METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Joas Lodewyk H 1, Zulkarai 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Bia Widya Pekabaru 89, Idoesia joeslak1@gmail.com ABSTRACT This article discusses the modified Simpso s method ad its error. The method is used to solve the secod kid of liear Volterra itegral equatios. The approximated solutio obtaied by the method is closed to the exact solutio compare to approximated solutio obtaied by the Simpso s method. Keywords: Volterra itegral equatios, modified Simpso s method, Simpso s method ABSTRAK Artikel ii membahas tetag metode Simpso termodifikasi yag diguaka utuk meyelesaika persamaa itegral Volterra liear jeis kedua. Disampig itu didiskusika juga eror yag dihasilka metode ii. Hasil simulasi umerik meujukka bahwa metode Simpso termodifikasi memberika ilai hampira yag medekati solusi eksak dibadig dega metode Simpso. Kata kuci: Persamaa itegral Volterra, metode Simpso termodifikasi, metode Simpso 1. PENDAHULUAN Persamaa itegral adalah suatu persamaa dega fugsi yag tidak diketahui terletak dalam tada itegral. Jika batas itegral kosta, maka diamaka persamaa itegral Fredholm, sedagka jika batas itegral berupa variabel maka diamaka persamaa itegral Volterra. Pada persamaa itegral Volterra, jika fugsi yag tidak diketahui haya berada di dalam tada itegral diamaka persamaa itegral Volterra jeis pertama. Semetara itu jika fugsi yag tidak diketahui ada di luar da di dalam 1

2 tada itegral maka diamaka persamaa itegral Volterra jeis kedua. Betuk umum persamaa itegral Volterra liear jeis kedua [4, h. 4] adalah y(t) = x(t)+ t a k(t,s)y(s)ds, a t b, (1) dimaa x(t) adalah fugsi yag diketahui da kotiu pada [a, b], k(t, s) adalah fugsi yag diketahui da kotiu pada [a, b] da y(t) adalah fugsi yag aka ditetuka. Pada persamaa itegral Volterra, k(t, s) diamaka fugsi kerel. Fugsi y(t) tidak dapat diperoleh lagsug dega megitegralka ruas kaa persamaa (1) karea terdapat y(s) yag juga tidak diketahui berada di dalam itegral. Masalah yag didiskusika pada artikel ii adalah bagaimaa meetuka fugsi y(t) yag merupaka solusi dari persamaa (1) yag diagkat dari artikel Mirzaee [5] yag berjudul A computatioal method for solvig liear Volterra itegral equatios. Pembahasa dimulai dega meuruka modifikasi baru dari metode Simpso, kemudia meyelesaika persamaa (1) dega metode Simpso da metode Simpso termodifikasi, selajutya dilakuka simulasi umerik.. POLINOMIAL TAYLOR DAN METODE SIMPSON Pada bagia ii dibahas megeai poliomial Taylor da metode Simpso. Teorema 1 (Teorema Taylor) [, h ] Misalka N, I = [a,b] da f : I R sedemikia higga f da turuaya yaitu f,f,...,f () kotiu pada I da f (+1) ada pada (a,b). Jika I maka utuk setiap x I terdapat suatu titik ξ (x, ) sedemikia higga berlaku f(x) = f( )+f ( )(x )+ f ( ) (x ) +! + f() ( ) (x ) + f(+1) (ξ)! (+1)! (x ) +1. () SelajutyadiotasikaP sebagaipoliomialtaylorke-darif dar sebagai sisa atau residu. Persamaa () dapat ditulis f(x) = P (x)+r (x), dega R (x) = f(+1) (ξ) (+1)! (x ) +1, ξ (x, ). ()

