Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii

2 BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau ang lain. Artina waktu, temperatur, tekanan dan lainna itu menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis ang tergantung padana merupakan peubah tak bebas,. Pada umumna perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik Fungsi Anak Tangga Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari sampai +. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan ang muncul pada x = dan membentang hana pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain ang disebut fungsi anak tangga satuan ang didefinisikan bernilai nol untuk x <, dan bernilai satu untuk x dan dituliskan sebagai u (. Jadi u( = 1 untuk x = untuk x< (3.1) Jika suatu fungsi tetapan = k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain ang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), aitu = ku( (3.) Fungsi anak tangga (3.) bernilai nol untuk x <, dan bernilai k untuk x. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi = 3,u ( dan fungsi =,u( ang bernilai nol untuk x < dan bernilai 3, dan, untuk x. 3-1

3 = 3, u( - x -4 =, u( Gb.3.1. Fungsi anak tangga. Fungsi anak tangga seperti (3.) dikatakan mulai muncul pada x = dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga ang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinatakan dengan mengganti peubah x dengan ( a). Dengan demikian maka fungsi anak tangga = ku( a) (3.3) merupakan fungsi ang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. = 3, u(1) - 1 x -4 Gb.3.. Kurva fungsi anak tangga tergeser. Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai ang terdefinisi di x =. Oleh karena itu fungsi ini kontinu di x =, berbeda dengan fungsi = 1/x ang tidak terdefinisi di x = (telah disinggung di Bab-1). 3- Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

4 3.. Fungsi Ramp Telah kita lihat bahwa fungsi = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [,], membentang dari x = - sampai x = +. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x <, ang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak tangga satuan u( (ang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < ). Jadi persamaan fungsi ramp adalah = axu( (3.4) Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan. Fungsi ramp tergeser adalah = a( g) u( g) (3.) dengan g adalah pergeseranna. Perhatikanlah bahwa pada (3.) bagian 1 = a( g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan = u( g) adalah fungsi anak tangga satuan ang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan 1= xu(, fungsi ramp = xu(, dan fungsi ramp tergeser 3= 1,( ) u( ) Pulsa = xu( 1 = xu( x 4 Gb.3.3. Ramp satuan 1 = xu(, ramp = xu(, ramp tergeser 3 = 1,(x-)u(x-). 3 = 1,(x-)u(x-) Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai x 1 tertentu dan menghilang pada x >x 1. Bentuk pulsa ini dapat dinatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, ang memiliki amplitudo sama tetapi 3-3

5 berlawanan amplitudo dan berbeda pergeseranna. Persamaan umumna adalah = au( x1 ) au( x) (3.6) x 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga ang pertama dan x adalah pergeseran fungsi anak tangga ang ke-dua, dengan x > x 1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah ang memberikan bentuk pulsa, ang muncul pada x = x 1 dan menghilang pada x = x. Selisih ( x x1 ) disebut lebar pulsa lebar pulsa= x x 1 (3.7) Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo, ang muncul pada x = 1 dan menghilang pada x =, ang persamaanna adalah = u( 1) u( ) = { u( 1) ) } lebar pulsa 1 1 =u(x-1) 1 + = u(x-1)-u(x-) x 4-1 =-u(x-) - Gb.3.4. Fungsi pulsa u(x-1)-u(x-) Apa anga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, aitu = { u( 1) ) }, adalah pulsa beramplitudo 1 ang muncul pada x = 1 dan berakhir pada x =. Secara umum pulsa beramplitudo A ang muncul pada x = x 1 dan berakhir pada x = x adalah = A{ u( x1 ) x) }; lebar pulsa ini adalah (x x 1 ). Contoh lain: Pulsa ang muncul pada x =, dengan lebar pulsa 3 = 4 u( 3). dan amplitudo 4, memiliki persamaan { } 3-4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

6 Fungsi pulsa memiliki nilai hana dalam selang tertentu aitu sebesar lebar pulsana, ( x x1), dan di luar selang ini nilana nol. Oleh karena itu fungsi apapun ang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hana dalam selang di mana fungsi pulsana juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.. memperlihatkan deretan pulsa perioda Gb.3.. Deretan Pulsa. Peubah x biasana adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol t off. Satu perioda T = t on + t off. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah ton rr pulsa = maks (3.8) T dengan maks adalah amplitudo pulsa. x 3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumna adalah { ( x ) )} = mxu( A u 1 x (3.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis = max { u x ) )} ( 1 x Perhatikan bahwa u ( = 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp 1= xu( dengan fungsi pulsa = 1,{ u( 1) 3) } ang hana memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalina hana memiliki 3-

7 nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan ang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp. 1 3 = 1 = 3x = xu( 1,{ u( 1) 3) } { u( 1) 3) } = 1 1 =xu( =1,{u(x-1)-u(x-3)} x Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp 1 dan pulsa. Perkalian fungsi ramp 1= mxu( dengan pulsa = 1{ u( b) } membentuk fungsi gigi gergaji = ( m 1) x{ u( b) } ang muncul pada t = dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7) =mxu( = 1 =mx{u(-u(x-b)} ={u(-u(x-b)} b x x Gb.3.7. Kurva gigi gergaji Seperti halna pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasana terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8. Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah rr gigi - gergaji = maks (3.1) 3-6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

8 dengan maks adalah nilai puncak gigi gergaji x Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik. 3.. Gabungan Fungsi Ramp Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk = axu( + b( x1) u( x1 ) + c( x) u( x) +... (3.11) Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, 1= xu( dan = ( ) u( ) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x =, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi ang pertama pada saat mencapai x = =xu( 3 = xu( ()u() x = ()u() Gb.3.9. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Gb.3.1. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, 1= xu( dan = 4( ) u( ). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan 3-7

9 negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi ang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan 3 = 1 + akan menurun mulai dari x = =xu( = 4()u() 3 = xu( 4()u() x Gb.3.1. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa pulsa = u( 1) 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb x -1 = 4(x-)u(x-) 3 = {xu( 4(x-)u(x-)}{u(x-1)-u(x-3)} 1 =xu( Gb Kurva {xu( 4xu()}{u(x-1)-u(x-3)} Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.1. Gb.3.1. Gelombang segitiga. 3-8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral x

10 Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika ang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalna, kita jumpai dalam osciloscope Domain, Kekontinuan, Simetri Fungsi anak tangga satuan ang tergeser = u( a) hana mempunai nilai untuk x a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi ang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hana memiliki nilai pada rentang x a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinu. Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hana fungsi ang memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri ang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan ang tergeser. 3-9

11 Soal-Soal Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai pada bentuk gelombang sinal dalam rangkaian listrik. 1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini : a) 1 : maks =, muncul pada x =. b) : maks = 1, muncul pada x = 1. c) 3 : maks =, muncul pada x =.. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. a). 4 = 1+ ; b). = 1+ 3 ; c). 6 = Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo, lebar pulsa 1, muncul pada x =. b). Amplitudo 1, lebar pulsa, muncul pada x=1. c). Amplitudo, lebar pulsa 3, muncul pada x=. 4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik ang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 1, lebar pulsa, perioda.. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 1 dan perioda,. 6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik ang digambarkan di samping ini. perioda x 3 perioda x Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral