Analisa Komputasi Metode Dua Langkah Bebas Turunan Untuk Menyelesaikan Persamaan Nonlinear

Transkripsi

1 Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug 03 Aalisa Komputasi Metode Dua Lagkah Bebas Turua Utuk Meelesaika Persamaa Noliear Supriadi Putra MSi Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau Abstrak Dalam tulisa ii aka dilakuka kajia terhadap metoda dua lagkah bebas turua utuk meelesaika persamaa oliear ag telah dikembagka oleh beberapa peeliti sebeluma Melalui aalisa komputasi metode-metode ii aka dibadigka utuk melihat metode ag lebih eisie da optimal Kata Kuci Aalisa Komputasi Metoda Iterasi Dua Lagkah Bebas Turua Persamaa Noliear PENDAHULUAN Meetuka akar dari suatu persamaa oliear satu variabel ( ) 0 () adalah salah satu topik ag dibahas dalam mata kuliah metode umerik Permasalaha ii mucul dari berbagai permasalaha di bidag sais da tekik ag memerluka peelesaia secara matematik Metode aalitik ag tersedia dalam meelesaika masalah ii sagat terbatas kemampuaa maka peeliti megembagka metode aproksimasi melalui tekik iterasi Metode Newto (MN) adalah metode ag sagat popular utuk megaproksimasi akar dari persamaa oliear () Dalam peerapaa metode ii memerluka satu tebaka awal kataka 0 da iterasia diataka oleh ( ) 0 () '( ) Metode ii merupaka metode iterasi satu lagkah da memiliki orde kekovergea kuadratik apabila ilai tebaka awal 0 diberika cukup dekat dega akara [-9] Kelebiha laia adalah metode ii haa memerluka dua kali evaluasi ugsi pada setiap iterasia sehigga ideks eisiesia [6] adalah sebesar 44 Nilai ii sudah optimal da mejadi acua pembadig dari metodemetode iterasi laia Utuk dapat diterapka metode Newto mesaratka bahwa '( 0 ) 0 da ii merupaka suatu kelemaha dari metode Newto Utuk memperbaiki kelemaha metode ii peeliti telah megembagka beberapa metode iterasi lai bebas turua dua diataraa ag sagat terkeal adalah metode Secat da Steese Metode Secat dikembagka melalui pegguaa garis secat da diataka dalam betuk iterasi ( ) ( ) ( ) (3) Metode Secat juga memerluka sekali evaluasi ugsi pada setiap iterasia (haa diawal diperluka dua kali) Aka tetapi karea kekovergeaa lebih redah dari metode Newto aitu ( 5) maka ideks eisiesi dari metode ii adalah sebesar 7 Selajuta metode bebas turua lai adalah metode Steese ag dikembagka melalui pedekata betuk orward dierece utuk megaproksimasi betuk turua ' sehigga () mejadi Semirata 03 FMIPA Uila 57

