PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT

Transkripsi

1 PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293, Indonesia febrianlisnan007@yahoo.com ABSTRACT This article discusses the use of Adomian decomposition method to solve a variational problem in calculus of variation with known boundary conditions. Process begins by changing the variational problem into Euler-Lagrange equation, and then Adomian decomposition method is applied to the Euler-Lagrange equation. The obtained solution with this method is in a form of convergent power series. Comparison between the solutions obtained by Adomian decomposition method and the exact solution show the efficiency of the Adomian decomposition method. Keywords: Adomian decomposition method, calculus of variation, variational problem, Euler-Lagrange equation ABSTRAK Artikel ini membahas tentang penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan masalah variasional pada kalkulus variasi dengan syarat batas diketahui. Prosesnya dimulai dengan mengubah masalah variasional ke persamaan Euler-Lagrange, dan dari sini diterapkan metode dekomposisi Adomian. Solusi yang diperoleh berbentuk deret pangkat yang konvergen. Perbandingan solusi yang diperoleh menggunakan metode dekomposisi Adomian dan solusi eksak menunjukkan efisiensi metode dekomposisi Adomian. Kata kunci: Metode dekomposisi Adomian, kalkulus variasi, masalah variasional, persamaan Euler-Lagrange. PENDAHULUAN Kalkulus variasi adalah cabang dari ilmu matematika berupa kalkulus fungsional yang bertujuan menyelesaikan jenis optimasi yang berkaitan dengan menemukan fungsi maksimum dan minimum dari fungsional. Permasalahan dalam menyelidiki Repository FMIPA

2 fungsi maksimum atau minimum dari fungsional disebut permasalahan variasional [6, h. 294]. Permasalahan variasional pada kalkulus variasi memiliki beberapa bentuk. Pada artikel ini penulis hanya membahas permasalahan variasional pada bentuk sederhana. Adapun bentuk permasalahan variasionalnya sebagai berikut [5] v[y(x)] = dengan syarat batas sebagai berikut x F (x, y(x), y (x))dx, () y( ) = α, y(x ) = β. (2) Pada artikel ini didiskusikan bagaimana menemukan solusi y(x) yang memenuhi persamaan () dan (2) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian, yang menghasilkan solusi dalam bentuk deret konvergen [5]. Pembahasan dimulai dengan memperkenalkan metode dekomposisi Adomian secara umum pada bagian dua, pada bagian tiga diberikan teori dasar penyelesaian masalah variasional, kemudian pada bagian empat diberikan penerapan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan variasional dan pada bagian akhir diberikan contoh penggunaan metode dekomposisi Adomian pada permasalahan variasional. 2. METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN Metode dekomposisi Adomian adalah suatu metode yang menguraikan solusi persamaan operator nonlinear ke dalam deret fungsi. Setiap suku dari deret tersebut diperoleh dari polinomial yang merupakan hasil perluasan fungsi nonlinear dengan bentuk deret pangkat. Berikut ini diberikan konsep dasar metode dekomposisi Adomian. Pandang persamaan diferensial nonlinear yang secara sederhana sebagai berikut [2, h. 7-8] F y(t) = g(t), (3) dengan F adalah operator persamaan diferensial nonlinear yang memuat bentuk linear dan nonlinear, g(t) adalah fungsi yang diketahui dan y(t) adalah fungsi yang akan ditentukan. Metode dekomposisi Adomian menguraikan bagian nonlinear F menjadi F = L + R + N dengan L adalah operator yang memiliki invers, R adalah operator linear lainnya dan N adalah bentuk nonlinear dari F. Jadi persamaan diferensial (3) dapat ditulis menjadi Ly + Ry + Ny = g, atau Ly = g Ry Ny. (4) Misalkan L mempunyai invers yaitu L, maka dengan mengaplikasikan L pada kedua ruas persamaan (4) diperoleh L Ly = L g L Ry L Ny. (5) Repository FMIPA 2

3 Pada persamaan diferensial untuk permasalahan nilai awal berorde n, operator L didefinisikan sebagai integral lipat-n dari 0 ke t dengan L(.) = dn (.) dt sehingga n dapat ditulis t t t L (.) =... (.) dtdt }{{... dt }. (6) }{{} n n Misalkan L adalah operator orde kedua, dengan L = d2 dt 2 (6) dapat ditulis sehingga persamaan L Ly = t t 0 0 Ly dtdt L Ly = y(t) y(0) ty (0). (7) Selanjutnya substitusikan persamaan (7) ke persamaan (5), sehingga diperoleh y(t) = y(0) + ty (0) + L g L Ry L Ny. (8) Pada metode dekomposisi Adomian [] solusi persamaan diferensial nonlinear dalam bentuk deret sebagai berikut y(t) = y n (t), (9) sedangkan bentuk nonlinear N y dapat dinyatakan dalam suatu polinomial khusus dalam bentuk sebagai berikut Ny = A n, (0) dengan A n = A n (y 0, y,..., y n ) merupakan polinomial Adomian yang didefinisikan sebagai berikut A n = [ ( d n n! dλ N )] λ i y n i, n = 0,, 2,..., () i=0 dengan λ merupakan suatu parameter dan y 0, y,..., y n adalah fungsi yang akan ditentukan. Bila dijabarkan sebagai berikut Untuk n = 0 A 0 = [ ( d 0 0! dλ N )] λ i y 0 i i=0 [ ] = N( y 0 + λ y + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + ) A 0 = N(y 0 ). Repository FMIPA 3

4 Untuk n = A = [ ( d! dλ N )] λ i y i i=0 [ ] = N (y 0 + λ y + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + ) (y + λ y 2 + λ 2 y 3 + ) A = y N (y 0 ). Untuk n = 2 A 2 = [ ( d 2 2! dλ N )] λ i y 2 i i=0 = [ d 2! dλ = 2! ( N (y 0 + λ y + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + ) (y + λ y 2 + λ 2 y 3 + ) [( N (y 0 + λ y + λ 2 y 2 + λ 3 y 3 + ) (y + 2λ y 2 + ) (y + 2λ y 2 + 3λ 2 y 3 + ) + N (y 0 + λ y + λ 2 y 2 + ) )] (2y 2 + 6λ y 3 + ) ( ) A 2 = y 2 N (y 0 ) + 2! y2 N (y 0 ). )] Persamaan () dapat disajikan dalam bentuk rekursif berikut A 0 = N(y 0 ), A = y N (y 0 ), A 2 = y 2 N (y 0 ) + ( ) y 2 2! N (y 0 ), A 3 = y 3 N (y 0 ) + y y 2 N (y 0 ) +. =.. ( ) y 3 N (y 0 ), 3! Persamaan polinomial pada persamaan (0) merupakan deret takhingga yang dapat dijabarkan sebagai berikut Ny = Ny = A n = A 0 + A + A 2 + A 3 +, A n = N(y 0 ) + y N (y 0 ) + y 2 N (y 0 ) + ( ) y 2 N (y 0 ) +, 2! Repository FMIPA 4

5 selanjutnya, ekspansikan Ny di sekitar y = y 0, menjadi [( ) y Ny = N(y 0 ) + (y + y 2 + )N 2 (y 0 ) + + y y 2 + 2! [ ] (y Ny = N(y 0 ) + (y y 0 )N y0 ) 2 (y 0 ) + N (y 0 ) +, 2! [ (y y0 ) n Ny = n! ] N (y 0 ) +, ] N (n) (y 0 ). (2) Persamaan (2) merupakan perluasan Taylor [3]. Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (9) dan (0) ke persamaan (8), maka diperoleh y n (t) = y(0) + ty (0) + L g L R y n L A n. (3) Pada persamaan (3), komponen y n (t) dapat ditentukan bentuk rekursif dengan n 0 sebagai berikut y 0 = y(0) + ty (0) + L g, y = L Ry 0 L A 0, y 2 = L Ry L A, y 3 = L Ry 2 L A 2, (4). =. y n+ = L Ry n L A n. Persamaan (4) disederhanakan menjadi y 0 = y(0) + ty (0) + L g, y n+ = L Ry n L A n. 3. TEORI DASAR PENYELESAIAN MASALAH VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Permasalahan variasional dapat diselesaikan dengan persamaan Euler-Lagrange dengan landasan teori sebagai berikut Teorema Misalkan v[y(x)] adalah fungsional dengan bentuk v[y(x)] = x F (x, y(x), y (x))dx, didefinisikan fungsi y(x) kontinu pada derivatif pertama di [, x ] dengan syarat batas y( ) = α, y(x ) = β. Maka syarat perlu untuk v[y(x)] menjadi ekstremum dinyatakan pada y(x) yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange F y d dx F y = 0. (5) Bukti: Lihat pada [6, h. 4-5]. Repository FMIPA 5

6 4. PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Pada [4] persamaan (5) bila dalam bentuk operator sebagai berikut L(y) N(y) = f, (6) untuk x x dengan L = d 2 /dx 2 adalah operator derivatif orde dua, N adalah operator nonlinear yang mengandung operator diferensial dengan orde kecil dari dua dan f adalah fungsi yang diberikan. Diasumsikan terdapat inverse L, dan terdapat integral tentu pada fungsi h(x) dalam bentuk berikut L (h(x)) = x t2 h(t ) dt dt 2. (7) Selanjutnya, dengan menerapkan L pada kedua sisi persamaan (6) menghasilkan L L(y) L N(y) = L f. (8) Berdasarkan persamaan (7), L L(y) pada persamaan (8) dapat ditulis L L(y) = x y2 d 2 y dx 2 dydy 2, L L(y) = y(x) y( ) y ( )x + y ( ), (9) kemudian substitusikan persamaan (9) ke persamaan (8), diperoleh atau y(x) y( ) y ( )x + y ( ) = L N(y) + L f, y(x) = α + Ax A + L f + L N(y), (20) dengan mengasumsikan A = y ( ) dan α = y( ). Pada metode dekomposisi Adomian [], y(x) memiliki sejumlah komponen yang didefinisikan oleh deret dekomposisi berikut y(x) = y n (x). (2) Berdasarkan metode dekomposisi Adomian, solusi dari persamaan (6) berbentuk deret pada y(x) = y n(x) dan menunjukkan nonlinear pada N(y) dengan deret terbatas pada polinomial khusus yang diberikan N(y) = N n, (22) Repository FMIPA 6

7 dimana komponen N n merupakan polinomial Adomian []. Selanjutnya, dengan mensubstitusikan persamaan (2) dan (22) ke persamaan (20), maka diperoleh y n (x) = α + Ax A + L f(x) + L N n. (23) Pada persamaan (23) komponen y n dapat ditentukan dalam betuk rekursif seperti pada persamaan (4), maka diperoleh y 0 (x) = α + Ax A + L f(x), y n+ (x) = L N n, n 0. (24) Pada persamaan (24) y 0, y, y 2,..., merupakan solusi penggunaan metode dekomposisi Adomian, apabila dijumlahkan akan diistilahkan pada persamaan (2). Berdasarkan metode dekomposisi Adomian [5], penyelesaian pada permasalahan variasional dinyatakan sebagai y = lim n ϕ n, Akan tetapi dalam penerapannya nilai dari y n(x) tidak dapat ditentukan secara eksak, oleh karena itu digunakan solusi aproksimasi dengan menggunakan deret dengan mengasumsikan ϕ n = n y k (x), n 0, (25) yang mana hasil yang diperoleh akan konvergen ke nilai eksak [5]. k=0 5. CONTOH PERMASALAHAN VARIASIONAL PADA KALKULUS VARIASI Selesaikan permasalahan variasional berikut dengan metode dekomposisi Adomian dengan syarat batas v[y(x)] = 0 (y(x) + y (x) 4e 3x ) 2 dx, (26) y(0) =, y() = e 3. (27) Penyelesaian: Berdasarkan persamaan () diketahui F = (y(x) + y (x) 4e 3x ) 2 pada persamaan (26), F dapat dijabarkan sebagai berikut F = (y + y 4e 3x ) (y + y 4e 3x ), F = y 2 + (y ) 2 + 2yy 8e 3x y 8e 3x y + 6e 6x, (28) berdasarkan Teorema, persamaan (28) dapat tulis F y = d F = 2y + dy 2y 8e 3x, F y = d F = 2y + 2y 8e 3x, dy d d F = 2y + 2y 24e 3x, dx dy (29) Repository FMIPA 7

