Analisis Faktorisasi Matriks Tak Negatif

Transkripsi

1 Jurnal Maemaa, Saisa, & Kompuasi Vol. 3 No. Januari 07 Jurnal Maemaa, Saisa & Kompuasi Edisi Khusus Juli 007 Vol. 3, No.,, 4-46, 47-5, Januari January nalisis Fakorisasi Mars ak Negaif bsrak Hasil perkalian mars ak negaif yang berukuran n r dengan mars ak negaif H yang berukuran r m akan menghasilkan sebuah mars ak negaif V berukuran n m, sedemian sehingga dapa diulis dalam benuk persamaan mars H V. Pada ulisan ini, kondisi seperi iu akan kia bal, yaiu dari sebuah mars ak negaif V berukuran n m, akan dicari dua fakor mars ak negaif yaiu mars yang berukuran n r dengan mars H yang berukuran r m, sedemian sehingga berlaku VH. Pencarian ersebu mungkin idak unggal aaupun mungkin idak ada, sehingga yang erjadi adalah hanya pendekaan erhadap maris V, yang didasarkan pada perimbangan dimensi mars-mars fakornya dan norm mars V H adalah seminimum mungkin. Kaa kunci: Fakorisasi, mars ak negaif, dimensi, norm.. Pendahuluan ndi Kresna Jaya Peneliian ini mengkaji aspek eoriis dari fakorisasi mars ak negaif (fmn) yang elah banyak digunakan oleh para penelii di bidang erapan unuk menganalisis dan mereduksi dimensi gambar aaupun signal suara seperi yang elah dilakukan oleh Guillame, Schiele dan Viria, 00 yang menggunakannya unuk klasifasi gambar, Smaragdis dan Brown, 003 [] menggunakannya unuk ranskripsi mus polyphonic, hal yang sama juga demukakan oleh bdallah dan Plumbley pada ahun 004 []. Hoyer di ahun 00 [3] membahas pengkodean sparse ak negaif dan menghubungkannya dengan dekomposisi yang dilakukan pada sebuah mars ak negaif. Prinsip sederhana pada penggunaan fmn seiap daa asli suara aau gambar disusun dalam benuk mars V yang ak negaif berukuran n m. Kia akan mencari dua mars dan H yang ranknya adalah r min{n,m} dan hasil kali kedua mars ersebu dapa mendekai keorisinalan mars V. Seiap kolom dari mars merupakan vekor basis sedangkan mars H menyaakan pemboboan yang diinginkan dapa mengaproksimasi kolom-kolom yang bersesuaian pada mars V. Pencarian kedua mars ini akan dilakukan berulang-ulang sehingga akan didapakan hasil kali dan H yang dapa mengaproksimasi V. Sebuah Mars berukuran n m disebu ak negaif ja enri-enrinya adalah bilangan riil ak negaif dan disebu posiif ja enri-enrinya adalah bilangan riil posiif. dapun karakeris yang meleka dari benuk mars ak negaif ini ja ukurannya n n, adalah racenya aau jumlah diagonal marsnya ak negaif dan erdapa nilai eigen yang posiif sedemian hingga absolu nilai eigen yang lain idak lebih besar dari nilai eigen ersebu, dan disebu nilai eigen maksimal [5]. Namun unuk mars ak negaif n m dapa diliha pada nilai singular erbesarnya. Beru ini unuk menenukan nilai skalar V H akan digunakan benuk nilai singularnya sebagai salah sau benuk normnya. Norm ini berguna Saf Pengajar pada Jurusan Maemaa FMIP Universias Hasanuddin Makassar

2 Jurnal 04 Maemaa, Saisa, & Kompuasi Vol. 3 No. Januari 07 Jurnal Maemaa, Saisa & Kompuasi 48 Edisi Khusus Juli 007 ndi Kresna Jaya 4348 sebagai fungsi ujuan agar proses pencarian berulang-ulang aau ierasinya menjadi konvergen ke fakor-fakor yang dapa mendekai keorisinalias mars V.. Norm-norm unuk Mars Misalkan adalah mars berukuran n m maka yang dimaksud dengan norm mars adalah sebuah skalar yang menyaakan ukuran dari mars yang berganung pada enrienrinya. Noasinya adalah, sedemian sehingga memenuhi sifa - 0 dan akan sama dengan nol ja 0. - c c unuk suau c skalar - +B + B unuk mars B berukuran n m Benuk norm mars ini dapa dlasifasan aas a. Jumlah nilai mulak dari enri-enri pada baris yang erbesar, disebu norm- dan dinoasan oleh m i aij, i,,3, L, n j b. Jumlah nilai mulak enri-enri pada kolom yang erbesar, disebu norm- dan dinoasan oleh n j aij, j,,3, L, m i c. Nilai singular erbesar dari, dinoasan oleh dengan (). adalah nilai eigen erbesar. ( ) ( ) d. kar dari jumlah kuadra iap enri mars disebu norm frobenius dan dinoasan oleh benuk a ij ij Conoh : Misalkan mars berukuran 3 beru, 0 Maka norm-normnya adalah { 4,} 4 {,3, } 3 ( ) ( ) ( ) Masih banyak benuk norm mars yang lain, namun yang akan kia gunakan sebagai benuk fungsi ujuan pada fmn hanya keempa benuk norm di aas.

