Implementasi Algoritma Pencarian k Jalur Sederhana Terpendek dalam Graf

Transkripsi

1 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No., (203) ISSN: ( Print) Implementasi Algoritma Pencarian Jalur Sederhana Terpende dalam Graf Anggaara Hendra N., Yudhi Purwananto, dan Rully Soelaiman Jurusan Teni Informatia, Faultas Tenologi Informasi, Institut Tenologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Haim, Surabaya 60 Indonesia Abstra Dalam dunia nyata, terdapat permasalahan mencari jalur terpende yang dapat direpresentasian dalam graf, tetapi jalur yang didapat adang tida bisa digunaan arena adanya suatu halangan pada jalur tersebut. Hal ini menyebaban dibutuhannya alternatif berupa jalur-jalur terpende lain dengan biaya yang dieluaran tida memilii selisih yang terlalu besar dari jalur terpende pertama. Beberapa algoritma naif telah ditemuan untu menyelesaian permasalahan pencarian jalur sederhana terpende dalam graf. Tetapi algoritma naif yang ada masih urang efisien dalam hal ecepatan dan ebutuhan memori. Dalam artiel ini dilauan studi dan implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpende dalam graf dengan bahasa C++. Hasil uji coba menunjuan program menghasilan jalur yang benar dan memilii pertumbuhan watu eseusi secara uadrati dengan omplesitas watu O(n(m + n log n)) pada n buah vertes, m buah edge, dan urutan jalur yang dicari. Kata Kunci Algoritma deviasi, algoritma Dijstra, jalur sederhana, jalur terpende. I. PENDAHULUAN alam permasalahan pencarian jalur terpende dalam graf, Djalur terpende yang didapat tida selalu dapat digunaan arena adanya suatu halangan pada jalur tersebut. Hal ini menyebaban dibutuhannya pemilihan alternatif jalur lain berupa jalur terpende beriutnya. Tentu saja, biaya yang dibutuhan oleh jalur tersebut harus memilii selisih minimum dengan biaya jalur terpende sebelumnya. Salah satu algoritma naif yang dapat digunaan untu mencari sebanya buah jalur sederhana adalah dengan melauan modifiasi pada algoritma Dijstra []. Modifiasi dilauan dengan menjalanan algoritma Dijstra secara berulang sampai didapatan pasang jalur berbeda yang ditemuan dari vertes sumber menuju vertes tujuan. Tetapi, algoritma naif tersebut masih urang efisien dalam hal ecepatan dan ebutuhan memori yang dibutian pada hasil uji coba. Pada artiel ini dilauan implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpende dalam graf [2] yang lebih efisien daripada algoritma naif yang telah ada. Implementasi dilauan pada graf berarah dan berbobot dengan batasan bobot masing-masing edge berupa bilangan bulat nonnegatif. Jalur yang dihasilan pada artiel ini adalah jalur sederhana, yaitu jalur yang tida mengandung pengulangan vertes penyusun. Artiel ini bertujuan untu membutian ebenaran hasil implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpende dalam graf, serta membandingan ecepatan algoritma tersebut dengan algoritma naif. II. METODOLOGI A. Definisi Ditentuan sebuah graf G = (V, E) dengan V = {v, v 2,, v n } adalah himpunan vertes dan E = {e, e 2, e m } adalah himpunan edge yang menyusun graf G. Masing-masing edge dalam E memilii bobot yang dinotasian sebagai c(e). Sebuah edge yang terhubung dari vertes v i e vertes v j untu i n, j n, dan v i v j, dapat dinotasian sebagai v i, v j. Jia dietahui i dan j adalah vertes dalam V, maa sebuah jalur p dari vertes i menuju vertes j dalam graf G adalah urutan vertes dengan bentu p = {v, v 2,, v l } dengan etentuan sebagai beriut: v V, untu setiap { l}; (v, v +) E untu setiap { l }; i = v dan j = v l. Jia P ij merupaan himpunan jalur-jalur dari vertes i menuju vertes j dalam graf G, emudian vertes x dan vertes y adalah vertes penyusun jalur p P ij, maa q P xy disebut sebagai subjalur dari p apabila memilii rangaian vertes yang sama dengan p dari x sampai y. Jalur tersebut dinotasian sebagai sub p (x, y). Penggabungan dua jalur, p P ij dan q P jl, dinotasian sebagai p q dan merupaan jalur dari vertes i menuju vertes l yang terbentu dari jalur p yang diiuti dengan jalur q. Jia dietahui sebuah bilangan bulat positif K, maa permasalahan K jalur sederhana terpende bertujuan menentuan sebuah himpunan jalur P K = {p,, p K } P, dengan etentuan sebagai beriut: p adalah jalur sederhana, untu setiap { K}; w(p ) w(p + ), untu setiap { K }; w(p K ) w(p), untu setiap jalur sederhana p P P K ; p ditentuan sebelum p +, pada setiap { K } B. Algoritma Deviasi Algoritma pencarian jalur terpende antara dua vertes mengacu pada pembuatan "pseudo"-tree yang

2 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No., (203) ISSN: ( Print) 2 merepresentasian hubungan antara jalur-jalur dalam P sebagai sebuah strutur pohon (tree) [3]. Jia terdapat sebuah jalur q dari vertes s menuju vertes t dalam graf G, maa q membentu sebuah pohon yang terdiri dari satu buah jalur. Jia ada jalur lain q + dari vertes s menuju vertes t dalam graf G, maa dapat dipastian bahwa q K+ memilii rangaian vertes yang sama dengan q,, q dari vertes sumber s, sampai vertes tertentu (yang dapat berarti s), yaitu leta jalur q + menyimpang dari himpunan jalur tersebut [2]. Pada vertes-vertes tersebut, vertes terjauh dari vertes sumber disebut dengan vertes deviasi pada q + dan dinotasian sebagai d(q + ). Vertes deviasi pada jalur q + merupaan posisi jalur q + menyimpang dari jalur-jalur sebelumnya, yaitu q,, q. Kemudian, jia berdasar pada asumsi bahwa himpunan jalur q,, q membentu "pseudo"-tree, maa himpunan jalur q,, q, q + juga membentu "pseudo"-tree dengan + jalur [4]. Sebuah "pseudo"-tree yang terdiri dari jalur-jalur sederhana disebut sebagai pohon jalur sederhana. Pada algoritma deviasi digunaan sebuah himpunan jalur X yang berisi andidat-andidat jalur sederhana. Pada tiap langah, algoritma deviasi memilih jalur dalam X dengan bobot terecil, membuat jalur sederhana baru dari jalur tersebut, lalu terahir memperbarui X. Ketia algoritma dijalanan, jalur-jalur dalam X merepresentasian beberapa jalur dalam strutur pohon yang sedang dibuat. Prosedurprosedur tersebut diulang hingga p ditemuan, yaitu etia jalur-jalur yang diambil dari X adalah p, p 2,, p. Pada setiap {,, K}, etia p ditentuan, andidat-andidat untu jalur p j dengan j > telah dihitung, dan untu menghindari jalur-jalur dihitung embali, maa rangaian vertes yang dianalisa hanya yang terdapat pada sub p (d(p ), t). Selain itu, etia menganalisa d(p ), edgeedge yang berasal dari d(p ) dan termasu dalam jalur-jalur sederhana lain yang sudah ditetapan tida boleh digunaan. C. Algoritma Yen [5] Algoritma Yen adalah algoritma deviasi yang dapat digunaan hanya untu menentuan jalur sederhana. Pada tiap vertes v i, algoritma tersebut menghitung jalur sederhana terpende p yang menyimpang dari p. Kemudian, p disebut sebagai parent dari p dan v i disebut sebagai vertes deviasi pada p. Dengan tujuan hanya untu mencari jalur sederhana, maa vertes-vertes pada sub p (s, v i ) tida boleh diulang. Oleh arena itu, vertes-vertes tersebut dihapus sementara dari graf G, emudian mencari jalur sederhana terpende dari vertes v i menuju vertes t pada graf yang sudah dimodifiasi. Pada implementasi algoritma Yen, setiap vertes pada p dari d(p ) sampai v l. Pada masing-masing vertes, misal v i, jalur sederhana terpende p P yang aan dihitung aan memilii bentu p = sub p s, v i q, dengan q merupaan jalur dalam P vi t yang edge pertamanya buan (v i, v i+ ) dan belum dihitung sebelumnya. Untu mendapatan jalur p dengan ondisi tersebut, maa graf yang digunaan harus dimodifiasi terlebih dahulu, yaitu dengan menghapus semua vertes dalam sub p s, v i, edge (v i, v i+ ), serta semua edge yang berasal dari v i yang sebelumnya telah dihapus saat menghitung p. Kemudian, jalur q dapat diperoleh dengan mencari jalur terpende dari v i menuju vertes t pada graf yang telah dimodifiasi. Setelah jalur p didapat, graf diembalian seperti eadaan semula. D. Rangaian Proses Jia dietahui v l adalah vertes pertama yang aan dianalisa pada p, maa p adalah jalur sederhana yang memilii bentu sub p s, v l q, dengan q adalah jalur sederhana terpende dari v l menuju t tanpa vertes-vertes dalam sub p (s, v l 2) dan tanpa edge (v l, t). Dengan ata lain, vertes-vertes dan edge tersebut dihapus dari graf G sebelum jalur q ditentuan. Kemudian, dengan menggunaan algoritma pencarian jalur terpende, aan terbentu sebuah strutur pohon jalur sederhana terpende dari i e t, untu setiap i V, yang disebut pohon terpende beraar pada t, dapat dihitung dan digunaan untu menentuan jalur sederhana q. Strutur pohon terpende beraar pada x V dinotasian sebagai T x dan jalur sederhana dari i V menuju x dinotasian sebagai T x (i). Bobot jalur T i (i) dinotasian sebagai π i dan disebut sebagai label dari i, untu setiap i V. Terdapat sebuah vertes sembarang v i di dalam p dengan v i d(p ), dan sebuah jalur sub p s, v i+ T t (v i+ ) yang aan dicari, dengan T t menggunaan acuan graf yang didapat setelah menghapus vertes-vertes pada jalur sub p (s, v i ) dan menghapus edge (v i+, v i+2 ) dari graf G. Langah selanjutnya adalah mengembalian edge v i+, v i+2 e dalam graf. Proses pengembalian edge tersebut termasu memperbaii T t yang berarti memperbaii label dari beberapa node pada strutur pohon tersebut. Kemudian, setelah mengembalian v i+, v i+2, semua vertes x pada graf yang telah dimodifiasi tersebut dianalisa sehingga setidanya ada satu jalur sederhana dari vertes x menuju v i+ dalam graf tersebut. Pada langah selanjutnya dilauan pengembalian vertes v i dalam graf yang telah dimodifiasi, jia terdapat edge-edge yang berasal dari vertes tersebut, maa dilauan penghitungan label dari v i. Perubahan label v i termasu melauan pengubahan label-label lain yang berhubungan dengan label tersebut, emudian dilauan analisa vertes x dalam graf sehingga setidanya ada satu jalur sederhana dari x menuju v i. Jia setelah dua langah tersebut nilai π vi dapat ditentuan, maa T t (v i ) telah ditetapan dan jalur sederhana baru yang didapat memilii bentu p = sub p s, v i T t (v i ). Namun jia sebalinya, maa tida mungin ada jalur sederhana yang dapat dibuat. Beberapa hal yang perlu diperhatian adalah etia v i = d(p ), prosedur yang sama dilauan, tetapi etia melewati edge (d(p ), v i+ ), semua edge yang dihapus etia

3 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No., (203) ISSN: ( Print) 3 p jalur sederhana terpende dari s e t dalam G 2 d(p) s; X {p}; 0; 3 while (X and K) do 4 + ; 5 p jalur sederhana terpende dalam X; 6 X X {p }; 7 hapus sub p (s, v l ) dalam graf; hapus edge-edge (d(p 8 ), i), untu i V pada p,, p dalam graf; 9 T t pohon jalur terpende dengan aar t; 0 for v i v l,, d(p ) do embalian node v i pada graf; 2 hitung π vi dengan forward star form; 3 if (π vi ditetapan) then perbaii label semua vertes penerus 4 dari v i dengan reverse star form; 5 p sub p s, v i T t v i ; d(p) v i ; X {p}; 6 Endif 7 embalian (v i, v i+ ) pada graf; 8 if (π vi > π v + c(v i+ i, v i+ )) then 9 π vi π v + c(v i+ i, v i+ ); Perbaii label semua vertes penerus 20 dari v i dengan reverse star form; 2 endif 22 endfor embalian vertes dan edge dalam jalur p 23 dari s sampai d(p ) dalam graf; embalian edge-edge (d(p 24 ), i), untu i V pada p,, p dalam graf; 25 endwhile Gambar.. Pseudocode algoritma pencarian jalur sederhana terpende dalam graf for ((i, j) E) do 2 if (π i > π j + c(i, j)) then 3 π i π j + c(i, j); 4 endif 5 endfor Gambar. 2. Pseudocode algoritma forward star form p dibuat, juga harus dihapus dari graf. Pada Gambar ditunjuan pseudocode algoritma untu mendapatan jalur sederhana terpende e- sesuai langah-langah pada subbab ini. Proses memperbaii label π i menggunaan algoritma yang disebut forward star form, dan proses memperbaii label vertes-vertes penerus v i menggunaan algoritma yang disebut reverse star form. Pseudocode algoritma forward star form ditunjuan pada Gambar 2, dan pseudocode algoritma reverse star form ditunjuan pada Gambar 3. Pada implementasi algoritma dalam artiel ini, implementasi proses algoritma forward star form dilauan dengan cara memberi label pada vertes-vertes yang terdapat pada sub p s, v i etia melauan penghapusan subjalur sebelum melauan proses reverse star form. Kemudian, arena proses algoritma reserver star form hanya dilauan pada vertesvertes yang merupaan penerus (successor) dari vertes v i, maa implementasi algoritma tersebut dapat dilauan dengan cara melauan algoritma Dijstra pada graf yang telah list {x}; 2 repeat 3 i elemen dari list; list list {i}; 4 for ((j, i) E) do 5 if (π j > π i + c(j, i)) then 6 π j π i + c(j, i); 7 if (j list) then list list {j}; 8 endif 9 endfor 0 until (list = ); Gambar. 3. Pseudocode algoritma reverse star form Gambar. 4. Representasi graf dari data masuan pada uji coba ebenaran Tabel. Data jumlah vertes dan edge pada graf aca No. Judul Graf Jumlah Vertes Jumlah Edge Graf A Graf B Graf C Graf D dimodifiasi, dengan menambah batasan berupa vertesvertes pada sub p s, v i. III. UJI COBA A. Data Uji Coba Data uji coba yang digunaan pada uji coba ini terdiri dari tiga macam data uji coba. Tiga data uji coba tersebut adalah data graf yang dibuat secara manual, data masuan pada situs Sphere Online Judge (SPOJ), dan data graf aca dengan jumlah vertes dan edge yang beragam. Pada Tabel ditunjuan data jumlah vertes dan edge dari graf-graf aca yang digunaan untu uji coba. Sedangan untu data masuan pada situs SPOJ menggunaan data uji coba yang tersedia pada server situs SPOJ. B. Uji Coba Kebenaran Uji coba dilauan dengan memberi masuan e program dengan data masuan yang dapat direpresentasian menjadi graf sesuai pada Gambar 4. Pada graf di Gambar 4, jalur eempat yang ditemuan oleh program dari vertes menuju vertes 5 adalah jalur dengan rangaian vertes {,3,4,5}. Setelah dianalisa secara manual, dari graf tersebut terdapat empat jalur yang berbeda dari vertes menuju vertes 5, yaitu dengan urtan p = {,3,5}, p 2 = {,2,4,5}, p 3 = {,2,5}, dan p 4 = {,3,4,5}. Karena hasil eluaran program sama dengan vertes-vertes penyusun p 4 dari graf pada Gambar 4, maa terbuti bahwa hasil implementasi program dalam artiel ini adalah benar.

4 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No., (203) ISSN: ( Print) 4 Gambar. 5. Hasil pengujian pada situs SPOJ Gambar. 7. Grafi hasil uji coba ecepatan pada graf aca Gambar. 6. Grafi hasil uji ecepatan pada situs SPOJ Tabel 2. Hasil uji coba pada graf aca No. Judul Graf Watu (deti) A 0,024 2 B 0, C 0,588 4 D 94,856 5 A 0,5 6 B 0, C 3,030 8 D 448,342 9 A 0,227 0 B 0, C 6,65 2 D 888,67 3 A,4 4 B, C 32,3 6 D 4486,230 C. Uji Coba pada Situs Penilaian Daring SPOJ Pada uji coba ini, digunaan bantuan sebuah situs penilaian daring bernama Sphere Online Judge (SPOJ). Uji coba dilauan dengan menggugah ode sumber hasil implementasi artiel ini pada salah satu soal di SPOJ yang berjudul "Kth Shortest Path" [6]. Pemilihan soal "Kth Shortest Path" dilauan arena desripsi soal sesuai dengan permasalahan pada artiel ini, yaitu pencarian jalur sederhana terpende pada graf. Pengujian dilauan beberapa ali untu mendapat rata-rata watu eseusi program pada soal "Kth Shortest Path". Pada Gambar 5 ditunjuan hasil salah satu pengujian pada situs SPOJ yang juga membutian ebenaran hasil implementasi algoritma pada artiel. Data graf-graf yang digunaan pada uji coba ini memilii batasan jumlah vertes sebanya 50 buah, jumlah edge sebanya 2450 buah, dan jumlah jalur masimal yang dicari sebanya 200 jalur. Pada Gambar 6 ditunjuan grafi hasil beberapa ali