Modifikasi Metode Rata-Rata Harmonik Newton Tiga Langkah Menggunakan Interpolasi Hermite Orde Tiga

Transkripsi

1 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. I No. I Jui 06 pp. - ISSN 6-0 prit/issn 0-0 oli Modiikasi Mtod Rata-Rata Harmoik Nwto Tiga Lagkah Mgguaka Itrpolasi Hrmit rd Tiga Wartoo Dwi Sartika Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi UIN Sulta Sari Kasim Riau Jl. HR. Soratas No. Simpag Baru Paam Pkaaru wartoo@ui-suska.a.id ABSTRAK Mtod rata-rata harmoik Nwto mrupaka mtod itrasi ag diguaka utuk mlsaika prsamaa oliar dga ord kovrgsi tiga. Pada makalah ii pulis mmodiikasi mtod rata-rata Harmoik Nwto tiga lagkah mgguaka Itrpolasi Hrmit ord tiga. Aalisa kovrgsi mujukka ahwa ord kovrgsi mtod itrasi aru adalah dlapa mmrluka mpat valuasi ugsi stiap itrasia dga idks isisi ssar / 6. Simulasi umrik dilakuka mgguaka rapa ugsi da diadigka dga mtod laia utuk mujukka prorma mtod itrasi aru trsut. Kata Kui: itrpolasi Hrmit mtod rata-rata harmoik Nwto ord kovrgsi prsamaa oliar. ABSTRACT Nwto s Harmoi ma mthod is o o th itratio mthod with uiall ordr ovrg that a usd to solv a oliar quatio. I this papr th authors modiid th thr stp Nwto s Harmoi ma mthod usig third ordr Hrmit Itrpolatio. Th aaliss o ovrg shows that th w itratio mthod with ighth-ordr ovrg ad rquirs our valuatio o with ii id as / 6. Numrial simulatio will prstd usig a umr o utios ad ompard othr mthods to show th prorma o th w itrativ mthod. Kwords: Hrmit itrpolatio Nwto s harmoi ma mthod ordr o ovrg oliar quatio.

2 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- Pdahulua Prsamaa oliar aak ditmuka dalam ragai idag sprti isika koomi tkik ag maa sagia sar sulit ditmuka solusia sara aalitik. lh kara itu plsaia altrati dilakuka sara umrik aitu rupa prhituga ag dilakuka sara rulag atau lih dikal dga ama mtod itrasi. Baak mtod itrasi ag dapat diguaka salah satua aitu mtod Nwto ag dalam prhitugaa mgguaka satu taka awal dalam mmuka akar hampira dari prsamaa oliar da tuk itrasia diataka Pgmaga mtod itrasi Nwto mjadi mtod itrasi dga ord kovrgsi lih tiggi aak dilakuka olh pliti dga ara mmodiikasi mtod Nwto mgguaka ragai pdkata: itgral Nwto titik tgah rataa harmoik 0 kuadratur Nwto-Cot 6 slisih tragi maju. Mtod Itrasi ag Dikmagka Prtimagka kmali varia mtod Nwto ag dikmagka olh a dga msustitusika tuk rataa Harmoik ag dirika olh dga didiisika pada Prsamaa. Prsamaa mrupaka prsamaa itrasi varia mtod Nwto dga ord kovrgsi kuik da mliatka tiga valuasi ugsi pada stiap itrasia shigga idks isisia adalah ssar /. lh kara itu utuk migkatka idks isisi shigga ord ag dihasilka optimal pliti mlakuka rduksi trhadap pada Prsamaa sagaimaa ag dilakuka Chu da Nta dga mgguaka pdkata torma Nwto ag ditulis dalam tuk t dt Slajuta utuk migkatka ord kovrgsi mtod itrasi dituk mjadi tiga lagkah ag maa pada lagkah ktiga mrupaka tuk Nwto dalam lh kara sagai koskusi dari pamaha lagkah itrasi mgakiatka rtamah jumlah valuasi ugsi utuk dilakuka rduksi pada lagkah ktia dga mgguaka Itrpolasi Hrmit ord tiga sagaimaa prah dilakuka olh rapa pliti sprti Zhao dkk. Pada agia trakhir aka dilakuka simulasi umrik utuk mtuka aaka itrasi ag dihasilka srta CC omputatioal ordr o ovrg da slajuta aka diadigka dga mtod itrasi laia utuk mlihat kirja dari mtod itrasi trsut.