2 Supriadi Putra: Aalisa Komputasi Metode Dua Lagkah Bebas Turua Utuk Meelesaika Persamaa Noliear (4) ag dikeal dega metode Steese Sama seperti metode Newto metode Steese memiliki orde kekovergea kuadratik da ideks eisiesi ag juga optimal aitu sebesar 44 Tidak puas dega haa melakuka pegembaga terhadap metode iterasi bebas turua satu lagkah seperti di atas peeliti mulai beralih dalam pegembaga metode iterasi dua lagkah Ide awal diberika oleh Traub [9] aitu pegguaa metode ewto sebaak dua kali dega betuk iterasi ' ' (5) Oleh Traub metode ii diamai Predictor-Corrector Newto method (PCN) tetapi dalam paper ii aka disigkat MN Orde kekovergea metode ii adalah empat Aka tetapi karea pada setiap iterasia melakuka empat kali evaluasi ugsi maka metode ii memiliki ideks eisiesi sebesar 44 sama dega metode Newto Dalam pegembaga metode iterasi dua lagkah peeliti megguaka berbagai cara dimaa salah satu caraa seperti ag diterapka dalam pegembaga metode satu lagkah sebeluma aitu dega mecari pedekata lai sebagai peggati betuk turua Dalam paper ii peulis tertarik megkaji beberapa hasil temua peeliti seperti [3457] dega cara melakuka aalisa komputasia khususa metode iterasi dua lagkah bebas turua METODE PENELITIAN Dalam peper ii dilakuka terlebih dahulu review terhadap beberapa metode iterasi dua lagkah bebas turua ag ada seperti dalam [3457] Selajuta metode iterasi ii aka dibadigka melalui tekik komputasi umerik Dalam hal komputasi peulis megguaka bebarapa persamaa oliear ag juga diguaka oleh peeliti-peeliti lai sebeluma da sotware Maple utuk membuat programa Dega terlebih dahulu meetapka tebaka awal selajuta setiap persamaa oliear dikomputasi dega metode-metode itarasi dua lagkah bebas turua ag telah direview sebeluma Metode palig eisie aka diilai dega melihat baak iterasi ag dilakuka utuk meemuka akar pedekata da perhituga orde kekovergea Hasil komputasi aka disajika dalam betuk tabel perhituga da aka diaalisa utuk medapatka kesimpula ag diharapka HASIL DAN PEMBAHASAN Metode-metode iterasi dua lagkah bebas turua ag aka diguaka utuk melakuka komputasi dalam paper ii adalah Metode Jai (MJa) Metode Imra et al (MIm) Metode Dehga-Hajaria (MDH) metode Cordero et al (MCo) da metode Liu et al (MLi) Jai dalam papera [5] mempublikasika metode iterasi dua lagkah bebas turua dega orde kekovergea tiga melaui ide kombiasi peerapa Metode Secat da Metode Steese (ag diperoleh dega aproksimasi orward dierece utuk turuaa) ag diberika oleh persamaa (3) da (4) aitu (6) 3 Motode ii melakuka evaluasi ugsi sebaak tiga kali pada setiap iterasia sehigga memberika ideks eisiesi sebesar 44 Imra et al dalam papera [4] mempublikasi metode iterasi 58 Semirata 03 FMIPA Uila

3 Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug 03 dua lagkah bebas turua ag diperoleh melalui ide pegaproksimasia betuk turua dega cetral dierece ' sehigga memberika betuk iterasi (7) 3 Motode ii memiliki orde kovergesi tiga Aka tetapi metode ii melakuka evaluasi ugsi sebaak empat kali pada setiap iterasia sehigga memberika ideks eisiesi ag lebih kecil aitu 36 Metode iterasi dua lagkah bebas turua selajuta dikembagka oleh Dehga da Hajaria [3] aitu megguaka ide peerapa metode Steese (4) kedalam metode lai ag diperoleh dari pegembaga metode Newto sehigga memberika betuk iterasi (8) Motode ii juga memiliki orde kekovergea tiga da melakuka evaluasi ugsi sebaak tiga kali pada setiap iterasia sehigga memberika ideks eisiesi sebesar 44 Metode iterasi dua lagkah bebas turua selajuta dikembagka oleh Cordero et al [] ag juga megguaka ide peerapa metode Steese(4) sehigga memberika betuk iterasi (9) Motode ii memiliki orde kekovergea ag lebih tiggi aitu empat Aka tetapi metode ii melakuka evaluasi ugsi sebaak empat kali pada setiap iterasia sehigga memberika ideks eisiesi ag lebih kecil dari sebeluma aitu sebesar 44 Selajuta metode ag dikembagka oleh Liu et al [7] Ide pegembaga metode ii adalah peerapa metode Steese (4) da devide dierece sehigga memberika betuk iterasi (0) z z dimaa z ( ) Dalam metode ii [ ] [ z ] da [ z ] adalah beda terbagi dari () da dideiisika sebagai z da z z z z z Motode ii memiliki orde kekovergea empat Karea haa melakuka evaluasi ugsi sebaak tiga kali pada setiap iterasia sehigga memberika ideks eisiesi ag lebih tiggi aitu sebesar 587 Perbadiga Komputasi Pada bagia ii aka dilakuka perbadiga komputasi terhadap metodemetode ag telah dijelaska aitu : Metode Newto (MN) metode Newto Predictor-Corrector (MN) Metode Jai (MJa) Metode Imra et al (MIm) metode Dehga-Hajaria (MDH) metode Cordero et al (MCo) da metode Liu et al (MLi) Pada setiap metode aka diperhatika baak iterasi ag diperoleh utuk tigkat keakurata ag diberika da orde perhituga komputasi (COC) Dalam hal komputasi iterasi aka berheti apabila salah satu dari kriteria berikut terpeuhi : '( 0 ) 0 haa utuk MN da MN Semirata 03 FMIPA Uila 59

4 Supriadi Putra: Aalisa Komputasi Metode Dua Lagkah Bebas Turua Utuk Meelesaika Persamaa Noliear maksimum iterasi = 00 apabila tolerasi ( ) apabila tolerasi dimaa ilai tolerasi ag diguaka 5 adalah sebesar 0 Sedagka ugsi ag diguaka adalah adalah ugsi ag sudah teruji bagus utuk melihat ketagguha suatu metode Dalam hal ii ugsi pertama da kedua disigkat : da diambil dari [8] 4 3 ( ) ( ) 05 si( ) ( ) e ( ) e si( ) Tabel perbadiga baak iterasi da coc dari metode-metode ag dibahas meemuka akar aka tetapi tidak lebih baik dibadigka MJa Diatara metode iterasi dua lagkah bebas turua ag dibadigka MDH da MCo adalah metode ag tidak direkomedasika utuk diguaka meskipu MCo memiliki orde kovergesi empat aka tetapi ideks eisiesia haa 44 KESIMPULAN Berdasarka aalisa komputasi dari metode iterasi dua lagkah bebas turua ag telah dilakuka peulis berkesimpula bahwa metode Jai (MJa) da Liu (MLi) adalah metode ag eisie da optimal utuk diguaka dalam mecari akar persamaa oliear UCAPAN TERIMA KASIH Ucapa terima kasih dalam hal ii peulis sampaika kepada jurusa da akultas ag telah memberika dukuga daa sehigga peulis dapat megikuti acara ii DAFTAR PUSTAKA Dalam Tabel Div berarti metode tidak koverge ke akar ag diberika tada * berarti metode koverge tetapi ke akar lai Dari tabel hasil komputasi baik MN maupu MN memiliki karakteristik ag sama dalam meemuka aproksimasi akara aka tetapi baak iterasi ag diberika oleh MN lebih sedikit Utuk keseluruha ugsi MJa da MLi dapat meemuka semua akar dari persamaa oliear meskipu ada ag tidak sesuai dega akar ag diharapka Meurut aalisa peulis metode ii sagat laak utuk dipilih da diguaka MIm cukup bagus dalam Atkiso KE (989) A Itroductio to Numerical Aalsis secod ed Joh Wile & Sos New York Cordero A Hueso JL Martiez E Torregrosa JR (0) Steese tpe methods or solvig oliear equatios Joural o Computatioal ad Applied Mathematics doi:006/jcam Dehgha M Hajaria M (00) Some derivative ree quadratic ad cubic covergece iterative ormulas or solvig oliear equatios Computatioal ad Applied Mathematics Imra M Agusi A Karma S Putra (0) Two Step Methods Without Emploig Derivatives or Solvig a Noliear Equatio Bulleti o Mathematics Vol04 No Semirata 03 FMIPA Uila

5 Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug 03 Jai P (007) Steese tpe methods or solvig o-liear equatios Applied Mathematics ad Computatio Kug H T Traub J F (974) Optimal order o oe-poit ad multipoit iteratio J Assoc Comput Mach Liu Z Q Zheg ad P Zhao 00 A variat o Steese's method o ourth-order covergece ad its applicatios Appl Math Comput 6: Nerick D ad Haegeas D (976) A Compariso o Noliear Equatio Solver J Comput Appl Math Traub JF (964) Iterative Methods or the Solutio o Equatios Pretice- Hall Eglewood Clis New Jerse Semirata 03 FMIPA Uila 5