23. FUNGSI EKSPONENSIAL
|
|
- Ridwan Lesmana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB III FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER Paa bagian ini kita slalu mmprtimbangkan fungsi lmntr yang iplajari alam kalkulus an mnfinisikan hubungannya ngan fungsi ari suatu variabl komplks. Khususnya, kita finisikan fungsi analitik ari suatu variabl komplks untuk mruksi kalam fungsi kalkulus = x + i0. Kita mulai mnfinisikan fungsi ksponn komplks an kita gunakan untuk pngmbangan slanjutnya. 3. FUNGSI EKSPONENSIAL Jika suatu fungsi f ari suatu variabl komplks = x + iy aalah iruksi kalam kluarga fungsi ksponnsial alam kalkulus imana aalah ral, kita harus mngingat kmbali bahwa () f(x+i0) = x untuk stiap bilangan ral x. Karna ( x ) = x untuk stiap bilangan ral x, juga asalnya fungsi trsbut mmnuhi konisi brikut: () f aalah trifrnsialkan imana-mana (ntir) an f () = f() untuk stiap. Prhatikan kmbali contoh paa bagian 8, fungsi f() = x (cosy + isiny), Dimana y ihitung alam raian, fungsi trsbut trifrnsialkan imana-mana an f () = f(). Juga konisi () an () jlas ipnuhi fungsi ini. Fungsi ini apat itunjukkan bahwa mmnuhi konisi () an () (lihat soal nomor 5); an kita tulis f() =. Kaang-kaang, untuk mmuahkan kita gunakan notasi xp untuk. Fungsi ksponnsial ari analisis komplks aalah ifinisikan untuk smua ngan prsamaan (3) = x (cos y + i sin y) imana = x + iy. Fungsi ini iruksi ari fungsi ksponnsial alam kalkulus ngan y = 0 aalah ntir an, (4), 8
2 aalah juga ntir alam biang. Dalam kalkulus, nilai n akar pangkat n ari aalah positif, mikian juga x imana x = /n ( n =, 3, ). Slanjutnya, nilai fungsi ksponnsial komplks sama ngan n asalkan = /n ( n =, 3, ). Jika bagian imajinr murni i, maka ari prsamaan (3) i = cos + i sin. Rumus ini isbut rumus Eulr yang tlah ijlaskan paa BAB I bagian 5. Pnfinisian i yang ibrikan igunakan paa prsamaan (3) an scara umum apat ituliskan sbagai brikut (5) = x iy. Prsamaan (5) apat itulis mnjai (6) Bilangan = x i, imana = x an y. aalah positif untuk smua x, an ari prsamaan (6), moulus aalah x an y mrupakan suatu argumn ari., yakni (7) x an arg( ) = y + n (n = 0,,, 3, ) Sbagai catatan, slalu positif, (8) 0 untuk smua bilangan komplks. Prsamaan (5) untuk apat igunakan untuk mnurunkan sifat fungsi ksponnsial komplks brikut. (9) (xp )( xp ) = xp ( + ). Untuk mmbuktikan sifat ini, tulis = x + iy an = x + iy. Maka x iy x iy x x iy iy (xp )( xp ) =. Karna x an x kuanya bilangan ral, an ari bab bagian 6, maka (xp )( xp ) = x x i y y ; an juga iy iy i y y, 83
3 (x + x ) + i(y + y ) = (x + iy ) + (x + iy ) = +. Ini brarti sifat paa prsamaan (9) tlah itunjukkan. Dari sifat (9) apat iturunkan pula sifat xp( ) xp = xp, atau xp xp (0) xp Dari (0) iprolh 0 = an aalah = -. Sifat-sifat yang lain ari fungsi ksponnsial () (xp ) n = xp(n) (n = 0,,, ), an () i i = untuk smua Prsamaan () mmpunyai arti bahwa fungsi aalah fungsi prioik ngan prioik i. Contoh. Carilah smua nilai yang mmnuhi (3) = -. Prsamaan (3) apat itulis mnjai x iy = i. Maka ari bagian 5, bahwa ua bilangan komplks aalah sama alam bntuk ksponnsial, jika x = an y = + n (n = 0,,, ). Jai, x = 0, an iprolh (4) = (n + )i, (n = 0,,, ). LATIHAN. Tunjukan bahwa i 4 (a). xp( 3i) = - ; (b). xp i. Paa saat kapan fungsi ntir? 3. Buktikan bahwa fungsi xp tiak analitik imana-mana. ; (c). xp(+i) = -xp() 4. Tunjukkan alam ua cara bahwa fungsi xp( ) aalah ntir, Tntukan pula turunannya. 84
4 5. Tulis xp i an xpi an bntuk x an y. Tunjukkan pula bahwa xp x xy i xpi 6. Tunjukkan bahwa xp xp. 7. Buktikan bahwa xp < jika an hanya jika R > Carilah smua nialai smikian shingga (a). = -; (b). = + 3 i; (c). xp(-) =. 9. Tunjukkan bahwa xpi xpi jika an hanya jika = n, (n = 0,,, ). 0. (a). Tunjukan bahwa jika ral, maka Im() = n (n = 0,,, ) (b). Jika imajinr murni, maka tntukan batasan nilai paa.. Tntukan nilai ari xp(x+iy), jika (a) x mnuju -, (b) y mnuju.. Tulis R alam bntuk x an y. Bagaimana fungsi ini agar harmonik paa stiap omain yang tiak mmuat titik asal? 3. Misalkan fungsi f() = u(x,y) + iv(x,y) analitik paa suatu omain D. Paa saat kapan fungsi U(x,y) = u(x,y) cos v(x,y), V(x,y) = u(x,y) sin v(x,y) Harmonik i D an bagaimana harmonik konjugat V(x,y) ari U(x,y)? 4. Buktikan ksamaan 4. FUNGSI TRIGONOMETRI (xp ) n = xp(n) (n = 0,,, ) Dari rumus Eulr paa bagian 5, tlah iktahui bahwa ix = cos x + isin x, -ix = cos x - isin x untuk stiap bilangan ral x, an ari prsamaan ini iprolh ix - -ix = isin x, ix + -ix -ix = cos x. 85
5 Dfinisi i atas yang mnasari pnfinisian fungsi kosinus an sinus ari suatu variabl komplks, yakni: i i () sin, cos i Fungsi ini aalah ntir karna mrka aalah kombinasi linir (latihan 3, bagian ) ari i an -i. Dari turunan fungsi ksponnsial, turunan ari () aalah () sin cos, cos sin. Dari finisi () muah untuk itunjukkan bahwa : (3) sin (-) = -sin an cos (-) = cos. Contoh. Tunjukkan bahwa (4) sin cos = sin ( + ) + sin ( - ) Dngan mnggunakan finisi (), iprolh bahwa i i sin cos = i i i i i = i i i i i = sin ( + ) + sin ( - ). Sifat-sifat yang lain ari fungsi trigonomtri aalah sbagai brikut: (5) sin ( + ) = sin cos + cos sin (6) cos ( + ) = cos cos - sin sin (7) sin + cos = (8) sin = sin cos, cos = cos sin (9) sin =cos, sin =-cos Jika y suatu bilangan ral, maka ari finisi () an finisi fungsi hiprbolik i y y sinh y, alam kalkulus, iprolh hubungan cosh y y 86
6 (0) sin(iy) = i sinh y, an cos(iy) = cosh y. Dari prsamaan (0) iprolh bagian ral an bagian imajinr ari fungsi sin an cos, ngan mmisalkan = x an = iy, an prsamaan (5) an (6), iprolh () sin = sin x cosh y + i cos x sinh y () cos = cos x cosh y - i sin x sinh y, imana = x + iy. Suatu sifat yang paling pnting ari sin an cos yang iturunkan ari prsamaan () an () aalah fungsi prioik masing-masing, yakni : (3) sin (+) = sin, sin ( + ) = - sin (4) cos (+) = cos, cos ( + ) = - cos Juga (lihat latihan 7) (5) (6) sin = sin x + sinh y, cos = cos x + cosh y. Prsamaan (5) an (6) mmbrikan gambaran bahwa sin an cos tiak trbatas alam nilai mutlak, walaupun nilai mutlak ari sin x an cos x kurang ari atau sama ngan satu. Pmbuat nol ari fungsi f() aalah suatu bilangan 0 smikian shingga f( 0 ) = 0. Jika sin mrupakan fungsi sinus alam kalkulus imana aalah bilangan ral, maka sin = 0 jika = n, (n = 0,,, ). Dmikian juga jika sin = 0, maka ari (5), iprolh sin x + sinh y = 0 jai, sin x = 0 an sinh y = 0. Ini brarti x = n (n = 0,,, ) an y = 0. Dari sini iprolh suatu sifat, bahwa (7) sin = 0 jika an hanya jika = n (n = 0,,, ). Karna ari prsamaan (9), -sin = cos, maka (8) cos = 0 jika an hanya jika = + n (n = 0,,, ) 87
7 Jai, alam hal ini pmbuat nol ari sin an cos aalah bilangan ral. Empat fungsi trigonomtri lain yang iturunkan ari fungsi sinus an cosinus aalah sbagai brikut : (9) sin tan, cos sc, cos cos cot sin csc sin Fungsi tan an sc aalah fungsi analitik imana-mana kcuali ititik singularitasnya (bagian 0), yaitu = (/) + n (n = 0,,, ), an ini mrupakan pmbuat nol ari fungsi cos. Dmikian juga fungsi cot an csc mmpunyai titik singularitas i pmbuat nol sin, yakni = n (n = 0,,, ). Slanjutnya, ngan mnfrnsialkan bahagian kanan ari prsamaan (9), iprolh rumus ifrnsial sbagai brikut : (0) tan sc, sc sc tan, cot csc csc csc cot Untuk mnyliiki sifat prioik ari fungsi trigonomtri (9) apat isliiki ari prsamaan (3) an (4). Sbagai contoh, () tan( + ) = tan. LATIHAN. (a). Uraikan scara rinci prsamaan () alam bagian 4 untuk mnntukan (b). turunan sin an cos. Misalkan fungsi f() aalah analitik alam omain D. Paa saat kapan fungsi sin f() an cos f() analitik alam omain D. Juga ngan mnuliskan w = f(), maka tunjukkan bahwa w sin w cos w, an cos w sin w w 88
8 . Tunjukkan bahwa i = cos + i sin untuk stiap bilangan komplks. 3. Tunjukkan bahwa stiap rumus trigonomtri paa prsamaan (7), (8), an (9) bagian 4 iturunkan ari prsamaan (5) an (6) bagian Gunakan sifat paa prsamaan (7) bagian 4 untuk mnunjukkan (a). + tan = sc (b). + cot = csc 5. Turunkan rumus iffrnsial paa prsamaan (0) bagian Dalam bagian 4, gunakan prsamaan () an () untuk mnurukan prsamaan (5) an (6) ari sin an cos. 7. Tunjukkan ktaksamaan brikut ini ngan mnggunakan prsamaan (5) an (6) ari sin an cos, (a). sin sin x (b). cos cos x (c). sinh y sin cosh y (c). sinh y cos cosh y 8. a. Gunakan finisi () alam bagian 4 ari sin an cos untuk mnunjukkan sin ( + ) sin ( - ) = cos -cos b. Dngan mnggunakan bagian a, tunjukkan bahwa, jika cos = cos maka paling sikit salah satu ari bilangan - an + mrupkan klipatan ari. 9. Tunjukkan bahwa fungsi sin an cos tiak analitik imana-mana untuk. 0. Gunakan sifat rflksi bagian untuk mnunjukkan bahwa, untuk smua a. sin sin b. cos cos. Dngan mnggunakan prsamaan () an () bagian 4, tunjukkan scara langsung soal nomor 0.. Tunjukkan bahwa (a). i cosi (b). i sini cos untuk smua sin jika an hanya jika = ni (n = 0,,, ) 89
9 3. Carilah smua nilai yang mmnuhi ari prsamaan sin = cosh4 ngan mnyamakan bagian ral an bagian imajinr sin an cosh4. 4. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan cos =. 5. FUNGSI HIPERBOLIK Fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik ari variabl komplks ifinisikan mlalui pnfisian mrka paa variabl ral, yakni, () sinh =, cosh = Karna an - aalah ntir, maka ari prsamaan () sinh an cosh aalah ntir. Lbih ari itu, () sinh cosh, cosh sinh. Karna () ifinisikan mlalui fungsi ksponnsial an finisi bagian 4 sin = i i i, cos = ari sin an cos, maka fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik mmpunyai hubungan ngan fungsi sinus an cosinus, yakni: (3) -i sinh (i) = sin, cosh (i) = cos (4) -i sin (i) = sinh, cos (i) = cosh Disamping sifat-sifat i atas, fungsi sinus hiprbolik an cosinus hiprbolik mmpunyai sifat sbagai brikut : (5) sinh (-) = -sinh, cosh (-) = cosh (6) cosh sinh = (7) sinh ( + ) = sinh cosh + cosh sinh (8) cosh ( + ) = cosh cosh + sinh sinh (9) sinh = sinh x cos y + icosh x sin y (0) cosh = cosh x cos y + isinh x sin y i i. 90
10 () () sinh cosh = sinh x + sin y = sinh x + cos y imana = x + iy. Untuk mmbuktikan sifat-sifat i atas apat ilakukan ngan mnggunakan finisi () an sifat-sifat lain yang tlah ibuktikan. Sbagai contoh akan ibuktikan prsamaan (), an slain itu ijaikan sbagai latihan. Contoh. Buktikan bahwa sinh = sinh x + sin y, ngan = x + iy. Dari prsamaan (4) sinh sini, yakni (3) sinh sin y ix, imana = x + iy. Ttapi ari prsamaan (5) bagian 4, iktahui bahwa sin x iy sin x sinh y y ix sin y sinh x, akibatnya sin = sinh x + sin y, ini brarti prsamaan () tlah ibuktikan. Dari sifat prioik sin an cos, an hubungannya ngan prsamaan (4), maka fungsi sinh an cosh aalah fungsi prioik ngan prio i. Prsamaan (4) mmbrikan hasil bahwa (4) sinh = 0 jika an hanya jika = ni (n = 0,,, ) an (5) cosh = 0 jika an hanya jika = n i (n = 0,,, ). (6) Tangn hiprbolik ari ifinisikan ngan prsamaan sinh tanh cosh an analitik istiap omain asalkan cosh 0. Sangkan fungsi cot h, sc h, an csc h ifisikan sbagai brikut : cosh coth sinh sch cosh csch. sinh 9
11 Slanjutnya, turunan ari fungsi tanh, coth, sch, an csch iprolh ari sifat-sifat turunan sprti paa fungsi hiprbolik yang brnilai ral, an iprolh : (7) tanh sch, coth csch (8) sch sch tanh, csch csch coth LATIHAN. Buktikan turunan ari sinh an cosh paa prsamaan () bagian 5.. Buktikan bahwa sinh = sinh cosh ngan mnggunakan : a. finisi (), bagian 5, ari sinh an cosh. b. ari sifat sin = sin cos 3. Tunjukkan bahwa prsamaan (6) an (8) bagian 5 iturunkan ari prsamaan (7) an (6) bagian Tulis sinh = sinh(x + iy) an cosh = cosh(x+iy), tunjukkan prsamaan (9) an (0) bagian 5 ngan mnggunakan prsamaan (7) an (8) bagian Turunkan prsamaan () bagian 5 untuk cosh 6. Tunjukkan bahwa sinh x cosh cosh x ngan mnggunakan (a) prsamaan () bagian 5; (b) prsamaan alam latihan 8b bagian Tunjukkan bahwa (a). sinh( + i) = -sinh (b). cosh( + i) = -cosh (c). tanh ( + i) = tanh. 8. Tunjukkan scara lngkap pmbuat nol ari fungsi sinh an cosh yang inyatakan alam prsamaan (4) an (5) bagian Gunakan hasil paa soal nomor 8 untuk mnuntukan pmbuat nol an titik singularitas ari fungsi tangn hiprbolik. 0. Turunkan rumus iffrnsial prsamaan (7) bagian 5.. Gunakan prinsip rflksi bagian untuk mnunjukkan bahwa, untuk stiap, (a). sinh sinh (b). cosh cosh 9
12 . Gunakan hasil paa soal nomor untuk mnunjukkan bahwa tanh tanh ititik-titik cosh Kapan fungsi sinh( ) ntir? Tulis bagian ral mlalui fungsi ari x an y, an kaaan bagaimana fungsi trsbut harus harmonik imana-mana. 4. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan (a). cos = (b). sinh = i (c). cosh = FUNGSI LOGARITMA DAN CABANG-CABANGNYA Salah satu motivasi untuk mnfinisikan fungsi logaritma aalah mncari pnylsaian ari prsamaan () w = untuk w, imana aalah suatu bilangan komplks tak nol. Dari sini, kita tulis r an w = u + iv, shingga prsamaan () mnjai u iv i r. Maka ari ksamaan ari ua bilangan komplks alam ksponnsial, iprolh u = r an v +n, imana n suatu bilangan bulat. Karna prsamaan u = r mngakibatkan u = ln r, an prsamaan () ipnuhi jika an hanya jika w mmpunyai satu ari nilai w = ln r + i ( + n) (n = 0,,, ). Jai, jika kita tulis () log = ln r + i ( + n) (n = 0,,, ), kita mmpunyai hubungan srhana (3) log =. Prsamaan () mmbrikan arti bahwa fungsi logaritma ari variabl komplks =r i tak nol mrupakan fungsi brnilai banyak. i 93
13 Jika bilangan komplks tak nol, ngan bntuk ksponnsial =r i, maka mmpunyai satu nilai ari nilai = + n (n = 0,,, ), imana = Arg. Prsmaan () apat itulis mnjai (4) log = ln r + i, Jai, (5) log = ln + i arg ( 0). Prlu itkankan bahwa tiak slalu bnar bahwa bagian kiri ari prsamaan (3) ngan urutan kbalikan ari fungsi logaritma an ksponnsial aalah sama ngan. Hal ini isbabkan olh karna log ( ) mmpunyai sjumlah tak hingga nilai untuk stiap yang ibrikan. Tpatnya, alam bagian 3, x an arg ( ) = y + n (n = 0,,, ) imana = x + iy, an ari prsamaan (5) iprolh log ( ) = ln + i arg = x + i(y + n), atau (6) log ( ) = + i arg (n = 0,,, ) Nilai utama ari log aalah nilai yang trmuat alam prsamaan () imana n = 0 an inyatakan ngan Log. Jai (7) Log = ln r + i, atau (8) Log = ln + i Arg ( 0). Sbagai catatan, log = Log + in (n = 0,,, ). Fungsi Log aalah jlas trfinisi ngan baik an mmpunyai nilai tunggal paa saat 0. Hal ini iturunkan ari logaitma asli alam kalkulus imana aalah bilangan positif = r. Dari sini, pnulisan = r i0 aalah tunggal, alam prsamaan (7) Log = ln r an akibatnya Log r = ln r. Contoh. Dari prsamaan (), iprolh 94
14 log = ni (n = 0,,, ) an log (-) = (n + )i (n = 0,,, ). Khususnya, Log = 0 an Log (-) = i. Jika kita mmisalkan smbarang bilangan ral an nilai paa prsamaan (4) ibatasi paa intrval < < +, maka fungsi (9) log = ln r + i (r>0, < < + ), ngan komponn-komponnnnya (0) u(r,) = ln r an v(r,) =, aalah brnilai tunggal an kontinu alam omain yang ibrikan (lihat gambar 5). Sbagai catatan, jika fungsi paa prsamaan (9) kita finisikan paa sinar =, maka fungsi trsbut tiak kontinu isana. Jika titik paa sinar, maka trapat titik-titik smbarang yang kat k yang mmbrikan nilai ari v kat ngan an juga titiktitik smikian shingga v kat ngan +. y 0 x Gambar 5 Fungsi (9) tiak hanya kontinu ttapi juga analitik alam omain r > 0, < < + imana turunan parsial or prtama ari u an v aalah kontinu an mmnuhi bntuk polar prsaamaan C-R ari bagian 9. u v, r u r r v r 95
15 Juga ari bagian 9, Jai, i log r r i u r ivr i0 i () log 0, arg Khususnya, () Log 0, Arg Suatu cabang ari fungsi brnilai banyak f aalah nilai tunggal F yang analitik alam suatu omain i stiap titik yang mmbrikan satu nilai F() ari nilai-nilai f(). Dari sifat kanalitikannya, jlas bahwa kita apat mmilih scara acak ari nilai f. Untuk stiap nilai ttap, fungsi brnilai tunggal paa prsamaan (9) aalah suatu cabang ari fungsi brnilai banyak prsamaan (4). Fungsi (3) Log = ln r + i 0, aalah isbut cabang utama. Suatu potongan cabang aalah bagian ari garis atau kurva yang tlah ijlaskan paa pnahuluan pnfisian suatu cabang F ari fungsi brnilai banyak f. Titik paa potongan cabang untuk F aalah titik singular (bagian 0) ari F, an stiap titik aalah irisan ari smua potongan cabang ari f an isbut titik cabang. Titik asal an sinar = ibuat ari potongan cabang untuk cabang (9) ari fungsi logaritma. Potongan cabang untuk cabang utama (3) triri ari titik asal an sinar =. Titik asal mrupakan titik cabang ari fungsi logaritma yang brnilai banyak. 7. SIFAT-SIFAT FUNGSI LOGARITMA Hubungan prsamaan (3) an (6) alam bagian 6, smua sifat logaritma ari bilangan ral positif i bawah kalam sifat analisis komplks, ngan sikit moifikasi. Dalam bagian ini akan iturunkan bbrapa sifat.. ;. 96
16 Jika an mnyatakan ua bilangan komplks tak nol, maka jlas apat itunjukkan bahwa () log ( ) = log + log. Prnyataan ini, iartikan sama ngan fungsi brnilai banyak paa prnyataan () arg ( ) = arg + arg yang tlah ijlaskan paa bagian 6. Jai, jika ua nilai ari tiga logaritma ittapkan, maka trapat suatu nilai ari logaritma kmpat smikian shingga prnyataan () bnar. Untuk mnunjukkan prsamaan () apat igunakan prsamaan () sbagai asar pmbuktian. Karna an nilai moulus aalah smua bilangan ral positif, srta ari finisi logaritma alam kalkulus bahwa ln ln ln juga ari prsamaan (), iprolh bahwa (3) ln iarg ln iarg ln i arg. Prsamaan (3) mnunjukkan bahwa prsamaan () tlah ibuktikan. Dngan cara yang srupa apat pula itunjukkan bahwa (4) log = log - log Contoh. Ilustrikan prsaman () ngan nilai = = -. Jika nilai log = i an log = -i aalah itntukan, maka prsamaan () aalah jlas ipnuhi jika nilai log ( ) = 0 aalah ipilih. Juga apat isliiki jika nilai = = -, bahwa Log ( ) = 0 Log + Log = i. Jai prnyataan paa prsamaan () tiak slalu bnar jika log iganti ngan Log. Dmikian pula untuk prsamaan (4). Jika suatu bilangan komplks tak nol, maka (5) n = nlog (n = 0,,, ) 97
17 untuk stiap nilai ari log itntukan. Jika n =, maka tlah ijlaskan paa prsamaan (3) bagian 8. an prsamaan (5) jlas ipnuhi. Jika kita mnuliskan = r i paa prsamaan (5) maka kua ruas akan iprolh r n in. Juga bnar bahwa, jika 0, maka (6) n xp log, (n =,, ) n Bntuk paa bagian kanan prsamaan (6) mmbrikan n nilai yang brba, an nilainilainya aalah mrupakan nilai ari akar pangkat n ari. Untuk mmbuktikan ini, tulis = r xp (i ), imana aalah nilai utama ari arg. Maka ari prsamaan () bagian (6), untuk log, iprolh i k xp log xp ln r, k = = 0,,,. Jai, n n n n k (7) xp log r xpi, (k = 0,,, ). n n n Karna xp(ik/n) mmpunyai nilai yang brba jika k = 0,,,, n-, bagian kanan prsamaan (7) hanya mmpunyai n nilai. Jai bagian kanan prsamaan (7) mrupakan akar pangkat n ari (bagian 7), an juga apat itulis mnunjukan prsamaan (6) jika bilangan bulat ngatif ijaikan sbagai latihan. LATIHAN. Tunjukkan bahwa (a). Log i i (b). Log i ln i. Tunjukkan bahwa, jika n = 0,,,, maka: (a). log = + ni (b). log i = 3. Tunjukkan bahwa (a) Log(+i) = Log(+i) n i 4 n. Untuk 3 (c). log 3i ln n i (b). Log (- + i) Log(- + i). 98
18 4. Tunjukkan bahwa (a). log (i ) = log i jika log = ln r + i 9 r 0, ; 4 4 (b). log (i 3 ) log i jika log = ln r + i r 0, Tunjukkan bahwa (a). Himpunan ari nilai log i aalah n i (0,,, ) an 4 log i = logi. (b). Himpunan nilai ari log (i ) tiak sama ngan himpunan ari log i. 6. Dibrikan cabang log = ln r + i (r>0, < < + ) ari fungsi logaritma aalah analitik istiap titik paa omain yang ibrikan. Carilah turunannya ngan mnifrnsialkan kua sisi ari prsamaan xp(log) = bagian 6 an aturan rantai. 7. Carilah smua nilai yang mmnuhi prsamaan log = (/)i. 8. Misalkan bahwa titik trltak alam strip (biang) < y< +. Tunjukkan bahwa jika cabang log = ln r + i (r>0, < y< + ) ari fungsi logaritma, maka log ( ) =. 9. Tunjukkan bahwa, jika R >0 an R >0, maka Log ( ) = Log + Log 0. Tunjukkan bahwa untuk stiap bilangan komplks tak nol an Log ( ) = Log + Log + Ni, imana N mmpunyai satu nilai ari 0,.. Turunkan prsamaan (4) bagian 7, untuk log ( / ) (a). ngan mnggunakan knyataan bahwa arg ( / ) = arg arg (b). prtama tunjukkan bahwa log (/) = - log (0), slanjutnya log (/) an -log mmpunyai himpunan nilai yang sama, an trakhir gunakan prsmaan () bagian 7 untuk log ( ).. Dngan mmilih nilai-nilai tak nol ari an, tunjukkan bahwa prsamaan (4) alam bagian 7 untuk log ( / ) tiak slalu bnar jika log iganti ngan Log. 99
19 3. Tunjukkan bahwa (a). fungsi Log (-i) aalah analitik imana-mana kcuali paa y = (x0); (b). fungsi Log 4 i aalah analitik imana-mana kcuali ititik-titik i an paa x -4 untuk sumbu ral. 4. Tunjukkan alam ua cara bahwa fungsi ln (x + y ) aalah harmonik alam stiap omain yang tiak mmuat titik asal. 5. Tunjukkan bahwa R log ln x y (). Apakah fungsi ini mmnuhi prsamaan Laplac jika? 8. EKSPONEN KOMPLEKS Jika 0 an ksponn c aalah suatu bilangan komplks, maka fungsi c ifinisikan ngan prsamaan () c = c log imana log mnyatakan fungsi logaritma brnilai banyak. Prsamaan () mrupakan finisi ari c an ini tlah ijlaskan alam bagian 7 ktika c = n (n = 0,,, ) an c = (n = 0,,, ). Jai pnfinisian c brasarkan paa pmilihan c n sprti i atas. Contoh. Pangkat ari scara umum brnilai banyak, sbagai ilustrasi apat ituliskan i i xp i logi xp i n i xp4n imana n = 0,,,. Sbagai catatan ari sifat fungsi ksponnsial aalah, mikian juga ua himpunan ari bilangan kita apat mnuliskan an c c aalah sama. Juga 00
20 () an khususnya, c c i = xp 4n i (n = 0,,, ). Jika = r i an suatu bilangan ral, cabang log = ln r + i (r>0, < < + ) ari fungsi logaritma aalah fungsi brnilai tunggal an analitik alam omain yang ibrikan. Jika cabang i atas igunakan, maka fungsi c = xp (c log ) aalah fungsi brnilai tunggal an analitik alam omain yang sama. Turunan ari suatu cabang ari c aa an iprolh c xp log c xpc log xpc log c c xp c log xp log bntuk trakhir ari pnurunan i atas aalah fungsi brnilai tunggal c c-, jika ifinisikan paa omain r>0, < < +. Jai (3) c c c c 0, α arg α π. Nilai utama ari c iprolh jika log iganti ngan Log alam finisi (): (4) c = c Log Prsamaan (4) juga mnfinisikan cabang utama ari fungsi c 0, Arg π. Contoh. Nilai utama ari (-i) i aalah xp ilog i xp i i xp. 3 Contoh 3. Cabang utama ari apat itulis 3 xp Log xp ln r i r xpi paa omain 0
21 Aalah analitik alam omain langsung ngan mnggunakan torma alam bagian 9. r 0, π. Juga apat itunjukkan scara Dari finisi (), fungsi ksponnsial ngan basis c, imana c aalah konstanta komplks tak nol, apat itulis (5) c = logc. Jika nilai ari log aalah spsifik, c aalah fungsi ntir ari. Knyataannya, an ini mnunjukkan bahwa (6) c c logc c log c log c logc ; 9. INVERS DARI FUNGSI TRIGONOMETRI DAN HIPERBOLIK logaritma. Invrs ari fungsi trigonomtri an hiprbolik apat ijlaskan alam bntuk Untuk mnfinisikan fungsi invrs ari sinus sin -, kita tulis w = sin - imana = sin w. Jai w = sin -, jika iw iw. i Prsamaan ini kita rubah alam bntuk prsaman kuarat iw, yakni: ( iw ) i ( iw ) = 0. Pnylsaian iw apat ilihat paa latihan 8(a) bagian 7. Dan iprolh () iw imana i, aalah fungsi yang mmpunyai ua nilai ari. Jika kua ruas paa prsamaan () ilogaritmakan an iktahui bahwa w = sin -, maka iprolh. () sin i log i 0
22 Contoh brikut mngilustrasikan bahwa sin - aalah fungsi brnilai banyak ngan sjumlah tak brhingga nilai untuk stiap titik. Contoh. Dari prsamaan () iktahui bahwa Ttapi an Karna maka bilangan, sin log log ln i log i. ln ni ln n i ln ln, n ln ni mrupakan himpunan nilai ari log. Jai sin ln n i n (n = 0,,, ) (n = 0,,, ) (n = 0,,, ) i (n = 0,,, ). Dngan tknik sprti yang igunakan paa prsamaan () untuk sin -, apat itunjukkan bahwa (3) cos i log i an juga (4) tan i log i i Fungsi cos - an tan - aalah juga brnilai banyak. Jika kita amati cabang ari akar kuarat an fungsi logaritma yang igunakan, maka smua tiga fungsi invrs i atas brasal ari fungsi brnilai tunggal an analitik sbab mrka aalah komposisi ari fungsi analitik. 03
23 Turunan ari ktiga fungsi i atas apat ilihat paa prsamaan i bawah ini. Turunannya trgantung paa ua nilai yang ipilih untuk akar kuarat: (5) (6) sin cos, Turunan ari yang trakhir aalah tiak aa, bagaimanapun, trgantung paa cara bagaiamana mmbuat fungsi trsbut brnilai tunggal. Invrs ari fungsi hiprbolik apat iprolh ngan cara yang srupa ngan invrs fungsi trigonomtri, an iprolh (8) sinh log, (9) cosh log an (0) tanh log. strusnya. LATIHAN Trakhir, notasi lain untuk fungsi invrs aalah arc sin, arc cos, an. Tunjukkan bahwa jika n = 0,,,, maka i i i xp n xp ln 4 n i a., b.. Carilah nilai utama ari a. i i, b. 3i 3i ; c. i 4i 3. Dngan mnggunakan finisi () bagian 8 ari c tunjukkan bahwa 04
24 3 3i 4. Tunjukkan bahwa hasil alam soal nomor 3 apat itulis alam bntuk: 3 a. 3i 3i 3 an yang icari prtama aalah akar kuarat ari 3i 3 b. 3i 3i 3 an yang icari prtama aalah pangkat tiga ari 3i 5. Tunjukkan bahwa nilai utama akar k-n ari bilangan komplks tak nol o yang ifinisikan paa bagian 7 aalah sama ngan nilai utama ari ifinisikan alam bagian 8. n 0 yang a a 6. Tunjukkan bahwa jika 0 an a suatu bilangan ral, maka xp aln. 7. Misalkan c = a + bi suatu bilangan komplks, imana c 0,,, an iktahui i c aalah fungsi brnilai banyak. Bagaimana cara mmbatasi konstanta c agar supaya nilai ari c i aalah smua sama? 8. Misalkan c,, an aalah bilangan-bilangan komplks, imana 0. Buktikan bahwa jika smua pangkatnya aalah nilai utama, maka (a). c c (b). ( c ) n = cn (n =,, ) (c). c = c+ (). 9. Asumsikan bahwa f () aa, carilah rumus turunan untuk 0. Carilah smua nilai ari : f c (a). tan - (i) (b). tan - (+i) (c). cosh - (-) (). tanh Slsaikan prsamaan sin = untuk, a. Dngan mnyamakan bagian ral an imajinr kua bagian. b. Gunakan prsamaan () bagian 9, untuk sin -. c c 05
25 . Slsaikan prsamaan cos = untuk. 3. Turunkan rumus (5) bagian 9 untuk turunan ari sin Turunkan rumus (4) bagian 9 untuk tan - 5. Turunkan rumus (7) bagian 9 untuk turunan ari tan - 6. Turunkan rumus (9) bagian 9 untuk cosh - 06
FUNGSI EKSPONEN, TRIGONOMETRI DAN HYPERBOLIK BAB I FUNGSI EKSPONEN
BAB I FUNGSI EKSPONEN Dfinisi Fungsi ksponn aalah fungsi f yang mnntukan k. Rumusnya ialah f(. Fungsi ksponn ngan pubah bbas + yi ( an y bilangan ral aalah (cos y + i sin y. Dari finisi ini, jika : y 0
Lebih terperinciTURUNAN RANGKUMAN MATERI. '( x) lim. '( x) lim lim 0. Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai berikut. f (x+h) f (x) x x + h
TURUNAN RANGKUMAN MATERI Turunan fungsi f() traap ifinisikan sbagai brikut f f ( ) f ( ) '( ) lim 0 f (+) f () + Scara gomtri turunan fungsi i = mrupakan grain/kmiringan kurva fungsi trsbut i =. Torma:
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Fungsi Invrs Misalkan : D R a y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN MA1114 KALKULU I 1
8. FUNGSI TRANSENDEN MA4 KALKULU I 8. Invrs Fungsi Misalkan : D R! y dngan () Dinisi 8. Fungsi y () disbut satu-satu jika (u) (v) maka u v atau jika u v maka ( u) ( v) y y y u v ungsi y satu-satu ungsi
Lebih terperinci8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik
8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna
Lebih terperinciIntegral Fungsi Eksponen, Fungsi Trigonometri, Fungsi Logaritma
Modul Intgral Fungsi Eksponn, Fungsi Trigonomtri, Fungsi Logaritma Dr. Subanar D PENDAHULUAN alam mata kuliah Kalkulus I Anda tlah mngnal bahwa intgrasi adalah pross balikan dari difrnsiasi. Jadi untuk
Lebih terperinciBab 1 Ruang Vektor. I. 1 Ruang Vektor R n. 1. Ruang berdimensi satu R 1 = R = kumpulan bilangan real Menyatakan suatu garis bilangan;
Bab Ruang Vktor I. Ruang Vktor R n. Ruang brdimnsi satu R = R = kumpulan bilangan ral Mnyatakan suatu garis bilangan; -3 - - 0. Ruang brdimnsi dua R = bidang datar ; Stiap vktor di R dinyatakan sbagai
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciPembahasan Soal. Pak Anang SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA. Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS. Disusun Oleh :
Pmbahasan Soal SELEKSI MASUK UNIVERSITAS INDONESIA Disrtai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Disusun Olh : Pak Anang Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT Pmbahasan Soal SIMAK UI 2011 Matmatika
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. digunakan sebagai landasan teori pada penelitian ini. Teori dasar mengenai graf
II. LANDASAN TEORI 2.1 Konsp Dasar Graf Pada bagian ini akan dibrikan konsp dasar graf dan dimnsi partisi graf yang digunakan sbagai landasan tori pada pnlitian ini. Tori dasar mngnai graf yang akan digunakan
Lebih terperinciELEKTROMAGNETIKA TERAPAN
KTROMAGNTIKA TRAPAN GOMBANG INTAS MDIUM D W I A N D I N U R M A N T R I S U N A N G S U N A R YA H A S A N A H P U T R I AT I K N O V I A N T I POKOK BAHASAN PNDAHUUAN KOFISIN PANTU, KOFISIN TRUS, DAN
Lebih terperinciSolusi Persamaan Schrodinger 1-dimensi untuk Potensial Deng Fan MenggunakanKonstruksi Supersimetri
ISSN: 57-533X Solusi Prsamaan Shroingr 1-imnsi untuk Potnsial Dng Fan MnggunakanKonstruksi Suprsimtri 1. Wahyulianti, A. Suparmi, C. Cari 1, Program Stui Ilmu Fisika Pasasarjana Univrsitas Sblas Mart,
Lebih terperinciAnalisis Rangkaian Listrik
Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Mnggunakan Transformasi Fourir - Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (4) BAB Analisis Rangkaian Mnggunakan Transformasi Fourir Dngan pmbahasan
Lebih terperinciESTIMASI PARAMETER PADA KENDALI ADAPTIF DENGAN METODA LEAST SQUARE. Iskandar Aziz Dosen Fakultas Teknik Universitas Almuslim ABSTRAK
ESIMASI ARAMEER ADA KENDALI ADAIF DENGAN MEODA LEAS SQUARE Iskanar Aziz Dosn Fakultas knik Univrsitas Almuslim ABSRAK Estimasi paramtr alam kontrol aaptif sangat pnting mngingat prinsip bahwa hasil stimasi
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI DENGAN FAKTOR LOGISTIK
ANALISIS STABILITAS MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI DENGAN FAKTOR LOGISTIK Supani 1 Astrak Prsaingan khiupan i alam apat ikatgorikan ua jnis yaitu prtama prsaingan antara ua spsis
Lebih terperinciBAB VI. FUNGSI TRANSENDEN
BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN Fungsi Logaritma Natural Fungsi Balikan (Invers) Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Umum an Fungsi Logaritma Umum Masalah Laju Perubahan Seerhana Fungsi Trigonometri Balikan
Lebih terperinciKalkulus II Intgral Fungsi Transndn Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T. www.kopujiyanto.wordprss.com kop003@yahoo.com 08 78 399 Matri Intgral Fungsi Logaritma dan Eksponn Intgra Invrs Fungsi Trigonomtri Intgra
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperinciAplikasi Integral. Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan
Aplikasi Intgral Intgral dapat diaplikasikan k dalam banyak hal. Dari yang sdrhana, hingga aplikasi prhitungan yang sangat komplks. Brikut mrupakan aplikasi-aplikasi intgral yang tlah diklompokkan dalam
Lebih terperinci8. FUNGSI TRANSENDEN
8. FUNGSI TRANSENDEN 8. Fngsi Invrs Misalkan : D R dngan Dinisi 8. Fngsi = disbt sat-sat jika = v maka = v ata jika v maka v v ngsi = sat-sat ngsi =- sat-sat ngsi tidak sat-sat INF8 Kalkls Dasar Scara
Lebih terperinciHendra Gunawan. 29 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hndra Gunawan Smstr I, 013/014 9 Novmbr 013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Ssorangygtingginya~1,60 m brdiri ditpiatastbing, mlihat lh k laut yang brada ~18,40 m di bawahnya. Pada saatitu
Lebih terperinciBab 6 Sumber dan Perambatan Galat
Mtod Pnlitian Suradi Sirgar Bab 6 Sumbr dan Prambatan Galat 6. Sumbr galat. Data masukan, misal hasil pngukuran (galat bawaan). Slama komputasi (galat pross), galat ang timbul akibat komputasi 3. Galat
Lebih terperinciANALISIS SAMBUNGAN PAKU
4 ANALISIS SAMBUNGAN PAKU Alat sambung paku masih sring ijumpai paa struktur atap, ining, atau paa struktur rangka rumah. Tbal kayu yang isambung biasanya tiak trlalu tbal brkisar antara 0 mm sampai ngan
Lebih terperinciKARAKTERISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTRAL
Jurnal Barkng Vol 5 No Hal 33 39 (0) KAAKTEISASI ELEMEN IDEMPOTEN CENTAL HENY W M PATTY, ELVINUS ICHAD PESULESSY, UDI WOLTE MATAKUPAN 3,,3 Staf Jurusan Matmatika FMIPA UNPATTI Jl Ir M Putuhna, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah METODE-METODE DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU
Ringkasan atri Kuliah ETODE-ETODE DASAR PERSAAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Pndahuluan Prsamaan dirnsial adalah prsamaan ang mmuat turunan satu atau bbrapa) ungsi ang takdiktahui skipun prsamaan sprti itu harusna
Lebih terperinciBAB IV TURUNAN FUNGSI. Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa diharapkan mampu menentukan turunan fungsi yang diberikan.
BAB IV TURUNAN FUNGSI Sla kia mmbaas i an kkoninuan fungsi paa bab sblumna, kia akan mmbaas nang urunan ang konspna ikmbangkan ari konsp i Pmbaasan urunan ibagi mnjai ua bagian, bagian prama mmbaas pngrian,
Lebih terperinciDIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA Salah satu metoe yang cukup penting alam matematika aalah turunan (iferensial). Sejalan engan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak igunakan untuk biang-biang rekayasa
Lebih terperinciUniversitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde I
Univrsitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputr Tknik Informatika Prsamaan Difrnsial Ord I Dfinisi Prsamaan Difrnsial Prsamaan difrnsial adalah suatu prsamaan ang mmuat satu atau lbih turunan fungsi
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinciEnsembel Kanonik Klasik
nsmbl Kanonik Klasik Mnghitung Banyak Status Kaaan Sistm Misal aa ua sistm A an B yang bolh brtukar nrgi tai tiak bolh tukar artikl. Misal status kaaan an nrgi masing-masing sistm aalah sbb: Status A nrgi
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Diferensiasi
Suaratno Suirham Diferensiasi Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org Pengertian-Pengertian 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan
Lebih terperinciBAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM
BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Aplikasi modl matmatika banyak muncul dalam brbagai disiplin ilmu pngtahuan, sprti isika, kimia, konomi, prsoalan rkayasa (tknik msin, sipil, lktro). Modl matmatika yang
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 7
Mata Kuliah : Matmatika Diskrit Program Studi : Tknik Informatika Minggu k : 7 MATRIK GRAPH Sbuah graph dapat kita sajikan dalam bntuk matrik, yaitu : a. Matrik titik (Adjacnt Matrix) b. Matrik rusuk (Edg
Lebih terperinciMinggu Ke XII Matriks dan Graf
Minggu K XII. Matriks dan Graf Misal G adalah graf dngan titik-titik,,,., dan garis-garis,,,, n. Kadang-kadang dngan praktis khususnya untuk alasan-alasan prhitungan, dapat mngganti G dngan suatu matriks.
Lebih terperinciPertemuan XIV, XV VII. Garis Pengaruh
ahan jar Statika ulyati, ST., T rtmuan X, X. Garis ngaruh. ndahuluan danya muatan hidup yang brgrak dari satu ujung k ujung lain pada suatu konstruksi disbut bban brgrak. isalkan ada sbuah kndaraan mlalui
Lebih terperinciFungsi Elementer (Bagian Kedua)
Fungsi Elementer (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IX) Outline 1 Fungsi Hiperbolik 2 sin(iz) =
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Data penelitian diperoleh dari siswa kelas XII Jurusan Teknik Elektronika
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. DESKRIPSI DATA Data pnlitian diprolh dari siswa klas XII Jurusan Tknik Elktronika Industri SMK Ma arif 1 kbumn. Data variabl pngalaman praktik industri, kmandirian
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciPresentasi 2. Isi: Solusi Persamaan Diferensial pada Saluran Transmisi
Prsntasi Isi: Solusi Prsamaan Difrnsial pada Saluran Transmisi Rprsntasi sinyal dalam bntuk phasor Pmikiran Dasar Sinyal harmonis mudah untuk diturunkan dan diintgralkan Smua sinyal fungsi waktu bisa dirprsntasikan
Lebih terperinci1. Diberikan fungsi permintaan dan penawaran sebuah barang, Q 25 2Q
Matmatika Ekonomi I Jawaban Tuga I Matmatika Ekonomi I. Dibrikan fungi prmintaan an pnawaran buah barang, 0 ngan,, an brturut-turut aalah harga (alam rupiah), kuantita (jumlah) prmintaan an kuantita pnawaran.
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciSolusi Tutorial 6 Matematika 1A
Solusi Tutorial 6 Matematika A Arif Nurwahi ) Pernyataan benar atau salah. a) Salah, sebab ln tiak terefinisi untuk 0. b) Betul. Seerhananya, titik belok apat ikatakan sebagai lokasi perubahan kecekungan.
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mngnai tori dan trminologi graph, yaitu bntuk-bntuk khusus suatu graph. Di sini uga akan dilaskan mngnai minimum spanning tr, pmrograman 0-, dan aplikasi
Lebih terperinciBagian 3 Differensiasi
Bagian Differensiasi Bagian Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untuk mengitung turunan an berbagai teknik ifferensial. Paa penerapan konsep limit, Ana akan iperkenalkan engan konsep
Lebih terperinciBAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
IV SI D EMS 4 Mol Mikroskopik Jalur unggal Mol mikroskopik mrupakan suatu mol yang mnskripsikan tingka laku pngnara mobil scara iniiu paa brbagai macam situasi alam brknara i jalan raya aa mol mikroskopik
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN KOMPLEKS
BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS Pokok Pembahasan : Definisi Bilangan Imajiner Bilangan Kompleks Operasi Aritmatik BAB 1 SISTEM BILANGAN KOMPLEKS 1.1. DEFINISI Bilangan kompleks adalah bilangan yang besaran
Lebih terperinciFUNGSI HIPERBOLIK Matematika
FUNGSI HIPERBOLIK FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Grafik dari fungsi hiperbolik Menentukan nilai fungsi hiperbolik Fungsi hiperbolik invers Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers Identitas hiperbolik
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciOleh : Bustanul Arifin K BAB IV HASIL PENELITIAN. Nama N Mean Std. Deviation Minimum Maximum X ,97 3,
Kpdulian trhadap sanitasi lingkungan diprdiksi dari tingkat pndidikan ibu dan pndapatan kluarga pada kluarga sjahtra I klurahan Krtn kcamatan Lawyan kota Surakarta Olh : Bustanul Arifin K.39817 BAB IV
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciTINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER
TINJAUAN ULANG EKSPANSI ASIMTOTIK UNTUK MASALAH BOUNDARY LAYER HannaA Parhusip Cntr of Applid Mathmatics Program Studi Matmatika Industri dan Statistika Fakultas Sains dan Matmatika Univrsitas Kristn Sata
Lebih terperinciPenerapan Algoritma RSA dan CBC (Chiper Block Chaining) untuk Enkripsi-Dekripsi Citra Digital
Pnrapan Algoritma RSA an CBC (Chipr Block Chaining) untuk - Citra Digital Muhamma Hilmi Asyrofi an 13515083 1 Program Stui Tknik Informatika Skolah Tknik Elktro an Informatika Institut Tknologi Banung,
Lebih terperinciUJI KESELARASAN FUNGSI (GOODNESS-OF-FIT TEST)
UJI CHI KUADRAT PENDAHULUAN Distribusi chi kuadrat mrupakan mtod pngujian hipotsa trhadap prbdaan lbih dari proporsi. Contoh: manajr pmasaran suatu prusahaan ingin mngtahui apakah prbdaan proporsi pnjualan
Lebih terperinciPada gambar 2 merupakan luasan bidang dua dimensi telah mengalami regangan. Salah satu titik yang menjadi titik acuan adalah titik P.
nurunan Kcpatan Glombang dan Glombang S Glombang sismik mrupakan gtaran yang mrambat pada mdium batuan dan mnmbus lapisan bumi. njalaran mnybabkan dformasi batuan.strss atau tkanan didfinisikan gaya prsatuan
Lebih terperinciDebuging Program dengan EasyCase
Modul asyc 1 Dbuging Program dngan EasyCas Di susun Olh : Di dukung olh : Portal dukasi Indonsia Opn Knowlodg and Education http://ok.or.id Modul asyc 2 KATA PENGANTAR Puji syukur kpada guru sjatiku Gusti
Lebih terperinciRPKPS (RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER)
RPKPS (RENCANA PROGRAM DAN KEGIATAN PEMBELAJARAN SEMESTER) 1. Nama Matakuliah : FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS I 2. Kod/SKS : MMM2112/2 SKS 3. Prasarat : Kalkulus Multivariabl I (prnah mngambil) 4. Status Matakuliah
Lebih terperinciMuatan Bergerak. Muatan hidup yang bergerak dari satu ujung ke ujung lain pada suatu
Muatan rgrak Muatan hidup yang brgrak dari satu ujung k ujung lain pada suatu konstruksik disbut bb bban brgrak Sbuah kndaraan mlalui suatu jmbatan, maka akan timbul prubahanbh nilai i raksi kimaupun gaya
Lebih terperinciDEFINISI. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. pohon pohon bukan pohon bukan pohon 2
1 POHON DEFINISI Pohon aalah graf tak-rarah trhuung yang tiak mnganung sirkuit a a a a f f f f pohon pohon ukan pohon ukan pohon 2 Hutan (forst) aalah - kumpulan pohon yang saling lpas, atau - graf tiak
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
D.. = D.. = D.. = = 0 D.. = D.. = D.. = 3 FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln = (Daerah asalnya adalah R). t dt, > 0 Turunan Logaritma Asli
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN. Gambar 3 Proses penentuan perilaku api.
6 yang diharapkan. Msin infrnsi disusun brdasarkan stratgi pnalaran yang akan digunakan dalam sistm dan rprsntasi pngtahuan. Msin infrnsi yang digunakan dalam pngmbangan sistm pakar ini adalah FIS. Implmntasi
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi
Lebih terperinciFUNGSI DAN MODEL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 63
FUNGSI DAN MODEL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 63 Topik Bahasan 1 Fungsi 2 Jenis-jenis Fungsi 3 Fungsi Baru dari Fungsi Lama 4
Lebih terperinciOnline Jurnal of Natural Science, Vol.3(1): ISSN: March 2014
Onlin Jurnal of Natural Scinc, ol.3(1): 65-74 ISSN: 338-0950 March 014 PELABELAN TOTAL SISI AJAIB SUPER (TSAS) PADA GABUNGAN GRAF ULAT BULU DAN BIPARTITE LENGKAP I W. Sudarsana 1, Fitria and S. Musdalifah
Lebih terperinciIDE - IDE DASAR MEKANIKA KUANTUM
IDE - IDE DASAR MEKANIKA KUANTUM A. Radiasi Bnda Hitam 1. Hasil-Hasil Empiris Gambar 1. Grafik fungsi radiasi spktral bnda hitam smpurna a. Hukum Stfan Hukum Stfan dapat dituliskan sbagai total = f df
Lebih terperinciSISTEM PENGOLAHAN ISYARAT. Kuliah 5 Transformasi Fourier
TKE 403 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT Kuliah 5 Transformasi Fourir Bagian II Indah Susilawai, S.T., M.Eng. Program Sudi Tknik Elkro Fakulas Tknik dan Ilmu Kompur Univrsias Mrcu Buana Yogyakara 009 KULIAH 5
Lebih terperinciMETODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Yuli Syafti Purnama 1 ABSTRACT
METODE ITERASI KELUARGA CHEBYSHEV-HALLEY UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Yuli Syafti Purnama Mahasiswa Program Studi S Matmatika Fakultas Matmatika dan Ilmu Pngtahuan Alam Univrsitas Riau Kampus
Lebih terperinciANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciSTRUKTUR DAN KOMPOSISI TANAH
STRUKTUR DAN KOMPOSISI TANAH 2.1 Pnahuluan Tanah truun ari butiran tanah atau partikl lainnya an rongga-rongga atau pori i antara partikl butiran tanah. Rongga-rongga trii bagian atau luruhnya ngan air
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciTransformasi Peubah Acak (Lanjutan)
Dpt. Statistika IPB, 0 Transormasi Pubah Acak Lanjutan B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod ungsi sbaran. Misalkan diktahui kp bagi p.a. adalah x. Jika didinisikan p.a. lainna
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciBAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN
BAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN Pmbahasan harga opsi idak dapa dilpaskan dari pmbahasan nang skurias lain yang brhubungan dngan haga opsi. Shingga prlu dibahas masalah
Lebih terperinciBAB IV FUNGSI KOMPLEKS
47 BAB IV FUNGSI KOMPLEKS 4.. BILANGAN KOMPLEKS. 4... Notas Blangan Komplks Brmacam - macam notas dar blangan komplks pada mulanya ddfnskan sbaga pasangan blangan rl, msal (, y ), namun scara umum notas
Lebih terperinciDeret Fourier, Transformasi Fourier dan DFT
Drt Fourir, Transformasi Fourir dan DFT A. Drt Fourir Drt fourir adalah drt yang digunakan dalam bidang rkayasa. Drt ini prtama kali ditmukan olh sorang ilmuan prancis Jan-Baptist Josph Fourir (1768-18).
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA
FUNGSI TRANSENDEN J.M. TUWANKOTTA. Penekatan Kalkulus: menefinisikan fungsi logaritma natural sebagai integral Panang sebuah fungsi yang iefinisikan engan menggunakan integral: (.) L(x) = t t. Dari Teorema
Lebih terperinciUJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1
Jurusan Matematika FMIPA IPB UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 4 Maret 003 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: (a) (b) x sin x x + 1 ; x (cos (x 1)) :. Diberikan fungsi
Lebih terperincimodel pengukuran yang menunjukkan ukur Pengukuran dalam B. Model Mode sama indikator dan 1 Pag
Modl Modl Pngukuran dalam Pmodlan Prsamaan Struktural Wahyu Widhiarso Fakultas Psikologi UGM Tulisan ini akan mmbahas bbrapa modl dalam SEM yang unik. Dikatakan unik karna jarang dipakai. Tulisan hanya
Lebih terperinciTinjauan Termodinamika Pada Sistem Partikel Tunggal Yang Terjebak Dalam Sebuah Sumur Potensial
injauan rmodinamika ada Sistm artikl unggal Yang rjbak Dalam Sbua Sumur otnsial Dngan mngmbangkan ubungan trmodinamik yang sdrana untuk pngumpulan partikl yang tunggal yang ditmpatkan pada dara potnsial.
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciPENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat
Lebih terperinci3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial
Darpublic Nopember 03.arpublic.com 3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial 3.. Turunan Fungsi Trigonometri Jika sin maka sin sin( + ) sin sin cos + cos sin sin Untuk
Lebih terperinciPELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM
JIMT Vol. 4 No. Juni 07 (Hal 56-69) ISSN : 450 766X PELABELAN PRIME CORDIAL UNTUK GRAF BUKU DAN GRAF MATAHARI YANG DIPERUMUM S.Pranata, I. W. Sudarsana dan S.Musdalifah 3,,3 Program Studi Matmatika Jurusan
Lebih terperinciMETODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT
METODE ITERASI TANPA TURUNAN BERDASARKAN EKSPANSI TAYLOR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR E. Yuliani, M. Imran, S. Putra Mahasiswa Program Studi S Matmatika Laboratorium Matmatika Trapan, Jurusan
Lebih terperinciPERTEMUAN-4 dan 5. [PD. Menggunakan faktor Integrasi] (1) ) Tidak Eksak (2)
ERTEUA- an 5. ang apat ibat Eksak [. nggnakan faktor Intgrasi] Jika: Tiak Eksak rsamaan tiak ksak an prsamaan aalah ksak an kana aalah intik ang mmpnai solsi ang sama. Hal ini brarti kofisin ari an ngan
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFFERENSIAL. Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika
PERSAMAAN DIFFERENSIAL Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Disusun oleh: Aurey Devina B 1211041005 Irul Mauliia 1211041007 Anhy Ramahan 1211041021 Azhar Fuai P 1211041025 Murni Mariatus
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN Data Langkah-Langkah Penelitian
METODE PENELITIAN Data Inonesia merupakan salah satu negara yang tiak mempunyai ata vital statistik yang lengkap. Dengan memperhatikan hal tersebut, sangat tepat menggunakan Moel CPA untuk mengukur tingkat
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciSuatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu persamaan iferensial biasa ore n aalah persamaan bentuk : F n, ', '', ''',......, 0 Yang menatakan hubungan antara, fungsi () an turunanna ', '',
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciMaterike April 2014
Matrik-6 Pnggunaan Intgral Tak Tntu 10 April 014 Prsamaan Difrnsial dan Pnggunaanna Prsamaan difrnsial mngaitkan suatu fungsi dngan turunanna ( difrnsial Contoh ' ' '' ' Prsamaan Difrnsial dan Pnggunaanna
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinci