Metode Iterasi Tiga Langkah dengan Orde Konvergensi Tujuh

Transkripsi

1 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Mtod Itrasi Tiga Lagkah dga rd Kovrgsi Tujuh Wartoo Maumi Istiqomah Uivrsitas Islam Ngri Sulta Sari Kasim Riau Jl. Subratas km Simpag Baru Pkabaru -mail: wartoo@ui-suska.a.id Abstrak Mtod Potra-Ptak da varia Nwto mrupaka salah satu mtod itrasi ag diguaka utuk mtuka akar-akar prsamaa oliar dga ord kovrgsi tiga. Pada Tugas Akhir ii pulis mlakuka modiikasi komposit mtod Potra-Ptak da varia Nwto dga mlibatka paramtr θ da θ da mambahka lagkah ktiga ag maa ꞌ diaproksimasi mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua. Brdasarka hasil kajia diprolh mtod itrasi baru brord kovrgsi tujuh dga θ = da θ =. Stiap itrasi mmrluka mpat valuasi ugsi aitu ꞌ da dga idks isisi /. Simulasi umrik da prbadiga trhadap mtod lai dilakuka utuk mujukka kktia mtod baru dalam mlsaika prsamaa oliar. Kata kui: idks isisi itrpolasi Lagrag komposit mtod potra-ptak da varia wto ord kovrgsi prsamaa oliar Abstrat Potra-Ptak mthod ad Nwto s variat ar o o itratio mthod whih it uss or dtrmi root o oliar similarit with third ordr ovrg. I this Fial Task th writr has do modiid omposit o Potra-Ptak mthod ad Nwto s variat b gagig θ ad θ paramtr ad addig th third stp whih approimatio ꞌ usig sod ordr Lagrag itrpolatio. Basd o th rsarh rsult w itratio mthod hav svth ordr ovrg with θ = ad θ =. Eah o itratio ds our valuatio utio whih th ar ꞌ ad with ii id o /. Numrial simulatio is giv to show th prorma o omposit Potra-Ptak mthod ad Nwto s variat. Kwords: omposit o potra-ptak mthod ad wto s variat ii id Lagrag itrpolatio oliar quatio ordr ovrg. Pdahulua Prsamaa oliar mrupaka rprstasi dari oma bidag sais da rkaasa ag hampir sbagai bsar tidak dapat dittuka plsaiaa sara aalitik. lh kara itu altrati plsaia dilakuka sara umrik dga prhituga brulag atau disbut itrasi. Salah satu mtod itrasi ag srig diguaka utuk mlsaika prsamaa oliar adalah mtod Nwto ag ditulis sbagai brikut. Mtod Nwto mrupaka mtod itrasi dga ord kovrgsi kuadratik da mgguaka dua valuasi ugsi da pada stiap itrasia. lh kara itu idks isia sbsar /.. Idks isisi mrupaka salah satu paramtr utuk mgukur kirja dari suatu mtod trasi da paramtr trsbut brgatug kpada ord kovrgsi da baaka valuasi ugsi ag dilibatka pada stiap itrasi. Bbrapa pliti mlakuka usaha-usaha utuk mgmbaga mtod Nwto dga mgguaka brbagai pdkata sprti : itgral Nwto Wrakoo da

2 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Frado 00 titik tgah Jishg dkk 00 rataa harmoik Kalaasudaram0 Ndhibov 00 kuadratur Nwto-Cot Hasaov dkk 00 ba 00 slisih trbagi maju Sharma 00. Slai mmodiikasi bbrapa mtod itrasi dga ord kovrgsi tiga juga dapat dihasilka dga mgkoutruksi kmbali brdasarka bbrapa pdkata. Salah satua ag dilakuka olh Chu 00 mmodiikasi mtod Nwto mghasilka mtod Potra- Ptak brord kovrgsi tiga dga rumusa sbagai brikut: Slajuta Chu 008 mmodiikasi kmbali mtod Nwto dga ara mtaraka dua mtod utuk mghilagka ugsi shigga mghasilka varia mtod Nwto brord kovrgsi tiga sbagai brikut: Brbagai maam ara dilakuka utuk migkatka ord kovrgsi mtod itrasi. Salah satua adalah dga mambah lagkah dari mtod itrasi. Slajuta lakuka pdkata trttu shigga mjadi mtod itrasi tiga lagkah sbagaimaa ag dilakuka olh Yasmi 0 ag mmodiikasi mtod Sts mgguaka itrpolasi Lagrag mghasilka ord kovrgsi tujuh Khattri 0 ag mgguaka pdkata Gauss Kuadratur Zhao 0 ag mgguaka itrpolasi Hrmit sbagai lagkah ktiga saat mgimprovisasi mtod Potra-Ptak dga mtod strowski da Wag 00 ag mmodiikasi mtod strowski dga itrpolasi Hrmit.. Mtod ag Dikmbagka Prtimbagka kmbali mtod Potra-Ptak da Varia Nwto ag dikmbagka olh Chu dga ord kovrgsi tiga ag masig-masig ditulis sbagai brikutit da dga di diisika pada prsamaa. Slajuta Prsamaa da Prsamaa aka dijumlahka mgguaka ara komposit ag dilakuka olh Eati 0 dalam btuk: Kmudia Prsamaa. disdrhaaka shigga mghasilka btuk: Prsamaa adalah mtod itrasi dua lagkah ag mrupaka hasil komposit dari mtod Potra-Ptak da varia Nwto ag mgguaka tiga valuasi ugsi aitu da pada stiap itrasia. Utuk migkatka ord kovrgsi slajuta aka ditambahka lagkah ktiga dalam btuk Nwto dalam shigga Prsamaa didiisika kmbali 8 dga didiisika pada Prsamaa.

3 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Btuk pada Prsamaa 8 aka diaproksimasika mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua dalam btuk atau dga 0 lh kara itu mtod itrasi komposit mtod Potra-Ptak da varia Nwto itrasi tiga lagkah sara lgkap ditulis sbagai brikut: Prsamaa mrupaka mtod itrasi tiga lagkah ag mlibatka mpat valuasi ugsi aitu da.. Hasil da Diskusi.. Aalisa Kovrgsi Brdasarka prsamaa aka dittuka ord kovrgsi dga mgguaka kspasi drt Talor pada torma brikut. Torma.: Asumsika D adalah akar dari ugsi ag trdirsial R D : pada itrval trbuka D. Jika 0 ukup dkat k maka Prsamaa mmiliki ror: 8 Bukti: Misalka adalah akar dari ugsi. Asumsika 0 da. Slajuta diaproksimasika ugsi diskitar dga mgguaka drt Talor shigga diprolh: Kmudia utuk ugsi dikspasi diskitar mgguaka drt Talor shigga diprolh: 8 Dga mgguaka Prsamaa da Prsamaa 8 kmudia substitusika k Prsamaa dga mgguaka maka diprolh: 0 Brdasarka kspasi drt Talor diskitar maka slajuta mghasilka btuk:

4 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Kmudia dga mgguaka prsamaa 8 da maka diprolh da 8 Substitusika Prsamaa da k dalam Prsamaa maka diprolh sbagai brikut: 8 8 Dga mgguaka kspasi drt Talor diskitar maka diprolh 8 8 Slajuta sblum mgaproksimasika pada Prsamaa trlbih dahulu aka dittuka ilai-ilai dari ugsi da dga mgguaka kspasi drt Talor. Substitusika Prsamaa da k Prsamaa 0 da maka masig-masig diprolh: da Slajuta dga mgguaka Prsamaa 8 da disubstitusika kp Prsamaa maka diprolh

5 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr Kmudia Prsamaa dibagi dga Prsamaa shigga mghasilka Substitusika Prsamaa 0 k Prsamaa da dga mgguaka maka diprolh galat dari mtod itrasi sbagai brikut: Prsamaa mrupaka ord kovrgsi dari mtod itrasi ag masih mmuat dua paramtr da.lh kara itu utuk migkatka ord kovrgsi dapat dilakuka dga mghilagka koisi dari atau sara matmatis ditulis 0 Brdasarka Prsamaa diprolh hubuga hubuga = 0 da dga 0 da 0. Brdasarka Prsamaa da Prsamaa diprolh plsaia utuk da shigga dga msubstitusika da k Prsamaa mjadi: 8 Prsamaa mrupaka ord kovrgsi dari mtod itrasi ag mlibatka mpat valuasi ugsi aitu da shigga idks isisia sbsar. Slajuta idks isi mtod itrasi baru aka dibadigka dga bbrapa mtod diataraa mtod Nwto ag disigkat dga NM mtod Potra-Ptak Chu 00 ag disigkat dga PPM Komposit mtod Potra-Ptak da mtod Nwto- Sts KMPNS Jishg 00 dkomposit mtod Nwto Chu 00 ag disigkat dga DNM modiikasi mtod strowski Sigh 0 ag disigkat dga MN. Hasil prbadiga idks isisi ditujukka pada Tabl brikut:

6 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Tabl. Prbadiga Idks Eisisi No. Mtod Itrasi rd p Evaluasi Fugsi w Idks Eisisi I. Nwto NM. Potra-Ptak PPM. KMPNS 8. Dkomposit Nwto DNM. Modiikasi mtod strowski MN. KMPVN Brdasarka Tabl trlihat bahwa mtod dga ord kovrgsi ag bsar da valuasi ugsi ag sdikit aka mmiliki idks isisi ag bsar. Sprti hasil komposit mtod Potra-Ptak da varia Nwto KMPVN ag mmiliki ord kovrgsi tujuh dga. mpat valuasi ugsi shigga mghasilka idks isisi.. Simulasi Numrik Simulasi umrik dilakuka utuk mguji prorma mtod itrasi baru dga mtuka baaka jumlah itrasi ag diprluka galat mutlak pada itrasi k- da ord kovrgsi ag dihitug sara komputasi. Smua prhituga dilakuka dga mgguaka mgguaka sotwar Mapl da ktlitia 800 digit Adapu ugsi-ugsi ag aka diujiadalah sbagai brikut. = 8088 = = = 00 os = 008 si = 08 Utuk mlihat karaktristik dari ugsi-ugsi dapat ditujukka dga mgguaka plotig graik brikut. b d

7 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 g Gambar. Graik dari Fugsi-ugsi Noliar: a b d Brdasarka hasil prhituga diprolh jumlah itrasi galat mutlak pada itrasi k- ilai ugsi pada itrasi k- da ord kovrgsi ag dihitug sara komputasi ag hasila ditampilka dalam Tabl brikut: Tabl. Jumlah Itrasi Komposit mtod Potra-Ptak da varia Nwto Fugsi CC E E E- 88.E E- 8.E 8 88.E- 080.E E- 008.E E E- 08 Slajuta baaka itrasi ag diprluka pada mtod baru aka dibadigka dga bbrapa mtod itrasi laia sbagaimaa ag tlah disbutka sbluma. Hasil prbadiga jumlah itrasi dibrika pada Tabl brikut: 0 Tabl. Prbadiga Jumlah Itrasi Jumlah Itrasi NM PPM KMPNS DNM MN KMPVN Brdasarka Tabl dapat dilihat bahwa mtod itrasi dga ord kovrgsi ag lbih tiggi mmiliki jumlah itrasi ag lbih sdikit dibadig dga mtod dga ord kovrgsi ag lbih rdah. lh kara itu mtod dga ord kovrgsi ag lbih tiggi aka lbih baik utuk mghampiri akar dari suatu prsamaa oliar. Slai mmbadigka jumlah itrasi prbadiga juga dilakuka trhadap CC ag hasila ditujukka pada Tabl brikut. 8

8 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Tabl. Prbadiga Nilai CC 0 CC NM PPM KMPNS DNM MN KMPVN Brdasarka Tabl trlihat prbadiga ilai ord kovrgsi sara komputasi CC dari mtod baru adalah tujuh ag maa hal ii mgaska bahwa ord kovrgsi dari mtod itrasi baru lbih tiggi dibadigka dga ord kovrgsi mtod itrasi laia.. Ksimpula Brdasarka pmbahasa pada Bab IV dapat diambil ksimpula bahwa komposit mtod Potra-Ptak da varia mtod Nwto mmiliki ord tujuh stlah dimodiikasi dga mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua maka diprolh prsamaa baru sprti pada prsamaa. aitu: Hasil dari komposit mtod Potra-Ptak da varia Nwto mghasilka ord kovrgsi tujuh da mpat valuasi ugsi aitu da shigga mghasilka idks isisi. Brdasarka Tabl da Tabl mujukka bahwa mtod dga ord kovrgsi ag lbih tiggi aka mghasilka jumlah itrasi ag lbih sdikit dibadiga dga mtod ag mmiliki ord kovrgsi lbih rdah. Hal ii mujukka bahwa mtod dga ord kovrgsi ag tiggi aka lbih kti dalam mghampiri akar-akar dari suatu prsamaa oliar. Rrsi C.Chapra Stv. Applid Numrial Mthods with MATLAB or Egirs ad Sitists. M Graw Hill Sigapor. 00. Chu C. A simpl Costrutd Third-rdr Modiiatios o Nwto s Mthod Joural o Computatioal ad Applid Mathmatis. Vol. hal Chu C. Itrativ Mthods Improvig Nwto s Mthod b Th Dompositio Mthod Computrs & Mathmatis with Appliatio. Vol.0 hal Dukkipati R. V. Numrial Mthods. Nw Ag Itratioal Publishrs Nw Dlhi. 00. Eati R. Th Costrutio o Nw Itrativ Mthods with Fourth-rdr Covrg b Combiig Prvious Mthods Itratioal Mathmatial Forum. Vol.0 hal.-0. Hasaov V. I. Ivaov I. G. da Ndjibov G. A w modiiatio o Nwto s mthod Applid Mathmatis ad Egirig Jishg K. dkk. Third-ordr modiiatio o Nwto s mthod Joural o Computatio ad Applid Mathmatis Jishg Kou.dkk. A Composit Fourth-rdr Itrativ Mthod or Solvig Noliar Equatio Applid Mathmatis ad Computatio. Vol.0 hal Kalaasudaram J. J. Modiid Nwtos mthod usig harmoi ma or solvig oliar quatios ISR Joural o Mathmatis Khattri S.K. Quadratur Basd ptimal Itrativ Mthods with Appliatios i High-Prisio Computig Mth Appl. Vol.0 hal.-00. Ndhibov G. a w itrativ mthods or solvig oliar quatios. Appliatio o Mathmatis i Egirig ad Eoomis XXVIII i: Prodig o th XXVIII Summr shool Soopol 0 pp.-8 Hro prss Soia 00. ba A.Y. Som Nw Variats o Nwto s Mthod Applid Mathmatis Lttr Vol. hal

9 Smiar Nasioal Tkologi Iormasi Komuikasi da Idustri SNTIKI 8 ISSN : 08-0 Pkabaru Novmbr 0 Sharma J. R. A Composit Third rdr Nwto-Sts Mthod or Solvig Noliar Equatios Applid Mathmatis ad Computatio Vol. No. hal Wag X da L. Lipig. Modiid strowski s Mthod with Eight-rdr Covrg ad High Eii Id Applid Mathmatis Lttrs. Vol. hal.-00. Wrakoo S. da Frado T. G. I. A Variat o Nwto s Mthod with Alratd Third-rdr Covrg Applid Mathmatis Lttrs. Vol. hal Zhao Liglig.dkk. Nw Familis o Eight-rdr Mthods with High Eii Id or Solvig Noliar Equatios Dpartmt o Applid Mathmatis. Vol. hal