3 Misalka f(x) memeuhi hipotesa Teorema 1 pada [a, b], defiisika titik a =, b = x, da c = x 1 = a+h dega h = b a. Ekspasika f(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x = x 1 sampai suku yag memuat f turua keempat [, h. 195], yaitu maka x sehigga f(x)dx = f(x) = f(x 1 )+f (x 1 )(x x 1 )+ f (x 1 ) (x x 1 )! x [ + f (x 1 )! (x x 1 ) + f(4) (ξ) (x x 1 ) 4, (4) 4! f(x 1 )+f (x 1 )(x x 1 )+ f (x 1 ) (x x 1 ) + f (x 1 ) 6 (x x 1 ) + f(4) (ξ) (x x 1 ) ]dx, 4 (5) 4 S(f) = h [f()+4f(x 1 )+f(x )] h5 90 f(4) (ξ), ξ (a,b). (6) Persamaa (6) merupaka hampira itegral megguaka metode Simpso. Selajutya apabila [a, b] dipartisi sebayak subiterval dega adalah bilaga geap da h = b a adalah pajag dari setiap subiterval, maka titiktitik partisi yag dihasilka adalah atau a = < x 1 <... < x 1 < x = b x j = a+jh, j = 0,1,...,. Dari sii itegral x f(x)dx, dapat diyataka dega [1, h. 57] x f(x)dx = x f(x)dx+ x4 x f(x)dx+ + x x f(x)dx. (7) Dega meerapka metode Simpso utuk setiap subiterval pada persamaa (7), diperoleh S (f) = h f(a)+ h 1 f(x j )+ 4h j=1 h4 (b a) 180 f(x )+ h f(b) j=1 f (4) (ξ), ξ (a,b). (8) Persamaa (8) merupaka hampira itegral megguaka metode Simpso Komposit.

4 . METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Pada bagia ii dibahas megeai metode Simpso termodifikasi da peyelesaia persamaa itegral Volterra liear jeis kedua..1 Metode Simpso Termodifikasi Metode Simpso termodifikasi adalah suatu betuk modifikasi dari metode Simpso yag diperoleh dega megguaka poliomial Taylor dega megambil tiga buah titik utuk medekati fugsi f(x). Misalka f(x) memeuhi hipotesa Teorema 1 pada [a, b], defiisika titik a = x i, b = x i+, da c = x i+1 = a + h dega h = b a. Ekspasika f(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x = x i+1 sampai suku yag memuat f turua keeam, yaitu maka xi+ sehigga f(x) = f(x i+1 )+f (x i+1 )(x x i+1 )+ f (x i+1 ) (x x i+1 )! x i f(x)dx = xi+ x i [ + f (x i+1 )! + f(5) (x i+1 ) 5! (x x i+1 ) + f(4) (ξ) (x x i+1 ) 4 4! (x x i+1 ) 5 + f(6) (ξ) (x x 1 ) 6, (9) 6! f(x i+1 )+f (x i+1 )(x x i+1 )+ f (x i+1 ) (x x i+1 ) + f (x i+1 ) 6 + f(5) (x i+1 ) 10 + f(6) (ξ) 70 (x x 1) 6 (x x i+1 ) + f(4) (ξ) (x x i+1 ) 4 4 (x x i+1 ) 5 ] dx, (10) CS(f) = h [f(x i)+4f(x i+1 )+f(x i+ )]+ h4 180 [f (x i ) f (x i+ )] + h7 50 f(6) (ξ), ξ (a,b). (11) Persamaa (11) merupaka hampira itegral megguaka metode Simpso termodifikasi. 4

5 Selajutya apabila [a, b] dipartisi sebayak subiterval dega adalah bilaga geap da h = b a adalah pajag dari setiap subiterval, maka titiktitik partisi yag dihasilka adalah atau Jadi itegral x i+ x i xi+ x i f(x)dx = a = < x 1 <... < x 1 < x = b x j = a+jh, j = 0,1,...,. f(x)dx, dapat diyataka dega x f(x)dx+ x4 x f(x)dx+ + x x 1 f(x)dx. (1) Degameerapkametode Simpso termodifikasi utuk setiap subiterval pada persamaa (1), diperoleh CS (f) = h f(a)+ h + h4 1 f(x i )+ 4h i=1 1 f(x i+1 )+ h f(b) 180 [f (a) f (b)]+ h6 (b a) f (6) (ξ), ξ (a,b). (1) 5040 Persamaa (1) merupaka hampira itegral megguaka metode Simpso Termodifikasi Komposit.. Peyelesaia Persamaa Itegral Volterra Liear Jeis Kedua Persamaa (1) diselesaika dega memperhatika dua kasus. Kasus pertama dega megguaka metode Simpso komposit ketika turua parsial k(t, s) tidak ada da pada kasus kedua dega megguaka metode Simpso termodifikasi komposit ketika turua parsial k(t, s) ada. Kasus 1. Turua Parsial k(t,s) Tidak Ada Utuk meyelesaika persamaa (1), metode Simpso komposit diguaka utuk megaproksimasi itegral pada ruas kaa persamaa (1), maka peyelesaia persamaa (1) dega metode Simpso komposit dapat diyataka sebagai berikut y(t) = x(t)+ h [k(t,s 0)y(s 0 )]+ h + 4h [k(t,s i )y(s i )] i=1 [k(t,s i+1 )y(s i+1 )]+ h [k(t,s j)y(s j )] 5

