Modifikasi Metode Iterasi Dua Langkah dengan Satu Parameter

Transkripsi

1 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 Modiikasi Mtod Itrasi Dua Lagkah dga Satu Paramtr Sri Aisa Djumadila, Wartoo* Jurusa Matmatika, Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau Jl. H. R. Sobratas No. Km. 8 Simpag Baru Paam Pkabaru 89. * wartoo@ui-suska.ac.id Abstrak Mtod Potra-Ptak, Nwto-Sts da Varia Nwto adalah kluarga mtod itrasi brord kovrgsi tiga utuk mlsaika prsamaa oliar. Pada makalah ii, pulis mgkotruksi mtod itrasi dua lagkah dga mjumlahka mtod Potra Ptak-Nwto Sts da Varia Nwto. Brdasarka hasil plitia diprolh prsamaa itrasi baru ag mmiliki ord kovrgsi mpat da mlibatka tiga valuasi ugsi pada stiap itrasia. Idks isisi mtod baru trsbut adalah,8740. Simulasi umrik dilakuka dga mgguaka bbrapa ugsi utuk mujukka isisi da prorma mtod itrasi baru. Kata kuci : Mtod Potra Ptak, mtod Nwto-Sts, mtod varia Nwto, ord kovrgsi, prsamaa oliar,. Abstract Potra-Ptak s, Nwto-Sts s ad variat o Nwto s mthod ar a amil o third ordr o covrgc itrativ mthod to solv a oliar quatio. I this papr, th authors costruc two poit itrativ mthod b usig a sum o Potra Ptak-Nwto Sts ad variat o Nwto mthod. Basd o th rsarch rsults, that obtaid a w itrativ mthod with ourth-ordr covrgc ad rquirs thr valuatio o uctios ach itratio. Th icic id o th w itrativ mthod is,8740. Numrical simulatio is giv b usig svral ts uctios to show th cic ad prormac o th w itratio mthod. Kwords : Potra-Ptak s mthod, Nwto-Sts s mthod, variat o Nwto s mthod, ordr o covrgc, oliar quatio.. Pdahulua Prmasalaha ag srig ditmuka di dalam bidag matmatika salah satua adalah bagaimaa mmuka solusi dari prsamaa oliir dalam btuk 0 Mtod ag dapat diguaka utuk mlsaika prsamaa oliir adalah mtod umrik ag mghasilka solusi hampira ag brsiat itrasi. Mtod itrasi ag palig srig diguaka utuk mlsaika prsamaa prsamaa oliir adalah mtod Nwto dga btuk itrasia, 0,,,.. Mtod Nwto pada Prsamaa mrupaka mtod itrasi dga ord kovrgsi kuadratik ag dihasilka dari pmotoga drt Talor ord satu. Usaha utuk migkatka ord kovrgsi trus dilakuka olh pliti. Salah satu tkik ag palig srig dilakuka utuk migkatka ord kovrgsi suatu mtod itrasi adalah dga mjadika mtod Nwto mjadi mtod itrasi dua lagkah, da mtod itrasi trsbut aka optimal jika ord kovrgsia mpat da vluasi ugsia tiga [4]. Scara umum, mtod klasik dua lagkah dihasilka dari pmotoga drt Talor ord dua ag mghasilka tiga mtod klasik ag palig dikal aitu mtod Hall [8, ], mtod 648

2 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi Chbshv [9, 0] da mtod Eulr atau dikal juga dga ama mtod irasioal Hall [, ]. Slai mgguaka pmotoga drt Talor ord dua, mtod dua lagkah juga dapat dikotruksi dga mmodiikasi mtod Nwto sprti ag dilakuka olh Sharma [6], Potrak- Ptak [] da Wrakoo da Frado [7]. Bbrapa pdkata lai juga diguaka olh pliti utuk migkatka ord kovrgsi. Salah satua adalah dga mjumlahka bbrapa mtod itrasi ag mlibatka paramtr ral. Jishg [] mlakuka pjumlahka Potra-Ptak da Nwto-Sts dga mguaka satu paramtr, dga btuk, Prsamaa mmiliki ord kovrgsi mpat utuk. Ezzati [] mlakuka pjumlaha dua mtod modiikasi Nwto da mgguaka dua paramtr, dga btuk, B A.4 Slajuta Chu [] mlakuka pjumlaha tiga mtod itrasi da mguaka tiga paramtr, dga btuk, Pada makalah ii, pulis mgmbagka kluarga mtod itrasi dua lagkah dga mgguaka pjumlaha dua mtod sbagaimaa ag dilakuka olh Jishg []. Kdua mtod ag baru ag dijumlaha masig-masig mrupaka modiikasi dari Potra Ptak-Nwto Sts da varia Nwto. Olh kara pada salah satu mtod masih mmuat turua prtama dalam, maka dilakuka rduksi mgguaka itrpolasi Hrmit ord dua. Slajuta simulasi umrik dibrika utuk mguji prorma mtod itrasi baru dga mgguaka bbrapa ugsi.. Komposit Dua Mtod da Ord Kovrgsi Prhatika kmbali mtod Potra-Ptak [] da mtod Nwto-Sts [6] masigmasig sbagai brikut:, 6 da,..7 dga didiisika. 8 Kmudia Pjumalaha Prsamaa 6 da 7 diprolh modiikasi mtod itrasi baru dalam btuk

