus. Daa pada kapasitor adalah p v i sin 4t,6cos 4t cos 4t sin 4t 6sin 8t C C C watt v C ic p C - - v C i C p C t [detik]

52 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Contoh-.7: Arus pada suatu inductor L,5 henr merupakan fungsi sinus i L,cos4t ampere. Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah di v L L L dt dil d vl L,5, cos 4t,5, sin 4t 4 sin 4 dt dt p L v L i L ( ) t sin 4t (.cos 4t) 4sin 4t cos 4t sin 8t W v L i L p L v L il p L t[detik] -

53 Fungsi Trigonometri Inversi

54 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri Inversi Turunan Fungsi Trigonometri Inversi sin sin d cos d d d cos d d cos cos dsin d d d sin d d

55 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri tan tan d d cos d cos d d d cot cot d d sin d sin d d d

56 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri sec ( sin ) sec d d cos cos d d cos sin csc (cos ) csc d d sin sin d d sin cos

57 Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi

58 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v f(), maka d(sin v) d d(cosv) d d(sin v) dv d(cosv) dv dv dv cosv d d dv dv sin v d d d(tan v) d sin v cos sin dv sec v d d cosv cos d dv d d(cot v) d cosv csc v d d sin v dv d d(secv) d d d cosv sin v cos v dv d secv tan v dv d d(cscv) d d d sin v cscv cot v dv d

59 Turunan Fungsi, Fungsi Trigonometri d dw w d w d ) (sin d dw w d w d ) (cos d dw w d w d ) (tan d dw w d w d ) (cot d dw w w d w d ) (sec d dw w w d w d ) (csc Jika w f(), maka

60 Fungsi Logaritmik dan Fungsi Eksponensial

61 Turunan Fungsi, Fungsi Logaritmik Turunan Fungsi Logaritmik Fungsi logaritmik f ( ) ln didefinisikan melalui suatu integral /t 4 / f ( ) ln dt ( > ) t ln dt t ln( )ln Δ t /(Δ) Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut luas bidang ang dibatasi oleh kurva (/t) dan sumbu-t, dalam selang antara t dan t d ln ln( ) ln( ) dt d t d ln d Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang ( /). Namun jika makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati ( /); dan jika mendekati nol luas tersebut sama dengan ( /).

62 Turunan Fungsi, Fungsi Eksponensial Turunan Fungsi Eksponensial e ln ln e. penurunan secara implisit di kedua sisi d ln d d atau d Jadi turunan dari e adalah e itu sendiri d d e e e e dst. Jika v v() de v d de v dv dv d e v dv d e tan d d e tan d tan d e tan

63

64 Integral Tak Tentu

65 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f() ang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai tertentu, misalna a< < b, dipenuhi persamaan d d f () Persamaan ang menatakan turunan fungsi sebagai fungsi seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial d d d 6 d 5 6 d d

66 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian d Tinjau persamaan diferensial f () d Suatu fungsi F() dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi df( ) f ( ) d Karena d [ F( ) K] d df( ) d dk d df( ) d maka fungsi F( ) K juga merupakan solusi

67 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian df( ) d f ( ) dapat dituliskan df ( ) f ( ) d Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum f ( ) d F( ) K Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K ang harus dicari

68 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-.: Cari solusi persamaan diferensial d 4 5 d ubah ke dalam bentuk diferensial d Kita tahu bahwa d d( ) 5 4 d oleh karena itu d d( ) K

69 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-.: Carilah solusi persamaan / d d d d d d kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda d d d ( / ) / d Jika kedua ruas diintegrasi d ( / ) d / K K / K K K

70 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adana keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaa pendugaan tersebut.. Integral dari suatu diferensial d adalah ditambah konstanta K. d. Suatu konstanta ang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan K ad a d. Jika bilangan n, maka integral dari n d diperoleh dengan menambah pangkat n dengan menjadi (n ) dan membagina dengan (n ). n d n n K, jika n

71 Integral Tak Tentu, Penggunaan Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K ang merupakan bilangan nata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil ang tidak tunggal melainkan banak hasil ang tergantung dari berapa nilai ang dimiliki oleh K. i K i 5 5 K kurva adalah kurva bernilai tunggal K K kurva d K adalah kurva bernilai banak

72 Integral Tak Tentu, Penggunaan Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa ang disebut sebagai sarat awal atau kondisi awal. Contoh-.: Kecepatan sebuah benda bergerak dinatakan sebagai v at t kecepatan percepatan waktu Posisi benda pada waktu t adalah posisi benda pada t 4. ds Kecepatan adalah laju perubahan jarak, v dt Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, ds vdt. t s atdt K,5t K a s dv dt K K ; tentukanlah Kondisi awal: pada t, s,5 s t sehingga pada t 4 posisi benda adalah s 4 7

73 Luas Sebagai Suatu Integral

74 Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang ang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-, garis vertikal p, dan q. f () Contoh-.4: A p A p f() p Ap dap lim f ( ) d q A p f ( A p atau ) Ap dap d Kondisi awal (kondisi batas) adalah A p untuk p K p K atau K p A p p A pq q p ( q p)