3 3. Fakorisasi Mars ak Negaif Unuk mendapakan hampiran fakorisasi V H adalah pemilihan dua mars ak negaif sebagai fakor kemudian harus diliha benuk mars V H apakah normnya adalah yang paling kecil. Conoh : Misalkan V pada conoh, kemudian kia pilih dua buah fakor mars dan H yang ranknya adalah r min{,3} sebagai beru dan H [ ], 0 maka benuk norm mars V H adalah V H V H V H {,} {,,0} ( V H ) ( V H )) ( V H )( V H ) ) ( V H ) ( ) 3 Proses ierasi yang dilakukan unuk memperoleh norm minimum unuk mars V H dilakukan dengan cara menenukan erlebih dahulu dua buah fakor awal 0 dan H 0 yang ranknya r min{n,m}, kemudian ierasi perama akan menghasilkan dua buah fakor berunya dan seerusnya. dapun ierasi yang dilakukan pada iap enri-enri kedua fakor yang kia nyaakan dengan eorema beru: eorema : Norm mars V H merupakan barisan nilai-nilai yang monoon ak na unuk benuk ierasi enri-enri mars fakor dan ( VH ) w ( HH ) w, unuk i,, n dan k,, r asalkan ( ) 0 ( V ) h ( H ) h, unuk k,, r dan j,, m, HH, unuk i,, n dan k,, r k,, r dan j,, m. ndi Kresna Jaya Jurnal Maemaa, Saisa, & Kompuasi & Kompuasi Vol. 3 No. Januari 07 Edisi Khusus Juli 007 H dan ( ) 0 Conoh 3: Unuk V pada conoh, misalkan mars fakor awal diberan oleh, unuk

4 Jurnal Maemaa, Saisa, & Kompuasi Vol. 063 No. Januari 07 ndi Kresna Jaya Jurnal Maemaa, Saisa & Kompuasi 50 Edisi Khusus Juli 007 dan H [ ] Maka dengan menggunakan program dalam Malab 7 diperoleh 3 ierasi perama.3333 dan [.5 0.5] ; dan [ ] ; H dan [ ] Nilai keempa norm unuk masing-masing fakor ierasi diunjukkan pada abel. abel. Norm fmn unuk 4 Ierasi Perama dan H V H V H V H V H,H.44,H ,H ,H abel di aas menunjukkan bahwa norm V H mempunyai pendekaan yang lebih ba, walaupun unuk kasus lain hal iu belum enu benar. Kasus di aas juga memperlihakan kepada kia bahwa ierasinya berjalan lamba unuk fakor awal yang diberan. Namun dengan proses ierasi yang erus-menerus maka kia akan mendapakan hampiran erba unuk fmn. 4. Kesimpulan Benuk fmn yang dapa dilakukan adalah meminimumkan norm V H dan mengasumsan norm sebagai benuk fungsi ujuan, maka fungsi kendalanya diberan adalah dan H adalah posiif. ( V ) lgorima unuk fakorisasi mars ak negaif ini adalah h h dan H ( VH ) w ( HH ) w unuk meminimumkan norm. ( )

5 Jurnal Maemaa, Saisa, & Kompuasi ndi Kresna Jaya Jurnal Vol. 3 Maemaa, No. Januari Saisa 07 & Kompuasi 07 Edisi Khusus Juli 007 Dafar Pusaka [] Judih C Brown. Paris Smaragdis Non-Negaive Facorizaion for Polyphonic Music ranscripion, IEEE orkshop on pplicaion of Signal Proccessing o udio and cousics, pp [] Mark D Plumbley. Samer bdallah, 004. Polyphonic Music ranscripion by Non-Negaive Sparse Coding of Power Specra, Cenre for Digial Music, Universiy of London. [3] Par O Hoyer, 00, Non-Negaive Sparse Coding, Proc. IEEE orkshop on Neural Neworks for Signal Processing. [4] Hiroki sari Non-negaive Marix Facorizaion: possible way o learn sound dicionaries. Paper ony Zador Lab, ason school of Biological Sciences cold Spring Harbor Laboraory. [5] ndi Kresna Jaya. 00. Masalah Nilai Karakeris Invers Real ak Negaif, esis Magiser. PPs Magiser Maemaa, Insiu eknologi Bandung.