3 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 atau 8 Prsamaa 8 mrupaka mtod itrasi dga ord kovrgsi tiga, ag disigkat M. Slajuta lihat kmbali mtod varia Nwto [7] sbagai brikut 9 Prsamaa 9 mrupaka btuk varia Nwto dga rataa aritmatik, ag slajuta dimodiikasi mgguaka kotra-harmoik dalam btuk.0 Slajuta prtimbagka kmbali itrpolasi Hrmit ord dua ag mlalui titik,,, da, dalam btuk.. H Misalka H, maka H shigga H. Olh kara itu, btuk pada Prsamaa 0 di aproksimasi mgguaka itrpolasi Hrmit ord dua dalam btuk.. shigga dga msubstitusika Prsamaa k 0 diprolh atau. Prsamaa mrupaka mtod itrasi dga ord kovrgsi tiga ag disigkat M. Brdasarka cara ag dilakuka olh Jishg [], maka dga mgguaka Prsamaa 8 da btuk baru mtod itrasi dga satu paramtr ag scara lgkap dibrika olh.4a 4b. Aalisis Kovrgsi 60

4 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 Slajuta, aka dittuka ord kovrgsi dari mtod itrasi ag tlah diprolh pada Prsamaa 4a 4b. Torma. Misalka I adalah akar dari ugsi : I utuk suatu itrval trbuka I. Slajuta asumsika bahwa adalah akar sdrhaa dari 0. Jika 0 adalah tbaka awal ag cukup dkat k, maka mtod itrasi pada Prsamaa 4a 4b mmilki ord kovrgsi mpat utuk 4 dga prsamaa galat dga 4 c c c O.. j da c j, j,,. j! I dimaa adalah akar sdrhaa dari prsamaa 0. Asumsika 0. Slajuta diaproksimasika ugsi diskitar dga Bukti : Misalka da mgguaka drt Talor, shigga diprolh c c... O.6 Kmudia utuk ugsi dikspasi mgguaka drt Talor diskitar, maka diprolh c c... O..7 Slajuta dga mgguaka Prsamaa da 6 diprolh c c c... O Substitusika Prsamaa 7 k Prsamaa 4a da olh kara c c Prsamaa 9 juga dapat ditulis k dalam btuk dga s s c c... O..8, maka diprolh..9 0 c c... O Brdasarka kspasi drt Talor diskitar, maka slajuta.. mghasilka btuk... O..! Olh kara 0 da s, maka Prsamaa mjadi s c s c s... O.. Substitusika kmbali Prsamaa k Prsamaa, maka diprolh 4 [ c c c c 7cc c4 O ].4 da Slajuta dga mgguaka Prsamaa 6 da 4, maka kuadrat dari masig-masig dibrika olh da [ c c c O ]. 4 6

5 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 shigga [ c O ] [ 4 c c 4 c O ].7 Sdagka slisih 4 da dibrika olh 4 [ c c c O ] 8 Prkalia Prsamaa 7 da 8, mmbrika c c c O 4 9 Slajuta dga mgguaka Prsamaa 7 da 9, srta drt gomtri diprolh 4 c cc 6cc O Brdasarka Prsamaa.9,.0 da., diprolh da Slajuta shigga 4 0 [ c O ].. [ c c c O ].. 4 [ c c 4 c O ] 4 [ c ].4 4 c c O Dga mgguaka Prsamaa da Prsamaa 4 srta drt gomtri maka diprolh 4 c 7c 7cc O.. Kmudia subtitusika Prsamaa 0 da Prsamaa k dalam Prsamaa 4b diprolh ord kovrgsi dga paramtr dalam btuk Olh kara mjadi 4 7c c 7c c c c O c c.6 da, maka Prsamaa 6 dapat ditulis kmbali c 7c c 7c c c c O 4..7 Brdasarka Prsamaa 7 dapat dilihat bahwa ord kovrgsi mtod itrasi 4a 4b dapat migkat mjadi mpat dga mlsaika koisi dalam btuk / =, maka prsamaa 7 dapat dtitulis 0. Dga msubstitusika kmbali 4 c c 4 c O Simulasi Numrik Uji simulasi umrik dilakuka dga mgguaka bahasa pmrograma Mapl dga digit 80 agka diblakag koma utuk mguji prorma dari mtod baru MKV dibadigka dga mtod Nwto MN, mtod Chbshv MC, mtod Potra-Ptak MPP, da mtod Doubl Nwto MDN. Simulasi umrik dilakuka dga mgambil tbaka awal 6