6 y(t) = x(t)+ h [k(t,s i )y(s i )+4k(t,s i+1 )y(s i+1 )+k(t,s i+ )y(s i+ )]. (14) Utuk t = t j dega j = 1,,...,, persamaa (14) mejadi y(t j ) = x(t j )+ h [k(t j,s i )y(s i )+4k(t j,s i+1 )y(s i+1 ) +k(t j,s i+ )y(s i+ )]. (15) Misalka y(t j ) = y j da x(t j ) = x j, dega y i+1 adalah titik tegah dari subiterval [y i,y i+ ] dega defiisi maka dari persamaa (15) diperoleh y i+1 = y i +y i+, i = 0,1,..., 1, y j = x j + h [k j,i y i +4k j,i+1 y i+1 +k j,i+ y i+ ] y j = x j + h (k j,0 +k j,1 )y 0 + h (k j,j +k j, )y j + h (k j,i 1 +k j,i +k j,i+1 )y i. (16) i=1 Dega meguragka kedua ruas persamaa (16) dega h (k j,j + k j, )y j, diperoleh (y j h ) (k j,j +k j, )y j = x j + h (k j,0 +k j,1 )y 0 + h (k j,i 1 +k j,i +k j,i+1 )y i. (17) i=1 Dalam betuk yag sederhaa persamaa (17) mejadi y j = x j + h(k j,0 +k j,1 )y 0 + h i=1 (k j,i 1 +k j,i +k j,i+1 )y i 1 h(k, (18) j,j +k j, ) dega j = 1,,...,. Persamaa (18) merupaka peyelesaia dari persamaa itegral Volterra liear jeis kedua. 6

7 Kasus. Turua Parsial k(t,s) Ada Dega megguaka atura Leibitz [6, h. 17], turua pertama, kedua, da ketiga dari persamaa (1) terhadap t dapat diyataka sebagai berikut: dega y (t) = x (t)+ y (t) = x (t)+ y (t) = x (t)+ H(t,s) = k(t,s) t T(t,t) = dk(t,t) dt t a t a H(t,s)y(s)ds+k(t,t)y(t), a t b, (19) H (t,s)y(s)ds+h(t,t)y(t) +T(t,t)y(t)+k(t,t)y (t), a t b, (0) t a H (t,s)y(s)ds+h (t,t)y(t) +V(t,t)y(t)+H(t,t)y (t)+t (t,t)y(t) +T(t,t)y (t)+k(t,t)y (t), a t b, (1), H (t,s) = k(t,s), H (t,s) = k(t,s), t t, T (t,t) = d k(t,t) dt, V(t,t) = dh(t,t). dt Selajutya dega megguaka metode Simpso termodifikasi komposit utuk megaproksimasi itegral pada ruas kaa persamaa (1), (19), (0), da (1), diperoleh y j = x j + h [(k j,i +k j,i+1 )y i +(k j,i+1 +k j,i+ )y i+ ] + h4 180 [k 0,0y 0 +J 0,0 y 0 +J 0,0y 0 +J 0,0y 0 k j,j y j J j,j y j J j,jy j J j,jy j, () y j = x j + h [(H j,i +H j,i+1 )y i +(H j,i+1,h j,i+ )y i+ ] y j = x j + h + h4 180 [L 0,0y 0 +L 0,0y 0 +L 0,0 y 0 +H 0,0 y 0 L j,jy j L j,jy j L j,j y j H j,j y j]+k j,j y j, () [(H j,i +H j,i+1)y i +(H j,i+1 +H j,i+)y i+ ] + h4 180 [M 0,0y 0 +M 0,0y 0 +M 0,0 y 0 +H 0,0y 0 M j,jy j M j,jy j M j,j y j H j,jy j] +H j,j y j +T j,j y j +k j,j y j, (4) 7