8 dengan mensubstitusikan persamaan (29) ke persamaan (5), diperoleh y y 8e 3x = 0, (30) berdasarkan persamaan (30) solusi eksaknya yaitu y(x) = e 3x. Persamaan (30) dapat dijadikan bentuk operator sebagai berikut Ly = y, Ny = y, (3) f = 8e 3x, kemudian substitusikan persamaan (3) dan (27) ke persamaan (20), diperoleh y(x) = + Ax + L (8e 3x ) + L (y(x)), (32) selanjutnya berdasarkan persamaan (24), persamaan (32) dapat dibentuk ( ) y k (x) = + Ax + L (8e 3x ) + L y k (x), (33) k=0 beberapa komponen persamaan (33) dapat dijabarkan sebagai berikut y 0 (x) = + Ax + L (8e 3x ) = 9 + Ax e3x 8 3 x, y (x) = L (y 0 (x)) = x + 8 x2 + 6 Ax e3x 4 9 x3, y 2 (x) = L (y (x)) = x 4 8 x2 4 8 x x Ax e3x 45 x5, y 3 (x) = L (y 2 (x)) = x x x3 243 x4 405 x x Ax e3x 890 x7, y 4 (x) = L (y 3 (x)) = x x x3 287 x x x6 700 x x Ax e3x x9,. =., metode dekomposisi Adomian memberikan solusi aproksimasi ϕ n dalam bentuk deret tak hingga. Konstanta A, ditentukan dengan memisalkan n = 4 pada persamaan k=0 Repository FMIPA 8

9 (27), maka diperoleh ϕ 4 = y 0 + y + y 2 + y 3 + y 4, ϕ 4 = Ax x x2 + 6 Ax x x Ax x x Ax7 70 x x Ax e3x x9, (34) selanjutnya substitusikan x = pada persamaan (34) sehingga diperoleh atau dapat ditulis.75206a = , A = , dengan mensubstitusikan nilai A pada persamaan (34) diperoleh ϕ 4 = x x x x x x x x e3x x 9. (35) Persamaan (35) adalah solusi metode dekomposisi Adomian untuk n = 4, bila disubstitusikan syarat batas untuk x = menghasilkan ϕ 4 = Sedangkan solusi eksak dinyatakan y(x) = e 3x, untuk x = diperoleh y(x) = Sehingga tingkat keefisien pada permasalahan variasional suatu metode dekomposisi Adomian dibandingkan dengan solusi eksak diperoleh sebagai berikut Error = v(ϕ 4 ) v(y) = Contoh ini mengisyaratkan nilai error mendekati nol atau cukup kecil untuk n=4, dan x=. Hal ini menunjukkan metode dekomposisi Adomian cukup efisien digunakan pada permasalahan variasional. Ucapan Terimakasih Pada penulisan artikel ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Syamsudhuha, M.Sc. yang telah memberikan arahan dan bimbingan. Repository FMIPA 9

10 DAFTAR PUSTAKA [] Adomian, G A Review of the Decomposition Method in Applied Mathematics. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 35 (2) : [2] Adomian, G Solving Frontier Problems of Physics. The Decomposition Method. Kluwer-Academic Press, Boston. [3] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 20. Introduction to Real Analysis, 4 rd Ed. Hamilton Printing Company, New Jersey. [4] Cherruault, Y Convergence of Adomian s method. Journal of Mathematical and Computer Modelling. 4 : [5] Dehghan, M. & M. Tatari The Use of Adomian Decomposition Method for Solving Problems in Calculus of Variations. Mathematical Problems in Engineering : 2. [6] Gelfand, M. I. & S. V. Fomin Calculus of Variations. Pretice Hall, New Jersey. Repository FMIPA 0