75 Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kasus fungsi sembarang dengan sarat kontinu dalam rentang p q f() f( ) f() p q A p A p A p bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan A p f() atau A p f( ) f ) f ( ) f ( ) A p ( Ap dap Jika : lim f ( ) d adalah suatu nilai ang terletak antara dan Ap dap f ( ) d F( ) A pq F( q) F( p) F( ) ] q p K

76 Integral Tentu

77 Integral Tentu, Pengertian Integral tentu merupakan integral ang batas-batas integrasina jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang ang dipandang sebagai suatu limit. f() Bidang dibagi dalam segmen-segmen p k k n q Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen f() f() p k k n q p k k n q Luas tiap segmen dihitung sebagai f( k ) k Luas tiap segmen dihitung sebagai f( k ) k

78 Integral Tentu, Pengertian f() f() p k k n q p k k n q Luas tiap segmen dihitung sebagai f( k ) k Luas tiap segmen dihitung sebagai f( k ) k Jika k adalah nilai di antara k dan k maka f ( k ) k f ( k ) f ( ) k k k n f ( ) n f ( ) k k k k k k k n f ( k ) k Jika k ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit ang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu

79 Integral Tentu, Pengertian f() p k k n q Luas bidang menjadi pq A f ( ) d q p A pq q p f ( ) d F( ) ] F( q) F( p) q p

80 Luas Bidang

81 Integral Tentu, Luas Bidang Definisi A p adalah luas bidang ang dibatasi oleh f () dan sumbu- dari p sampai, ang merupakan jumlah luas bagian ang berada di atas sumbu- dikurangi dengan luas bagian ang di bawah sumbu-. Contoh-.5: Luas antara dan sumbu- dari sampai. A a A b - ( ) d 4 6 (,5 54),75 ( ) d 6 4,5 54 (), A pq Aa Ab,75 (,755) 67,5

82 Integral Tentu, Luas Bidang Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai A p, formulasi A q p ( )) f ( ) d F( q) F p tetap berlaku untuk kurva ang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu- f() p A A A A 4 q A pq q p ( )) f ( ) d F( q) F p A pq A A A A4

83 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Luas Bidang Di Antara Dua Kurva p q f ) berada di atas f ) ( ( Rentang p q dibagi dalam n segmen Asegmen Ap { f ( ) f( ) } A p jumlah semua segmen: n q { f ( ) f( } A ) segmen p Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga menuju nol kita sampai pada suatu limit pq n segmen q p { f ( ) f ( } A lim A ) d

84 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Contoh-.6: Jika 4 dan berapakah luas bidang antara dan dari p sampai q. A pq { 4 ( ) } d 6] 8 ( ) ( Contoh-.7: Jika dan 4 berpakah luas bidang ang dibatasi oleh dan. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi aitu nilai pada perpotongan antara dan. 4 di atas p, q A pq 8 (4 ) d

85 Jika dan berpakah luas bidang ang dibatasi oleh dan. Contoh-.8: Batas integrasi adalah nilai pada perpotongan kedua kurva 8 ; 8 atau q p 4,5 4 8 ) ( d A pq di atas Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva

86 Integral Tentu, Penerapan Penerapan Integral Contoh-.9: Sebuah piranti menerap daa W pada tegangan konstan V. Berapakah energi ang diserap oleh piranti ini selama 8 jam? Daa adalah laju perubahan energi. Jika daa diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka dw p ang memberikan w dt pdt Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat, maka batas atasna adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi ang diserap selama 8 jam adalah 8 w pdt dt t 8 8 8,8 Watt.hour [Wh] kilo Watt hour [kwh]

87 Integral Tentu, Penerapan Contoh-.: Arus ang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t),5 t ampere. Berapakah jumlah muatan ang dipindahkan melalui piranti ini antara t sampai t 5 detik? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. dq i sehingga q idt dt Jumlah muatan ang dipindahkan dalam 5 detik adalah q 5 idt 5,5tdt,5 t 5,5,65 coulomb

88 Volume Sebagai Suatu Integral

89 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Balok Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Jika A() adalah luas irisan di sebelah kiri dan A( ) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah A( ) V A( ) Volume balok V adalah Apabila cukup tipis dan kita mengambil A() sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, aitu: Jika menuju nol dan A() kontinu antara p dan q maka : V A( ) q p luas rata-rata irisan antara A() dan A( ). V A( ) q p q V lim A( ) A( ) d o q p p

90 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu- O P Q A() adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(); sedangkan r() memiliki persamaan garis OP. m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. V h A( ) d h π [ r( ) ] d h πm d V kerucut πm h π(pq/oq) h πr h Jika garis OP memotong sumbu- maka diperoleh kerucut terpotong

91 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Sembarang f() ( r( ) ) π( f ( )) A( ) π a b V π( f ( ) ) b a d Rotasi Gabungan Fungsi Linier f () f () f () a b Fungsi f() kontinu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang dimana fungsi linier kontinu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

92

93 Pengertian-Pengertian

94 Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Pengertian Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis ang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hana meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi ang ada dalam persamaan.. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Contoh: d d d d 5 adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. e

95 Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian Solusi Suatu fungsi f() dikatakan merupakan solusi suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikanna dan turunanna dalam persamaan tersebut oleh f() dan turunanna. Contoh: d ke adalah solusi dari persamaan dt d karena turunan ke adalah ke dt dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh ke Persamaan terpenuhi. ke Pada umumna suatu persamaan orde n akan memiliki solusi ang mengandung n tetapan sembarang.

