Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik"

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik

2 Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di dalam format pps beranimasi tersedia di

3 Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia di dan

4 Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hana padafungsi dengan peubah bebas tunggal ang berupa bilangan nata

5 Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup. Pengertian Tentang Fungsi. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial. Fungsi Hiperbolik. Fungsi dalam Koordinat Polar

6

7 Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain maka dikatakan bahwa merupakan fungsi

8 panjang sebatang batang logam ( ) merupakan fungsi temperatur ( ) Secara umum pernataan bahwa merupakan fungsi dituliskan disebut peubah tak bebas nilaina tergantung Contoh: f () disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Walaupun nilai bisa berubah secara bebas, namun nilai tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hana akan melihat ang berupa bilangan nata. Selain bilangan nata kita mengenal bilangan kompleks ang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.

9 Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai aitu: rentang terbuka a < < b a a dan b tidak termasuk dalam rentang b rentang setengah terbuka a b a < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a b a dan b masuk dalam rentang

10 Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, aitu sumbu mendatar ang kita sebut sumbu- dan sumbu tegak ang kita sebut sumbu-. Bidang terbagi dalam 4 kuadran aitu Kuadran I, II, III, dan IV Q[-,] II R[-3,-3] P[,] III sumbu- I IV S[3,-] Posisi titik pada bidang dinatakan dalam koordinat [, ] sumbu-

11 Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi:, 5 Setiap nilai akan menentukan satu nilai dst. -,5,5,5 dst. P,5,5,5 -,5 - Q R 3 4 Kurva, 5 Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: (kita baca: delta per delta )

12 Kekontinuan Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi f() ang terdefinisi di sekitar c dikatakan kontinu di c jika dipenuhi dua sarat: () fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) f ( c) c ang kita baca: limit f() untuk menuju c sama dengan f(c).

13 Contoh: u() Terdefinisikan di aitu ( untuk adalah ) / Tak terdefinisikan di ( untuk tidak dapat ditentukan nilaina) / -

14 Simetri. Jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-;. Jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. 4. Jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].

15 Contoh: 6,3 tidak berubah bila diganti (simetris terhadap sumbu-) ,5 3 tidak berubah jika dan diganti dengan dan (simetris terhadap titik [,]) tidak berubah jika: diganti dan diganti dengan dan dan dipertukarkan diganti dengan

16 Pernataan Fungsi Bentuk Implisit Pernataan fungsi Pernataan bentuk implisit f () 8 disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit / + + ( 8) Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas ± 8 4( 8)

17 Fungsi Bernilai Tunggal Contoh: Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas 8 4,5,6,8 + -, , ,8 -,8 log 3 4

18 Fungsi Bernilai Banak Contoh: Fungsi bernilai banak adalah fungsi ang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas ± / ± / - -

19 Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banak peubah-bebas: w f (,, z, u, v) Fungsi dengan banak peubah bebas juga mungkin bernilai banak, misalna ρ + + z Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinatakan sebagai ρ z

20 Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik-asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut rcosθ θ r P rsinθ r sin θ r cosθ r + θ tan ( / )

21 Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ Bentuk ini disebut cardioid

22 Contoh: rθ,5 P[r,θ] r,5 θ - 3 -,5 -

23

24 Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. k Contoh:

25 Persamaan Garis Lurus ang melalui [,] m garis lurus melalui [,] kemiringan garis lurus kemiringan m, dibaca : "delta "delta " " Contoh: ,5,5 m < m >

26 Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus titik potong dengan sumbu Secara umum, persamaan garis lurus ang tergeser sebesar b ke arah sumbu- positif adalah ( b) m menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu- positif pergeseran ke arah sumbu- m + b m + a ( ) titik potong dengan sumbu- m( a) menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-

27 Contoh: 8 6 memotong sumbu di m memotong sumbu di 4 Persamaan garis: 4 atau ( ) dapat dilihat sebagai garis melalui (,) aitu - ang tergeser kearah sumbu- atau tergeser kearah sumbu- + 4

28 Persamaan Garis Lurus ang melalui dua titik P [, ] Q [, ] m m Persamaan garis lurus melalui [,] ang sejajar dengan garis ang melalui P dan Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q Contoh: [,4] [3,8] 8 4 m 3 persamaan garis: b atau ( a) 4 b 8 (3 a) b a ( + ) +

29 Perpotongan Garis Lurus Dua garis: + a b dan a + b Koordinat titik potong P harus memenuhi: b b P a a P a P + b a + + b a b atau P a P + b Contoh: P + 3 dan 4 8 Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan maupun , , P Titik potong: P[(5,5), 4] P

30 Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nata Contoh: Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan a F ma v ( t) v + at Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik: Gaa pada elektron: V E l F e ee Percepatan pada elektron: a ev l F m e e anoda ] gaa fungsi linier dari V l katoda percepatan fungsi linier dari F e Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V?