6 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 0 sdkat mugki dga akar prsama. Itrasi dihtika jika mmuhi kritria brhti aitu dga 9 0, sdagka ord kovrgsi ag dihitug dga mgguaka akar-akar pdkata pada itrasi k, + da + dibrika olh prsamaa l / 9 COC l / Adapu ugsi-ugsi ag diguaka adalah sbagai brikut: 0, , cos 0,790860, , cos, si, , Baaka itrasi da ord kovrgsi umrik dalam kurug dibrika pada Tabl brikut. Tabl Prbadiga Jumlah Itrasi da COC utuk 0 MN MC MPP MDN MKV 0,0 0,0 8,0000 8,0000,0000,0000,0000,0000 4, , , ,0000 4,00 4,0 0,0,0 8,0000 7,0000 8,0000 7,0000,0000,0000,0000,0000 6,0000,0000,0000, , , , ,0000 4, , ,0000 4,80,00,00,00 8,0000 9,0000 8,0000 8,0000,0000 6,0000,0000,0000 6,0000 6,0000,0000, ,0000 4, , ,0000 4,0000 4, , , ,0 0,00,0,00 0,0,0 7,0000 7,0000 8,0000 8,0000 8,0000 7,0000,0000 6,0000,0000,0000,0000,0000,0000 6,0000 4,0000,0000 6,0000, , , , , , , , , , ,0000 4, ,0000 Brdasarka Tabl, dapat disimpulka bahwa jumlah itrasi mtod itrasi baru lbih sdikit dibadigka dga mtod itrasi laia. Slai itu, Tabl juga mmbrika iormasi bahwa ord kovrgsi mtod baru adalah mpat. Hal ii lbih mguatka hasil ord kovrgsi ag di hasilka dari kspasi drt Talor.. Ksimpula 6

7 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi, Komuikasi da Idustri SNTIKI 9 ISSN Pritd : Fakultas Sais da Tkologi, UIN Sulta Sari Kasim Riau ISSN Oli : Pkabaru, 8-9 Mi 07 Mtod Potra-Ptak [], Mtod Nwto-Sts [6] da Mtod Varia Nwto [7] mmilki ord kovrgsi mpat da tiga valuasi ugsi. Kmudia dga mlakuka komposit mgguaka cara ag dilakuka Jishg [] da dga mghilagka prtama dga 4, maka diprolh mtod itrasi baru ag mmiliki ord kovrgsi mpat da tiga valuasi ugsi. Simulasi umrik pada Tabl mmprlihatka suatu kcpata dari mtodmtod itrasi dalam mghampiri akar-akar prsamaa oliir. Jadi, brdasarka tabl trsbut dapat disimpulka bahwa mtod itrasi baru ag didapatka mmiliki ord kovrgsi mpat shigga kcpata dalam mghampiri akar-akar prsamaa oliir lbih baik dari mtodmtod ag dibadigka. Datar Pustaka [] Chu, C. A Famil o Composit Fourth-Ordr Itrativ Mthods For Solvig Noliar Equatios. Applid Mathmatics ad Computatio. 007; 87: [] Ezzati, R. O Th Cotructios O Nw Itrativ Mthods With Fourth-Ordr Covrgc B Combig Prvious Mthods. Itratioal Mathmatical Forum. 0; 6 7: 9-6. [] Jishg, K., Yitia, L da Xiuhua, W. A Composit Fourth-Ordr Itrativ Mthod For Solvig Noliar Equatios. Applid Mathmatics ad Computatio. 007; 84: [4] Kug, H.T., da Traub, J.F. Optimal Ordr o O-Poit ad Multipoit Itratio. Joural o th Associatiom or Computig Machir. 974; 4: [] Sharii, S., Frrara, M., Nik Log, MNA, da Salimi, M. Modiid Potra-Ptak Mthod To Dtrmi Th Multipl Zros O Noliar Equatios, 0. [6] Sharma, J.R. A Composit Third Ordr Nwto-Sts Mthod For Solvig Noliar Equatios, Applid Mathmatics ad Computatio. Vol. 69, halama [7] Wrako, S., da T.G.I Frado. A Variat O Nwto s Mthod With Acclratd Third-Ordr Covrgc, Applid Mathmatics Lttrs. Vol., halama [8] Hall E. A Nw Ecat ad Eas Mthod o Fidig th Roots o A Quatios Grall without a Prvious Rductio. Philos. Tras. Ro. Soc. Lodo. 694; 8: [9] Amat S. t. al. O th Global Covrgc o Chbshv s Itrasiv Mthod. Joural o Computatioal ad Applid Mathmatics. 008; 0: 7. [0] Traub JF. Itrativ Mthod or Solutio o Equatio, Prtic Hall, Eglwood Clis, 964. [] Amat S, t. al. Gomtric Costructio o Itrativ Fuctios to Solv Noliar Equatios. Joural o Computatioal ad Applid Mathmatics. 00; 7: [] Mlmal A. Gomtr ad Covrgc o Eulr s ad Hall s Mthod. SIAM Rviw. 997; 94: