Modifikasi Varian Metode Newton dengan Orde Konvergensi Tujuh

Transkripsi

1 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- Modiikasi Varia Mtod Nwto dga rd Kovrgsi Tujuh Wartoo Ria Rasla Jurusa Matmatika Fakultas Sais da Tkologi UIN Sulta Sari Kasim Riau Jl. HR. Sobratas No. Simpag Baru Pkabaru 9 wartoo@ui-suska.a.id ABSTRAK Mtod Varia Nwto mrupaka salah satu mtod itrasi ag mmiliki ord kovrgsi tiga ag diguaka utuk mlsaika prsamaa oliar. Pada makalah ii pulis mmodiikasi varia mtod Nwto mjadi tiga lagkah dga mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua. Aalisa kovrgsi mujukka bahwa mtod itrasi ag di usulka mmpuai ord kovrgsi palig rdah am da mlibatka mpat valuasi ugsi pr itrasi dga idks isisi sbsar. Simulasi umrik dibrika dga mgguaka bbrapa ugsi da dibadigka dga bbrapa mtod laia utuk mujukka prorma mtod itrasi ag diusulka. Kata Kui: Itrpolasi Lagrag ord dua ord kovrgsi prsamaa oliar varia mtod Nwto ABSTRACT Variat Nwto mthod is o o a itratio mthod with third-ordr ovrg or solvig oliar quatios. I this papr th author modiid th variat o Nwto mthod to bam thr stp b usig th sod ordr Lagrag itrpolatio. Th aalsis o ovrg shows that th proposd mthod is at last o sith ordr ovrg ad rquirs our valuatio utios pr itratio with ii id. Numrial simulatio is giv b usig svral utios ad is ompard with othr som mthods to show th prorma o modiiatio o th proposd mthod. Kwords: Sod ordr Lagrag itrpolatio ordr o ovrg oliar quatio varit o Nwto mthods Pdahulua Prsamaa oliar mrupaka rprstasi dari prsoala sais da rkaasa da hampir sbagai bsar prsamaa oliar tidak dapat dislsaika sara aalitik. lh kara itu plsaia atrati dilakuka sara umrik dalam btuk prhituga komputasi brulag ag biasa disbut dga mtod itrasi. Salah satu mtod itrasi ag dapat diguaka utuk mlsaika prsamaa oliar adalah mtod Nwto dga btuk: 0 da = 0 Mtod Nwto mrupaka mtod itrasi dga ord kovrgsi kuadratik da mlibatka dua valuasi ugsi. Pgmbaga mtod itrasi Nwto mjadi mtod itrasi dga ord kovrgsi lbih tiggi baak dilakuka olh pliti dga ara mmodiikasi mtod itrasi mjadi dua lagkah dga mgguaka brbagai pdkata: itgral Nwto titik tgah rataa harmoik 0 kuadratur Nwto-Cot slisih trbagi maju. Mtod ag Dikmbagka Prtimbagka kmbali modiikasi mtod Nwto ag dilakuka olh Wrakoo dalam btuk

2 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- dga Prsamaa dikal dga ama mtod Varia Nwto dua lagkah ag mmiliki ord kovrgsi tiga da mlibatka tiga valuasi ugsi shigga idks isia sbsar 9. Slajuta utuk migkatka idks isisi suatu mtod itrasi dilakuka rduksi trhadap pada prsamaa dga mgguaka tkik Chu dga btuk: Slajuta dga msubstitusika Prsamaa k Prsamaa maka diprolh: dga adalah btuk Nwto ag dibrika pada Prsamaa. Prsamaa adalah modiikasi mtod Nwto dua lagkah dga tiga valuasi ugsi da satu paramtr ral. Utuk migkatka ord kovrgsi ditambahka mtod Nwto pada lagkah ktiga dalam ditulis sbagai brikut Btuk pada Prsamaa aka diaproksimasika dga mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua sbagaimaa ag tlah dilakuka olh Zhao dkk dalam btuk shigga prsamaa dapat ditulis kmbali mjadi lh kara itu sara lgkap modiikasi varia mtod Nwto tiga lagkah dapat ditulis sbagai brikut 9a 9b 9 Prsamaa 9 mrupaka modiikasi varia mtod Nwto tiga lagkah ag mlibatka mpat valuasi ugsi aitu da.

3 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- Hasil da Pmbahasa a. Aalisis Kovrgsi Prsamaa 9a 9 mrupaka modiikasi mtod itrasi tiga lagkah Varia Nwto dga mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua. Slajuta torma brikut dibrika bahwa ord kovrgsi prsamaa 9a 9 adalah tujuh utuk. Torma : Misalka : D adalah ugsi trdirsialka pada itrval buka D da mmpuai akar tuggal di D. Jika 0 ukup dkat k maka Prsamaa 9a 9 mmiliki ord kovrgsi tujuh dga ag mmuhi prsamaa galat: Bukti: Misalka adalah akar dari maka 0. Asusmsika 0 da dga mgguaka drt Talor utuk mgaproksimasika ugsi di skitar maka diprolh :!! " 0 Slajuta dga mgguaka drt Talor dari diskitar diprolh: Pmbagia dari Prsamaa 0 da diprolh: Substitusika Prsamaa k Prsamaa 9a shigga diprolh: Prsamaa dapat ditulis k dalam btuk: s dga s Brdasarka kspasi drt Talor dari diskitar maka diprolh: Kmudia didapat Slajuta substitusika Prsamaa k Prsamaa 9b maka diprolh Prsamaa dapat ditulis kmbali dga btuk d dga

4 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- d Brdasarka kspasi drt Talor dari diskitar mmbrika 9 Mgguaka ara ag sama brdasarka Prsamaa 0 da Prsamaa 9 masig-masig diprolh 9 0 da Brdasarka Prsamaa da Prsamaa maka diprolh Pmbagia Prsamaa 9 dga Prsamaa diprolh da utuk lh kara da d da dga msubstitusika k Prsamaa maka Prsamaa mjadi Prsamaa mrupaka prsamaa galat dari modiikasi mtod Varia Nwto mgguaka itrpolasi Lagrag ord dua dga ord kovrgsi am ag masih brgatug pada paramtr brikut dibri bbrapa ilai paramtr aitu: maka Prsamaa mjadi 0 maka Prsamaa mjadi

5 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- maka Prsamaa mjadi 9 Brdasdarka Prsamaa da Prsamaa 9 dapat disimpulka bahwa prsamaa itrasi ag baik adalah prsamaa itrasi ag mmiliki paramtr dga ord kovrgsi tujuh da mlibatka mpat valuasi ugsi aitu da shigga mghasilka idks isisi sbsar. b. Simulasi Numrik Pada subbab ii aka mmbahas simulasi umrik dga mgguaka pragkat luak Mapl dga 00 digit. Fugsi ag aka diguaka adalah sbagai brikut: Simulasi umrik dilakuka dga mghitug jumlah itrasi da ord kovrgsi sara komputasi CC omputatioal ordr o ovrg ag dibrika olh l 0 l brikut Hasil prhituga CC dga mgguaka bbrapa ugsi dibrika pada Tabl Tabl Simulasi umrik trhadap Prsamaa 9 dga 0 Jumlah itrasi CC 9E- 09E E- 9999E E-0 0E E- 999E E-0 00E Brdasarka Tabl maka diprolh ilai CC ag mujukka bahwa Prsamaa 9 dga mmiliki ord kovrgsi tujuh. Slajuta aka dibadigka jumlah itrasi dari Prsamaa 9 dga mtod itrasi laia sprti mtod Nwto MN mtod Potra- Ptak MP srta Komposit mtod Potra-Ptak da Nwto-Sts KMPNS. Tabl Prbadiga jumlah itrasi 0 Jumlah itrasi MN MP KMPNS MMVN 9 0

6 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN Brdasarka Tabl diprolh prbadiga jumlah itrasi dari bbrapa mtod itrasi dga mgguaka bbrapa ugsi da ilai awal ag brbda. Kmudia dapat disimpulka bahwa jumah itrasi pada Modiikasi Mtod Varia Nwto MMVN mmiliki jumlah itrasi lbih sdikit. Hal ii bisa trjadi kara stiap mtod itrasi mmiliki ara trsdiri dalam mghampiri akar sbuah ugsi trgatug pada btuk prsamaa srta ugsi ag dibrika da ilai awal ag dibrika pada ugsi itu. Slajuta aka ditujukka ord kovrgsi pada Tabl mgguaka Computatioal rdr o Covrg CC. Tabl Prbadiga ilai CC 0 CC MN MP KMPNS MMVN Tabl mujukka ord kovrgsi pada stiap mtod itrasi ag diprolh dari prhituga CC brdasarka bbrapa ugsi da ilai awal ag brbda. Kmudia dapat disimpulka bahwa ord kovrgsi MMVN lbih tiggi dibadigka dga mtod itrasi laia. Ksimpula Modiikasi varia mtod Nwto mmiliki ord kovrgsi am utuk da tujuh utuk = da mlibatka mpat valuasi ugsi pada stiap itrasia dga idks isi / 0 utuk da / utuk =. Hasil umrik juga mujukka bahwa mtod baru lbih baik dibadigka dga mtod laia. Datar Pustaka Ababh. Y. Nw Nwto s mthod with third-ordr Covrg or solvig oliar quatios World Aadm o Si Egirig ad Tholog Chu C. da Ham Y. Som Fourth-rdr Modiiatios o Nwto s Mthod Applid Mathmatis ad Computatio Chu C. A Simpl Costrutd Third-rdr Modiiatios o Nwtos s Mthod Joural o Computatioal Applid Mathmatis Cordro A. dkk. A Famil o Itrativ Mthods with Sith ad Svth rdr Covrg or Noliar Equatios Mathmatial ad Computr Modllig Frotii M. da Sormai E. Som variat o Nwto s mthod with third-ordr ovrg Applid Mathmatis ad Computatio Hasaov V. I. Ivaov I. G. da Ndjibov G. A w modiiatio o Nwto s mthod Applid Mathmatis ad Egirig Jishg K. Yitia L. da Xiuhua W. Third-ordr modiiatio o Nwto s mthod Joural o Computatio ad Applid Mathmatis 0 00.

7 Jural Sais Matmatika da Statistika Vol. No. Juli 0 ISSN 0- Kalaasudaram J. J. Modiid Nwtos mthod usig harmoi ma or solvig oliar quatios ISR Joural o Mathmatis Luki T. Ralvi N. M. Gomtri ma Nwto s mthod or simpl ad multipl roots Applid Mathmatis Lttrs Ndhibov G. a w itrativ mthods or solvig oliar quatios. Appliatio o Mathmatis i Egirig ad Eoomis XXVIII i: Prodig o th XXVIII Summr shool Soopol 00 pp.- Hro prss Soia 00. ba A.Y. Som Nw Variats o Nwto s Mthod Applid Mathmatis Lttr Sharma J. R. A Composit Third rdr Nwto-Sts Mthod or Solvig Noliar Equatios Applid Mathmatis ad Computatio Wrakoo S. da Frado T. G. I. A Variat o Nwto s Mthod igth Alratd Third-rdr Covrg Applid Mathmatis Lttrs Zhao L. dkk. Nw Familis o Eighth-rdr Mthods With High Eii Id For Solvig Noliar Equatios WSEAS Trasatios o Mathmatis 0-9.