JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agustus 2002, ISSN :

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agusus 22, ISSN : PENGEFEKTIFAN USAHA MEDIS DALAM MEMBATASI EPIDEMI DENGAN KONTROL BANG-BANG Heru Cahyadi dan Ponidi Jurusan Maemaika FMIPA UI Absrak Dalam makalah ini akan dibahas mengenai aplikasi konrol opimal dengan konrol bang-bang pada efekifias usaha medis dalam membaasi epidemi. Mula-mula dimodelkan ingka perubahan jumlah penduduk yang erinfeksi penyaki dengan adanya usaha medis yang dilakukan yang menjadi kendala pada konrol opimal ini, kemudian dimodelkan fungsi objekif yaiu akan diminimumkannya cos usaha medis dalam membaasi epidemi dengan baas akhir yang dienukan. Kemudian dengan eori konrol opimal yang menggunakan konrol bang-bang akan dihasilkan sisem yang opimal. Dan hasilnya akan disimulasikan dengan kompue menggunakan sofware Mahlab. Kaa kunci : Prinsip maksimum Ponryagin, konrol bang-bang.. PENDAHULUAN Penyaki infeksi adalah suau penyaki pada manusia aau binaang yang erjadi sebagai akiba dari suau infeksi. Infeksi adalah masuknya suau agen yang dapa menyebabkan infeksi ke dalam ubuh manusia aau binaang, kemudian di dalamnya agen ersebu berkembang dan memperbanyak diri. Penyaki konagiosa adalah penyaki infeksi yang diularkan secara konak langsung. Epidemi aau penyaki menular adalah suau penyaki yang disebabkan oleh suau agen penyaki infeksi aau oxin dari agen ersebu, yang erjadi melalui ransmisi agen aau oxin dari peranara (reservoir) erenu kepada induk semang (hos) yang renan erular penyaki (suscepible) baik secara langsung aau ak langsung. Jadi isilah epidemi lebih luas dari penyaki konagiosa aau penyaki infeksi (Lapau B, 995). 47

2 Pengefekifan Usaha Medis (Heru cahyadi dan Ponidi) Pola penyebaran epidemi pada penduduk dipengaruhi oleh beberapa fakor. Fakor yang jelas berpengaruh dalam penyebaran epidemi anara lain yang perama adalah musim, perbandingan daerah-daerah belahan uara dan belahan selaan juga daerah ropis berguna dalam menunjukan apakah fakor musim memegang peranan pening. Maksudnya pada hal-hal erenu fakor musim berperan dominan dan pada hal-hal lain ak berpengaruh. Dari daa yang diperoleh pada daerah yang memiliki empa musim, pada akhir musim dingin erjadi campak, hepaiis A, pada akhir musim panas erjadi polio, pada awal musim dingin erjadi influenza, pada musim semi erjadi mumps, sedangkan TBC idak berganung pada musim. Yang kedua adalah fakor disribusi geografis. Cara klasik unuk meliha erjadinya suau epidemi adalah dengan memplo seiap kasus baru pada pea dari daerah yang bersangkuan. Disribusi penyaki sering menunjukan adanya konsenrasi pada daerah geografis erenu. Misalkan polio di Chicago, 956. Tingka eringgi didalam koa, sanga berhubungan dengan konsenrasi penduduk keurunan Negro. S. Louis encephaliis di Houson, 964. Tingka eringgi di dalam koa, ak memandang ras, kasus erbanyak disepanjang sungai yang melalui koa. Sedangkan Hepaiis A di Alabama, 955. Konsenrasi deka pelabuhan, di daerah moel dan resoran (Coggon D, 996). Salah sau masalah yang muncul dari fenomena di aas adalah bagaimana cara membaasi penyaki menular yang efekif dapa dilakukan. Sampai saa ini ada dua cara yang sering dilakukan, yang perama pengurangan konak anara kasus yang infecious dan suscepible misalnya dengan karanina. Cara ini adalah suau cara yang sanga efekif, akan eapi sanga suli dierapkan dalam kehidupan sekarang ini. Oleh karena iu cara ersebu idak menjadi perhaian dalam makalah ini. Sedangkan yang kedua adalah pengurangan suscepible. Pendekaan seperi ini dapa dilakukan dengan usaha-usaha medis. Masalahnya adalah seringkali usaha medis yang dilakukan idak opimal sehingga jusru menimbulkan cos yang cukup besar dibandingkan dengan keefekifan usaha ersebu dalam membaasi epidemi. Selanjunya dalam makalah ini akan dijelaskan suau model maemais dari opimisasi usaha medis dalam membaasi epidemi ini. 48

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agusus 22, ISSN : PROSES PEMODELAN Dalam membaasi epidemi, salah sau masalah yang dihadapi oleh enaga medis adalah seringkali usaha medis yang dilakukan unuk membaasi epidemi ersebu kurang efekif, sehingga jusru cos yang dikeluarkan dari usaha medis ini sanga besar jika dibandingkan dengan keberhasilan dalam pembaasan epidemi ersebu. Sehingga cos dari usaha medis dan dari akiba mewabahnya epidemi ersebu perlu diminimumkan, dan hal inilah yang akan dijadikan fungsi objekif dari permasalahan di aas. Sedangkan yang menjadi kendala dari masalah ini adalah perlu diperhaikannya jumlah oal penduduk dan usaha medis maksimum yang dapa dilakukan, juga jumlah orang yang erinfeksi suau penyaki pada awal dan akhir waku yang sudah dienukan sehingga diperoleh model perubahan jumlah orang yang erjangki penyaki epidemi. Misalkan pada saa jumlah orang yang erinfeksi suau penyaki adalah x(). Asumsikan bahwa sebelumnya idak ada vaksinasi. Laju perumbuhan dari jumlah orang yang erinfeksi suau penyaki adalah xɺ (), dimana xɺ () proporsional erhadap x() saa x() kecil dan posiif, eapi xɺ () akan menurun jika x() sanga besar, ini disebabkan jumlah orang yang erinfeksi akan semakin sediki karena baas maksimum dari jumlah penduduk pada daerah yang erkena epidemi, sehingga didapa model maemaika persamaan logisik sebagai beriku, xɺ () = bx()[n x()] (2.) dengan b suau konsana dan N jumlah oal maksimum penduduk yang mungkin pada daerah yang erkena epidemi. Persamaan diferensial (2.) di aas merupakan suau persamaan yang menunjukan bahwa laju infeksi sebelum adanya usaha medis yang dilakukan unuk membaasi epidemi. Selanjunya jika dilakukan usaha medis u(), maka usaha ini akan mengurangi laju yang erkena infeksi sebesar u()x(). Disini u() (erleak < u() < U) adalah suau ukuran dari usaha medis (dengan baas aasnya U) dan laju dari usaha medis yang dilakukan proporsional dari banyaknya orang yang erinfeksi penyaki. Dengan memperhaikan persamaan logisik dan usaha medis ini didapa 49

4 Pengefekifan Usaha Medis (Heru cahyadi dan Ponidi) xɺ () = bx()[n-x()] x()u() (2.2) dengan x() = x, x(t) = x T, x() N, u() U, Selanjunya persamaan (2.2) digunakan sebagai kendala dari model konrol opimal yang dibahas. Sedangkan fungsi objekif dari masalah ini adalah akan diminimumkannya cos dari usaha medis yang dilakukan akiba adanya epidemi. Misalkan x() menunjukan jumlah orang yang erkena infeksi pada waku, dari keseluruhan penduduk sebanyak N, dan u() menunjukan inensias usaha medis yang dilakukan pada waku. Dalam pembenukan fungsi objekif persamaan x() dan u() masing-masing perlu dikalikan dengan suau parameer, misalkan k dan K. Parameer k dan K secara beruru menunjukan suau uni biaya yang digunakan unuk usaha medis dan dampak dari jumlah orang yang erinfeksi akiba epidemi. Min J(u) = e δ [ku() + Kx()] d (2.3) u T Dari kedua proses pemodelan di aas, didapa model konrol opimal masalah pembaasan epidemi MinJ = e δ [ku() + Kx()] d (2.4) u T dengan kendala xɺ ()= bx()[n x()] x()u() ; x() = x, x(t) = x T, x() N, u() U, Di sini u() adalah fungsi konrol dan x() adalah fungsi keadaan. 3. PENYELESAIAN Pada bagian ini akan dicari fungsi konrol û, yang merupakan penyelesaian dari (2.4). Perhaikan bahwa model epidemi ini fungsi konrolnya linear pada fungsi objekif dan kendalanya dibaasi pada u() U. Menuru prinsip maksimum Ponryagin bahwa Hamilonian akan minimal erganung dari fungsi konrolnya. Karena dalam masalah ini Hamilonian memiliki fungsi konrol yang linear dengan u() U maka fungsi konrolnya adalah aau U, kecuali 5

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agusus 22, ISSN : jika koefisien u() pada Hamilonian adalah nol dimana unuk kasus ini nilai fungsi konolnya erleak anara dan U. Kasus yang perama ini disebu konrol bang-bang (fungsi konrol melompa anara dan U), dan kasus yang kedua disebu kondisi singular. Pada model epidemi ini mula-mula opimalisasi erjadi pada inerval bangbang, kemudian suau kondisi singular, selanjunya inerval bang-bang yang lain (yang akan mencapai syara x(t) = x T ). Unuk lebih jelasnya perhaikan proses penyelesaian beriku ini. Dari prinsip maksimum Ponryagin didapa bahwa Hamilonian dari masalah (2.4) adalah H = e -δ [ku() + Kx()] + p (){bx()[ N x()] u()x()} (3.) Unuk mencari u sehingga meminimalkan fungsi objekif (2.4), berdasarkan prinsip maksimum Ponryagin, didapa: aau H[ xˆ( ), uˆ( ),, p( )] H[ xˆ( ), u( ),, p( )]; u( ) U (3.2) e - e - δ [k u ˆ( ) + K x ˆ( ) ] + p (){b x ˆ( ) [ N x ˆ( ) ] u ˆ( ) x ˆ( ) } δ [ku() + K x ˆ( ) ] + p (){b x ˆ( ) [N x ˆ( ) ] u() x ˆ( ) } (3.3) Dengan hanya memperhaikan suku-suku pada persamaan (3. 3) yang mengandung u() u maka masalah yang bersesuaian dapa diuliskan sebagai beriku : min e -δ ku() - p () x()u(); u( ) U ; [,T] (3.4) Unuk memudahkan penyelesaian definisikan ( ) e δ µ = p ( ). Dan karena fakor e δ selalu posiif, maka masalah yang bersesuaian menjadi min [k - µ () x()]u(); u( ) U (3.5) u Dan persamaan diferensial adjoinnya adalah aau - pɺ ( ) = H = Ke -δ + p ( ) {bn 2bx() u()} (3.6) x pɺ ( ) + {bn 2bx() u()} p ( ) = -K e -δ Jika persamaan (3.6) dikalikan dengan e δ maka didapa (3.7) 5

6 Pengefekifan Usaha Medis (Heru cahyadi dan Ponidi) e δ pɺ ( ) + {bn 2bx() u()} e δ p ( ) = -K (3.8) dan persamaan (3. 8) dapa juga diulis sebagai e δ pɺ ( ) + δ e δ p ( ) + {-δ + bn 2bx() u()}e δ p ( ) = -K (3.9) δ ( Karena ɺ µ ) = e [ pɺ ( ) + δp ( )] maka persamaan diferensial adjoinnya menjadi µɺ () + {-δ + bn 2bx() u()} µ () = -K (3.) Dari persamaan (3.5) masalah yang bersesuaian diperoleh dengan konrol bangbang û () = ; jika µ () x() < k û () = U; jika µ () x() > k Jika x() menyenuh baas, di aau N, maka u() harus dimodifikasi agar x() idak melewai baas. Tinjau persamaan diferensial yang diberikan pada (2.) unuk x(), unuk u() = pada suau inerval waku, dan unuk u() = U pada suau inerval waku yang lain. Jika u() = maka dari persamaan (2.2) didapa xɺ ()= bx()[n x()] sehingga diperoleh xˆ () = N/( + α e Nb ), dimana α adalah suau konsana inegrasi. Jika u() = U maka dari persamaan (2.2) di dapa xɺ () = (bn U)x() b(x()) 2 Perama injau jika b < U/N, maka xɺ () = -b(gx() + (x()) 2 ); dengan g = (U/b) N >. Sehingga diperoleh gb xˆ () = g/( β e ), dimana β adalah suau konsana inegrasi. Kedua, injau jika b > U/N, maka xɺ () = -bx()(-h + x()); dengan h = -(U/b) + N >. Sehingga diperoleh xˆ () = h/( - γ e hb ); dimana γ adalah suau konsana inegrasi. 52

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agusus 22, ISSN : Opimalisasi usaha medis di aas merupakan konrol bang-bang kecuali bagi kondisi singular pada suau T* dimana u() diaur (dalam (,U)) unuk memenuhi syara akhir x(t) = x T. Bagaimana jika µ () x() = k? Keika inerval = T *, perimbangkan sebuah solusi kondisi singular yang mungkin, dimana x() x *, µ () µ *, dengan x * µ * = k dan u() u *. Solusi ini menunjukan suau kondisi singular, selama urunan erhadap waku xɺ () dan µɺ (). Karena urunannya nol, dari persamaan (3.) dan (2.2) di dapa (-δ + bn bx * - u * ) µ * = -K dan = bx * [N x * ] u * x * -δ + bn bx * - u * = -K/ µ * = -Kx * /k dan = bn u * - bx * Dari dua persamaan ersebu diperoleh x * = δ k/(k bk) dan u * = b(n x * ) (Dalam solusi kondisi singular ini, jika x * > N maka x * mesi digani dengan N dan u * dengan unuk memenuhi kendalanya). Dari penyelesaian masalah di aas didapa solusi opimal sebagai beriku : Nb N /[ +α e ] unuk û () = x () = δ k/(k bk) unuk û () = b(n x * ) g /[ β e gb ] unuk û () = U dan b<u/n hb h /[ γ e ] unuk û () = U dan b<u/n 4. SIMULASI KOMPUTER Pada bagian ini akan diberikan simulasi kompuer masalah pengefekifan usaha medis dalam membaasi epidemi dengan konrol bang-bang, unuk nilainilai parameer berbeda dengan Mahlab. Gambar 4. a,b,c beriku adalah simulasi yang dilakukan unuk parameer δ =.8, k =.3, K =.4, N =, x = 2, b =.3 dan U =. Diperoleh panjang inerval = 6 unuk û = dan kondisi singular pada = 7 dengan û (7) =.28 dan xˆ (7) = 6.38 sedangkan unuk û = dengan panjang inerval = 8. 53

8 Pengefekifan Usaha Medis (Heru cahyadi dan Ponidi) jumlah penduduk erinfeksi penyaki jumlah penduduk erinfeksi penyaki w a k u (h a ri) w a k u (h a ri ) Gb. 4..a Grafik x sebelum pengobaan Gb. 4..b Grafik x seelah pengobaan 6 jumlah penduduk erinfeksi penyaki w a k u (h a ri) Gb. 4..c. Grafik x sebelum dan seelah pengobaan Selanjunya gambar 4.2 a,b,c beriku adalah simulasi yang dilakukan unuk parameer δ =.8, k =.3, K =.4, N =, x = 2, b =.3 dan U =. Di sini berari nilai parameer b dinaikan sebanyak x dibandingkan pada simulasi Gambar 4.a,b,c. Dengan menaikan nilai b berari laju penyebaran epidemi aau orang yang erinfeksi penyaki lebib cepa. Diperoleh panjang inerval = 2 unuk û = dan kondisi singular pada = 3 dengan û (3) =.276 dan xˆ (3) = sedangkan unuk û = dengan panjang inerval = jumlah penduduk erinfeksi penyaki jumlah penduduk erinfeksi penyaki waku (hari) waku (hari) Gb. 4.2 a Grafik x sebelum pengobaan GB 4.2.b Grafik x seelah pengobaan 54

9 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, 47-56, Agusus 22, ISSN : jumlah penduduk erinfeksi penyaki w a k u ( h a r i ) Gb. 4.2.c Grafik x sebelum dan seelah pengobaan Sedangkan gambar 4.3 a,b,c beriku adalah simulasi yang dilakukan unuk parameer δ =.8, k =.3, K =.4, N =, x = 2, b =.3 dan U =. Di sini berari nilai parameer x dinaikan sebanyak x dibandingkan pada simulasi Gambar 4.a,b,c. Dengan menaikan nilai x berari jumlah orang yang erinfeksi penyaki lebih besar dibandingkan pada simulasi Gambar 4.a,b,c Diperoleh panjang inerval = 38 unuk û = dan kondisi singular pada = 39 dengan û (39) =.28 dan xˆ (39) = 6.38 sedangkan unuk û = dengan panjang inerval = 8. jumlah penduduk erinfeksi penyaki jumlah penduduk erinfeksi penyaki w a k u (h a ri) waku (hari) Gb. 4.3 a Grafik x sebelum pengobaan Gb. 4.3 b Grafik x seelah pengobaan 7 jumlah penduduk erinfeksi penyaki w a k u (h a ri) Gb. 4.3.c Grafik x sebelum dan seelah pengobaan 55

10 Pengefekifan Usaha Medis (Heru cahyadi dan Ponidi) 5. KESIMPULAN Lama waku pengobaan dipengaruhi oleh cepa lambanya laju penyebaran epidemi. Semakin cepa laju penyebarannya maka waku pengobaan yang dibuuhkan unuk mencapai syara akhir semakin lama. Sedangkan besar kecilnya jumlah orang yang erinfeksi awal pada laju penyebaran yang sama idak mempengaruhi waku pengobaan yang dibuuhkan unuk mencapai syara akhir. DAFTAR PUSTAKA. Barrow, David & friends, Solving Differenial Equeions wih Maple V, Texas A & M Universiy, Coggon, D, Geoffrey, Rose, Barker, D.J.P, Epidemiologi bagi Pemula; alih bahasa, Ali Ghufron, EGC, Jakara, Craven, B.D, Conrol and Opimizaion, Chapman and Hall, London, Kusumarupi, Rini & Ponidi, Pengopimalan Kemoerapi Pada suau Model HIV, FMIPA UI, Depok, Lapau Buchari, Aspek Biologis dari Penyaki Infeksi, FKM UI, Depok, Takayama, Mahemaical Economics, Cambridge Univ. Press, NY,