3 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- Hasil da Pmahasa a. Modiikasi Mtod Rata-Rata Harmoik Nwto Prtimagka kmali modiikasi mtod rata-rata harmoik Nwto adalah dga mrduksi ugsi dalam tuk da dga msustitusika pada Prsamaa maka Prsamaa mjadi Slajuta msustitusika pada Prsamaa dga maka diprolh 6 da mggatika + dga maka prsamaa 6 mjadi Brikuta aka ditamahka lagkah ktiga dalam tuk mtod Nwto sprti rikut: dga sagaimaa tlah didiisika pada Prsamaa da ' diaproksimasi dga mgguaka itrpolasi Hrmit ord tiga sagai rikut: H ' ' 0 ' Diasumsika ahwa H shigga diprolh H Brdasarka uraia di atas maka prsamaa mtod itrasi tiga lagkah ditulis sagai rikut:

4 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60-.a.. Prsamaa.a. mmiliki mpat valuasi ugsi aitu da. Aalisis Kovrgsi Brdasarka prsamaa itrasi ag tlah diprolh sagaimaa dirika pada Prsamaa.a-. maka slajuta aka dittuka ord kovrgsi prsamaa itrasi trsut dga mgguaka kspasi drt Talor. Brikut ii dirika torma ord kovrgsi dari Prsamaa.a-. sagai rikut: Torma : Misalka D akar sdrhaa dari ugsi : D pada itrval uka D. Jika 0 ukup dkat k akar maka Prsamaa mmiliki ord kkovrga dlapa dga prsamaa galat 6 Bukti : Misalka adalah akar sdrhaa dari prsamaa 0 maka 0 da 0. Asumsika kmudia mgkspasika diskitar shigga diprolh:!!! lh kara 0 da maka diprolh!!!!!! atau da 0 dga! k k k... k. Pmagia Prsamaa 0 trhadap Prsamaa dga mgguaka drt gomtri maka diprolh da slajuta dga msustitusika Prsamaa k Prsamaa maka diprolh

5 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- atau dga Utuk mmprolh ugsi maka diguaka kspasi drt Talor diskitar shigga diprolh! da olh kara maka Slajuta sustitusika Prsamaa k Prsamaa shigga diprolh 6 Brdasarka Prsamaa da Prsamaa 6 diprolh da dga mgguaka Prsamaa maka diprolh Slajuta dga mgguaka Prsamaa 0 diprolh maka 0 da dga msustitusika Prsamaa 0 k Prsamaa. diprolh atau h dga h Slajuta kspasi drt Talor trhadap diskitar ditulis dalam tuk! da dga mgguaka Prsamaa da maka Prsamaa mjadi Slajuta aka dituk da dga msustitusika Prsamaa 0 6 da 6 k Prsamaa 0 da diprolh masig-masig sagai rikut: ' 6

6 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60-6 ' Dga mgguaka Prsamaa 6 da da disustitusika k Prsamaa maka diprolh Pmagia Prsamaa trhadap Prsamaa 0 da dga mgguaka drt gomtri maka diprolh 0 6 da slajuta sustitusika Prsamaa da k Prsamaa maka diprolh lh kara maka Prsamaa mjadi Prsamaa mrupaka ord kovrgsi dari prsamaa mtod itrasi aru ag mliatka mpat valuasi ugsi aitu da maka shigga idks isia adalah ssar 6. Idks isisi dari modiikasi rata-rata Harmoik Nwto tiga lagkah mgguaka Itrpolasi Hrmit ord tiga dapat diadigka dga rapa mtod itrasi laia sprti mtod Nwto NM mtod Potra Ptak MPP mtod komposit Potra Ptak da Nwto Sts MKPNS mtod modiikasi strowski MM da modiikasi mtod rata-rata harmoik Nwto dga pdkata itrpolasi Hrmit ord tiga MRHNIH. Brikut ii mrupaka tal utuk mmadigka rapa mtod itrasi rdasarka ilai idks isisia. Tal. Pradiga Idks Eisisi No Mtod Itrasi rd P Evaluasi Fugsi Idks Eisisi Nwto Potra Ptak 0 Rata-rata Harmoik Nwto 0 MKPNS 0

7 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- MM 6 6 MRHNIH Brdasarka Tal dapat disimpulka ahwa rdasarka ilai idks isisi Prsamaa lih aik dari rapa mtod laia.. Simulasi Numrik Pada simulasi umrik ii mtod aru aka diadigka dga rapa mtod itrasi laia sprti mtod Nwto NM mtod Potra Ptak MPP mtod komposit Potra Ptak da Nwto Sts MKPNS mtod modiikasi strowski MM da modiikasi mtod rata-rata harmoik Nwto dga pdkata itrpolasi Hrmit ord tiga MRHNIH dga mgguaka ugsi-ugsi rikut os si 0 Graik dari ugsi-ugsi trsut ditujukka dalam gamar rikut ii: a d Gamar. Graik ugsi a d da 6

8 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- Slajuta prhituga komputasi dilakuka dga mgguaka sotwar Mapl da ktlitia 00 digit trhadap rapa ugsi ag dirika utuk mtuka aakka itrasi ord kovrgsi ag dihitug sara komputasi galat mutlak da ilai ugsi pada itrasi k-+ ag dirika pada Tal. Utuk mghitug CC dilakukaga dga mgguaka rumus sagai rikut. l l Tal Jumlah Itrasi Modiikasi Mtod Rata-rata Harmoik Nwto Tiga Lagkah Mgguaka Itrpolasi Hrmit rd Tiga Fugsi CC 600.E-6 60.E E- 66.E E- 06.E E- 00.E E- 6.E E-.E- Baaka itrasi ag diutuhka pada stiap mtod itrasi ag diadigka dirika pada Tal. Tal Pradiga Jumlah Itrasi Jumlah Itrasi 0 NM MPP MKPNS MM MVRHNIH Brdasarka Tal dapat ditujukka ahwa sara umum mtod itrasi dga ord lih tiggi mmutuhka lih sdikit jumlah itrasi diadigka mtod itrasi dga ord ag lih rdah. Slajuta aka diadigka ord kovrgsi ag dihitug sara komputasi CC dga mgguaka Prsamaa ag dirika pada Tal rikut. Tal Pradiga Nilai CC CC 0 NM MPP MM MKPNS MVRHNIH

9 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Jauari 06 ISSN 60- Tal mujukka pradiga masig-masig mtod. ord kovrgsi sara komputasi dari Ksimpula Modiikasi rata-rata harmoik Nwto tiga lagkah mghasilka mtod itrasi aru dga ord kovrgsi dlapa ag maa stiap itrasia mmutuhka mpat valuasi ugsi aitu da shigga idks isisi ssar / 6. Simulasi umrik juga mmrika irormasi ahwa mtod aru mmiliki prporma ag lih aik diadigka dga mtod-mtod laia. DatarPustaka Aah. Y. Nw Nwto s mthod with third-ordr ovrg or solvig oliar quatios World Aadm o Si Egirig ad Tholog Chu C. da Ham Y. Som ourth-ordr modiiatios o Nwto s mthod Applid Mathmatis ad Computatio Chu C. A simpl ostrutd third-ordr modiiatios o Nwtos s mthod Joural o Computatioal Applid Mathmatis 00. Chu C. da Nta B. Crtai improvmt o Nwto s mthod with ourth-ordr ovrg Applid Mathmatis ad Computatio Frotii M. da Sormai E. Som variat o Nwto s mthod with third-ordr ovrg Applid Mathmatis ad Computatio Hasaov V. I. Ivaov I. G. da Ndjiov G. A w modiiatio o Nwto s mthod Applid Mathmatis ad Egirig Jishg K. Yitia L. da Xiuhua W. Third-ordr modiiatio o Nwto s mthod Jourla o Computatio ad Applid Mathmatis Kalaasudaram J. J. Modiid Nwto's mthod usig harmoi ma or solvig oliar quatios ISR Joural o Mathmatis 0 Luki T. Ralvi N. M. Gomtri ma Nwto s mthod or simpl ad multipl roots Applid Mathmatis Lttrs Ndhiov G. a w itrativ mthods or solvig oliar quatios. Appliatio o Mathmatis i Egirig ad Eoomis XXVIII i: Prodig o th XXVIII Summr shool Soopol 0 pp.- Hro prss Soia 00. a A.Y. Som w variats o Nwto s mthod Applid Mathmatis Lttr Sharma J. R. A omposit third ordr Nwto-Sts mthod or solvig oliar quatios Applid Mathmatis ad Computatio Sigh M. K. A si-ordr variat o Nwto s mthod or solvig oliar quatio Computatioal Mthods i Si ad Tholog 00. Wrakoo S. da Frado T. G. I. A Variat o Nwto s mthod with alratd third-ordr ovrg Applid Mathmatis Lttrs 000. Zhao L. dkk. Nw amilis o ighth-ordr mthods with high ii id or solvig oliar quatios WSEAS Trasatios o Mathmatis 0.