TRANSFER MOMENTUM TINJAUAN MIKROSKOPIK GERAKAN FLUIDA

Transkripsi

1 TRANSFER MOMENTUM TINJAUAN MIKROSKOPIK GERAKAN FLUIDA Hingga sejauh ini kita sudah mempelajai tentang momentum, gaya-gaya pada fluida statik, dan ihwal fluida begeak dalam hal neaca massa dan neaca enegi. Pada bagian ini kita akan mempelajai lebih dalam tentang pofil kecepatan alian fluida, gaya doong yang menyebabkan fluida begeak dan gaya yang menghambat geakan itu, dan mempelajai bagaimana laju ali fluida dipengauhi oleh sifat-sifat fluida dan angkaian pipanya. Analisis situasi tehadap fluida begeak kita mulai dai konsepsi geak dan defomasi fluida sebagaimana telah kita bangun pada bagian awal pekuliahan ini. Sekaang mai kita pehatikan kembali gamba beikut. Bentuk awal Sx Bentuk akhi F y x z Dan kita telah sampai ke pesamaan = τ = μ ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 31

2 Sekaang situasinya kita ganti dengan alian fluida dalam pipa, sepeti beikut. x R p 1 Fluida: ρ, μ p 2 X = 0 L X = L Pipa bejai-jai R. Fluida begeak di dalam pipa ke aah X positif. Fluida memiliki densitas sebesa ρ dan memiliki viskositas sebesa µ. Volume atu (Contol Volume) untuk fluida memiliki panjang sebesa L dan mengisi penuh pipa pada aah. Kaena fluida begeak ke aah X positif (ke kanan), itu sama saja dengan mengatakan bahwa pipa begeak ke kii. Kalau pipa begeak ke kii maka akan ada tansfe momentum dai dinding pipa menuju ke pusat pipa melalui fluida; dan sebaliknya jika kita meninjau fluida begeak ke kanan maka akan ada tansfe momentum dai dalam fluida menuju dinding pipa. Dengan menggunakan asumsi bahwa antaa fluida dengan pemukaan pipa tidak tejadi slip (fluida tidak tegelinci) dan fluida begeak ke aah X positif maka akan ada tansfe momentum ke aah. Beapakah laju tansfe momentum ke aah ini? Sekaang fluida pada sistem gamba di atas kita tinjau dalam lingkup yang lebih kecil dengan mengambil elemen fluida itu setebal d ke aah sepeti beikut ini. Di sini diasumsikan fluidanya besifat tak-mampu mampat (incompessible). ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 32

3 Gais pusat pipa X L S = 2π ELEMEN VOLUME FLUIDA Pada elemen volume fluida ini belaku hukum kekekalan momentum, yang pada keadaan stedi dapat ditulis sbb. Laju momentum masuk Laju momentum kelua + Semua gaya yg bekeja pada sistem = 0 Ada momentum (gaya viskous) masuk ke elemen volume melalui pemukaan dalam pada posisi, yaitu: [2πL. τ ] Ada momentum (gaya inesia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0), sebesa m. a = m. v /t. Ingat: m = ρ. Jadinya: m. = ρ = ρq. v ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 33

4 Dan kaena Q = v S dan S = 2π, maka: m. a = (2π. v )(ρv ) Jadi, momentum (gaya inesia) pada titik 1 (x=0) adalah: Kita tuliskan: (2π. v )(ρv ) [2π v x. ρv x ] Ada gaya (tekanan) tehadap pemukaan fluida pada penampang 1 (pada x=0), sebesa: (2π )p Ada gaya (tekanan) tehadap pemukaan fluida pada penampang 2 (pada x=l), sebesa: (2π )p Ada momentum (gaya viskous) kelua dai elemen volume melalui pemukaan lua pada posisi +, yaitu: [2πL. τ ] Ada momentum (gaya inesia) kelua pada penampang 2, (pada x = L), sebesa [2π v x. ρv x ] Pada sistem ini juga ada bekeja gaya gavitasi, namun kaena posisi alian adalah data, maka gaya gavitasi ini tidak membei konstibusi tehadap geak alian. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 34

5 Sekaang akan kita jumlahkan semua gaya yang telah diuaikan itu; kita peoleh: [2πL. τ ] + [2π v. ρv ] + (2π )p (2π )p [2πL. τ ] [2π v. ρv ] = 0 Dan kita susun kembali: [2πL. τ ] [2πL. τ ] + [2π v x. ρv x ] x 0 [2π v x. ρv x ] x L + (2π )(p p ) = 0 Kaena fluida diasumsikan besifat incompessible dan luas penampang pada z = 0 sama dengan luas penampang pada z = L, maka v z sama pada dua penampang itu; dan dengan demikian suku ke tiga dan suku ke empat pada pesamaan di atas akan saling meniadakan. Pesamaan teakhi tesebut menjadi: atau: [2πL. τ ] [2πL. τ ] = (2π )(p p ) [2πL. τ ] [2πL. τ ] = (2π )(p p ) Kalau pesamaan ini kita bagi dengan 2πL dan kita ambil limit untuk mendekati nol; kita peoleh: lim [τ ] [τ ] = (p p ) L Suku sebelah kii tak lain adalah tuunan petama (fist deivative) dai τ tehadap ; dan (p p ) = p. Dai itu kita peoleh: Atau: d d ( τ ) = p L ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 35

6 d(τ ) = p L d Untuk mempeoleh distibusi fluks momentum, pesamaan ini kita ingtegalkan: Kita peoleh: d(τ ) = p L d τ = p L C atau τ = p 2L + C C1 adalah konstanta integasi. Beapakah nilai C1 ini? Ingatlah bahwa fluksi momentum bukanlah tak behingga pada posisi = 0. Atinya, pada = 0, τ ada nilainya dan behingga. Konsekuensi logisnya hauslah C1 = 0. Lalu kita peoleh fluksi momentum pada fluida yang begeak dalam pipa itu, yaitu: τ = (*) τ ini menyatakan fluksi momentum ke aah adial (jai-jai),, yang disebabkan oleh begeaknya fluida ke aah tangensial, x. Selanjutnya kita akan melihat pofil kecepatan geak fluida pada aah x tehadap posisi. Dalam hal ini τ tak lain adalah: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 36

7 τ = μ (**) yang dipeoleh dai Hukum Newton tentang viskositas. Kenapa di sini ada tanda minus? Kaena v bekuang jika betambah, atau dengan kata lain, dv /d benilai negatif, sedangkan τ tak penah negatif; dan begitu juga dengan μ. Dai pesamaan (*) dan (**) kita peoleh: dv d p = 2μL dan v dipeoleh dengan mengintegalkan pesamaan tesebut. dv = d v = p 4μL + C C2 adalah konstanta integasi. Beapakah nilai C2 ini? Kita mempunyai infomasi bahwa fluida yang besentuhan dengan pemukaan pipa (atinya fluida yang beada pada posisi = R) kecepatannya ke aah tangensial (aah x ) adalah nol. Secaa matematis kita tulis: Jelaslah bahwa: [v ] = p 4μL R + C = 0 C = p R 4μL Dengan demikian, pofil kecepatan fluida ke aah x adalah: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 37

8 v = p 4μL R p 4μL v = pr 4μL 1 R Jika kita plot hubungan antaa Vx dengan akan kita peoleh kuva pesamaan kuadat. Dimanakah letak titik maksimumnya? Petama hauslah: dv d p = = 0 2μL yang menghauskan pula = 0. Pada = 0, apakah kecepatannya maksimum atau minimum? Kita haus menguji tuunan ke dua (second deivative): d d dv p = d 2μL < 0 Kaena tuunan ke dua benilai negatif (lebih kecil dai nol), kita ambil kesimpulan bahwa, kecepatan geak fluida ke aah x pada posisi = 0 meupakan kecepatan maksimum; yaitu sebesa: v, = pr 4μL Telihat bahwa kecepatan geak fluida begantung pada fakto dai lua beupa p, dimensi pipa beupa R dan L, dan fakto pada sifat fluida itu sendii beupa µ. Sekaang lihat gafik hubungan antaa dan V x. ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 38

9 Dinding pipa v x = pr2 4μL 1 R 2 R = 10 v x gais pusat pipa Dinding pipa Pesamaan Kuva ini diplot untuk nilai dipasang sebesa 25 satuan dan nilai R (jai-jai pipa) = 10 satuan. Ilustasi aliannya kia-kia sepeti pd gb bkt. pipa Lapisan lapisan fluida ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 39

10 Gamba di bawah ini adalah hasil keja MATLAB. Sumbu data menunjukkan aah jai-jai pipa dan sumbu tegak menunjukkan kecepatan ke aah x. Kecepatan maksimum beada pada posisi (0,0) di tengah-tengah bidang sumbu data V x () Sketsa koodinat pipa untuk gafik di atas adalah: V x () ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 40

11 Hingga pada tahap ini anda sudah mempeoleh: Distibusi fluksi momentum τ = p 2L Distibusi kecepatan Kecepatan maksimum v = pr 4μL 1 R v, = pr 4μL untuk fluida newton yang incompessible di dalam pipa data. Nah, telihat bahwa kecepatan alian fluida ke aah x begantung pada posisi ; atinya kecepatan fluida itu bevaiasi tehadap. Kalau begitu, beapakah kecepatan ata-atanya? Kecepatan ata-ata adalah jumlah kecepatan di semua posisi dan dibagi dengan luas penampang alian. Jumlah semua kecepatan itu adalah pada posisi dai = 0 hingga ke = R untuk satu lingkaan penuh dai sudut θ = 0 deajat hingga θ = 360 deajat atau dai θ = 0 hingga θ = 2π; yaitu: Jumlah semua kecepatan = v d dθ Ingat bahwa v adalah fungsi. Solusi dai integal ini adalah: Jumlah semua kecepatan = pπr 8μL Adapun luas penampang alian (luas penampang pipa) adalah: Luas penampang alian = d dθ ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 41

12 yang apabila diselesaikan dipeoleh: Luas penampang alian = πr Dengan demikian, kecepatan ata-ata, <Vx>, alian fluida dalam pipa adalah: < v > = Sudah kita ketahui pula bahwa: pπr 8μL πr = pr 8μL v, = pr 4μL Atinya, kecepatan ata-ata adalah setengah dai kecepatan maksimum. Bagaimana dengan laju ali volumetis? Laju ali volumteis adalah luas penampang alia (luas penampag pipa) dikalikan dengan kecepatan ata-ata, yaitu: ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 42

13 Q = < v >. πr 2 = pπr4 8μL Pesamaan teakhi ini dikenal sebagai Pesamaan Hagen-Poiseuille. Dai konsepsi laju, jelas dikatakan bahwa: Laju = Gaya Doong Hambatan Pada alian fluida ini, gaya doongnya adalah beda tekanan, p. Dan dengan demikian hambatannya adalah 8μL/πR Sebagai latihan, beapa besa gaya yang dibeikan oleh fluida tehadap dinding pipa?? ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.04 43