Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik
|
|
- Ratna Inge Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik
2 Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di dalam format pps beranimasi tersedia di
3 Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia di dan
4 Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hana padafungsi dengan peubah bebas tunggal ang berupa bilangan nata
5 Keseluruhan bahasan mengenai fungsi dan grafik akan mencakup. Pengertian Tentang Fungsi. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial. Fungsi Hiperbolik. Fungsi dalam Koordinat Polar
6
7 Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain maka dikatakan bahwa merupakan fungsi
8 panjang sebatang batang logam ( ) merupakan fungsi temperatur ( ) Secara umum pernataan bahwa merupakan fungsi dituliskan disebut peubah tak bebas nilaina tergantung Contoh: f () disebut peubah bebas bisa bernilai sembarang Walaupun nilai bisa berubah secara bebas, namun nilai tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hana akan melihat ang berupa bilangan nata. Selain bilangan nata kita mengenal bilangan kompleks ang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
9 Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Ada tiga macam rentang nilai aitu: rentang terbuka a < < b a a dan b tidak termasuk dalam rentang b rentang setengah terbuka a b a < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak rentang tertutup a b a b a dan b masuk dalam rentang
10 Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes) Bidang dibatasi oleh dua sumbu, aitu sumbu mendatar ang kita sebut sumbu- dan sumbu tegak ang kita sebut sumbu-. Bidang terbagi dalam 4 kuadran aitu Kuadran I, II, III, dan IV Q[-,] II R[-3,-3] P[,] III sumbu- I IV S[3,-] Posisi titik pada bidang dinatakan dalam koordinat [, ] sumbu-
11 Kurva dari Suatu Fungsi Kita lihat fungsi:, 5 Setiap nilai akan menentukan satu nilai dst. -,5,5,5 dst. P,5,5,5 -,5 - Q R 3 4 Kurva, 5 Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva: (kita baca: delta per delta )
12 Kekontinuan Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Suatu fungsi f() ang terdefinisi di sekitar c dikatakan kontinu di c jika dipenuhi dua sarat: () fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) f ( c) c ang kita baca: limit f() untuk menuju c sama dengan f(c).
13 Contoh: u() Terdefinisikan di aitu ( untuk adalah ) / Tak terdefinisikan di ( untuk tidak dapat ditentukan nilaina) / -
14 Simetri. Jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-;. Jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. 3. Jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. 4. Jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].
15 Contoh: 6,3 tidak berubah bila diganti (simetris terhadap sumbu-) ,5 3 tidak berubah jika dan diganti dengan dan (simetris terhadap titik [,]) tidak berubah jika: diganti dan diganti dengan dan dan dipertukarkan diganti dengan
16 Pernataan Fungsi Bentuk Implisit Pernataan fungsi Pernataan bentuk implisit f () 8 disebut bentuk eksplisit. dapat diubah ke bentuk eksplisit / + + ( 8) Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas ± 8 4( 8)
17 Fungsi Bernilai Tunggal Contoh: Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas 8 4,5,6,8 + -, , ,8 -,8 log 3 4
18 Fungsi Bernilai Banak Contoh: Fungsi bernilai banak adalah fungsi ang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas ± / ± / - -
19 Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banak peubah-bebas: w f (,, z, u, v) Fungsi dengan banak peubah bebas juga mungkin bernilai banak, misalna ρ + + z Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinatakan sebagai ρ z
20 Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik-asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut rcosθ θ r P rsinθ r sin θ r cosθ r + θ tan ( / )
21 Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ Bentuk ini disebut cardioid
22 Contoh: rθ,5 P[r,θ] r,5 θ - 3 -,5 -
23
24 Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. k Contoh:
25 Persamaan Garis Lurus ang melalui [,] m garis lurus melalui [,] kemiringan garis lurus kemiringan m, dibaca : "delta "delta " " Contoh: ,5,5 m < m >
26 Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus titik potong dengan sumbu Secara umum, persamaan garis lurus ang tergeser sebesar b ke arah sumbu- positif adalah ( b) m menunjukkan pergeseran sebesar b ke arah sumbu- positif pergeseran ke arah sumbu- m + b m + a ( ) titik potong dengan sumbu- m( a) menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Bentuk umum persamaan garis lurus pergeseran ke arah sumbu-
27 Contoh: 8 6 memotong sumbu di m memotong sumbu di 4 Persamaan garis: 4 atau ( ) dapat dilihat sebagai garis melalui (,) aitu - ang tergeser kearah sumbu- atau tergeser kearah sumbu- + 4
28 Persamaan Garis Lurus ang melalui dua titik P [, ] Q [, ] m m Persamaan garis lurus melalui [,] ang sejajar dengan garis ang melalui P dan Q Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q Contoh: [,4] [3,8] 8 4 m 3 persamaan garis: b atau ( a) 4 b 8 (3 a) b a ( + ) +
29 Perpotongan Garis Lurus Dua garis: + a b dan a + b Koordinat titik potong P harus memenuhi: b b P a a P a P + b a + + b a b atau P a P + b Contoh: P + 3 dan 4 8 Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan maupun , , P Titik potong: P[(5,5), 4] P
30 Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nata Contoh: Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan a F ma v ( t) v + at Contoh: Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah V Kuat medan listrik: Gaa pada elektron: V E l F e ee Percepatan pada elektron: a ev l F m e e anoda ] gaa fungsi linier dari V l katoda percepatan fungsi linier dari F e Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V?
31 Contoh: Contoh: Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa tarikan merupakan fungsi linier dari panjang tarikan. F k gaa Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. i GV konduktansi panjang tarikan konstanta pegas V R resistansi G R G dan R adalah tetapan kerapatan arus i j A V RA Luas penampang konduktor R ρ l A resistivitas panjang konduktor
32 Contoh: Peristiwa difusi: materi menembus materi lain materi masuk di a C a materi keluar di a C Peristiwa difusi mencapai keadaan mantap,jika konsentrasi materi C a di a dan C di bernilai konstan Fluksi materi ang berdifusi ke arah J D dc d koefisien difusi gradien konsentrasi Fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi Inilah Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
33
34 Fungsi Anak Tangga Fungsi anak tangga satuan u() u() 5 u( ) untuk untuk < Fungsi ini memiliki nilai ang terdefinisi di muncul pada Secara umum ku() amplitudo Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4,5u( )
35 Fungsi anak tangga tergeser ku( a) Pergeseran sebesar a ke arah sumbu- positif Contoh: 5 3,5u ( ) 5-4
36 Fungsi Ramp au() kemiringan Fungsi ini baru muncul pada karena ada faktor u() ang didefinisikan muncul pada (fungsi anak tangga) Fungsi ramp satuan : u() kemiringan a Fungsi ramp tergeser: a( g) u( g) Contoh: u() u() 3 3,5(-)u(-) Pergeseran searah sumbu-
37 Pulsa Contoh: Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai tertentu dan menghilang pada > persamaan: au( ) au( ) lebar pulsa : lebar pulsa u(-) + u(-) u(-) { u( ) u( ) } - u( ) perioda Deretan Pulsa:
38 Perkalian Ramp dan Pulsa { ( ) u( )} mu( ) A u ramp ma pulsa hana mempunai nilai dalam selang lebarna { u ) u( )} ( maka juga akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja Contoh: u(),5{u(-)-u(-3)}
39 Contoh: m{u()-u(-b)} mu() {u()-u(-b)} b
40 Gabungan Fungsi Ramp au( ) + b( ) u( ) + c( ) u( ) +... Contoh: 3 u() ( )u( ) 8 u() Kemiringan ang berlawanan membuat 3 bernilai konstan mulai dari tertentu ( )u( ) -8
41 Contoh: u() 4( )u( ) u() lebih cepat menurun dari maka 3 menurun mulai dari tertentu 4( )u( )
42 Contoh: Pulsa ini membuat 3 hana bernilai dalam selang {u() 4(-)u(-)}{u(-)-u(-3)} u() (-)u(-)
43
44 Mononom
45 Mononom Mononom adalah pernataan tunggal ang berbentuk k n Mononom Pangkat Dua: Contoh: k memiliki nilai minimum Karena,maka jika k > > jika k < < memiliki nilai maksimum
46 Pergeseran kurva mononom pangkat dua 3 ( ) + 3 Pergeseran ke arah sumbu- positif 5 ( ) Pergeseran ke arah sumbu- positif
47 Contoh: Mononom Pangkat Genap pada umumna Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Koordinat titik potong antara kurva Kurva : 6 3 Kurva : dan 6 dan dan 3 dan ( ) ( 3) 8 Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-
48 Mononom Pangkat Ganjil Pangkat ganjil terendah: linier Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [,] aitu titik ang merupakan titik belok Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k ang sama maka mereka berpotongan di titik P[,k] Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [,]
49 Mononom Pangkat Tiga Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [,] Pergeseran ke arah sumbu- positif ( ) 3 + ( ) 3 Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu- positif
50 Polinom
51 Polinom Pangkat Dua a + b + c Kurva masing-masing komponen (mononom) dari polinom: / Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: Perpotongan dengan sumbu
52 sumbu simetri 5/ sumbu simetri / Sumbu simetri dari memotong sumbu- di: 4 Penambahan komponen 3 3 memberikan: Koordinat titik puncak: 5 / 4 3, ,5
53 a +b +c a Polinom Pangkat Dua secara umum Sumbu simetri: a b a ac b a b a c a b a b a c a b a Pergeseran ke arah kiri sumbu- Pergeseran ke arah negatif sumbu- a ac b 4 4
54 Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua 3 a + b + c + d Mononom pangkat tiga ( ) Dan Polinom pangkat dua ( ) Penjumlahan: memotong sumbu- di 3 titik Hal ini tidak selalu terjadi Tergantung dari nilai koefisien
55 3 a + b + c + d a Kasus: a kurang positif Penurunan kurva di daerah negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hana memotong sumbu- di titik Titik potong ke-3 jauh di sumbu- negatif 3 - a Kasus: a terlalu positif Penurunan di daerah negatif sangat tajam Tak ada titik potong dengan sumbu di daerah negatif Hana ada satu titik potong di positif 3
56 3 a + b + c + d b + c + d a k a < Kurva 3 berpotongan dengan sumbu- di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan ang ke-tiga berada jauh di daerah positif Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu- di satu tempat
57
58 Simetri jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-. jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,].
59 Nilai Peubah Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hana nilai-nata dari dan ang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks Contoh: + ± Apabila >, maka ( - ) < Dalam hal demikian ini kita membatasi hana pada rentang Karena kurva ini simetris terhadap garis, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
60 Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat Koordinat titik potong dengan sumbu- dapat diperoleh dengan memberi nilai, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu- diperoleh dengan memberi nilai. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai ataupun maka kurva tidak memotong sumbu- maupun sumbu- Contoh: + Titik potong dengan sumbu- adalah P[,] dan Q[,]. Titik potong dengan sumbu- adalah R[,] dan S[, ] Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu- maupun sumbu-
61 Asimptot Suatu garis ang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menentuhna, disebut asimptot Contoh: ( ) + ± ( + ) 4 tidak boleh < agar ( ) > haruslah < atau > Tidak ada bagian kurva ang berada antara dan. Garis vertikal dan adalah asimptot dari kurva
62 Jarak Antara Dua Titik Jika P[ p, p ) dan Q[ q, q ], maka PQ ( p q ) + ( p q ) Contoh: 8 6 [3,8] PQ (3 ) + (8 4) 4 [,4]
63 Parabola Bentuk kurva k disebut parabola PQ (PR ( p) p) + Q[,p] [,] + k P[,] R[, p] PR ( + p) P terletak pada kurva Q terletak di sumbu- p garis sejajar sumbu- R terletak pada garis ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ PR Q disebut titik fokus parabola Garis disebut direktrik Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktrikna p + p + p + p + + p 4 p k 4 p p 4k 4 p
64 Contoh: Parabola,5 dapat kita tuliskan 4,5 Direktrik: p, 5 Titik fokus: Q[,(,5)]
65 Lingkaran Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap satu titik tertentu ang disebut titik pusat lingkaran Jika titik pusat lingkaran adalah [,] dan jari-jari lingkaran adalah r r + + r persamaan lingkaran berjari-jari r berpusat di [.] Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu- dan sejauh b ke arah sumbu- ( a) + ( b) r Persamaan umum lingkaran berjari-jari r berpusat di (a,b)
66 Contoh: (,5) + (,5) r,5 r - [,],5 r - +
67 Elips Elips adalah tempat kedudukan titik ang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips X[,] P[-c, ] Q[c, ] ) ( XP c + + ) ( XQ c + ( ) a c c a ) ( ) ( misalkan kita XQ XP ) ( c a c a + ) ( ) ( 4 4 ) ( c c a a c ) ( ) ( c a c c c a c c a c a a kwadratkan kwadratkan sederhanakan XQ XP PXQ : segitiga di c a c a > > + + b a c a b
68 a + b [ a,] [,b] X[,] P[-c, ] Q[c, ] [a,] sumbu pendek b [, b] sumbu panjang a Elips tergeser b b,5 ( p) ( q) + a a a b q,5 - (,5) (,5) +,5 - p,5
69 Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik ang selisih jarakna antara dua titik tertentu adalah konstan X(,) P[-c,] Q[c,] ) ( XP c + + ) ( XQ c + a c c XQ XP ) ( ) ( ) ( ) ( c a c ) ( ) / ( c a a c + a c a Dalam segitiga PXQ, selisih (XP XQ) < PQ c < a c a b b a kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan persamaan hiperbola
70 a b b c a + X(,) -c c [-a,] [a,] Kurva tidak memotong sumbu- Tidak ada bagian kurva ang terletak antara a dan a
71 Kurva Berderajat Dua Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah A + B + C + D + E + F Persamaan parabola: B C D F ; A ; E 4 p Lingkaran: B D E ; A ; C ; F Bentuk A dan C adalah bentuk-bentuk berderajat dua ang telah sering kita temui pada persamaan kurva ang telah kita bahas. Namun bentuk B ang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
72 Perputaran Sumbu Koordinat Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu- a a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a a + + a Mempetukarkan dengan tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis, ) ( ) ( ) ( ) ( a a a a a Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri ang terputar 45 o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumna, aitu sumbu P[-a,-a] Q[a,a] X[,]
73
74 Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-satuan, r sin θ + cos θ Fungsi Cosecan r θ O - [,] -θ Q P csc θ sin θ Fungsi sinus PQ sin θ PQ r PQ Fungsi Tangent tan θ PQ OQ P Q tan( θ) OQ sin θ cosθ PQ OQ tan θ - P Fungsi Secan Fungsi Cosinus OQ cos θ OQ r sec θ cosθ OQ Fungsi Cotangent OQ cosθ cot θ PQ sin θ OQ OQ cot( θ) P Q PQ cot θ
75 Relasi-Relasi cosα sinα cosβ sinα sinα sinβ β α β - [,] cosα sinβ cosα cosβ -
76 Relasi-Relasi cosα sinα cosβ α β - [,] β sinα sinα sinβ cosα sinβ cosα cosβ sin( α + β) cos( α + β) sin αcosβ + cosαsinβ cosα cosβ sin αsinβ - Karena sin( β) sinβ cos( β) cosβ sin( α β) sin αcosβ cosαsinβ cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ
77 Contoh: a). b). c). sin(α) cos(α) sin( α + α) cos( α + α) cos(α) cos cos sin αcosα + cosαsin α sin αcosα cosα cosα sin αsin α cos α sin α + sin α α α sin α cos(α) + cos α cos(α) cos α cos(α) sin α cos(α) sin α
78 Contoh: d). sin( α + β) sin( α β) sin αcosβ + cosαsinβ sin αcosβ cosαsinβ sin( α + β) + sin( α β) sin α cosβ sin α cosβ sin( α + β) + sin( α β) e). cos( α + β) cosα cosβ sin αsin β cos( α β) cosαcosβ + sin αsinβ f). cos( α + β) + cos( α β) cos( α β) cosα cosβ cosα cosβ + sin αsinβ cosα cosβ cos( α + β) + cos( α β) cos( α + β) cosα cosβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β) sin αsinβ sin αsinβ cos( α β) cos( α + β)
79 Fungsi Trigonometri Normal
80 Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - Fungsi Sinus Fungsi Cosinus sin() perioda cos() perioda π π π π π π π - - sin( ) cos( π / ) pergeseran fungsi cosinus sejauh π/ ke arah sumbu- positif Contoh: o o o sin 56 cos(56 9 ) cos34 o
81 Fungsi Tangent sin θ cosθ 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/ asimptot tan θ sin θ cosθ cot Rentang: -π/4 < tanθ < π/4 π/4 < tanθ < 3π/4 dst. Lebar rentang: π/ θ
82 Fungsi Cotangent sin θ cosθ asimptot 3-3π/4 -π/ -π/4 π/4 π/ 3π/ cosθ cot θ sin θ tan θ Rentang: < tanθ < π/ -π/ < tanθ < dst. Lebar rentang: π/
83 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi Secan sec( ) cos( ) Rentang: -π/ < tanθ < π/ π/ < tanθ < 3π/ dst. Lebar rentang: π asimptot 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi csc( ) Cosecan sin( ) Rentang: < tanθ < π -π< tanθ < dst. Lebar rentang: π
84 Fungsi Trigonometri Inversi
85 Sinus Inversi arcsin sin atau sin Sudut ang sinusna π π,5π,5π - - -,5,5 -,5π sin π π -,5π Kurva nilai utama -π/ < sin - <π/ cos tan Kurva lengkap - < <
86 Cosinus Inversi cos cos - π π,75π,5π,5π cos π - -,5,5 sin Kurva lengkap Kurva nilai utama < cos - < π - < < tan
87 Tangent Inversi tan tan,5π π,5π ,5π -π -,5π Kurva lengkap,5π,5π ,5π -,5π Kurva nilai utama π < tan π < sin + tan cos + +
88 Cotangent inversi cot cot dengan nilai utama < cot < π π +,5π Kurva nilai utama < cot < π tan sin cos + +
89 Secan Inversi π,75π,5π sec cos dengan nilai utama sec π sec +,5π sec Kurva nilai utama < sec < π sin cos tan + +
90 Cosecan Inversi csc sin dengan nilai utama csc,5π,5π π csc π ,5π -,5π Kurva nilai utama π csc π tan + csc sin cos + +
91
92 Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal ang merupakan fungsi waktu, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas Tiga besaran karakteristik fungsi sinus Asin( + θ) Asin(πf t + θ ) sudut fasa amplitudo frekuensi siklus Selain frekuensi siklus, f, kita mengenal juga frekuensi sudut, ω, dengan hubungan ω πf
93 Fungsi sinus adalah fungsi periodik aitu fungsi ang memenuhi hubungan f ( t T ) f ( t) Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah: f T perioda A T A T t -A T s t -A Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik maka gabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
94 Contoh: Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan oleh besaran karakteristik fungsi sinus penusunna cos f t t -5 5 t cos f t cos πft cos(π( f ) t) t cos π ft cos(π( f) t + π Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasa menentukan bentuk gelombang gabungan / 4)
95 Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan juga oleh jumlah komponen sinus ang terlibat Komponen-komponen sinus ang terlibat dalam pembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa Komponen sinus dengan f disebut komponen fundamental Di atas komponen fundamental adalah Harmonisa ke- dengan frekuensi f Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f dst. Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsi tetapan ang disebut komponen searah
96 Contoh: Gabungan fungsi sinus ang membentuk gelombang persegi sinus dasar (fundamental). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-.
