Optimasi Filter Kalman dengan Metode Steepest Descent dan Least Mean Square pada Rekonstruksi Citra Dinamis

Transkripsi

1 Proceeding of NIONL CONFNC ON COMPU SCINC & INFOMION CHNOLOGY 007 January 9-30, 007, Faculy of Compuer Science, Universiy of Indonesia Opimasi Filer Kalman dengan Meode Seepes Descen dan Leas Mean Square pada eonsrusi Cira Dinamis ully Soelaiman*, Irfan Subai* dan oy Nugroho* * Faulas enologi Informasi Insiu enologi Sepuluh Nopember (IS), Surabaya, 60111, Indonesia. mail: rully13070@gmail.com, yifana@gmail.com BSK Filer Kalman erbui dapa melauan proses reonsrusi cira dinamis, dimana permasalahan reonsrusi cira dinamis dimodelan sebagai permasalahan esimasi dinamis dengan fungsi ujuan meminimalan Mean Squared rror (MS). Namun erdapa eerbaasan pada biaya ompuasi filer Kalman yang mahal, sehingga dilauan opimasi pada filer Kalman dengan menggunaan meode ieraif. Pada paper ini, pemodelan sisem linier dari reonsrusi cira dinamis diselesaian dengan meode ieraif, yaiu meode Seepes Descen (SD) dan Leas Mean Square (LMS). Kedua meode ini merupaan penurunan dari filer Kalman. Uji coba dilauan dengan menggunaan daa sineis, dengan membandingan filer Kalman, meode langsung (Pseudo-LS) dan meode ieraif (SD dan LMS). Hasil uji coba menunjuan bahwa meode ieraif lebih singa dalam biaya ompuasinya, dengan inerja yang hampir sama dengan filer Kalman dan meode Pseudo-LS. Kaa Kunci: Filer Kalman, esimasi dinamis, reonsrusi cira dinamis, sisem linier, meode ecursive Leas Squares (LS), meode ieraif, Seepes Descen, Leas Mean Square. 1. PNDHULUN eonsrusi cira dinamis merupaan permasalahan esimasi dinamis, yang dapa diselesaian dengan algorima esimasi dinamis, yaiu filer Kalman [1]. Keerbaasan pada filer Kalman adalah biaya ompuasi yang mahal, sehingga diperluan opimasi unu mendapaan biaya ompuasi yang lebih efisien. Opimasi dilauan dengan memodelan permasalahan reonsrusi cira dinamis menjadi permasalahan sisem linier yang diselesaian dengan meode langsung (Pseudo-LS) dan meode ieraif yaiu meode Seepes Descen dan Leas Mean Square. Model observasi yang digunaan pada reonsrusi cira dinamis dalam domain spasial dibagi menjadi dua []. Model observasi perama menyaaan model degradasi, yang dinyaaan pada persamaan (1): Y = DH( X + N( (1) M Y( adalah veor yang merepresenasian rangaian L cira resolusi rendah. X adalah veor yang merepresenasian rangaian cira resolusi inggi, dimana L > M. adalah uruan gambar aau jumlah cira. D adalah maris desimasi (downsample), dengan uuran M x L. H( adalah maris blur, dengan uuran L x L, dan N( adalah veor Gaussian noise dengan mean = 0 dan uuran M x 1, yang memilii maris auoorelasi W -1 ( = {N( N -1 (}, Maris W -1 ( diasumsian bernilai σ I, dimana σ adalah varians dari veor noise N(. Persamaan (1) emudian disederhanaan menjadi (), yang disebu juga dengan persamaan penguuran. Y = H X + N( () Model observasi edua adalah unu menyaaan eeraian anar cira resolusi inggi, yang diunjuan pada persamaan sisem (3): X = G( X ( 1) + V (3) dimana G( merepresenasian maris penghubung anara cira X( dan X(-1), yang dinyaaan dengan maris Idenias. Veor V( yang memilii maris auoorelasi Q - 1 ( = {V( V -1 (}, diasumsian bernilai nol sebagai aiba dari maris G( yang merupaan maris idenias. Pemodelan sisem linier dari reonsrusi cira dinamis dilauan dengan pendeaan fungsi ujuan unu meminimalan error dari Weighed Leas Squares (WLS). Dengan mengasumsian bahwa maris auoorelasi noise Q - 1 ( = 0, sehingga persamaan sisem (3) menjadi X( = G(X(-1), aau dapa diulis menjadi X(-1) = F(X(, dimana F( menunjuan bacward moion, aau gera 05

2 NIONL CONFNC ON COMPU SCINC & INFOMION CHNOLOGY 007 ISSN: Faculy of Compuer Science Universiy of Indonesia ebalian dari veor cira X( e X(-1). Sehingga dengan menggabungan persamaan penguuran () dan persamaan sisem (3), menjadi persamaan (4): Y ( ) = H ( ) F( + j) X () + N( ) j=1 ( ) F( ) X () + N( ) = H, (4) Unu mencari solusi opimal dari X () yaiu, maa error WLS dari persamaan (4) dinyaaan pada persamaan (5) beriu: ε = () = 0 ( ) H ( ) F(, ) () + N( ) Y (5) W (, ) ε () ( ) Dengan menurunan error WLS erhadap, emudian di se sama dengan nol, maa didapaan persamaan linier (6): Zˆ () = Lˆ () () (6) dengan Zˆ () = λ () F () Zˆ ( 1) + H () W () Y dan Lˆ () = λ () F () Lˆ () F() + H () W () H (). Persamaan sisem linier (6) aan diselesaian dengan meode ieraif yang biaya ompuasinya lebih efisien dari filer Kalman. Pada paper ini, penjelasan mengenai meode Seepes Descen dijelasan pada bagian, emudian meode Leas Mean Square pada bagian 3. Hasil uji coba diampilan pada bagian 4, emudian penarian esimpulan pada bagian 6.. MOD SPS DSCN Meode ieraif perama yang digunaan dalam paper ini adalah meode Seepes Descen, yang didasaran pada gradien. Benu umum dari algorima Seepes Descen dalam [3] dinyaaan pada persamaan (7) beriu: x( n + 1) = x( n) + α ( n) p( n) (7) dengan ujuan unu mendapaan nilai x(n+1) yang paling opimal dari x(n) yang diupdae dengan nilai α(n)p(n). α(n) adalah nilai salar yang disebu dengan sep size. p(n) adalah arah dari pergeraan unu mengopimalan nilai x(n+1). Nilai p(n) diupdae erhadap indes n, dimana pemilihan nilai p(n) berganung pada fungsi ujuannya. Bila digunaan unu memasimalan suau fungsi, maa dinamaan Seepes scen, dan bila digunaan unu meminimalan suau fungsi, maa dinamaan Seepes Descen. Dalam ones reonsrusi cira dinamis, persamaan sisem linier diunjuan pada persamaan (6) hasil dari pendeaan meode Pseudo-LS. rah pergeraan unu mengopimalan nilai adalah veor residu dari persamaan (8) yang merupaan hasil penurunan (gradien) dari fungsi ujuan meminimalan rieria error Weighed Leas Square: Zˆ Lˆ () (8) Penerapan dari meode Seepes Descen unu reonsrusi cira dinamis dinyaaan pada persamaan (9) dan (10): ( ) ( ) ˆ 0 = G X ( 1) (9) X ˆ = ( ) [ ( ) ( ) () + Zˆ Lˆ 1 µ 1 ], 1 (10) dimana X ˆ 0 adalah inisial awal unu perhiungan solusi opimal X ˆ secara ieraif sebanya ali pada persamaan (9), wau e. X ˆ 0 juga sebagai nilai updae dari wau - 1. Sedangan perhiungan ieraif pada persamaan (10), pencarian solusi opimal dari wau e dilauan dengan arah pergeraan veor residu, sep size µ, dan dengan indes dalam ondisi 1. Sehingga persamaan (9) dan (10) disebu dengan algorima -Seepes Descen (-SD), dengan ahap inisialisasi pada persamaan (11): ( 0) = Ε{ X ( 0) } ˆ 0 ˆ 1 L = P 0 Zˆ ( ) ( ) = Ε X ( 0) X ( 0) ( 0) = Lˆ ( 0) ( 0) [ { }] 1 (11) Normalisasi -SD Meode -SD pada persamaan (11) erdapa sep size µ, yang nilainya mempengaruhi onvergensi dari meode ini. Suau pendeaan unu pemilihan nilai µ adalah dengan menggunaan normalisasi meode -SD, dimana iap ierasinya didefinisian pada persamaan (1): µ () = Lˆ () () () () = Zˆ () Lˆ () () () = () + µ () (),1 1 1 (1) Sedangan pemilihan forgeing facor λ(, dilauan dengan rial dan error, dengan persyaraan 0 << λ( < 1, yang aan diunjuan pada bagian 4 yaiu hasil uji coba. Meode normalisasi -SD ini lebih bai dibandingan dengan meode -SD, yang aan dibahas pada bagian 4, hasil uji coba. Pseudocode dari meode normalisasi -SD diunjuan pada gambar 1. Veor inix dan maris inip merupaan insialisasi veor dan maris saa = 0. Veor 06

3 Opimasi Filer Kalman dengan Meode Seepes Descen dan Leas Mean Square pada eonsrusi Cira Dinamis [ully Soelaiman, Irfan Subai dan oy Nugroho] inix berisi hasil inerpolasi bilinier dari cira resolusi rendah Y( pada = 0, sedangan maris inip adalah maris ovarians dari veor inix []. 3. MOD LS MN SQU Meode ieraif edua yang digunaan unu melauan reonsrusi cira dinamis adalah meode - Leas Mean Squares (-LMS). Meode -LMS dalam ones reonsrusi cira Super-esolusi, didapaan dengan cara menggani nilai Ẑ () dan nilai Lˆ (), yang dinyaaan pada persamaan (13) dan (14) seperi pada [1]: Lˆ = H W H (14) Dengan mensubsiusian nilai Ẑ () pada persamaan (13) dan = H W Y() ( ) ( ) ( ) ( ) Zˆ (13) Lˆ pada persamaan (14) e dalam persamaan (10), didapaan persamaan (15): ˆ ( ) ˆ X ( ) ( ) ( )[ () ( ) ˆ = X 1 + µ H W Y H X 1 ] (15) dengan indes memenuhi 1, dan ahap inisialisasi dari meode -LMS dinyaaan pada persamaan (16): ( 0) = Ε{ X ( 0) } (16) Persamaan (15) dan (16) disebu dengan meode -LMS. Normalisasi-SD (inix, inip, F, Ha, Wa, Ya, lambda,, G) lengh[y[1]] for 1 o do if = 1 hen prevx inix prevl inip -1 prevz prevl x prevx else prevx Xfil[1..][-1] prevz Z[1..][-1] prevl hasill Z[1..][] lambda[1][] x F x prevz + Ha x W x Y[1..][] hasill lambda[1][] x F x prevl x F + Ha x W x Ha XrNol = G x prevx for 1 o do if = 1 hen prevx XrNol else prevx X[1..][-1] [1..][] Z[1..][] - hasill x prevx myu [1..][] x [1..][] /( [1..][] x hasill x [1..][]) Xfil[1..][] X[1..][] Gambar 1. Pseudocode meode Normalisasi -SD Normalisasi-LMS (inix, G, Ha, Wa, Ya, ) 1 lengh[y[1]] for 1 o 3 do if = 1 4 hen prevx inix 5 else prevx Xfil[1..][-1] 6 XrNol = G x prevx 7 for 1 o 8 do if = 1 9 hen prevx XrNol 10 else prevx X[1..][-1] 11 [1..][] Ha x W x (Y[1..][] - Ha x prevx) 1 myu [1..][] x [1..][] /( [1..][] x Ha x W x Ha x [1..][]) 13 Xfil[1..][] X[1..][] Gambar. Pseudocode meode Normalisasi -LMS 07

4 Proceeding of NIONL CONFNC ON COMPU SCINC & INFOMION CHNOLOGY 007 January 9-30, 007, Faculy of Compuer Science, Universiy of Indonesia Normalisasi -LMS Seperi pada meode -SD, meode -LMS juga memilii sep size µ yang mempengaruhi nilai onvergensi, sehingga dalam pemilihan sep size µ dilauan dengan pendeaan normalisasi meode -LMS, yang dinyaaan pada persamaan (17). Meode Normalisasi -LMS lebih bai daripada meode -LMS.Bila dibandingan dengan meode normalisasi -SD, meode normalisasi -LMS lebih sederhana dalam persamaan maemaianya dan lebih singa dalam wau ompuasinya, yang diunjuan pada hasil uji coba. Kedua meode ieraif -SD dan -LMS juga diaaan sebagai algorima filer adapif. Karaerisi dari algorima filer adapif memilii proses dasar yang melipui proses filering dan proses adapif. Proses filering menghasilan sinyal oupu yaiu X ˆ () dan error esimasi yaiu error Weighed Leas Squares. Sedangan proses adapif melauan penyesuaian pada sep size iap wau disri, yang diunjuan dengan perubahan pada nilai sep size µ. Pada edua meode ieraif ini, pemilihan nilai ierasi diunjuan pada bagian hasil uji coba. µ () = G() 0 ( 1) () () () = () H () W() H () () () = H () W() Y() H () 1 () () = () + µ () (),1 1 [ ] abel 1. Daa Cira Nama Cira Nama Cira (17) Gambar 3. Pembandingan -SD dengan nilai λ( berbeda Gambar 4. Pembandingan -SD dan Normalisasi -SD Lena Boa Peppers Baboon Bridge Cameraman Gambar 5. Pembandingan -SD dengan nilai berbeda 08

5 Opimasi Filer Kalman dengan Meode Seepes Descen dan Leas Mean Square pada eonsrusi Cira Dinamis [ully Soelaiman, Irfan Subai dan oy Nugroho] Uruan Gambar B C Gambar 6. Pembandingan -LMS dan Normalisasi - LMS D F G Gambar 8. angaian Cira Baboon Gambar 7. Pembandingan -LMS dengan nilai Berbeda 4. HSIL UJI COB Uji coba dilauan erhadap rangaian cira resolusi rendah unu direonsrusi menjadi rangaian cira resolusi inggi. Daa uji coba yang digunaan dalam forma grayscale, dengan uuran cira 50x50 pisel, dan jumlah cira sebanya 100 cira. Penggunaan uuran cira erai dengan eerbaasan memori ools Pembangun (Malab 7.0). Daa cira yang digunaan dinyaaan pada abel 1. Uji coba dierapan pada masing-masing algorima, dan emudian dilauan pembandingan pada aspe ualias gambar, dan nilai parameer penguuran MS, dan PSN dengan formulasi log, sera wau ompuasinya. 10 MS Pada paper ini hanya diberian conoh unu cira gambar, yaiu rangaian cira Baboon dan Cameraman. Gambar 9. MS Hasil eonsrusi angaian Cira Baboon 09

6 NIONL CONFNC ON COMPU SCINC & INFOMION CHNOLOGY 007 ISSN: Faculy of Compuer Science Universiy of Indonesia Gambar 10. PSN Hasil eonsrusi angaian Cira Baboon B C D F G Uruan Gambar Gambar 11. angaian Cira Cameraman Gambar 1. MS Hasil eonsrusi angaian Cira Cameraman Gambar 13. PSN eonsrusi angaian Cira Cameraman abel. aa-raa PSN PSN (db) Lena Peppers Bridge Boa Baboon lgorima Cameraman aaraa Filer Kalman Pseudo- LS SD Normal LMS Normal lgorima abel 3. Wau Kompuasi lgorima Wau Kompuasi (dei) Lena Peppers Bridge Boa Baboon Cameraman aa-raa Filer Kalman Pseudo-LS SD Normal LMS Normal angaian cira resolusi rendah yang direonsrusi adalah rangaian cira yang erdegradasi dengan blur uniform [3 x 3], dengan operaor desimasi, dan noise Gaussian dengan mean = 0 dan varians = 5, yang dihasilan secara sineis. Hasil pembandingan algorima dapa diliha pada gambar 8 sampai 13. Gambar 8 dan 11 memilii eerangan : rangaian cira resolusi inggi yang asli, B: rangaian cira resolusi rendah, C: rangaian cira inerpolasi bilinear, D: hasil reonrusi filer Kalman, : hasil reonsrusi Pseudo-LS, F: hasil reonsrusi normalisasi -SD, G: hasil reonsrusi normalisasi -LMS. abel dan abel 3 menunjuan pembandingan hasil PSN dan wau ompuasi iap algorima, yang menunjuan bahwa filer Kalman adalah algorima erbai dalam 10

7 Opimasi Filer Kalman dengan Meode Seepes Descen dan Leas Mean Square pada eonsrusi Cira Dinamis [ully Soelaiman, Irfan Subai dan oy Nugroho] melauan reonsrusi cira Super-esolusi, dilanjuan dengan Pseudo-LS, -SD dan -LMS. Sedangan dalam wau ompuasinya filer Kalman merupaan algorima paling lamba, dilanjuan dengan Pseudo-LS, -SD dan - LMS dengan wau paling cepa. Gambar 4 dan 6, menunjuan bahwa meode normalisasi -SD dan -LMS lebih cepa mengalami onvergensi daripada anpa normalisasi. Kemudian uji coba pemilihan nilai forgeing facor λ( dan pada meode -SD diunjuan pada gambar 3 dan 5. Sedangan gambar 7 adalah uji coba pemilihan nilai pada algorima -LMS. Hasil pada gambar 3 dan 5 menunjuan bahwa semain besar nilai λ(, yang mendeai nilai 1 dan semain besar nilai, semain cepa algorima -SD mengalami onvergensi. Hasil pada gambar 7 menunjuan bahwa semain ecil nilai, semain cepa algorima -LMS mengalami onvergensi. 5. KSIMPULN Dari hasil uji coba yang elah dilauan dapa diambil esimpulan: 1. lgorima esimasi dinamis dan algorima penurunannya erbui dapa melauan reonsrusi cira Super- esolusi. Hal ini diunjuan pada hasil reonsrusi cira iap algorima, dimana erdapa peningaan pada ualias resolusi rangaian cira hasil reonsrusi.. lgorima Filer Kalman merupaan algorima paling bai, dilanjuan dengan algorima Pseudo-LS, algorima -SD dan ahirnya algorima -LMS yang merupaan algorima paling lemah dalam melauan proses reonsrusi cira Super-esolusi. 3. lgorima Filer Kalman memerluan wau ompuasi paling lama, dilanjuan dengan algorima Pseudo-LS, algorima -SD dan algorima -LMS yang memerluan wau ompuasi paling pende. 4. Dari poin no dan 3, dapa disimpulan bahwa inerja dari algorima ieraif (-SD dan -LMS) mendeai inerja algorima esimasi dinamis (Filer Kalman), dengan wau ompuasi yang lebih singa. 5. Normalisasi algorima -SD dan -LMS lebih cepa mencapai onvergensi daripada algorima -SD dan - LMS anpa normalisasi. DF PUSK [1]. Soelaiman, I. Subai dan. Nugroho, Penerapan Filer Kalman dan Meode Pseudo-ecursive Leas Squares pada eonsrusi Cira Dinamis, Laporan Peneliian, Insiu enologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia, 006. [] M. lad and. Feuer, Super-esoluion econs-rucion of Image Sequences, I ransacions on Paern nalysis and Machine Inelligence, vol. 1, no. 9, Sepember [3]. K. Moon and W. C. Sirling, Mahemaical Mehods and lgorihms for Signal Processing, Prenice-Hall, Inc., 000. [4] S. C. Par, M. K. Par and M. G. Kang, Super- esoluion Image econsrucion: echnical Overview, I Signal Processing Magazine,