INTEGRAL TENTU. x 3. a=x 1. x 2. c 1. c 2. panjang selang bagian terpanjang dari partisi P. INTEGRAL LIPAT DUA

Transkripsi

1 INTEGAL TENTU Pehatian Gamba beiut: f D D a b a c c. n b Gamba Gamba P : panjang selang bagian tepanjang dai patisi P. Definisi: Misal f fungsi ang tedefinisi pada selang tetutup [a,b]. Jia lim n P i f ada, maa f dapat diintegalan pada [a,b]. elanjutna integal tentu atau integal iemann f dai a e b adalah: b n f d lim P a i f. Dengan caa ang sama dapat didefinisian integal untu fungsi dua peubah. INTEGAL LIPAT DUA. INTEGAL LIPAT DUA ATA PEEGI PANJANG

2 > Definisi: Misal f fungsi dua peubah g tedefinisi pada suatu pesegipanjang tetutup. Jia lim n P f, A ada maa f dapat diintegalan pada. elanjutna integal lipat dua f pada adalah: f, lim f n P, A Jia f, maa f, menataan volume benja pejal dibawah pemuaan z f, dan diatas pesegi panjang, ang dapat ditentuan dengan metode iisan sejaja aitu:

3 Volume benda pejal dibawa z f, atas adalah :, Padahal : f A d b a A f, d Jadi dipeoleh:, d c d f f, dd ecaa analog dipeoleh, f A d b a c b a b d a c f, dd Jia f, negatif pada bagian, maa f, menghasilan volume betanda dai benda pejal antaa pemuaan z f, dan pesegi panjang dai bidang. IFAT-IFAT INTEGAL LIPAT DUA. f, f,. f, g, f, g,

4 . f, g, jia f, g,. Jia tedii dai dua daeah bagian dan ang tida mempunai titi peseutuan ecuali titi-titi pada sebagian batasna, maa: f, f, f, Contoh: Hitung f, jia: f, 6 dan {, :, } Penelesaian: 6 dd ] d 6 d 8 ] Latihan: Tentuan integal angap dua beiut:... dd sin dd dd

5 . 5. dd dd. INTEGAL LIPAT DUA ATA DAEAH BUKAN PEEGI PANJANG. Misal adalah daeah sebagai beiut:

6 M Missal Untu menghitung integal lipat dua dai z f, atas dilauan dengan caa membentu daeah pesegi panjang ang melingupi dan didefinisian suatu fungsi bau, g, aitu: f, ;, g, ;, Nilai integal lipat dua dai g, atas sama dengan integal lipat dua dai f, atas ditulis:, f g, Analog dengan pendefinisian pd daeah pesegi panjang. Integal lipat dua dai z f, atas dengan {, : φ φ, a b }

7 b φ f, a φ f, dd Contoh: Hitung integal lipat jia {, :, - } Penelesaian: dd

8 ] d d d. edangan integal lipat dua dai z f, atas dengan {, : ψ ψ, c d } Contoh: Hitung integal lipat jia {,, - } Posedu menentuan batas integasi d c dd f f,, ψ ψ

9 . Gamba / setsa gafina. Batas integasi Buatlah gais vetial memotong. Batas bawah etia gais mulai memasui. Batas atas etia gais meninggalan.. Batas integasi Buat semua gais vetial pada Atau. Gamba / setsa gafina. Batas integasi Buatlah gais hoisontal memotong. Batas bawah etia gais mulai memasui. Batas atas etia gais meninggalan.. Batas integasi Buat semua gais hoisontal pada Contoh: f, f, dd f, f, dd

10 Latihan: Hitung integal beiut:.. e dd. dd. dd. Hitung dengan {, :, } 5.Hitung dg segitiga g titi sudutna,,,,, Tugas. dd dd

11 .. dengan {, :, }. dengan {, :, - } 5. dengan {, :,, sb } Integal Lipat Dua dalam Koodinat Kutub. Kuva-uva tetentu pada suatu bidang, spt lingaan, adioid dan mawa lebih mudah diuaian dalam bentu oodinat utub daipada oodinat catesius, sehingga lebih mudah dihitung dengan menggunaan oodinat utub.