uji coba pada situs SPOJ. Dari grafi pada Gambar 6, didapatan rata-rata watu eseusi program pada situs SPOJ sebesar 2,76 deti dengan standar deviasi sebesar 0,3 deti. Tabel 3. Hasil uji coba pada algoritma naif Watu No. Judul Graf (deti) A B A B A B A B D. Uji Coba pada Graf Aca Pada uji coba ini dilauan beberapa ali pengujian dengan data masuan berupa graf dengan jumlah vertes dan edge yang berbeda untu masing-masing pengujian. Uji coba ini bertujuan mengetahui perbedaan watu eseusi program dengan berdasar pada perbedaan jumlah vertes, jumlah edge, dan urutan jalur () yang dicari pada graf. Pada Tabel 2 ditunjuan hasil uji coba yang dilauan untu masing-masing graf pada Tabel dengan pengelompoan berdasaran urutan jalur yang dicari dan graf yang berbeda. Kemudian pada Gambar 7 ditunjuan grafi ilustrasi hasil uji coba dari Tabel 2 dengan sumbu-x menunjuan urutan jalur yang dicari dan sumbu-y menunjuan nilai watu dalam deti dengan sala nilai logaritma berbasis 0. E. Uji Coba Perbandingan Algoritma Pada uji coba ini dilauan perbandingan ecepatan eseusi antara program hasil implementasi artiel ini dan algoritma naif yang lebih dahulu ditemuan, dengan data uji yang digunaan adalah data graf A dan B pada Tabel. Algoritma naif yang digunaan sebagai pembanding pada uji coba ini adalah modifiasi dari algoritma Dijstra untu mencari jalur sederhana terpende e-. Hasil uji coba pada algoritma naif dapat dilihat pada Tabel 3. Pada Gambar 8 ditunjuan grafi hasil perbandingan uji coba pada algoritma dalam artiel ini yang mengacu pada Tabel 2 dan hasil uji coba pada algoritma modifiasi dari algoritma Dijstra yang ditunjuan pada Tabel 3. Pada grafi di Gambar 8, sumbu-x menunjuan urutan jalur yang dicari

5 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 2, No., (203) ISSN: ( Print) 5 Gambar. 8. Grafi perbandingan algoritma dan sumbu-y menunjuan nilai watu dalam deti dengan sala nilai logaritma berbasis 0, dengan "TA" merupaan hasil algoritma dalam artiel ini dan "Naif" merupaan hasil algoritma modifiasi dari algoritma Dijstra. IV. KESIMPULAN Berdasaran hasil uji coba yang telah dilauan, terdapat tiga esimpulan yang bisa diambil, yaitu:. Pada hasil uji coba ebenaran dan hasil uji coba pada situs SPOJ, ditunjuan bahwa jalur yang dihasilan program sesuai dengan jalur yang diminta pada permasalahan. Hal tersebut membutian bahwa hasil implementasi algoritma pencarian jalur sederhana terpende pada artiel ini dapat menghasilan eluaran yang benar. 2. Pertumbuhan watu eseusi program bersifat uadrati dengan omplesitas Ο(n(m + n log n) pada n buah vertes, m buah edge, dan jalur yang dicari. 3. Algoritma pada artiel ini lebih efisien daripada algoritma naif yang telah ditemuan sebelumnya Pada artiel ini ini, strutur heap yang digunaan untu menyimpan andidat jalur merupaan strutur heap pada pustaa standar C++, yaitu menggunaan strutur heap biner. Kemudian untu pengembangan, dapat dilauan studi mengenai strutur heap Fibonacci beserta implementasinya pada program, untu mempercepat pemrosesan andidat jalur. DAFTAR PUSTAKA [] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest and C. Stein, Introduction to Algorithms, 2nd ed., The MIT Press, 200. [2] E. d. Q. V. Martins and M. M. B. Pascoal, "A New Implementation of Yen's Raning Loopless Paths Algorithm," 40R: A Quartery Journal of Operations Research, vol., no. 2, pp. 2-33, [3] D. Eppstein, "Finding the Shortest Paths," SIAM Journal on Computing, vol. 5, pp , 998. [4] E. d. Q. V. Martins, M. M. B. Pascoal and J. L. E. Santos, "Deviation Algorithms for Raning Shortest Paths," International Journal of Foundations of Computer Science, vol. 0, no. 3, pp , 999. [5] J. Y. Yen, "Finding the K Shortest Loopless Paths in a Networ," Management Science, vol. 7, no., pp , 97. [6] Sphere Research Labs, "SPOJ - Problem MKTHPATH," 203. [Online]. Available: