METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE TRAPESIUM NONLINEAR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Rahma Dodi 1, Musraii M 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawidya Pekabaru 893, Idoesia dodirahma@ymail.com ABSTRACT This article discusses a class of oliear trapezoidal method based o the harmoic, cotraharmoic, heroia, square root ad cetroidal mea to solve a iitial value problem. The discussio icludes the way to derive the formula ad applyig Taylor expasio to obtai the error of the methods. Computatioal tests usig a example support the aalytical results. Keywords: Iitial value problems, umerical methods, trapezoidal formulas. ABSTRAK Artikel ii membahas suatu kelas metode trapesium oliear berdasarka ratarata harmoik, kotra harmoik, heroia, akar kuadrat da cetroidal utuk meyelesaika masalah ilai awal. Pembahasa meliputi peurua formula da galat dari metode yag didiskusika. Uji komputasi dega megguaka satu cotoh medukug hasil aalitik yag dikemukaka. Kata kuci: Persoala ilai awal, metode umerik, metode trapesium. 1. PENDAHULUAN Dalam matematika persoala persamaa diferesial orde satu ditulis sebagai berikut: dega syarat awal y = fx,y, yx 0 = y 0, dimaa fx,y merupaka fugsi yag kotiiu dalam domai D yag memuat titik x 0,y 0. Secara teoritis deret Taylor dapat diguaka utuk meyelesaika sebarag persamaa diferesial. Namu pegguaa deret Taylor megharuska mecari terlebih dahulu turua-turua dega fugsi yag lebih tiggi utuk Repository FMIPA 1

2 memperoleh hasil yag cukup teliti. Cara yag lebih efesie adalah megguaka metodetrapesium yagtidak memerluka turua. Betuk umum metode Trapesium utuk meyelesaika persamaa di atas adalah atau y +1 y = h f +f +1, 1 f +f +1 y +1 y = h, yag berbetuk rata-rata aritmatik AM dari f da f +1. Rata-rata aritmatik pada persamaa digati dega rata-rata laiya maka aka diperoleh metode bertipe lai yag berbeda dega trapesium. Pada artikel ii peulis membahas trapesium oliear berdasarka berbagai rata-ratabaruyaiturata-rataharmoikh a M,rata-rata KotraharmoikC o M, rata-rata Heroia H e M, rata-rata Akar Kuadrat AKM da rata-rata Cetroidal C e M yag merupaka bagia dari tulisa Wazwaz [4] dalam artikelya yag berjudul O The Numerical Solutio Of y = fx,y by a Class of Noliear Trapezoidal Formulas.. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA ARITMATIK Perhatika persamaa diferesial orde satu dega syarat awal dy dx = fx,y, 3 yx 0 = y 0. 4 Utuk memperoleh solusi aproksimasi, diitegralka kedua ruas persamaa 3 pada [x,x +1 ] diperoleh x+1 x dy = x+1 x fx,yxdx. 5 Kemudia ditaksir ruas kaa dega metode trapesium diperoleh yx +1 yx = x [ ] +1 x fx,yx+fx +1,yx Dega meyusu ulag persamaa 6 da meyataka yx +1 = y +1, yx = y, fx,yx = f da fx +1,yx +1 = f +1 diperoleh betuk umum metode trapesium y +1 = y + h f +f Repository FMIPA

3 Persamaa 7 dapat diyataka dega y+1 AM f +f +1 = y +h, 8 yag merupaka rata-rata aritmatik AM. Dega demikia persamaa 8 diamaka Metode Trapesium Rata-rata Aritmatik AM. Aproksimasi umerik persamaa 8 aka meghasilka galat di setiap lagkah iterasi. Utuk memperoleh galat yag dihasilka persamaa 8, f +1 diekspasika secara Taylor disekitas x = x sampai h 3 diperoleh y f +1 = y +hy +h +h 3 y Selajutya disubsitusika persamaa 9 ke persamaa 8 da megigat diperoleh 1 y+1 AM = y +hy +h y f = y, 10 y +h y +h Selajutya diekspasi y +1 megguaka deret Taylor sekitar x = x sampai h 4 diperoleh y y +1 = y +hy +h y +h 3 4 y +h Dega membadigka persamaa 11 dega persamaa 1 diperoleh galat Metode Trapesium Rata-rata Aritmatik AM, yaitu 1 Galat AM = h 3 1 y +Oh METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA GEOMETRI Metode Trapesium Rata-rata Geometri diperoleh dega meggati rata-rata Aritmatik AM dega ilai rata-rata Geometri GM pada persamaa 8 sehigga diperoleh Metode Trapesium Rata-rata Geometri Sebagai berikut y GM +1 = y +h f f Utuk medapat galat metode trapesium rata-rata geometri, disubsitusika persamaa 9 da 10 ke dalam persamaa 14 diperoleh 1 1 y+1 GM = y +hy +h y +h 3 4 y 3 1 y 8 y. 15 +h y4 1 8 y y y y y 3 Repository FMIPA 3

4 Selajutya dega membadiga persamaa 15 dega persamaa 1 maka diperoleh Galat Metode Trapesium Rata-rata Geometri sebagai berikut Galat GM = h y + 1 y y 4. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA HARMONIK Diketahui bahwa rata-rata harmoik H a M [4] didefiisika oleh H a M = GM AM. Dega megkuadratka persamaa 14 da membagiya dega 8 kemudia disederhaaka diperoleh y HaM +1 = y + hf f +1 f +f Selajutya utuk meetuka galat metode trapesium rata-rata Harmoik da meghidari adaya pembagia bilaga dalam betuk poliomial, maka persamaa 17 dapat ditulis kembali dalam betuk y HaM +1 = y + pembilag peyebut, 18 dega pembilag = hf f +1 da peyebut = f +f +1. Selajutya meghitug ilai pembilag da peyebut da dega batua deret geometri maka diperoleh persamaa Metode Rata-rata Harmoik sebagai berikut y HaM +1 = y +hy + 1 h y +h 3 1 +h 4 y 3 8y 1 4 y y y y y y y. 19 Dega membadigka persamaa 19 dega persamaa 1, maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata harmoik sebagai berikut 1 Galat HaM = h 3 y 1 4 y 1 y. 0 Repository FMIPA 4

5 5. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA KONTRAHARMONIK Diketahui bahwa rata-rata harmoik H a M [4] diberika oleh C o M = AM GM AM Dega meghitug ruas kaa persamaa di atas megguaka persamaa 8 da persamaa 14 meghasilka y +1 y y +1 y = h f f +1 hf +f +1, sehigga metode trapesium rata-rata kotraharmoik C o M diperoleh f y CoM +1 = y +h +f+1. 1 f +f +1 Aalog dega metode trapesium rata-rata harmoik utuk meghidari pembagia poliomial maka persamaa 1 dapat ditulis y CoM +1 = y + pembilag peyebut, dega pembilag = f +f+1 da peyebut = f +f +1. Selajutya dega meemuka pembilag da peyebut pada persamaa diperoleh y CoM +1 = y +hy + 1 h y +h y y y 1 +h 4 1 y4 1 y 3 8y y y y. 3 Dega membadigka hasil persamaa 3 dega persamaa 1, maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata kotraharmoik sebagai berikut Galat CoM = h y 1 y. 4 4 y 6. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA HERONIAN Persamaa umum Rata-rata Heroia H e M berdasarka [4] dapat diyataka sebagai berikut : H e M = AM+GM 3 5 Repository FMIPA 5

6 Dega mesubsitusika 14 da persamaa 8 ke persamaa 5 diperoleh y HeM +1 = y + h f +f +1 + f f Utuk meghidari betuk akar pada persamaa 6 diyataka f f +1 = y 1+h y + h y + h3 4 1/ y. 7 y y 6 y Persamaa 7 dapat ditulis mejadi f f +1 = y 1+r 1/. 8 dega r = h y + h y y y + h3 6 4 y. 9 y Dari Teorema Taylor [1], maka persamaa 8 dapat ditulis mejadi f f +1 = y 1+ 1 r 1 8 r r3. 30 Kemudia dilakuka perhituga persamaa 30 dega mecari terlebih dahulu ilai-ilai dari r da r 3 dega megambil ilai batas hitug sampai h 4 sehigga diperoleh da r = h y y y +h3 y y +h 4 y 4 y y 3y + 4y y r 3 = h 3 3 3y +h 4 y 3 y y, Kemudia subsitusika persamaa 9,31 da 3 maka persamaa 30 dapat ditulis mejadi f f +1 = y + 1 hy +h 1 y y 4 y +h 3 1 y y y 1 y4 + 1 y y Selajutya dega mesubsitusika persamaa 9,8 da 33 ke dalam persamaa 6 maka diperoleh persamaa Metode Trapesium Rata-rata Heroia sebagai berikut y+1 HeM = y +hy h y +h 3 4 y h 4 1 y4 1 4 y y y y y y 3 y. 34 Repository FMIPA 6

7 Dega membadigka persamaa 34 dega ekpasi Taylor pada persamaa 1, maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata heroia sebagai berikut Galat HeM = h y + 1 y y 7. METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA AKAR KUADRAT Betuk umum Rata-rata Akar Kuadrat [4] diyataka sebagai berikut AKM = AM GM. 36 Utuk madapatka Metode Trapesium Rata-rata Akar Kuadrat, disubsitusika persamaa 8 da persamaa 14 kepersamaa 36, diperoleh y AKM +1 = y +h f +f Utuk meetuka galat utuk 37, dicari f da f +1 sebagai berikut f = y, 38 f +1 = y +hy y +h y +y y + 39 Dega mesubsitusika persamaa 38 da 39 ke persamaa 37 diperoleh y+1 AKM = y +hy h y +h 3 4 y + 1 y 8 y 1 +h 4 y y 1 y y y4. 40 y Selajutya dega membadigka persamaa 40 dega persamaa 19, maka diperoleh galat metode rata-rata akar kuadrat sebagai berikut Galat AKM = h y 1 y METODE DAN GALAT TRAPESIUM RATA-RATA CENTROIDAL Rata-rata Cetroidal didefiisika [4] dega y C e M = 4AM GM. 4 3AM Repository FMIPA 7

8 Utuk medapat metode trapesium rata-rata cetroidal disubsitusika persamaa 8 da persamaa 14 ke persamaa 4, diperoleh y CeM +1 = y + h 3 f +f f +1 +f +1 f +f Kemudia utuk medapat galat metode trapesium rata-rata cetroidal disubstitusika persamaa 9 da persamaa 10 ke persamaa 4, da dega batua deret geometri diperoleh y+1 CeM = y +hy h y +h h 4 1 y y y y y y y y 3 y. 44 Selajutya dega membadigka persamaa 44 dega persamaa 1, maka diperoleh galat metode trapesium rata-rata Cetroidal sebagai berikut Galat CeM = h y 1 y y 9. PERBANDINGAN NUMERIK Utuk melakuka perbadiga komputasi, rumusa yag diperoleh dapat diterapka ke dalam beberapa soal persamaa diferesial orde satu pada cotoh berikut ii y = y, y0 = 1, dega solusi eksak y = e x pada iterval [0,1]. Secara maual, proses peyelesaia persamaa diferesial di atas dega lima metode trapesium tersebut membutuhka waktu yag lama serta kemugkia kekelirua cukup besar. Utuk itu dilakuka komputasi megguaka program Matlab. Berikut ii diberika hasil eksak da galat yag terjadi pada setiap modifikasi metode trapesium secara komputasi umerik utuk kasus dega megguaka aplikasi matlab. Solusi umerik utuk kasus diatas di peroleh dega megambil pajag lagkah iterasi h = 0.1 da bayak iterasi = 10 Hasil eksak da galat yag terjadi disetiap lagkah partisi diperlihatka pada Tabel 1. Dari Tabel 1 terlihat bahwa keakurata atau hasil galat komputasi yag dihasilka utuk iterasi = 10 meujuka galat yag dihasilka Metode Trapesium Rata-rata Cetroidal CeM lebih kecil dibadigka galat Metode Trapesium Noliear laiya. Dega demikia dapat dilihat bahwa perhituga galat dari kelima Metode Trapesium Nolier memberika hasil yag lebih uggul jika dibadigka metode trapesium laiya Repository FMIPA 8

9 Repository FMIPA 9 Tabel 1: Tabel perbadiga Galat Metode Trapesium Rata-rata Harmoik, Kotraharmoik da Heroia i x i y eksak Galat harmoik Kotraharmoik Heroia Akar kuadrat Cetroidal e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-003

10 Ucapa Terimakasih Peulis megucapka terimakasih kepada Dr. Imra M., M.Sc. yag telah memberika araha da bimbiga dalam peulisa artikel ii. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R. G. & D. R. Shebert Itroductio to Real Aalysis, 3 rd Ed. Joh Wiley & Sos, Ic., New York. [] D. J. Evas ad B.B. Saugi, A Compariso of Numerical O.D.E Solvers Based o Aritmatic ad Geometric Meas, Iter. J. Computer Math.,31987, [3] Spiegel, M.R Mathematical Hadbook of Formulas ad Tables. Mc Graw- Hill Book Compay. New York. [4] Wazwaz, A. M O The Numerical Solutio Of y = fx,y By A Class Of Noliier Trapezoidal, Iter. J. Computer Math.,511993, Repository FMIPA 10