97 Spektrum Jika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik ang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombang non-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum. Ada dua spektrum aitu Spektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudona. Frekuensi tertinggi, f maks, adalah frekuensi harmonisa ang amplitudona sudah dapat diabaikan. Frekuensi terendah, f min, adalah frekuensi komponen fundamental aitu, atau jika spektrum mengandung komponen searah Lebar Pita Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensi ang merupakan selisih f maks dan f min
98 Contoh: Suatu persamaan gelombang: + 3cos(πf t) + 5cos(π ft π / ) + 7,5cos(π4 ft + π ) Frekuensi f f 4 f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fasa π/ π 4 π Amplitudo 3 Sudut Fasa π/ π/ Frekuensi [ f ] π Frekuensi [ f ] Spektrum Amplitudo Spektrum Sudut-fasa
99 Deret Fourier Penguraian suatu sinal periodik menjadi suatu spektrum sinal tidak lain adalah pernataan fungsi periodik kedalam deret Fourier fungsi periodik f [ a cos(πnf t) + b sin(πnf ] ( n n t t) a + ) Koefisien Fourier Contoh: T t a a b n A / π A / π n A / ; n b n genap; n a n n ganjil
100 Contoh: Contoh: T A t n b n a n n A a A a n n n untuk semua ganjil genap; / 4 / π π n n A b n a A a n n untuk semua untuk semua / π T A t
101
102
103 Bilangan Natural Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e Bilangan e ini, seperti halna bilangan π, adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas. Sampai dengan angka di belakang koma, nilaina adalah e, ln e ln e a a ln e a
104 Fungsi Logaritma Natural Definisi ln /t ln 3 4 luas bidang antara fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi oleh t dan t t ln dt t Kurva ln ln e,5,5 -,5 - -,5 - ln e 3 4 e,
105 Sifat-Sifat ln a ln a + ln ln ln ln a; a n ln n ln ln e ln e ln bernilai negatif untuk <
106
107 Fungsi Eksponensial Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma ln Fungsi Eksponensial e Fungsi eksponensial ang sering kita jumpai adalah fungsi eksponensial dengan eksponen negatif a e u( ) ; Faktor u() membuat fungsi ini muncul pada Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskan dengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetap muncul pada t
108 Kurva Fungsi Eksponensial e a,8,6,4, e e Makin negatif eksponen fungsi ini, makin cepat ia menurun mendekati sumbu-,5,5,5 3 3,5 4 Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalna (aitu nilai pada ), pada saat /a Pada saat 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dari nilai awalna Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada 5/a
109 Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo A dengan waktu sebagai peubah bebas adalah Ae at u( t) Ae t / τ u( t) ang dituliskan dengan singkat Ae at Ae t / τ τ /a disebut konstanta waktu makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun Pada saat t 5τ, nilai fungsi sudah di bawah % dari A fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t 5τ
110 Gabungan Fungsi Eksponensial A Ae t / τ Ae A t / τ ( t / τ t τ ) e e / t/τ 3 4 5
111
112 Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh) sinh ; cosh e e e e + Fungsi hiperbolik ang lain e e e e e e e e + + sinh cosh coth ; cosh sinh tanh e e e e + sinh csch ; cosh sech
113 Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik 4 3 e sinh e e e -3-4
114 cosh e + e 4 3 e sinh
115 cosh sech cosh
116 csch sinh 4 3 sinh csch -4
117 4 3 coth cosh sinh tanh sinh cosh coth
118 Identitas Jika untuk sin dan cos kita kenal hubungan: cos + sin untuk sinh dan cosh terdapat hubungan cosh sinh e + + e 4 e + e Beberapa Identitas: cosh v sinh v tanh v sech coth v csch cosh v + sinh v v e v v cosh v sinh v e v
119
120 Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku P( P, P ) P r θ [,] P P[r,θ] P r sin θ P r cosθ
121 Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[,] dalam koordinat sudut-siku adalah + c [,] r θ Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi ( r cosθ) + ( r sin θ) c
122 Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + c r θ [,] Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi a ( r cosθ a) + ( r sin θ) c
123 Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah ( a) + ( b) c b r θ [,] a Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi ( r cosθ a) + ( r sin θ b) c
124 Contoh: r ( cosθ) 3 P[r,θ] r θ Bentuk ini disebut cardioid
125 Contoh: r 6cosθ 3 P[r,θ] r θ
126 Contoh: rθ,5,5 r θ P[r,θ] - 3 θ π -,5 θ 3π θ 4π θ π -
127 Persamaan Garis Lurus l P[r,θ] O r θ a l : r cos θ a
128 P[r,θ] l : r sin θ l b b O θ r
129 P[r,θ] l : r cos(β θ) 3 a l 3 r A a θ α O β
130 P[r,θ] l : r cos(θ β) 4 a r a θ l 4 β O
131 Parabola, Elips, Hiperbola Eksentrisitas titik fokus direktriks D Parabola: Elips: A k e s e s F r θ < Hiperbola: e s > B P[r,θ] k r cosθ Eksentrisitas: e s PF PD r k + r cosθ Dengan pengertian eksentrisitas ini kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola. r e ( k + r cos θ) e k + e r cos θ s s esk r es cosθ,5 k k r (misal e,5cos θ cosθ s,5) k r (misal e s ) cosθ s
132 Lemniskat dan Oval Cassini Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, ang merupakan tempat kedudukan titik-titik ang hasil kali jarakna terhadap dua titik tertentu bernilai konstan θ π F [a,π] θ π/ P[r,θ] r θ θ F [a,] ( PF ) ( r sin θ) + ( a + r cosθ) ( PF ) ( r sin θ) + ( a r cosθ) r + a Buat b dan a berrelasi b ka + ar cosθ k 4 b a 4 4 Misalkan r PF PF b r + a ( r + a + ar cosθ) ( r + a ar cosθ) a a r ( cos r + a a r cos θ θ) 4 4 ar cosθ r + a a r cos θ r 4 a r cos θ + a 4 ( k 4 ) r a cos θ ± a cos θ ( k 4 )
133 Lemniskat 4 r a cos θ ± a cos θ ( k ) Kondisi khusus: k r a cos θ θ π/,6 Kurva dengan a Kondisi khusus: k >, misal k, θ π/,5 θ π, -,5 - -,5 -,,5,5 θ θ π θ - - -,5 -,6 -
134 Oval Cassini r a cos θ ± a cos θ ( k 4 ) Kondisi khusus: k <, misalkan k,8 θ π/,5 θ π, ,5 - θ -,5
135 Bahan Kuliah Terbuka Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka
Lebih terperinci1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinci2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):
Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup
7// Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik. Fungsi 8/3/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup
// Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut
Lebih terperinci3. Gabungan Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinciDiferensial dan Integral
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua
Lebih terperinci4. Mononom dan Polinom
Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciFUNGSI Matematika Industri I
FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses
Lebih terperinciSIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A. Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017
SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017 TUJUAN PERKULIAHAN Memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal Memahami konsep harmonisa
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciUkuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:
Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciA B A B. ( a ) ( b )
BAB. FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong. Relasi T dari himpunan A ke B adalah himpunan bagian dari A B. Jadi relasi A ke B merupakan himpunan (,y), dengan pada himpunan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciPERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1
PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan
Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Diferensiasi
Suaratno Suirham Diferensiasi Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org Pengertian-Pengertian 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
Lebih terperinciPENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI JENIS-JENIS FUNGSI PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI PENGERTIAN FUNGSI Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap X anggota A dengan tepat
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinci(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada
f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap
Lebih terperinciRingkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI
Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinci= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,
000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinci8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik
8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna
Lebih terperinciJika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t
Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)
Lebih terperinciBAB IV DERET FOURIER
BAB IV DERET FOURIER 4.1 Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 7/8. Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan
Lebih terperinciMATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER
MATERI 4 MATEMATIKA TEKNIK 1 DERET FOURIER 1 Deret Fourier 2 Tujuan : 1. Dapat merepresentasikan seluruh fungsi periodik dalam bentuk deret Fourier. 2. Dapat memetakan Cosinus Fourier, Sinus Fourier, Fourier
Lebih terperinci3. ORBIT KEPLERIAN. AS 2201 Mekanika Benda Langit. Monday, February 17,
3. ORBIT KEPLERIAN AS 2201 Mekanika Benda Langit 1 3.1 PENDAHULUAN Mekanika Newton pada mulanya dimanfaatkan untuk menentukan gerak orbit benda dalam Tatasurya. Misalkan Matahari bermassa M pada titik
Lebih terperinciMatematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu,
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika
Lebih terperinciBAB I SISTEM KOORDINAT
BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita
Lebih terperinciKURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB
KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui Pencocokan kurva Metode kuadrat terkecil
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinciISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)
TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )
Lebih terperinci11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,
Lebih terperinciKelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.
DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan
Lebih terperinciBAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola
Lebih terperinciTrigonometri. Trigonometri
Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciBAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.
64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I
SOAL DAN PEMBAHASAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI KUADRAN I Trigonometri umumnya terdiri dari beberapa bab yang dibahas secara bertahap sesuai dengan tingkatannya. untuk kelas X, biasanya pelajaran trigonometri
Lebih terperinciTrigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.
Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya
Lebih terperinciTeknik Pengintegralan
Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinciSoal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
Lebih terperinciAturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.
Lebih terperinciSKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak
SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis
Lebih terperincidigunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
Lebih terperinciDERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA
Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER
Lebih terperinciBAB IV DIFFERENSIASI
BAB IV DIFFERENSIASI 4. Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.. Akan tetapi jika
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciEvaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1985 Matematika
Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 98 Matematika EBTANAS-SMP-8- Jika A = {,, 8,, 4}, B = {,,,,, } dengan himpunan semesta C = (c c bilangan cacah }, maka himpunan {., 4, 6, 9,,, } =... A' B' (A
Lebih terperinciBAB II HARMONISA PADA GENERATOR. Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang
BAB II HARMONISA PADA GENERATOR II.1 Umum Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang digunakan untuk menkonversikan daya mekanis menjadi daya listrik arus bolak balik. Arus
Lebih terperinciPertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL
Pertemuan GAIS SINGGUNG DAN GAIS NOMAL Persamaan Garis Singgung melalui titik (, ) - m ( - ) Persamaan Garis Normal melalui titik (, ) - ( - ) m Panjang Subtangens Y m Panjang subnormal m Y Pemakaian Diferensial
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013 www.darpublic.com
Darpublic Nopember 0 www.darpublic.com. Integral () (Integral Tak Tentu) Sudaryatno Sudirham Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung
Lebih terperinciFUNGSI LOGARITMA ASLI
FUNGSI LOGARITMA ASLI............ Definisi Fungsi logaritma asli, dinyatakan oleh ln, didefinisikan sebagai ln (Daerah asalnya adalah., 0 Turunan Logaritma Asli ln, 0 Lebih umumnya, Jika 0 dan f terdifferensialkan,
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciTRIGONOMETRI Matematika
TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi
Lebih terperinciDeret Fourier untuk Sinyal Periodik
x( t T ) x( Analisis Fourier Jean Baptiste Fourier (1768-1830, ahli fisika Perancis) membuktikan bahwa sembarang fungsi periodik dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan sinyal-sinyal sinus dengan frekuensi
Lebih terperinci