Modifikasi Metode Chebyshev-Halley tanpa Turunan Kedua dengan Orde Konvergensi Delapan

Transkripsi

1 Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Vol. No. Juli 7 Hal. 8- p-issn: 8-96; e-issn: 8-6X Halama 8 Modiikasi Metode Chebshev-Halle tapa Turua Kedua dega Orde Kovergesi Delapa Wartoo Hilda Paramita Program Studi Matematika UIN Sulta Sari Kasim Riau wartoo@ui-suska.ac.id paramitahilda@ahoo.com Io Artikel Riwaat Artikel: Diterima: Mei 7 Direvisi: Jui 7 Diterbitka: Juli 7 Katakuci: Metode Chebshev-Halle Iterpolasi Hermite Persamaa oliear Orde kovergesi ABSTRACT Metode Chebshev-Halle merupaka salah satu metode iterasi ag memiliki orde kovergesi tiga da melibatka satu parameter ag diguaka utuk meelesaika persamaa oliear. Pada makalah ii peulis megembagka metode Chebshev-Halle tapa turua kedua dega megguaka aproksimasi iterpolasi Hermit orde tiga. Berdasarka hasil peelitia diperoleh bahwa metode iterasi baru mempuai orde kovergesi delapa utuk = ½ da melibatka empat evaluasi ugsi utuk setiap iterasia dega ideks eisiesia sebesar 8 / Simulasi umerik dilakuka dega megguaka beberapa ugsi real utuk meujukka perorma metode iterasi baru terhadap beberapa metode iterasi laia ag dibadigka. Copright 7 SI MaNIs. All rights reserved. Correspodig Author: Wartoo Program Studi Matematika UIN Sulta Sari Kasim Riau Jl. Subratas No. Pekabaru Riau Idoesia 89 wartoo@ui-suska.ac.id. PENDAHULUAN Permasalaha ag berhubuga dega model matematika serig mucul sebagai represetasi eomea pada bidag sais tekik da rekaasa dalam betuk persamaa oliear ag rumit da kompleks. Oleh karea hampir sebagia besar persamaa oliear tidak dapat diselesaika secara aalitik maka peelesaia alterati dilakuka dega megguaka perhituga komputasi berulag atau biasa disebut dega metode iterasi. Pada makalah ii peulis mempertimbagka metode iterasi utuk meetuka akar sederhaa dari persamaa oliear = dega : I adalah ugsi real pada iterval terbuka I. Metode iterasi ag palig serig diguaka adalah metode Newto dega betuk umum ' Persamaa merupaka metode iterasi Newto dega orde kovergesi kuadratik ag melibatka dua evaluasi ugsi dega ideks eisiesi sebesar /. Pada saat ii beberapa peeliti telah melakuka pegembaga da kotruksi metode iterasi berorde kovergesi tiga dega megguaka berbagai pedekata seperti: metode dekomposisi Adomia 7 ugsi 9 da kelegkuga kurva. Salah satu pegembaga dari metode iterasi dega orde kovergesi kubik adalah metode Chebshev-Halle dega betuk umum 6 Lama Prosidig:

2 Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Halama 9 L L ' dega " L ' Baak peeliti ag megembagka metode Chebshev-Halle dega melakuka reduksi terhadap turua keduaa ag meghasilka varia Chebshev-Halle dua lagkah dega orde kovergesi ag lebih tiggi dari persamaa klasika 8. Pada makalah ii peulis megembagka varia metode Chebshev-Halle dua lagkah ag dihasilka oleh Xiaojia dega meambahka metode Newto pada lagkah ketiga ag maa turua pertamaa diaproksimasi dega megguaka iterpolasi Hermite orde tiga. Pada bagia akhir aka diberika simulasi umerik utuk meujukka perorma metode iterasi baru ag dibadigka dega metode iterasi laia.. METODOLOGI PENELITIAN Pada bagia ii peulis megguaka beberapa deiisi petig ag aka dilibatka pada proses megkotruksi metode iterasi meetuka orde kovergesi baik megguaka ekspasi deret Talor maupu komputasi COC da simulasi umerik. Adapu deiisi ag diguaka adalah sebagai berikut: Deiisi. Misalka merupaka sebuah ugsi dega akar persamaa da { } adalah sebuah barisa bilaga real utuk ag koverge ke. Jika terdapat c da p sedemikia higga e lim lim c p p e maka p adalah orde kovergesi dari deret { } da c adalah kostata galat asimtotik asmptotic error costat. Utuk p = maka deret koverge liear kuadratik kubik da seterusa. Deiisi. Misalka e = adalah galat pada iterasi ke- maka dapat dideiisika: p p e ce e sebagai persamaa kesalaha dari suatu metode iterasi dega p adalah orde kovergesi da c adalah kostata asimtotik. Deiisi. Misalka r adalah jumlah dari evaluasi pada ugsi atau salah satu dari derivatia maka eisiesi dari suatu metode diukur dega ideks eisiesi ag dideiisika oleh: IE p r. 6 Utuk meguraika metode baru peulis mulai dega medeiisika kembali varia metode Chebeshev-Halle ag dikembagka oleh Xiaojia sebagai berikut: 7 ' dega ' 8 da merupaka sebuah parameter riil. Selajuta skema iterasi 6 aka diubah mejadi skema tiga lagkah dega medeiisika kembali persamaa Newto dalam pada lagkah ketiga dalam betuk 9 ' dega sebagaimaa dideiisika pada persamaa 8. Utuk meguragi evaluasi ugsi pada skema iterasi tiga lagkah pada Persamaa 9 maka turua pertama direduksi dega megguaka iterpolasi Hermit orde tiga. Selajuta pertimbagka kembali iterpolasi Hermit orde tiga sebagai berikut: H Modiikasi Metode Chebshev-Halle tapa Turua Kedua dega Orde Kovergesi Delapa

3 Halama p-issn: 8-96; e-issn: 8-6X Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Vol. No. Juli 7: 8- '. Berdasarka persamaa dega memisalka H maka H sehigga diperoleh H ag diberika oleh ' ' dega '. Oleh karea itu secara legkap skema iterasi tiga lagkah diberika oleh ' 6a ' 6b. 6c Persamaa 7 merupaka modiikasi varia Chebshev-Halle megguaka iterpoalsi Hermite orde tiga ag memiliki empat evaluasi ugsi aitu da. HASIL DAN ANALISA.. Orde Kovergesi Dega megguaka Persamaa 6 selajuta aka ditetuka orde kovergesi metode iterasi sebagai berikut: Teorema. Asumsika bahwa ugsi memiliki turua da memiliki akar peelesaia I. Jika titik awal cukup dekat dega maka metode iterasi pada persamaa 6 memiliki orde kovergesi delapa utuk = ½ ag memeuhi dega persamaa galat berikut: 8 9 e c c c c c c c c c e e. 7 Bukti : Misalka adalah akar dari ugsi real maka = kemudia e = da! ' j c j j. j =. Selajuta diasumsika maka dega megguaka deret Talor diperoleh ' e c e c e c e e 8 da ' ' c e c e c e e. 9 Kemudia dari persamaa 8 da 9 diperoleh

4 Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Halama e ce c c e 7cc c c e e. ' Berdasarka persamaa 6a da e diperoleh c e c c e 7c c c c e e. Ekspasi dega megguaka deret Talor disekitar diberika oleh 9 ' ce c c e c c 7 cc e e Substitusika Persamaa 8 9 ke Persamaa 6b da dega megguaka = e + maka diperoleh c e c 8c c c e e Selajuta guaka deret Talor utuk megekspasi disekitar maka diperoleh 9 ' c e 8 c c c e e. Selajuta dega megguaka Persamaa 8 9 da da substitusika ke Persamaa maka diperoleh berturut-turut e cc 8 cc e e e c cc 6 cc c c e e ' c e c e c c e c 6 c c c e ' c e c c c e 7 c 6 ' c e c c e c c c c e c c 8c c c c e 7 ' c c c c e. 8 Substitusika Persamaa 6 7 da 8 ke Persamaa 6 da dega megguaka + = e + + maka diperoleh orde kovergesi metode iterasi tiga lagkah ag berika oleh 6 7 e c e 6 c c c 8 c c e c 8 c c 8 cc c c e 8 9 e. 9 Berdasarka Persamaa 9 terlihat bahwa orde kovergesi aka meigkat dega memilih = ½ sehigga dega mesubstitusika kembali = ½ maka Persamaa 9 dapat ditulis 8 9 e cc c cc c c c ce e. Persamaa merupaka orde kovergesi metode iterasi 6 ag melibatka empat evaluasi ugsi aitu da sehigga meghasilka ideks eisiesi sebesar 8 / Simulasi Numerik Pada bagia ii dilakuka uji umerik utuk membadigka eisiesi metode iterasi pada Persamaa 6 ag kemudia aka dibadigka dega metode iterasi laia aitu: aitu metode Newto berorde kovergesi dua NM7 metode Chebshev Halle berorde kovergesi tiga MCH 6 da varia metode Chebshev Halle berdasarka persamaa hiperbola dega orde kovergesi empat VMCH. Simulasi umerik dilakuka dega megaplikasika persamaa iterasi ke dalam delapa ugsi real dega megguaka peragkat luak Maple. dega 8 digit aritmetik loatig aritmethics dega kriteria peghetia komputasi + < dega = Kemudia megambil ilai awal sedekat mugki dega akar persamaa ag maa ditampilka dalam digit desimal. Adapu ugsi ag aka diguaka adalah sebagai berikut : 7 e = e si cos Modiikasi Metode Chebshev-Halle tapa Turua Kedua dega Orde Kovergesi Delapa

5 Halama p-issn: 8-96; e-issn: 8-6X e = e Selajuta simulasi umerik dilakuka terhadap persamaa 6 utuk beberapa ilai aitu ½ dega orde kovergesi eam da = ½ dega orde kovergesi delapa. Tabel da meujukka ilai-ilai dari ugsi da galat mutlak metode iterasi 6 pada iterasi ke serta orde kovergesi ag dihitug secara komputasi COC dega megguaka persamaa berikut: l / COC. l / Tabel Jumlah iterasi ilai galat mutlak da COC Persamaa 6 utuk = / Jumlah Iterasi COC E E E- 66.E E- 789.E E- 886.E E- 777.E E- 679.E E E Berdasarka Tabel meujukka bahwa orde kovergesi dari metode iterasi 6 utuk = / adalah delapa da baaka iterasi ag diguaka pada setiap ugsi adalah tiga. Tabel Jumlah iterasi Nilai galat mutlak da COC Persamaa 6 dega / Jumlah Iterasi COC E- 667.E E E E E E E E-78.E E E E E Berdasarka Tabel meujukka bahwa orde kovergesi dari metode iterasi 6 utuk / adalah eam da baaka iterasi ag diguaka pada setiap ugsi sebagia besar empat iterasi kecuali utuk ugsi kedua. Selajuta Tabel da meampilka perbadiga baaka iterasi ag diguaka da COC dari metode iterasi 6 utuk ½ MVCHH da = ½ MVCHH dega metode iterasi lai ag dibadigka aitu metode Newto NM metode Chebshev Halle MCH da varia metode Chebshev Halle berdasarka persamaa hiperbola VMCH. Tabel Perbadiga Jumlah Iterasi Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Vol. No. Juli 7: 8-

6 Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Halama Jumlah Iterasi MVCHH MVCHH MN MCH VMCH / = / Tabel meujukka bahwa metode iterasi 6 utuk = ½ palig sedikit megguaka iterasi dibadigka dega metode iterasi laia. Tabel Perbadiga Nilai COC Nilai COC MVCHH MVCHH MN MCH VMCH / = / Tabel meujukka orde kovergesi metode iterasi 6 ag dihitug megguaka ormulasi adalah hampir delapa. Hal ii meegaska kembali sebagaimaa orde kovergesi ag diperoleh secara aalitik.. KESIMPULAN Pada makalah ii peulis megembagka metode varia Chebshev-Halle dega kombiasi Newto pada lagkah ketiga da pedekata Hermit orde tiga terhadap turuaa da diperoleh metode iterasi baru ag diberika pada persamaa 6 ag memiliki orde kovergesi eam utuk ½ da delapa utuk = ½. Oleh karea itu metode iterasi 6 optimal utuk = ½ dega ideks eisiesi sebesar 8 / Simulasi umerik ag megguaka beberapa ugsi juga telah memberika iormasi ag meguatka hasil secara aalitik. DAFTAR PUSTAKA Babajee DKR O a two-parameter Chebshev-Halle-like amil o optimal teo-poit ourth order methods ree rom secod derivatives Arika Matematika ;6: DOI:.7/s Chu C. Some Variats o Chebshev-Halle Methods Free rom Secod Derivative. Applied Mathematics ad Computatio. 7; DOI:.6/j.amc Chu C Iterative methods improvi Newto s method b the decompositio Adomia Computers ad Mathematics with Applicatios ; : DOI:.6/j.camwa..8.. Chu C ad Kim Y Several ew third-order iterative methods or solvig oliear equatios Acta Applied Mathematics ; 9: 6. DOI:.7/s Amat S Busquier S ad Gutierre JM Geometric costructios o iterative uctios to solve oliear equatios Joural o Computatioal ad Applied Mathematics ; 7: 97. DOI:.6/s Epperso JF. A Itroductio to Numerical Methods ad Aalsis Secod Editio. Wile. Uited States o America.. Modiikasi Metode Chebshev-Halle tapa Turua Kedua dega Orde Kovergesi Delapa

7 Halama p-issn: 8-96; e-issn: 8-6X 7 Abbasbad S Improvig Newto-Raphso method o oliear equatios b modiied Adomia decompsitio method Applied Mathematics ad Computatio ; : DOI:.6/s Li Y dkk. Some ew variats o Chebshev-Halle methods ree rom secod derivatie. Iteratioal Joural o Noliear Sciece 8; 9 : 6. 9 Melma A Geometr ad covergece o Euler s ad Halle s methods SIAM Review 997; 9: Liu L ad Wag X. Eight-order methods with high eiciec ide or solvig oliear equatios. Applied Mathematics ad Computatio. 9-. Rostami M ad Esmaeili H A Modiicatio o Chebshev-Halle method ree rom secod derivatives or oliear equatios Caspia Joural o Mathematical Scieces :. Sharma JR A amil o third-order methods to solve oliear equatios b quadratic curve approimatio Applied Mathematics ad Computatio 7;8:. DOI:.6/j.amc Wag X. ad Liu L Modiied Ostrowski s method with eighth-order covergece ad high eiciec ide Applied Mathematics Letters ; : 9-. Xiaojia Z Modiied Chebshev-Halle methods ree rom secod derivative Applied Mathematics ad Computatio. 8;: DOI:.6/j.amc Zhao L dkk. New amilies o eighth-order methods with high eiciec ide or solvig oliear equatios WSEAS Trasactios o Mathematics ; : Gutierre JM ad Herade MA A amil o Chebshev-Halle tpe methods i Baach spaces Bulleti o Australia Mathematical Societ 997; :. Prosidig SI MaNIs Semiar Nasioal Itegrasi Matematika da Nilai Islami Vol. No. Juli 7: 8-