12 Dalam oodinat utub, suatu pesegipanjang utub mempunai bentu: {, a b, α β } dengan a dan β - α Pesamaan pemuaan dapat ditulis sebagai dengan z f, f cos, sin F, cos sin tan / Menghitung volume V dg menggunaan oodinat utub: {, a b, α β }

13 A dengan : adius ata-ata Jadi Contoh: Hitung integal lipat dua dd Menggunaan Koodinat Catesius n F V, d d f V sin, cos d d f f sin, cos, d d d dd

14 sin sin 8 8 d d d d d d.. sin sin sin sin

15 Menggunaan Koodinat Kutub/Pola ] ]..... d d d d d d Tentuan volume dai benda padat diatas pesegipanjang utub {,, / } dan dibawah pemuaan

16 elanjutna jia daeah adalah. {, φ φ, α β }. {, a b, ψ ψ } e z β α φ φ sin, cos, d d f f

17 b ψ f, a ψ f cos, sin d d Contoh: Hitung dengan daeah uadan petama ang beada dilua lingaan dan didalam adioid cos. Jawab:

18 Latihan. Hitung integal lipat beiut: ] cos cos [ 8 ] sin sin cos [ 8 ] sin sin / cos cos d d dd cos sin dd sin dd

19 a. c. sin dd b. d. cos sin dd. Tentuan luas daeah dengan menghitung d d bila: a. adalah daeah didalam lingaan cos dan dilua lingaan. b. adalah daeah g ecil g dibatasi oleh /6 dan sin c. adalah satu daun dai mawa daun empat sin d. adalah daeah didalam adioid 6-6sin >

20 ; Peneapan Integal Lipat Dua Volume Benda Pejal

21 Contoh: Tentuan volume dai tetahedon ang dibatasi bidang-bidang oodinat dan bidang z 6--. Massa dan Pusat Massa Massa Menghitung massa total dai lamina pelat tipis ang tebuat dai bahan ta homogen eapatanna beubah Misal suatu lamina mencaup suatu daeah di bidang dan misal eapatan massa pesatuan luas di dinataan oleh δ, maa : m δ, Contoh. Tentuan massa total sebuah lamina dengan δ, eapatan dibatasi oleh sumbu /, gais 8 dan uva Jawab: Massa total m δ,. 8 / 768. d. d 5

22 Pusat massa Titi Kesetimbangan M m. δ,. δ,. dengan : momen total tehadap sumbu m : massa total M M m. δ,. δ,. dengan : momen total tehadap sumbu m : massa total M Titi esetimbangan, Contoh.

23 Tentuan pusat massa/titi esetimbangan dai lamina pada Contoh. Jawab: Momen total tehadap sumbu M 88. δ,. / / d. d. d. d Momen total tehadap sumbu M. δ,. / / d. d. d. d Pusat massa,

24 M m 768 M 5.. m 768 Latihan: Tentuan massa dan pusat massa dai lamina ang mempunai daeah dan dg eapatan g ditunjuan. a. {,, } dan δ, b. {, -, } dan δ, c. daeah segitiga dengan titi sudut,,,,, dan δ, d. daeah di uadan petama g dibatasi oleh dan gais seta δ, e. daeah g dibatasi oleh dan gais - seta δ,

25 Integal Lipat Tiga I. Jia B daeah didalam ang bebebtu balo ang dibatasi enam bidang a, a, b, b, zc dan zc dengan a <a, b <b, c <c. Diet f fungsi tiga peubah ontinu pada daeah B. Patisi daeah B menjadi balo-balo siu-siu B,B,,B n dengan menai bidang-bidang ang sejaja dengan bidang-bidang oodinat. Nataan patisi ini dengan V dan n menataan banana balo. Misal volume balo e- adalah V z Pilih titi,, z pada balo e- emudian dibentu jumlahan n f,, z V Misal P adalah panjang diagonal tepanjang dai semua balo didefinisian integal lipat tiga: B f,, z dv lim n P f,, z V asalan limitna ada.

26 Jia f,, z maa dddz B volume daeah B. Contoh: Hitung B z. dv dengan B adalah balo B {,,z,, z } II. Jia daeah dinataan oleh {,,z a a, φ φ, ψ, z ψ, } Maa integal lipat tiga dai fungsi f adalah: f,, z dv a φ ψ, a φ ψ, f,, z dz. d. d Contoh: Hitung integal lipat tiga z. dz. d. d

27 Latihan Hitung integal lipat beiut:. dz. d. d dz. d. d 6 z. d. d. dz. sin z z sin d. d. dz z z z. d. d. dz

28 Peneapan integal Latihan:. Tentuan luas daeah jia adalah satu daun dai mawa daun empat sin. Tentuan volume dai tetahedon ang dibatasi bidang-bidang oodinat dan bidang z-. Tentuan massa dan pusat massa dai lamina ang mempunai daeah dan dg eapatan g ditunjuan. daeah di uadan petama g dibatasi oleh dan gais seta δ, 7. dz. d. d

29