BAB 2 DASAR TEORI 2.1 TEORI GELOMBANG LINIER. Bab 2 Teori Dasar

Transkripsi

1 BAB 2 DASAR TEORI Glombang air mrupakan manifstasi dari suatu rambatan nrgi yang mmiliki frkunsi dan priod. Glombang air yang trjadi di laut dapat disbabkan olh angin, grakan kapal, gmpa atau gaya gravitasi dari matahari dan bulan. Salah satu pnybab glombang yang utama di laut adalah angin. Stlah glombang trbntuk, glombang trsbut akan mrambat di prmukaan laut. Dalam mmplajari prambatan glombang ini digunakanlah tori glombang, diantaranya adalah tori glombang linir. Tori ini digunakan sbagai salah satu pndkatan dalam mmodlkan prambatan glombang scara matmatis. Dalam tori ini digunakan bbrapa asumsi untuk mnydrhanakan prmasalahan. Jika glombang yang mrambat mngnai struktur yang brada di prairan akan diknai gaya yang ditimbulkan olh glombang. Gaya yang mngnai struktur trsbut diformulasikan dalam prsamaan Morison, prsamaan Froud Krylov dan tori difraksi. 2.1 TEORI GELOMBANG LINIER Pada pngmbangan tori ini diasumsikan bahwa fluida dngan aliran stdi, tak mampu mampat (incomprssibl), dan irotasional. Slain itu brlaku juga hukum kkkalan massa yang mrupakan dasar prsamaan diffrnsial grak glombang. Paramtr trpnting dari glombang adalah panjang glombang (L) (jarak dari satu puncak glombang k puncak glombang lainnya yang brurutan), tinggi glombang H ( jarak vrtikal dari lmbah glombang k puncak glombang), priod glombang T (waktu yang ditmpuh untuk satu lintasan glombang), dan kdalaman prairan tmpat glombang mnjalar. ntuk prumusan tori glombang digunakan koordinat kartsian, dimana x sarah dngan grak glombang, z diukur dari prmukaan laut rata rata katas scara vrtikal, dan y tgak lurus trhadap x dan z. Diasumsikan glombang dalam dua dimnsi pada bidang x z, brgrak dalam arah x positif srta brgrak di prmukaan laut yang datar dngan kdalaman yang konstan dimana slama brgrak bntuk glombang tidak brubah. Slain itu fluidanya diasumsikan sbagai fluida sragam dan tidak mampu mampat (incomprssibl), shingga krapatan fluida ρ konstan srta pada prmukaan bbas tkanan sragam dan konstan. Asumsi lainnya adalah tgangan prmukaan diabaikan. Di bawah ini akan digambarkan profil glombang dua dimnsi yang brgrak dalam arah x. Elvasi muka air η mrupakan fungsi dari ruang dan waktu (x,t) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 1

2 (Dan & Dalrympl, 1991) Gambar 2. 1 Karaktristik glombang. Asumsi dasar yang ditrapkan adalah fluida yang tak mampu mampat (incomprssibl) dan tidak kntal (inviscid), slain itu tidak trjadi grak brputar fluida (irrotational motion), ada potnsial kcpatan (vlocity potntial) yang mmnuhi prsamaan kontinuitas. Atau (incomprssibl) (2.1) (2.2) (irrotational) (2.3) Dngan = vktor kcpatan = potnsial kcpatan Prsamaan (2.2) ditulis dalam prsamaan Laplac sbagai brikut ntuk dua dimnsi x dan z, prsaman Laplac ditulis mnjadi (2.4) (2.5) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 2

3 Prsamaan Laplac mrupakan prsamaan pngatur BVP (Boundary Valu Problm) pada Gambar 2.2 dngan syarat batas sbagai brikut: 1. Syarat batas dasar prairan (th bottom boundary condition, BBC) pada z = h (2.6) 2. Syarat batas prmukaan: Syarat batas kinmatis (kinmatic fr surfac boundary condition, KFSBC) pada z = η (x,t) (2.7) Syarat batas dinamis (dynamic fr surfac boundary condition, DFSBC) 3. Syarat batas priodik: pada z= η (x,t) (2.8) (x,t) = (x+l,t) (x,t) = (x,t+t) (2.9) Gambar 2. 2 Sktsa dfinisi masalah nilai batas untuk tori glombang linir. Solusi yang tpat dari prsamaan diatas sangat sulit untuk ditntukan karna syarat batas di prmukaan mmiliki suku suku tak linir srta kondisi awal di prmukaan, z = η (x,t), tidak diktahui. Olh karnanya dilakukan pnydrhanaan dngan mlinirkan suku suku tak linir. Pliniran dilakukan dngan mmbuat asumsi tinggi glombang H jauh lbih kcil jika dibandingkan dngan Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 3

4 panjang glombang L dan kdalaman h, jadi H<<L,h. Brdasarkan asumsi ini maka tori glombangnya disbut dngan tori glombang linir. Karna asumsi H<<L,h maka suku suku tak linir pada syarat batas dapat diabaikan srta syarat batas di prmukaan ditrapakan pada z=0 shingga syarat batas di prmuakaan dapat ditulis mnjadi: Syarat batas kinmatis (kinmatic fr surfac boundary condition, KFSBC) pada z = 0 (2.10) Syarat batas dinamis (dynamic fr surfac boundary condition, DFSBC) pada z= 0 (2.11) Dngan mmanfaatkan syarat batas yang baru trsbut, kita dapat mnylsaikan prsamaan Laplac di atas dngan mnggunakan mtoda pmisahan variabl (sparation of variabls mthod) shingga untuk glombang brjalan didapat potnsial kcpatan. (2.12) Dari syarat batas dinamis, dngan mmbuat rata rata dari η=0 maka C(t) =0 shingga Atau pada z=0 (2.13) (2.14) Smntara itu dari syarat batas kinmatis dngan mnsubsitusikan prsamaan (2.12) dan (2.14) k prsamaan trsbut, didapat prsamaan baru yang disbut prsamaan disprsi, yaitu (2.15) Glombang brjalan mmbutuhkan satu prioda T untuk mnmpuh satu panjang glombang L, dngan = 2π/T srta k = 2π/L maka cpat rambat glombang dapat dituliskan dalam prsamaan brikut Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 4

5 (2.16) Atau (2.17) Pada laut dalam, kh bsar dan tanh 2πh/L = 1, shingga L= L 0 =gt 2 /2π dimana L 0 adalah panjang glombang di laut dalam. Scara umum ditulis sbagai brikut: (2.18) Jadi panjang glombang brkurang dngan brkurangnya kdalaman untuk prioda yang konstan. 2.2 KOMPONEN KECEPATAN DAN PERCEPATAN PARTIKEL Kcpatan partikl dapat dihitung dngan diktahuinya potnsial kcpatan, dimana kcpatan partikl air mrupakan turunan prtama dari potnsial kcpatan. Kcpatan horizontal partikl u adalah: Atau (2.19) (2.20) Dari kcpatan dapat dihitung prcpatan partikl air, dimana prcpatan partikl air mrupakan turunan prtama kcpatan trhadap waktu. Prcpatan lokal dalam arah horizontal adalah Dan kcpatan vrtikal w srta prcpatannya adalah (2.21) (2.22) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 5

6 (2.23) Kcpatan dan prcpatan mrupakan fungsi dari posisi shingga trdapat bda fas sbsar Kcpatan horizontal akan mmpunyai nilai yang kstrim pada saat posisi fasnya (kx t) = 0,π, atau di bawah puncak dan lmbah glombang smntara prcpatan mmpunyai nilai kstrim pada saat π/2,3π/2, atau pada waktu prpindahan muka air adalah nol. 2.3 GAYA GELOMBANG Stiap struktur yang trdapat dilaut akan dibbani olh gaya glombang, untuk mnghitung gaya trsbut maka diprlukan pnrapan mkanika glombang. Struktur yang sring digunakan di darah pantai dan lpas pantai adalah struktur yang mmanfaatkan tiang sbagai pnyangga. Dalam prhitungan gaya glombang dapat digunakan bbrapa rumusan diantaranya adalah prsamaan Morison, prsamaan Froud Krylov dan tori difraksi. Prsamaan prsamaan ini dapat digunakan brdasarkan ukuran dari struktur yang dilwati olh glombang trsbut. ntuk struktur yang brukuran kcil dimana D (diamtr tiang pnopang dari struktur trsbut) mmiliki ukuran yang jauh lbih kcil dari L (panjang glombangnya) maka prhitungan gaya glombangnya dapat dihitung dngan prsamaan Morison dan prsamaan Froud Krylov. Sdangkan untuk struktur yang mmiliki ukuran yang bsar dimana diamtr tiang pnopang dari struktur trsbut mmiliki ukuran yang tidak brbda jauh dari panjang glombangnya maka prhitungan gaya glombangnya dapat dihitung dngan tori difraksi. Brikut ini akan dijlaskan pnggunaan prsamaan prhitungan gayagaya trsbut: ntuk struktur yang brukuran kcil small body (D/L 0.2 ) dapat digunakan prsamaan Morison. Jika struktur (0.2 < D/L 0.5) maka dapat digunakan prsamaan Froud Krylov. Sdangkan jika struktur mmiliki ukuran yang bsar larg body (D/L > 0.5) dapat digunakan tori difraksi. Tori difraksi digunakan apabila struktur yang akan dilalui cukup bsar shingga akan mmpngaruhi glombang. Struktur yang bsar ini mngakibatkan glombang akan mnghambur ktika mlwati struktur shingga trjadi prubahan pola aliran dari glombang. Gaya glombang Morison dan Froud Krylov mnsyaratkan bahwa glombang tidak pcah saat mlwati struktur. Slain itu, pngaruh kbradaan tiang trhadap aliran akibat glombang diabaikan karna tidak mrubah pola aliran. Asumsi ini dipakai karna diamtr tiang (D) lbih kcil dibandingkan panjang glombang (L). Dua kofisin gaya, kofisin inrsia (C M ) dan kofisin srt (C D ), digunakan untuk mnntukan hubungan gaya dan glombang Prsamaan Morison Morison mnyatakan bahwa gaya glombang dapat diksprsikan sbagai pnjumlahan dari gaya srt (drag forc) akibat kcpatan partikl air saat mlwati struktur dan gaya inrsia (inrtia forc) akibat prcpatan partikl air. Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 6

7 (2.24) (2.25) Prsamaan Morison dibatasi olh syarat yang dinyatakan sbagai brikut: Dimana D = diamtr struktur L = Panjang glombang Hal ini brarti bahwa struktur lbih kcil dari panjang glombang. ntuk mnntukan gaya total (F), maka prsamaan Morison prlu diintgrasikan spanjang struktur yang trndam. (2.26) dimana (2.27) F C D C M : gaya hidrodinamik pr satuan panjang : kofisin srt : kofisin inrsia : volum struktur yang trkna gaya A : luas proyksi dari struktur arah normal aliran : kcpatan prtikl air, tgak lurus trhadap sumbu struktur : prcpatan partikl air, tgak lurus trhadap lmn struktur Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 7

8 2.3.2 Prsamaan Froud Krylov Prsamaan Froud Krylov brlaku untuk mnghitung gaya glombang yang bkrja pada struktur yang cukup bsar, namun kbradaan struktur ini tidak mmbrikan prubahan yang brarti pada pola aliran. Prsamaan Froud Krylov dibatasi olh syarat yang dinyatakan sbagai brikut: Dimana D = diamtr struktur L = Panjang glombang Prsamaan Froud Krylov dinyatakan dalam prsamaan matmatis sbagai brikut: Dimana (2.28) Maka prsamaan 2.28 dapat ditulis mnjadi: (2.29) dimana (2.30) F : gaya hidrodinamik pr satuan panjang : massa jnis fluida g H k n : prcpatan gravitasi : tinggi glombang : bilangan glombang : unit vktor normal Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 8

9 2.3.3 Tori difraksi Tori difraksi dapat digunakan dalam mnghitung gaya glombang yang bkrja pada struktur yang cukup bsar. Akibat dari adanya struktur trsbut maka glombang akan trdifraksi dan trjadi prubahan pada pola aliran. Akibat trjadinya prubahan pola aliran maka trdapat potnsial kcpatan yang baru. Potnsial kcpatan yang baru didapat dngan mnggunakan prinsip supr posisi, brikut ini akan akan disajikan dalam bntuk matmatis: Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 9

10 (2.31) dimana : potnsial kcpatan total : potnsial kcpatan glombang datang : potnsial kcpatan yang mnybar (scattrd) Maka gaya glombang yang bkrja pada struktur dapat dihitung dngan mnsubsitusikan prsamaan 2.28 dan 2.29 dngan prsamaan 2.31, shingga didapatkan psamaan brikut: (2.32) 2.4 STRKTR TERAPNG Stiap struktur yang tdapat dilaut akan dipngaruhi olh glombang. Rspon dari struktur trsbut akibat adanya glombang dapat ditntukan dngan mnganalisa struktur brdasarkan sudut pandang hidrodinamika. Dalam kasus ini struktur trapung diasumsikan brada pada darah yang mmiliki glombang yang tratur (rgular wav) yang mnyrupai bntuk sinusoidal. ntuk mndapatkan total gaya hidrodinamika yang bkrja pada struktur trapung maka prlu kita ktahui komponn pnyusun dari gaya hidrodinamika trsbut, diantaranya adalah: Bban ksitasi (xciation load) Bban radiasi (radiation load) Ilustrasi dari total gaya hirodinamika trsbut dapat dilihat pada gambar 2.3 brikut ini: Gambar 2. 3 Ilustrasi total gaya hirodinamika. Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 10

11 Dalam bntuk matmatis total gaya hidrodinamika pada struktur trapung dapat ditulis mnjadi: Dimana ntuk ( j = 1,2,,6) (2.33) : Wav xcitatioan forcs yang trdiri dari gaya glombang Froud Krylov dan gaya glombang difraksi : Radiation forcs yang trdiri dari addd mass dan potnsial damping : Viscous forcs yang trdiri dari skin friction dan ddy making : Hirostatic forcs yang trdiri dari gaya gravitasi dan gaya apung (buoyancy) Stiap komponn gaya mmiliki potnsial kcpatan yang brbda bda, pnjumlahan dari masing masing potnsial kcpatan akan mnghasilkan sbuah potnsial kcpatan total. Dimana masing masing potnsial kcpatan mmnuhi syarat batas yang brlaku. Pngaruh gaya yang ditimbulkan akibat kkntalan fluida (viscous forcs) dalam kasus ini dapat diabaikan, hal ini dikarnakan bilangan rynold (prsamaan 2.34) mmiliki nilai yang bsar, shingga kkntalan fluida tidak brpngaruh. Dimana (2.34) u D : kcpatan aliran fluida : diamtr struktur : kkntalan fluida Bilangan rynold mmiliki nilai yang bsar karna dalam kasus ini struktur yang dilwati olh glombang mmiliki ukuran yang bsar. Sdangkan gaya hidrostatik akan brpngaruh dari kkakuan dari stuktur. ntuk struktur trapung total potnsial kcpatan mrupakan pnjumlahan dari potnsial kcpatan glombang datang, potnsial kcpatan difraksi, yang mrupakan akibat dari gaya luar tanpa adanya pngaruh dari grakaan struktur, dan juga potnsial kcpatan radiasi, yang mrupakan hasil dari grakan struktur. Dalam bntuk matmatis total potnsial kcpatan dapat ditulis sbagai brikut: ) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 11

12 (2.35) Dalam bntuk komplks prsamaan 2.34 dapat ditulis mnjadi: (2.36) Dimana a adalah amplitudo glombang dan adalah frkunsi glombang datang. Bntuk komplks dari potnsial glombang datang dinyatakan. Bntuk komplks dari potnsial kcpatan difraksi dinyatakan. Sdangkan bntuk komplks dari potnsial kcpatan radiasi dinyatakan, dimana adalah bntuk komplks dari arah grakan dari struktur trapung Bban ksitasi (xcitation load) Bban ksitasi mrupakan bban luar yang pada struktur. Dalam prmasalahan ini bban ksitasi diakibatkan olh glombang. Bban ksitasi trdiri dari bban akibat glombang datang dan bban difraksi. Dimana bsar gaya yang ditimbulkan olh bban ksitasi mrupakan pnjumlahan dari gaya akibat glombang datang dan gaya akibat difraksi, dalam rumusan matmatis dapat ditulis mnjadi: Shingga didapatkan gaya ksitasi sbagai brikut (2.37) (2.38) Bban radiasi (radiation load) Bban radiasi muncul akibat prgrakan dari struktur trapung shingga mnimbulkan potnsial kcpatan baru. Potnsial kcpatan ini diknal sbagai potnsial kcpatan radiasi. Gaya yang ditimbulkan olh bban radiasi ini dinyatakan dalam bntuk matmatis sbagai brikut: (2.39) Potnsial kcpatan radiasi dapat dinyatakan dalam prsamaan matmatis sbagai brikut: Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 12

13 (2.40) Dimana adalah arah grakan dari strukturuntuk arah j, sdangkan adalah potnsial kcpatan radiasi untuk arah j. Dari prsamaan 2.39 bntuk riil dari prsamaan ini disbut sbagai kofisin massa tambah sdangkan bntuk imajinr dari prsamaan ini disbut sbagai kofisin rdaman. (2.41) (2.42) Shingga didapatkan bntuk lain dari prsamaan gaya yang ditimbulkan olh bban radiasi adalah: (2.41) Dimana mrupakan kofisin massa tambah, sdangkan adalah kofisin rdaman. 2.5 STRIP THEORY Strip thory mrupakan suatu mtod prhitungan masalah dinamika dari suatu struktur trapung, dimana gaya gaya yang bkrja dan rspon suatu struktur tiga dimnsi trsbut dapat ditntukan dngan mnggunakan hasil dari tori potnsial dua dimnsi. Tori ini mngasumsikan bahwa struktur ramping atau dngan kata lain ukuran panjang struktur jauh lbih panjang dari lbar dan draft struktur trapung trsbut. Prinsip dari tori ini adalah dngan mmbagi struktur trapung mnjadi bbrapa bagian ( 20 bagian), kmudian mngkombinasikan sluruh kofisin dari stiap bagian struktur trsbut untuk mmprolh kofisin addd mass dan kofisin damping. Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 13

14 Gambar 2. 4 Potongan 2 dimnsi dari kapal (struktur trapung). Kofisin kofisin trsbut dapat dibntuk dalam matriks yang brukuran 6 6, dimana ukuran matriks ini mnandakan struktur brgrak dalam 6 drajat kbbasan. Brikut ini adalah rumusan untuk mnghitung masing masing kofisin pmbntuk matriks prsamaan grak dinamik: ntuk arah vrtikal: A B = a dx = b dx (2.42) (2.43) A13 = A31 = a13dx (2.44) B13 = B31 = b13dx (2.45) A = a dx B (2.46) B15 = xb13dx+ 0 A13 (2.47) A = a dx+ B (2.48) B15 = xb13dx 0 A13 (2.49) A B = a dx = b dx (2.50) (2.51) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 14

15 A = xa dx B (2.52) B35 = xb33dx 0 A33 (2.53) A = xa dx+ B (2.54) B53 = xb33dx 0 A33 (2.55) A x a dx A (2.56) = B x b dx B (2.57) = C = c dx=ρg B(x)dx (2.58) C = C = xc dx = ρg x B(x)dx (2.59) (2.60) C = x c dx=ρg x B(x)dx ntuk arah horizontal: A B = a dx = b dx (2.61) (2.62) A24 = A42 = a24dx (2.63) B24 = B42 = b24dx (2.64) A = xa dx+ B (2.65) B26 = xb22dx 0 A22 (2.66) A = xa dx B (2.67) B62 = xb22dx+ 0 A22 (2.68) Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 15

16 A B = a dx = b dx (2.69) (2.70) A = xa dx+ B (2.71) B46 = xb24dx 0 A24 (2.72) A = xa dx B (2.73) B64 = xb24dx+ 0 A24 (2.74) A x a dx A (2.75) = B x b dx B (2.76) = C44 ρg GMT (2.77) Sbagai contoh pnggunaan tori strip dalam mnntukan massa tambah dan kofisin rdaman. Dimisalkan sbuah silindr dngan panjang L dan mmiliki jari jari sbsar R. lihat gambar 2.5. Gambar 2. 5 Pnampang mlintang buoy brbntuk silindr. Pusat koordinat brada tpat di pusat brat dari silindr dan prmukaan air brada tpat pada sumbu x dari silindr trsbut. ntuk mndapatkan masa tambah pada arah pitch A 55, dngan mninjau potongan sbsar dx yang trpngaruh olh prcpatan dalam arah vrtikal x. Maka akan trdapat massa tambah pada potongan trsbut yang bsarnya. Gaya yang ditimbulkan olh massa tambah ini akan mnimbulkan momn dalam arah y. Dngan mngintgrasikan panjang total dari silindr maka akan didapatkan momn total dalam arah pitch Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 16

17 sbsar (2.47) Brdasarkan prsamaan 2.41 maka momn total dalam arah pitch ini sama dngan A 55. Hal ini brarti. Sdangkan kofisin rdamannya brnilai nol karna tidak ada prmukaan bbas. Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 17

18 Contnts BAB DASAR TEORI TEORI GELOMBANG LINIER KOMPONEN KECEPATAN DAN PERCEPATAN PARTIKEL GAYA GELOMBANG Prsamaan Morison Prsamaan Froud Krylov Tori difraksi STRKTR TERAPNG Bban ksitasi (xcitation load) Bban radiasi (radiation load) STRIP THEORY Gambar 2. 1 Karaktristik glombang... 2 Gambar 2. 2 Sktsa dfinisi masalah nilai batas untuk tori glombang linir Gambar 2. 3 Ilustrasi total gaya hirodinamika Gambar 2. 4 Potongan 2 dimnsi dari kapal (struktur trapung) Gambar 2. 5 Pnampang mlintang buoy brbntuk silindr Laporan Tugas Akhir Rspon Dinamik Struktur Trapung 2 18