8 y j = x j + h + h4 180 [D [(H j,i +H j,i+1)y i +(H j,i+1 +H j,i+)y i+ ] 0,0y 0 +D 0,0y 0 +D 0,0 y 0 +H 0,0y 0 D j,jy j D j,jy j D j,j y j H j,jy j] +H j,jy j +V j,j y j +H j,j y j +T j,jy j +T j,j y j +k j,j y j, (5) dega J(t,s) = k(t,s) s, J (t,s) = k(t,s), J (t,s) = k(t,s), s s L(t,s) = k(t,s) t s, L (t,s) = k(t,s) s t, L (t,s) = 4 k(t,s) s t, M(t,s) = k(t,s) s t, M (t,s) = 4 k(t,s) s t, M (t,s) = 5 k(t,s) s t, D(t,s) = 4 k(t,s) s t, D (t,s) = 5 k(t,s) s t, D (t,s) = 6 k(t,s) s t. Persamaa (), (), (4), da (5) membetuk sistem persamaa liear dega persamaa da ilai yag tidak diketahui. Dega meyelesaika sistem persamaa liear, aka diperoleh ilai dari y j yag merupaka peyelesaia dari persamaa itegral Volterra liear jeis kedua.. Simulasi Numerik Pada bagia ii dilakuka simulasi umerik yag bertujua utuk membadigka hasil komputasi dari metode Simpso komposit da metode Simpso termodifikasi komposit. Simulasi umerik ii megguaka aplikasi MATLAB v8.1. Persamaa itegral yag diguaka dalam simulasi umerik ii adalah dega solusi eksak y(t) = t+ 1 5 t 0 tsy(s)ds, 0 t, y(t) = te t 15. Solusi dega komputasi umerik disajika pada Tabel 1 da Tabel. Pada tabel meujukka jumlah partisi, t meujukka titik-titik partisi, S meujukka ilai hampira dega metode Simpso komposit, CS meujukka ilai hampira dega metode Simpso termodifikasi komposit, ES meujukka eror aproksimasi dega metode Simpso komposit, da ECS meujukka eror aproksimasi dega metode Simpso termodifikasi komposit. 8

9 Tabel 1: Hasil Komputasi utuk = 10. t Solusi Eksak S CS ES ECS Tabel : Hasil Komputasi utuk = 0. t Solusi Eksak S CS ES ECS Pada Tabel 1 da Tabel dapat dilihat bahwa utuk beberapa yag berbeda, perbadiga ilai hampira yag dihasilka oleh kedua metode pada setiap titiktmedekatisolusieksak. Aka tetapi dapat dilihat bahwa metode Simpso termodifikasi komposit lebih baik dibadigka dega metode Simpso komposit. 9

10 4. KESIMPULAN Utuk meyelesaika persamaa(1) tidak dapat diitegralka secara aalitik, tetapi dapat diselesaika dega megguaka salah satu metode umerik yag disebut metode Simpso termodifikasi. Metode Simpso termodifikasi diperoleh dega megguaka poliomial Taylor dega megambil tiga buah titik utuk medekati fugsi f(x). Dega memodifikasi metode Simpso diperoleh metode Simpso termodifikasi yag memberika ilai hampira lebih baik dibadigka dega metode Simpso dalam meyelesaika persamaa (1). Berdasarka simulasi umerik, keuggula metode Simpso termodifikasi dibadigka dega metode Simpso dapat dilihat dari selisih ilai erorya, sehigga dapat disimpulka bahwa metode Simpso termodifikasi lebih baik dibadigka dega metode Simpso dalam meyelesaika persamaa (1). Ucapa Terima Kasih Ucapa terima kasih diberika kepada Drs. Aziskha, M.Si. da Dr. Imra M., M.Sc. yag telah membimbig da memberika araha dalam peulisa artikel ii. DAFTAR PUSTAKA [1] K. E. Atkiso, A Itroductio to Numerical Aalysis, Secod Ed., Joh Wiley ad Sos, New York, [] R. G. Bartle da D. R. Shebert, Itroductio to Real Aalysis, Fourth Ed., Joh Wiley ad Sos, New York, 010. [] R. L. Burde da J. D. Faires, Numerical Aalysis, Nith Ed., Brooks Cole, Bosto, 011. [4] A. J. Jerri, Itroductio to Itegral Equatios with Applicatios, Secod Ed., Joh Wiley ad Sos, New York, [5] F. Mirzaee, A Computatioal Method for Solvig Liear Volterra Itegral Equatios, Appl. Math. Scieces, 6 (01), [6] A. M. Wazwaz, Liear ad Noliear Itegral Equatios: Methods ad Applicatios, Higher Educatio Press, Beijig,