96 Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan

97 Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan Jika pemisahan ini bisa dilakukan maka persamaan dapat kita tuliskan dalam bentuk f ( ) d g( ) d Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, aitu f ( ) d g( ) d) K

98 Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Contoh-.: d d e Persamaan ini dapat kita tuliskan d d ang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah e e e d e d Integrasi kedua ruas: e d e d K sehingga e e K atau e e K

99 Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah Contoh-.: d d Pemisahan peubah akan memberikan bentuk d d atau Integrasi kedua ruas d d d d K ln atau K ln K

100 Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

101 Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk d F d pemisahan peubah: Jadikan sebagai peubah bebas baru v ang akan memberikan v dan dv v F(v) d dv d v d d dv F( v) v d dv d F( v) v atau: d dv v F( v)

102 Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Contoh-.: ( ) d d Usahakan menjadi homogen ( ) d d ( ) d d d ( / ) F( / d ( / ) d v Peubah baru v / F( v) d v ) d d v dv v dv v v d v d dv v v d v v v peubah terpisah vdv v d atau d vdv v

103 Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkan v sebagai fungsi. Kita coba hitung d ln( v dv d vdv v Suku ke-dua ini berbentuk / dan kita tahu bahwa d(ln ) d ) d ln( v ) d( v d( v ) dv ( v ) K ) v Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk persamaan menjadi d d ln( v ) dv dv Integrasi ke-dua ruas: ln ln( v ) K ln K ln ln( v ) K ln K (6v) ( ) ( ) ( / ) K K

104 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

105 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol. Persamaan diferensial orde satu ang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk d P Q d P dan Q merupakan fungsi atau tetapan Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik. Persamaan diferensial ang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai d a b dt f (t) Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai, atau mempunai bentuk utama ang hana ada tiga, aitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit ang merupakan gabungan dari bentuk utama.

106 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara ang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan. Peubah adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) ang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen ang membentuk rangkaian. Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian ang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak. Persamaan diferensial linier mempunai solusi total ang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi ang dapat memenuhi persamaan ang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi ang dapat memenuhi persamaan homogen d a b dt

107 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Hal ini dapat difahami karena jika f (t) memenuhi persamaan ang diberikan dan fungsi f (t) memenuhi persamaan homogen, maka (f f ) akan juga memenuhi persamaan ang diberikan, sebab a d dt b a a d df dt ( f f ) dt bf b( f df a dt f bf ) a df dt bf Jadi (f f ) adalah solusi dari persamaan ang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen.

108 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Solusi Homogen d Persamaan homogen a b dt Jika a adalah solusina maka d a a b dt a integrasi kedua ruas memberikan ln b a t a K ln b a t a K sehingga a e b t K a K a e ( b / a) t Inilah solusi homogen

109 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Jika solusi khusus adalah p, maka a d dt p b p f (t) Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk p. Jika f ( t) p Jika f ( t) A konstan, p konstan K Jika f ( t) Ae αt eksponensial, p eksponensial Ke αt Jika f ( t) Asinωt, atau f ( t) Acosωt p K c cosωt K s sinωt Dugaan bentuk-bentuk solusi p ang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hana dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi Jika dugaan solusi total adalah total p K a e ( b / a) t Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

110 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-.4: Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan dv dt v Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v V. Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t). Solusi khusus bernilai nol. dv v dt ln v t K v e t K t Kae Penerapan kondisi awal: Ka Solusi total: v e t V

111 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-.5: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan dv v dt Dengan kondisi awal v( ) V, carilah tanggapan lengkap. Solusi homogen: dva va dt v a K a e t dv v a a dt Solusi khusus: v karena f(t) p Solusi total (dugaan): v total K a e t Penerapan kondisi awal: Ka K a Solusi total: v total e t V

112 Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu Contoh-.6: Pada kondisi awal v V suatu analisis transien dv menghasilkan persamaan 5 v cost dt Carilah solusi total dv Solusi homogen: a 5 va dt dva 5 dt va ln v a 5t K v a K a e 5t Solusi khusus: v p Ac cos t As sint Solusi total (dugaan): Ac sint As cost 5Ac cost 5As sint cost As cost 5Ac cost cost A s 5Ac A sint 5A sint c Penerapan kondisi awal: s v t t K t a e 5 4cos 8sin A c 5A 4 Ka K a 4 A 8 4 s s A c Solusi total : v 4cost 8sint 4e 5t

113 Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Untuk Persamaan Diferensial Linier Orde Dua silakan langsung melihat Analisis Transien

114 Courseware Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham