Modifikasi Metode Newton-Steffensen Bebas Turunan

Transkripsi

1 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr 0 Modiikasi Mtod Nto-Sts Bbas Turua M. Niam M.Y Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi UIN Sulta Sari Kasim Riau Mahasisa Program Studi Magistr Matmatika FMIPA Uivrsitas Riau Kampus BiaWida Pkabaru 89 Jl. HR. Sobratas No. Simpag Baru Paam Pkabaru 89 -mail : iam_s86@ahoo.om Abstrak Makalah ii mgmbagka mtod Nto-Sts dga mlibatka itrpolasi Lagrag da slisih trbagi utuk mghilagka ugsi turua da migkatka ord kovrgsi. Brdasarka hasil plitia ii diprolh baha hasil modiikasi mghasilka ord kovrgsi lima dga ii id 9. Simulasi umrik mujukka kktia da prorma mtod baru dalam mlsaika prsamaa oliir. Kata kui: Itrpolasi Nto-Sts Ord Kovrgsi Prsamaa Noliar. Abstrat This papr dvlops Nto-Sts mthod ivolvig Lagrag itrpolatio ad th dividd dir to limiat th drivativ utio ad iras th ordr o ovrg. Basd o this rsarh is shod that th modiid produ iv-ordr ovrg ith ii id 9. Simulatio umrial ar giv to illustrat th iii ad prorma o th mthods i solvig oliir quatios. Kords: Itrpolatio Nto-Sts Noliar Equatios Ordr o Covrg. Pdahulua Plsaia prsamaa oliar adalah prmasalaha ag sagat ptig dalam aalisis umrik kara sbagia bsar tidak dapat dislsaika dga mtod aalitik. Utuk itu diprluka sbuah tkik plsaia ag bisa diguaka utuk mlsaikaa aitu mtod umrik. Salah satu prmasalaha dalam prsamaa oliar adalah mtuka akar-akar prsamaa. Baak mtod itrasi ag bisa diguaka dalam mlsaika prmasalaha trsbut ttapi mtod itrasi ag srig diguaka adalah mtod Nto Raphso ag ditulis Mtod ii mmiliki kovrgsi kuadratik. Utuk mmprpat kkovrgaa mtod Nto baak mgalami modiikasi.wrako & Frado 000 dga atura trapsium Oba 00 atura titik tgah Kaar 006 dga mgvaluasi ugsi da Jishg t.al 007 dga mlibatka rata-rata aritmatik. Slajuta jika ugsi pada Prsamaa diaproksimasi dga slisih maju brikut: Maka aka diprolh 90

2 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr 0 Mtod ii dikal dga mtod Sts. Sharma 00 mmodiikasi mtod Sts dga mlibatka kmbali turuaa ugsi da mtod Nto ag ditulis dga Mtod ii dikal dga mtod Nto Sts dga ord kovrgsi kubik. Dalam makalah ii mtod ag dikmuka olh Sharma aka dimodiikasi mgguaka itrpolasi lagrag ag bbas turua.. Mtodologi Plitia Mtod ag diguaka dalam plitia ii adalah studi pustaka dga mmplajari liltratur-litratur ag brkaita dga pokok prmasalaha dga lagkah-lagkah ag diguaka sbagai brikut :. Mdisika kmbali Prsamaa dga mggati dga shigga dapat ditulis. Slajuta mtod Nto pada Prsamaa didiska kmbali dga mggati dga ag ditulis. Fugsi diaproksimasi mgguaka itrpolasi lagrag ord dua. Slajuta hasila disubstitusika k prsamaa pada lagkah.. Hasil ag diprolh pada lagkah ag masih mmuat ugsi turua diaproksimasi kmbali mgguaka slisih trbagi aitu Pada lagkah ii aka diprolh mtod itrasi baru.. Mtuka ord kovrgsi da idks isisi utuk mtod itrasi ag diprolh pada lagkah.. Hasil da Pmbahasa.. Modiikasi Mtod Nto-Sts Brdasarka Prsamaa da didisika kmbali mtod Nto dga mggati dga shigga dapat ditulis dga 9

3 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr 0 9 Slajuta ugsi pada prsamaa diaproksimasi mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua. Shigga diprolh Prsamaa dapat ditulis kmbali dalam btuk 6 dga 6a 6b 6 Dga msubstitusika Prsamaa 6 k Prsamaa maka diprolh prsamaa brikut 7 dga Olh kara pada Prsamaa 7 utuk mgvaluasia masih mlibatka ugsi turua. Maka aka diakprosimasi mgguaka slisih trbagi brikut : 8 dga. Substitusika Prsamaa 8 k Prsamaa 7 shiga diprolh 9a 9b

4 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr Prsamaa 9 mrupaka modiikasi mtod Nto-Sts bbas turua dga mlibatka mpat valuasi ugsi... Ord Kovrgsi Torma. Asumsika baha ugsi mmiliki turua da mmiliki akar plsaia I. Jika titik aal 0 ukup dkat dga maka mtod itrasi pada Prsamaa 9 mmiliki ord kovrgsi brikut : 6 O 0 dga. Bukti : Misalka adalah akar dari maka 0 kmudia da diasumsika 0 maka dga mgguaka drt Talor diprolh da Olh kara maka diprolh Slajuta dga mgguaka kspasi drt Talor diprolh 8 shigga Slajuta substitusika Prsamaa k Prsamaa 9b shigga diprolh Slajuta mguaka kspasi drt Talor utuk Prsama 6 aka diprolh Substitusika Prsamaa da 7 k Prsamaa 9 shigga diprolh 6 7

5 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr 0 9 Prsamaa 8 dikspasi mgguaka drt Talor aka diprolh Slajuta utuk mmprolh da. Substitusika Prsamaa da 9 k Prsamaa 6a-6 shigga diprolh Substitusika Prsamaa 8 - k Prsamaa 9a shigga diprolh 6 O Olh kara maka diprolh 6 O Diisi Misalka p adalah baak valuasi ugsi ag dibutuhka olh suatu mtod. Eisisi dari mtod trsbut dihitug dga kosp isisi idks ag didiisika dga dimaa q adalah ord kovrgsi dari mtod trsbut. Brdasarka hasil ag diprolh mtod itrasi Prsamaa 9 mmiliki ord kovrgsi lima da mpat valuasi ugsi shigga mtod ii mmiliki idks isisi 9.. Simulasi Numrik Simulasi umrik dilakuka utuk mguji prorma mtod itrasi ag diprolh pada Prsamaa 9. Simulasi dilakuka pada bbrapa ugsi ag dipilih dga mgambil tbaka 0 sdkat mugki dga akar prsamaa mguaka sotar MAPLE dga ktlitia 800 digits. Adapu ugsi ag diambil adalah sbagai brikut : si 0968 l si os

6 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr Utuk mmprlihatka akar prsamaa dari ugsi-ugsi di atas dapat dilihat pada Gambar brikut : a b Gambar : Graik ugsi a d b da d Slajuta hasil simulasi umrik utuk jumlah itrasi ag diprolh utuk bbrapa mtod aitu Mtod Nto NW Mtod Sts MS Mtod Nto-Sts MNS da Mtod Modiikasi Nto-Sts MMNS dapat dilihat pada Tabl brikut ii : Tabl : Prbadiga Jumlah Itrasi Bbrapa Mtod Itrasi 0 Jumlah Itrasi MN MS MNS MMNS Brdasarka Tabl trlihat baha modiikasi mtod Nto-Sts bbas turua mmliki itrasi ag lbih sdikit dibadigka mtod ag laia. Slai dga mlihat jumlah itrasi prorma mtod itrasi juga dapat dilihat dga mgguaka Computatioal o Covrg aitu prhituga mtod ord kovrgsi sara umrik. Diisi. Misalka adalah akar dari prsamaa 0 da misalka adalah tiga hasil itrasi brturut-turut ag ukup dkat k akar maka ord kovrgsi sara komputasi COC dapat diaproksimasika dga rumus 9

7 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 7 ISSN : Pkabaru Novmbr 0 l l / / COC Tabl di baah ii mujukka prbadiga ilai ord kovrgsi ag diprolh dari prhituga COC. Tabl : Prbadiga COC Bbrapa Mtod Itrasi 0 Jumlah Itrasi MN MS MNS MMNS Brdasarka Tabl trlihat baha MN da MS mmiliki kovrgsi kuadratik MNS mmiliki kovrgsi kubik da MMNS mmiliki kovrgsi lima.. Ksimpula Brdasarka hasil pambasa Mtod Modiikasi Nto-Sts MMNS mmiliki ord kovrgsi lima da idks sisi 9. Ii lbih bsar jika dibadiga dga Mtod Nto MN aitu Mtod Sts MS aitu da Mtod Nto Sts MNS aitu. Shigga dapat disimpulka baha MMNS lbih kti da mtod ag diguaka lbih isi dalam mlsaika prsamaa oliar. Rrsi F. Solamai. 0. Eiit Sith Ordr Noliar Solvrs Fr rom Driva-tiv. World Applid Sis Joural. : JishgK. t.al Third-Ordr Modiiatio o Nto s Mthod. Joural Computatioal ad Applid Mathmatis. 0 :. Kaar V A Famil o Third Ord Multipoit Mthods or Solvig Noliar Equatios Applid Mathmatis ad Computatio. 76 : 09. Liu Z. Q. Zhg ad P. Zhao. 00. A Variat o Sts Mthod o Fourth-Ordr Covrg ad Its Apliatios. Applid Mathmati ad Computatio. 6 : Oba A.Y. 00. Som N Variats o Nto s Mthod. Applid Mathmati Lttrs. : Sharma J.R. 00. A Composit Third Ordr Nto Sts Mthod or Solvig Noliar Equatios. Applid Mathmati ad Computatio. 69 : 6. 7 W. Gautshi Numrial Aalsis d Ed Birkhausr N York 0. 8 Wrako S. Ad Frrado T.G.I A Variat o Nto s Mthods ith Alrd Third- Ordr Covrg. Applid Mathmatis Lttrs. :