31 Contoh: Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. F k gaa Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. i GV konduktansi panjang tarikan konstanta pegas V R resistansi G R G dan R adalah tetapan kerapatan arus i j A V RA Luas penampang konduktor R ρ l A resistivitas panjang konduktor

32 Contoh: Peristiwa difusi: materi menembus materi lain materi masuk di a C a materi keluar di a C Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C a di a dan C di bernilai konstan Fluksi materi ang berdifusi ke arah J D dc d koefisien difusi gradien konsentrasi Fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

33

34 Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan u() u() 5 u( ) untuk untuk < Fungsi ini memiliki nilai ang terdefinisi di muncul pada Secara umum ku() amplitudo Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4,5u( )

35 Fungsi anak tangga tergeser ku( a) Pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4

36 Fungsi Ramp au() kemiringan Fungsi ini baru muncul pada karena ada faktor u() ang didefinisikan muncul pada (fungsi anak tangga) Fungsi ramp satuan : u() kemiringan a Fungsi ramp tergeser: a( g) u( g) Contoh: u() u() 3 3,5(-)u(-) Pergeseran searah sumbu-

37 Pulsa Contoh: Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai tertentu dan menghilang pada > persamaan: au( ) au( ) lebar pulsa : lebar pulsa u(-) + u(-) u(-) { u( ) u( ) } - u( ) perioda Deretan Pulsa:

38 Perkalian Ramp dan Pulsa { ( ) u( )} mu( ) A u ramp ma pulsa hana mempunai nilai dalam selang lebarna { u ) u( )} ( maka juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja Contoh: u(),5{u(-)-u(-3)}

39 Contoh: m{u()-u(-b)} mu() {u()-u(-b)} b

40 Gabungan Fungsi Ramp au( ) + b( ) u( ) + c( ) u( ) +... Contoh: 3 u() ( )u( ) 8 u() Kemiringan ang berlawanan membuat 3 bernilai konstan mulai dari tertentu ( )u( ) -8

41 Contoh: u() 4( )u( ) u() lebih cepat menurun dari maka 3 menurun mulai dari tertentu 4( )u( )

42 Contoh: Pulsa ini membuat 3 hana bernilai dalam selang {u() 4(-)u(-)}{u(-)-u(-3)} u() (-)u(-)

43

44 Mononom

45 Mononom Mononom adalah pernataan tunggal ang berbentuk k n Mononom Pangkat Dua: Contoh: k memiliki nilai minimum Karena,maka jika k > > jika k < < memiliki nilai maksimum

46 Pergeseran kurva mononom pangkat dua 3 ( ) + 3 Pergeseran ke arah sumbu- positif 5 ( ) Pergeseran ke arah sumbu- positif

47 Contoh: Mononom Pangkat Genap pada umumna Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Koordinat titik potong antara kurva Kurva : 6 3 Kurva : dan 6 dan dan 3 dan ( ) ( 3) 8 Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-

48 Mononom Pangkat Ganjil Pangkat ganjil terendah: linier Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [,] aitu titik ang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [,]

49 Mononom Pangkat Tiga Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [,] Pergeseran ke arah sumbu- positif ( ) 3 + ( ) 3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu- positif

50 Polinom

51 Polinom Pangkat Dua a + b + c Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: / Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu

52 sumbu simetri 5/ sumbu simetri / Sumbu simetri dari memotong sumbu- di: 4 Penambahan komponen 3 3 memberikan: Koordinat titik puncak: 5 / 4 3, ,5

53 a +b +c a Polinom Pangkat Dua secara umum Sumbu simetri: a b a ac b a b a c a b a b a c a b a Pergeseran ke arah kiri sumbu- Pergeseran ke arah negatif sumbu- a ac b 4 4

54 Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua 3 a + b + c + d Mononom pangkat tiga ( ) Dan Polinom pangkat dua ( ) Penjumlahan: memotong sumbu- di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien

55 3 a + b + c + d a Kasus: a kurang positif Penurunan kurva di daerah negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hana memotong sumbu- di titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu- negatif 3 - a Kasus: a terlalu positif Penurunan di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah negatif Hana ada satu titik potong di positif 3

56 3 a + b + c + d b + c + d a k a < Kurva 3 berpotongan dengan sumbu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan ang ke-tiga berada jauh di daerah positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu- di satu tempat

57

58 Simetri jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-. jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].

59 Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hana nilai-nata dari dan ang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: + ± Apabila >, maka ( - ) < Dalam hal demikian ini kita membatasi hana pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

60 Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu- dapat diperoleh dengan memberi nilai, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- diperoleh dengan memberi nilai. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai ataupun maka kurva tidak memotong sumbu- maupun sumbu- Contoh: + Titik potong dengan sumbu- adalah P[,] dan Q[,]. Titik potong dengan sumbu- adalah R[,] dan S[, ] Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu- maupun sumbu-

61 Asimptot Suatu garis ang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menentuhna, disebut asimptot Contoh: ( ) + ± ( + ) 4 tidak boleh < agar ( ) > haruslah < atau > Tidak ada bagian kurva ang berada antara dan. Garis vertikal dan adalah asimptot dari kurva

62 Jarak Antara Dua Titik Jika P[ p, p ) dan Q[ q, q ], maka PQ ( p q ) + ( p q ) Contoh: 8 6 [3,8] PQ (3 ) + (8 4) 4 [,4]

63 Parabola Bentuk kurva k disebut parabola PQ (PR ( p) p) + Q[,p] [,] + k P[,] R[, p] PR ( + p) P terletak pada kurva Q terletak di sumbu- p garis sejajar sumbu- R terletak pada garis ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ PR Q disebut titik fokus parabola Garis disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktrikna p + p + p + p + + p 4 p k 4 p p 4k 4 p

64 Contoh: Parabola,5 dapat kita tuliskan 4,5 Direktrik: p, 5 Titik fokus: Q[,(,5)]

65 Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap satu titik tertentu ang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [,] dan jari-jari lingkaran adalah r r + + r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [.] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu- dan sejauh b ke arah sumbu- ( a) + ( b) r Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)

66 Contoh: (,5) + (,5) r,5 r - [,],5 r - +

67 Elips Elips adalah tempat kedudukan titik ang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[,] P[-c, ] Q[c, ] ) ( XP c + + ) ( XQ c + ( ) a c c a ) ( ) ( misalkan kita XQ XP ) ( c a c a + ) ( ) ( 4 4 ) ( c c a a c ) ( ) ( c a c c c a c c a c a a kwadratkan kwadratkan sederhanakan XQ XP PXQ : segitiga di c a c a > > + + b a c a b

68 a + b [ a,] [,b] X[,] P[-c, ] Q[c, ] [a,] sumbu pendek b [, b] sumbu panjang a Elips tergeser b b,5 ( p) ( q) + a a a b q,5 - (,5) (,5) +,5 - p,5

69 Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik ang selisih jarakna antara dua titik tertentu adalah konstan X(,) P[-c,] Q[c,] ) ( XP c + + ) ( XQ c + a c c XQ XP ) ( ) ( ) ( ) ( c a c ) ( ) / ( c a a c + a c a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP XQ) < PQ c < a c a b b a kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola

70 a b b c a + X(,) -c c [-a,] [a,] Kurva tidak memotong sumbu- Tidak ada bagian kurva ang terletak antara a dan a

71 Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah A + B + C + D + E + F Persamaan parabola: B C D F ; A ; E 4 p Lingkaran: B D E ; A ; C ; F Bentuk A dan C adalah bentuk-bentuk berderajat dua ang telah sering kita temui pada persamaan kurva ang telah kita bahas. Namun bentuk B ang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

72 Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu- a a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a + + a Mempetukarkan dengan tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis, ) ( ) ( ) ( ) ( a a a a a Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri ang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumna, aitu sumbu P[-a,-a] Q[a,a] X[,]

73

74 Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r sin θ + cos θ Fungsi Cosecan r θ O - [,] -θ Q P csc θ sin θ Fungsi sinus PQ sin θ PQ r PQ Fungsi Tangent tan θ PQ OQ P Q tan( θ) OQ sin θ cosθ PQ OQ tan θ - P Fungsi Secan Fungsi Cosinus OQ cos θ OQ r sec θ cosθ OQ Fungsi Cotangent OQ cosθ cot θ PQ sin θ OQ OQ cot( θ) P Q PQ cot θ

75 Relasi-Relasi cosα sinα cosβ sinα sinα sinβ β α β - [,] cosα sinβ cosα cosβ -

76 Relasi-Relasi cosα sinα cosβ α β - [,] β sinα sinα sinβ cosα sinβ cosα cosβ sin( α + β) cos( α + β) sin αcosβ + cosαsinβ cosα cosβ sin αsinβ - Karena sin( β) sinβ cos( β) cosβ sin( α β) sin αcosβ cosαsinβ cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ

77 Contoh: a). b). c). sin(α) cos(α) sin( α + α) cos( α + α) cos(α) cos cos sin αcosα + cosαsin α sin αcosα cosα cosα sin αsin α cos α sin α + sin α α α sin α cos(α) + cos α cos(α) cos α cos(α) sin α cos(α) sin α

78 Contoh: d). sin( α + β) sin( α β) sin αcosβ + cosαsinβ sin αcosβ cosαsinβ sin( α + β) + sin( α β) sin α cosβ sin α cosβ sin( α + β) + sin( α β) e). cos( α + β) cosα cosβ sin αsin β cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ f). cos( α + β) + cos( α β) cos( α β) cosα cosβ cosα cosβ + sin αsinβ cosα cosβ cos( α + β) + cos( α β) cos( α + β) cosα cosβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β) sin αsinβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β)

79 Fungsi Trigonometri Normal

80 Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - Fungsi Sinus Fungsi Cosinus sin() perioda cos() perioda π π π π π π π - - sin( ) cos( π / ) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/ ke arah sumbu- positif Contoh: o o o sin 56 cos(56 9 ) cos34 o

81 Fungsi Tangent sin θ cosθ 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/ asimptot tan θ sin θ cosθ cot Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/ θ

82 Fungsi Cotangent sin θ cosθ asimptot 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/ cosθ cot θ sin θ tan θ Rentang: < tanθ < π/ -π/ < tanθ < dst. Lebar rentang: π/

83 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi Secan sec( ) cos( ) Rentang: -π/ < tanθ < π/ π/ < tanθ < 3π/ dst. Lebar rentang: π asimptot 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi csc( ) Cosecan sin( ) Rentang: < tanθ < π -π< tanθ < dst. Lebar rentang: π

84 Fungsi Trigonometri Inversi

85 Sinus Inversi arcsin sin atau sin Sudut ang sinusna π π,5π,5π - - -,5,5 -,5π sin π π -,5π Kurva nilai utama -π/ < sin - <π/ cos tan Kurva lengkap - < <

86 Cosinus Inversi cos cos - π π,75π,5π,5π cos π - -,5,5 sin Kurva lengkap Kurva nilai utama < cos - < π - < < tan

87 Tangent Inversi tan tan,5π π,5π ,5π -π -,5π Kurva lengkap,5π,5π ,5π -,5π Kurva nilai utama π < tan π < sin + tan cos + +

88 Cotangent inversi cot cot dengan nilai utama < cot < π π +,5π Kurva nilai utama < cot < π tan sin cos + +

89 Secan Inversi π,75π,5π sec cos dengan nilai utama sec π sec +,5π sec Kurva nilai utama < sec < π sin cos tan + +

90 Cosecan Inversi csc sin dengan nilai utama csc,5π,5π π csc π ,5π -,5π Kurva nilai utama π csc π tan + csc sin cos + +

91

92 Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal ang merupakan fungsi waktu, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus Asin( + θ) Asin(πf t + θ ) sudut fasa amplitudo frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω, dengan hubungan ω πf

93 Fungsi sinus adalah fungsi periodik aitu fungsi ang memenuhi hubungan f ( t T ) f ( t) Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: f T perioda A T A T t -A T s t -A Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.

94 Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penusunna cos f t t -5 5 t cos f t cos πft cos(π( f ) t) t cos π ft cos(π( f) t + π Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan / 4)

95 Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus ang terlibat Komponen-komponen sinus ang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke- dengan frekuensi f Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan ang disebut komponen searah

96 Contoh: Gabungan fungsi sinus ang membentuk gelombang persegi sinus dasar (fundamental). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-.

97 Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik ang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum aitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudona. Frekuensi tertinggi, f maks, adalah frekuensi harmonisa ang amplitudona sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, f min, adalah frekuensi komponen fundamental aitu, atau jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi ang merupakan selisih f maks dan f min

98 Contoh: Suatu persamaan gelombang: + 3cos(πf t) + 5cos(π ft π / ) + 7,5cos(π4 ft + π ) Frekuensi f f 4 f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fasa π/ π 4 π Amplitudo 3 Sudut Fasa π/ π/ Frekuensi [ f ] π Frekuensi [ f ] Spektrum Amplitudo Spektrum Sudut-fasa

99 Deret Fourier Penguraian suatu sinal periodik menjadi suatu spektrum sinal tidak lain adalah pernataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik f [ a cos(πnf t) + b sin(πnf ] ( n n t t) a + ) Koefisien Fourier Contoh: T t a a b n A / π A / π n A / ; n b n genap; n a n n ganjil

100 Contoh: Contoh: T A t n b n a n n A a A a n n n untuk semua ganjil genap; / 4 / π π n n A b n a A a n n untuk semua untuk semua / π T A t

101

102

103 Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halna bilangan π, adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan angka di belakang koma, nilaina adalah e, ln e ln e a a ln e a

104 Fungsi Logaritma Natural Definisi ln /t ln 3 4 luas bidang antara fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi oleh t dan t t ln dt t Kurva ln ln e,5,5 -,5 - -,5 - ln e 3 4 e,

105 Sifat-Sifat ln a ln a + ln ln ln ln a; a n ln n ln ln e ln e ln bernilai negatif untuk <

106

107 Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma ln Fungsi Eksponensial e Fungsi eksponensial ang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif a e u( ) ; Faktor u() membuat fungsi ini muncul pada Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t

108 Kurva Fungsi Eksponensial e a,8,6,4, e e Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-,5,5,5 3 3,5 4 Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalna (aitu nilai pada ), pada saat /a Pada saat 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dari nilai awalna Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada 5/a

109 Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah Ae at u( t) Ae t / τ u( t) ang dituliskan dengan singkat Ae at Ae t / τ τ /a disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t 5τ, nilai fungsi sudah di bawah % dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t 5τ

110 Gabungan Fungsi Eksponensial A Ae t / τ Ae A t / τ ( t / τ t τ ) e e / t/τ 3 4 5

111

112 Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) sinh ; cosh e e e e + Fungsi hiperbolik ang lain e e e e e e e e + + sinh cosh coth ; cosh sinh tanh e e e e + sinh csch ; cosh sech

113 Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik 4 3 e sinh e e e -3-4

114 cosh e + e 4 3 e sinh

115 cosh sech cosh

116 csch sinh 4 3 sinh csch -4

117 4 3 coth cosh sinh tanh sinh cosh coth

118 Identitas Jika untuk sin dan cos kita kenal hubungan: cos + sin untuk sinh dan cosh terdapat hubungan cosh sinh e + + e 4 e + e Beberapa Identitas: cosh v sinh v tanh v sech coth v csch cosh v + sinh v v e v v cosh v sinh v e v

119

120 Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku P( P, P ) P r θ [,] P P[r,θ] P r sin θ P r cosθ

121 Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[,] dalam koordinat sudut-siku adalah + c [,] r θ Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi ( r cosθ) + ( r sin θ) c

122 Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + c r θ [,] Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi a ( r cosθ a) + ( r sin θ) c

123 Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + ( b) c b r θ [,] a Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi ( r cosθ a) + ( r sin θ b) c

124 Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ Bentuk ini disebut cardioid

125 Contoh: r 6cosθ 3 P[r,θ] r θ

126 Contoh: rθ,5,5 r θ P[r,θ] - 3 θ π -,5 θ 3π θ 4π θ π -

127 Persamaan Garis Lurus l P[r,θ] O r θ a l : r cos θ a

128 P[r,θ] l : r sin θ l b b O θ r

129 P[r,θ] l : r cos(β θ) 3 a l 3 r A a θ α O β

130 P[r,θ] l : r cos(θ β) 4 a r a θ l 4 β O

131 Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas titik fokus direktriks D Parabola: Elips: A k e s e s F r θ < Hiperbola: e s > B P[r,θ] k r cosθ Eksentrisitas: e s PF PD r k + r cosθ Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. r e ( k + r cos θ) e k + e r cos θ s s esk r es cosθ,5 k k r (misal e,5cos θ cosθ s,5) k r (misal e s ) cosθ s

132 Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, ang merupakan tempat kedudukan titik-titik ang hasil kali jarakna terhadap dua titik tertentu bernilai konstan θ π F [a,π] θ π/ P[r,θ] r θ θ F [a,] ( PF ) ( r sin θ) + ( a + r cosθ) ( PF ) ( r sin θ) + ( a r cosθ) r + a Buat b dan a berrelasi b ka + ar cosθ k 4 b a 4 4 Misalkan r PF PF b r + a ( r + a + ar cosθ) ( r + a ar cosθ) a a r ( cos r + a a r cos θ θ) 4 4 ar cosθ r + a a r cos θ r 4 a r cos θ + a 4 ( k 4 ) r a cos θ ± a cos θ ( k 4 )

133 Lemniskat 4 r a cos θ ± a cos θ ( k ) Kondisi khusus: k r a cos θ θ π/,6 Kurva dengan a Kondisi khusus: k >, misal k, θ π/,5 θ π, -,5 - -,5 -,,5,5 θ θ π θ - - -,5 -,6 -

134 Oval Cassini r a cos θ ± a cos θ ( k 4 ) Kondisi khusus: k <, misalkan k,8 θ π/,5 θ π, ,5 - θ -,5

135 Bahan Kuliah Terbuka Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup

Fungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup 7// Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik. Fungsi 8/3/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup

Fungsi dan Grafik. Fungsi 8/3/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup // Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut

Lebih terperinci

3. Gabungan Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

4. Mononom dan Polinom

4. Mononom dan Polinom Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A. Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017

SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A. Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017 SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017 TUJUAN PERKULIAHAN Memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal Memahami konsep harmonisa

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

A B A B. ( a ) ( b )

A B A B. ( a ) ( b ) BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi Suaratno Suirham Diferensiasi Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org Pengertian-Pengertian 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI

PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1999

Matematika EBTANAS Tahun 1999 Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif, 000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik 8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

BAB IV DERET FOURIER

BAB IV DERET FOURIER BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 7/8. Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan

Lebih terperinci

MATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER

MATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER MATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER 1 Deret Fourier 2 Tujuan : 1. Dapat merepresentasikan seluruh fungsi periodik dalam bentuk deret Fourier. 2. Dapat memetakan Cosinus Fourier, Sinus Fourier, Fourier

Lebih terperinci

3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,

3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17, 3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB

KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui Pencocokan kurva Metode kuadrat terkecil

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f

Lebih terperinci

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA

ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )

Lebih terperinci

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I

SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri

Lebih terperinci

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama. Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010

Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010 PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1986

Matematika EBTANAS Tahun 1986 Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.

Lebih terperinci

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis

Lebih terperinci

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3

digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3 Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat

Lebih terperinci

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER

Lebih terperinci

BAB IV DIFFERENSIASI

BAB IV DIFFERENSIASI BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1985 Matematika

Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1985 Matematika Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 98 Matematika EBTANAS-SMP-8- Jika A = {,, 8,, 4}, B = {,,,,, } dengan himpunan semesta C = (c c bilangan cacah }, maka himpunan {., 4, 6, 9,,, } =... A' B' (A

Lebih terperinci

BAB II HARMONISA PADA GENERATOR. Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang

BAB II HARMONISA PADA GENERATOR. Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang BAB II HARMONISA PADA GENERATOR II.1 Umum Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang digunakan untuk menkonversikan daya mekanis menjadi daya listrik arus bolak balik. Arus

Lebih terperinci

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Pertemuan GAIS SINGGUNG DAN GAIS NOMAL Persamaan Garis Singgung melalui titik (, ) - m ( - ) Persamaan Garis Normal melalui titik (, ) - ( - ) m Panjang Subtangens Y m Panjang subnormal m Y Pemakaian Diferensial

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung

Lebih terperinci

FUNGSI LOGARITMA ASLI

FUNGSI LOGARITMA ASLI FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

Bab 3 Fungsi Elementer

Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Matematika

TRIGONOMETRI Matematika TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi

Lebih terperinci

Deret Fourier untuk Sinyal Periodik

Deret Fourier untuk Sinyal Periodik x( t T ) x( Analisis Fourier Jean Baptiste Fourier (1768-1830, ahli fisika Perancis) membuktikan bahwa sembarang fungsi periodik dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan sinyal-sinyal sinus dengan frekuensi

Lebih terperinci