Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral"

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic

2 Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg-111 edisi Juli 11 Alamat pos: Kanaakan D-3, Bandung, Fa: (6) () ii

3 Bab 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan fungsi besaran. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan = f () (1.1) Perhatikan bahwa penulisan = f () bukanlah berarti sama dengan f kali, melainkan untuk menatakan bahwa merupakan fungsi dari ang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah akan memiliki nilai jika kepada kita berikan suatu nilai. dan adalah peubah (variable) ang dibedakan menjadi peubah-takbebas () dan peubah-bebas (). Peubah-bebas adalah simbol dari suatu besaran ang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas memiliki nilai ang tergantung dari nilai ang dimiliki. Dilihat dari nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran ang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis L T = L (1+ λt ) dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebalikna, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturna makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalna, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturna. Walaupun nilai di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 1

4 1.. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Dalam kebanakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nata ang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a < < b Ini berarti bahwa bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, ang dapat kita gambarkan sebagi berikut: a b a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a < b ang kita gambarkan sebagai a b Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a b 1.3. Kurva, Kekontinuan, Simetri Kurva. Fungsi = f () dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai + ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu- atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

5 menggambarkan nilai-nilai pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah memiliki nilai ang berupa bilangan-nata. 3 Q[-,] III -1 IV R[-3,-3] II - -3 P[,1] S[3,-] -4 Gb.1.1. Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nata dapat dinatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1,, 3,...adalah bilangan-nata bulat; 1,586 adalah bilangan-nata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas, ang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilaina adalah 3, Selain sumbu- ditetapkan pula sumbu- ang tegak lurus pada sumbu-, memanjang ke arah ke bawah dan + arah ke atas, ang melewati titik referensi di sumbu- dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu- dengan sumbu- merupakan titik referensi ang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [,]. Pada sumbu- ditetapkan juga satuan skala seperti halna pada sumbu-, ang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nata di sumbu-. Besaran fisik ang dinatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-; misalna sumbu- menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- dan sumbu-, selanjutna kita sebut bidang -, akan terbagi dalam 4 kuadran, aitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1. I 3

6 Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita natakan posisina sebagai K[ k, k ], dengan k dan k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu- dan di sumbu- dari titik K ang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalna, posisi empat titik ang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[,1], Q[-,], R[-3,-3] dan S[3,-]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nata akan berkaitan dengan satu titik di bidang -. Dengan cara inilah pasangan nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi = f() dapat divisualisasikan pada bidang -. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi di bidang -, dan kurva ini memiliki persamaan = f(), sesuai dengan pernataan fungsi ang divisualisasikanna. Contoh: sebuah fungsi =, 5 (1.) Setiap nilai akan menentukan satu nilai. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai dan akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel dst. -,5,5 1 1,5 dst. Fungsi =, 5 ang memiliki pasangan nilai dan seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [,] dan memiliki kemiringan tertentu (ang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah =, 5.,5 R 1,5 Q 1,5 P -, Gb.1.. Kurva dari fungsi =, 5 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

7 Dengan contoh ini, relasi (1.) ang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan aitu persamaan dari kurva ang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai jika diketahui nilai, dan sebalikna kita juga dapat memperoleh nilai jika diketahui nilai. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi =, 5 membentuk kurva dengan persamaan =, 5 di bidang -. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-,5], Q[,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. Kekontinuan. Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Sarat untuk terjadina fungsi ang kontinu dinatakan sebagai berikut: Suatu fungsi = f() ang terdefinisi di sekitar = c dikatakan kontinu di = c jika dipenuhi dua sarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di = c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) = f ( c) c ang kita baca limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). Contoh: Kita lihat misalna fungsi = 1/. Pada = fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/ tidak dapat kita tentukan berapa nilaina; lim f ( ) tidak terdefinisi jika menuju nol. Kedua persaratan c kekontinuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinu di =. Hal ini berbeda dengan fungsi ang terdefinisikan di = (lihat selanjutna ulasan di Bab-3) sebagai = u( ), = 1 untuk = untuk < 5

8 ang bernilai untuk < dan bernilai 1 untuk. Perhatikan Gb = 1/ = 1/ -1 Tak terdefinikan di =. 1 = u() Gb.1.3. Fungsi Terdefinisikan di = = 1/ dan =u() Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva =,3 simetris terhadap sumbu-. Jika kita ganti nilai = dengan = -, nilai tidak berubah karena berpangkat genap. Kurva =,5 3 simetris terhadap titik-asal [,]. Di sini 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

9 berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika diganti dan diganti. Kurva + = 9 simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. =,3 6 3 tidak berubah bila diganti tidak berubah jika dan diganti dengan dan = 9 =,5 3 tidak berubah jika diganti dan diganti dengan dan -6 dan dipertukarkan diganti dengan Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi ang memiliki simetri Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanakan dinatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas secara eksplisit dinatakan dalam, seperti = f (). Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai tidak diberikan secara eksplisit dalam. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit. = 1 + = = = 8 (1.3) 7

10 Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat - dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh ang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat ang akar-akarna adalah ( = + + = ), 1 ± = 4( 8) Nilai 1 dan dapat dihitung untuk setiap ang masih memberikan nilai nata untuk. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 4( 8) = ± (1.4) ang merupakan bentuk pernataan eksplisit = f (). Kurva fungsi ini terlihat pada Gb Gb.1.5. Kurva -8 = ± 4( 8) 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

11 1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). =,5. Pada fungsi ini setiap nilai hana memberikan satu nilai. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu- namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang Gb.1.6. Kurva =,5 ). = +. Pada fungsi ini, hana mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb ,6 1,,8,4,5 1 1,5 Gb.1.7. Kurva = + 9

12 3). =. Peubah tak-bebas hana mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhna kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva = +. Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana mengambil nilai baik positif maupun negatif., 1 1,5 -,4 -,8 4). = log1. -1, -1,6 Gb.1.8. Kurva = Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baikna kita mengingat kembali tentang logaritma. log 1 adalah logaritma dengan basis 1; log 1 a berarti berapakah 1 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi = log1 berarti 1 = 1 = log 1 1= ; = log 1 1= 3 ; 3 = log 1 =,313;...dst. Kurva fungsi = log1 terlihat pada Gb.1.9.,8,4 -, ,8 Gb.1.9. Kurva = log1 1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

13 5). = =. Fungsi ini berlaku untuk nilai negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa tidak hana sama dengan, melainkan ±. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.1. Gb.1.1. Kurva = = Fungsi Bernilai Banak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banak. 1). Fungsi = ±. Perhatikan bahwa ada dua nilai untuk setiap nilai. Sesungguhna bernilai ± dan bukan hana saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb Jika hana mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh dan 3 pada fungsi bernilai tunggal. 1,5 1,5 -, ,5 1 1,5,5 3-1,5 - Gb Kurva = ± 11

14 ). Fungsi 1 =. Fungsi ini bernilai banak; ada dua nilai untuk setiap nilai. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb Gb.1.1. Kurva = 1/ = ± 1/ 1.6. Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Fungsi dengan banak peubah bebas tidak hana tergantung dari satu peubah bebas saja,, tetapi juga tergantung dari peubah bebas ang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas dan t dinatakan sebagai = f (, t) (1.5) Sesungguhna dalam peristiwa fisis banak fungsi ang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banak, misalna persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi () dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banak sebagai w= f (,, z, u, v) (1.6) untuk menatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas,, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banak juga mungkin bernilai banak, misalna 1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

15 ρ = + + z (1.7) Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hana meninjau nilai positif dari ρ dan kita natakan fungsi ang bernilai tunggal ini sebagai ρ =+ + + z (1.8) 1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinatakan sebagai P(,) maka dalam koordinat polar dinatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah = r sinθ ; = r cosθ ; r = + θ = tan 1 ( / ) Hubungan ini terlihat pada Gb rcosθ θ r Gb Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. P rsinθ 13

16 1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi = f () mungkin juga dituliskan sebagai = (t) = (t) (1.1) jika dan masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi ang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hana akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hana pada bilangan nata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks tidak dicakup oleh buku ini. Bahasan dari Bab- mengenai fungsi linier sampai dengan Bab-16 mengenai persamaan diferensial dilakukan dalam pengertian koordinat sudut-siku. Koordinat polar dibahas pada Bab Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

17 Bab Fungsi Linier.1. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.1] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb..1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-, dalam rentang nilai dari sampai +. 5 = = 3,5 Gb..1. Fungsi tetapan (konstan): = 4 dan = 3, 5... Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus Persamaan (.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus ang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-, dengan kurva seperti terlihat pada Gb..1. Kurva ang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu- adalah kurva ang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan terhadap perubahan, atau kita tuliskan "delta " kemiringan= m =, dibaca : (.) "delta " 15

18 Dalam hal garis lurus, rasio memberikan hasil ang sama di titik manapun kita menghitungna. Artina suatu garis lurus hana mempunai satu nilai kemiringan, aitu ang diberikan oleh m pada fungsi = m. Gb... berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus ang semuana melewati titik-asal [,] akan tetapi dengan kemiringan ang berbeda-beda. Garis = lebih miring dari =, 5, garis = lebih miring dari = dan jauh lebih miring dari =, 5, dan ketigana miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis ang ke-empat memiliki m negatif 1,5 dan ia miring ke bawah (menurun) = = -1,5 Gb... Empat contoh kurva garis lurus = m. Secara umum, persamaan garis lurus ang melalui titik-asal [,] adalah = m (.3) dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun)..3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis = =,5 Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [,] melainkan memotong sumbu- misalna di titik [,]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan. Setiap nilai pada garis ini untuk suatu nilai, sama dengan nilai pada garis ang melalui [,], aitu =, ditambah. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai = +. Perhatikan Gb Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

19 Gb..3. Garis lurus melalui titik [,], kemiringan. Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu- di [,b] adalah ( b) = m (.4) b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu- positif (ke atas) ang berarti garis memotong sumbu- di atas titik [,]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu- negatif (ke bawah); ia memotong sumbu- di bawah titik [,]. Secara singkat, b pada (.4) menunjukkan pergeseran kurva sepanjang sumbu-. Kita lihat sekarang garis ang memiliki kemiringan dan memotong sumbu- di titik [a,], misalna di titik [1,]. Lihat Gb..4. Dibandingkan dengan garis ang melalui titik [,] aitu garis =, setiap nilai pada garis ini terjadi pada (1) pada garis = ; atau dengan kata lain nilai pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai pada garis = dengan (1). Contoh: =,8 pada garis ini terjadi pada = 1 dan hal ini terjadi pada = ( 1 1) pada kurva =. 8 = + = = 4 =( 1) Gb..4. Garis lurus melalui titik [1,]. 17

20 Secara umum persamaan garis ang melalui titik [a,] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan pada persamaan = m dengan (a). Persamaan garis ini adalah = m( a) (.5) Pada persamaan (.5), jika a positif garis = m tergeser ke arah sumbu- positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu- negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (.5) menunjukkan pergeseran kurva sejajar sumbu-. Pada contoh di atas, dengan tergeserna kurva ke arah kanan dan memotong sumbu- di titik [1,] ia memotong sumbu- di titik [,-]. Suatu garis ang titik perpotonganna dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringanna diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringanna adalah ( ) m= = = = 1 1 dan persamaan garis adalah = (.6) Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (.4), dengan memberikan m = dan b =. Secara umum, persamaan garis ang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,] dan [,b] adalah Contoh: = m+ b b dengan m= (.7) a garis memotong sumbu di, dan memotong sumbu di 4 4 Persamaan garis: = + 4= Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

21 Bagaimanakah persamaan garis lurus ang tidak terlihat perpotonganna dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik ang ada pada garis tersebut. Lihat Gb..5. Pada Gb..5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, aitu ( 1) m= = (.8) ( 1 ) [ 1, 1 ] [, ] Gb..5. Garis lurus melalui dua titik. Persamaan (.8) ini harus berlaku untuk semua garis ang melalui dua titik ang diketahui koordinatna. Jadi secara umum harus berlaku 1 m= (.9) 1 Dengan demikian maka persamaan garis ang memiliki kemiringan ini adalah 1 = m( 1 ) (.1) Persamaan (.1) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m ang diberikan oleh (.9), bergeser searah sumbu- sebesar 1 dan bergeser searah sumbu- sebesar 1. Contoh: Carilah persamaan garis ang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,). 19

22 P Q 7 Kemiringan garis ini adalah m = = = 1, 5 p Q 5 1 Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis ang melalui titik asal = 1, 5. Persamaan garis dengan kemiringan ini dan melalui titik P(5,7) adalah 7= 1,5( 5) = 1,5 6,5+ 7 = 1,5+,75 Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi = f () akan tergeser sejajar sumbu- sebesar 1 skala jika diganti dengan ( 1 ), dan tergeser sejajar sumbu- sebesar 1 skala jika diganti dengan ( 1 ) = f () menjadi = f ( 1) atau 1 = f ( ) (.11) Walaupun (.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung ang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutna. Contoh: = kurva semula + = (pergeseran searah sumbu-) atau = ( 1) (pergeseran +1 searah sumbu-) Contoh: Kita kembali pada contoh sebelumna, aitu persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(1,). Persamaan garis dengan kemiringan 1,5 dan melalui titik asal adalah = 1, 5. Garis ini Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

23 harus kita geser menjadi ( b) = 1,5( a) agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik ang diketahui, P(5,7) dan Q(1,). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan 7 b= 1,5(5 a) dan b= 1,5(1 a) Dari sini kita akan mendapatkan nilai a =,6 dan juga b =,75 sehingga persamaan garis ang melalui titik P(5,7) dan Q(1,) dapat diperoleh, aitu,75= 1, 5 atau = 1,5( +,6). Garis ini memotong sumbu- di +,75 dan memotong sumbu- di,6..4. Perpotongan Garis Dua garis lurus 1= a1 + b1 dan = a+ b berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi 1 = sehingga b b 1 P = a1 a P = a1p + b1 Contoh: a + 1P + b1 = ap b atau P = ap + b Titik potong dua garis 1= + 3 dan = = + 3= 4 8 = 11 (.1) 11 P = = 5,5 ; P = + 3= 5,5+ 3= 14 atau P = 4 5,5 8= 14 Jadi titik potong adalah 14] P[(5,5),. Perhatikan Gb..6. berikut ini. 1

24 P Koordinat P memenuhi persamaan 1 maupun Gb..6. Perpotongan dua garis. Jika kedua garis memiliki kemiringan ang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di. Contoh: Dua garis 1= 4+ 3 dan = 4 8 adalah sejajar..5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis m = tanθ (.13) dengan θ adalah sudut ang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu- atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb m=tanθ θ 5 5 Gb..7. Panjang per skala sama di sumbu- dan. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

25 Sesungguhna formulasi (.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ ang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarna; jika pembagian tidak sama besar sudut θ ang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarna sehingga sudut θ sebenarna harus dihitung dari formula (.13) dan bukan dilihat dari grafik..6. Domain, Kekontinuan, Simetri Pada fungsi linier = m( a) + b, peubah akan selalu memiliki nilai, berapapun. Peubah bisa bernilai dari sampai +. Fungsi ini juga kontinu dalam rentang tersebut. Kurva fungsi = m simetris terhadap titik asal [,] karena fungsi ini tak berubah jika diganti dengan dan diganti dengan..7. Contoh-Contoh Fungsi Linier Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva ang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi ang biasa kita jumpai dalam praktik rekaasa. 1). Suatu benda dengan massa m ang mendapat gaa F akan memperoleh percepatan. F = ma ; a adalah percepatan Jika tidak ada gaa lain ang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai v ( t) = v + at v kecepatan gerak benda, v kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah v ( t) = at ) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V, dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar 3

26 Elektron ang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adana medan listrik sebesar anoda V E= l a= ee a adalah percepatan ang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah v k = at 3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan ang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaa ang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang merupakan fungsi linier dari. dengan k adalah konstanta pegas. F = k 4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus ang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi V i = GV =, dengan G= 1 R R G adalah tetapan ang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.persamaan ini juga bisa dituliskan V = ir ang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan. Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinatakan dengan R= ρl A 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral ] l katoda

27 ρ disebut resistivitas bahan logam. Kerapatan arus dalam logam adalah atas kita peroleh j= i A = V RA 1 = ρ i j= dan dari persamaan di A V l = σe dengan E = V / l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ = 1 / ρ adalah konduktivitas bahan logam. Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau dv gradien dari V ang kita tuliskan E=. Mengenai pengertian d gradien akan kita pelajari di Bab-9. 5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadina difusi, aitu penebaran materi menembus materi lain, adalah adana perbedaan materi masuk di a C a konsentrasi. Situasi ini analog dengan C peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong a untuk terjadina aliran muatan adalah perbedaan tegangan. materi keluar di Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi ang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai dc J = D d D adalah koefisien difusi, dc/d adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C dan C bernilai konstan. Relasi ini disebut Hukum Fick Pertama ang secara formal menatakan bahwa fluksi dari materi ang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi ang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi. 5

28 Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hana berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menadari bahwa fungsi linier bukan hana sekedar pernataan suatu garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi ang banak dijumpai dalam praktik rekaasa. Soal-Soal 1. Tentukan persamaan garis-garis ang membentuk sisi segi-lima ang tergambar di bawah ini Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas. 3. Carilah persamaan garis ang a) melalui titik asal (,) dan sejajar garis ; b) melalui titik asal (,) dan sejajar dengan garis Carilah persamaan garis ang melalui a) titik potong 1 dan titik potong 3 4 ; b) titik potong 3 4 dan titik potong 1 5 ; c) titik potong 1 dan titik potong Carilah persamaan garis ang a) melalui titik potong 1 5 dan sejajar dengan garis ; b) melalui titik potong 4 5 dan sejajar dengan garis 1. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

29 Bab 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau ang lain. Artina waktu, temperatur, tekanan dan lainna itu menjadi peubah bebas,, sedangkan besaran fisis ang tergantung padana merupakan peubah tak bebas,. Pada umumna perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsifungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik Fungsi Anak Tangga Fungsi tetapan membentang pada nilai dari sampai +. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan ang muncul pada = dan membentang hana pada arah positif, kita memerlukan fungsi lain ang disebut fungsi anak tangga satuan ang didefinisikan bernilai nol untuk <, dan bernilai satu untuk dan dituliskan sebagai u (). Jadi u( ) = 1 untuk = untuk < (3.1) Jika suatu fungsi tetapan = k dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain ang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), aitu = ku() (3.) Fungsi anak tangga (3.) bernilai nol untuk <, dan bernilai k untuk. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi = 3,5u ( ) dan fungsi =,5u( ) ang bernilai nol untuk < dan bernilai 3,5 dan,5 untuk. 7

30 5 = 3,5 u() =,5 u() Gb.3.1. Fungsi anak tangga. Fungsi anak tangga seperti (3.) dikatakan mulai muncul pada = dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga ang baru muncul pada = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinatakan dengan mengganti peubah dengan ( a). Dengan demikian maka fungsi anak tangga = ku( a) (3.3) merupakan fungsi ang mulai muncul pada = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu- dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-. Gb.3.. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini. 5 = 3,5 u(1) Gb.3.. Kurva fungsi anak tangga tergeser. Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai ang terdefinisi di =. Oleh karena itu fungsi ini kontinu di =, berbeda dengan fungsi = 1/ ang tidak terdefinisi di = (telah disinggung di Bab-1). 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

31 3.. Fungsi Ramp Telah kita lihat bahwa fungsi = a berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [,], membentang dari = - sampai = +. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk <, ang dapat diperoleh dengan mengalikan a dengan fungsi anak tangga satuan u() (ang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk < ). Jadi persamaan fungsi ramp adalah = au() (3.4) Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan. Fungsi ramp tergeser adalah = a( g) u( g) (3.5) dengan g adalah pergeseranna. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagian 1 = a( g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan = u( g) adalah fungsi anak tangga satuan ang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan 1= u( ), fungsi ramp = u( ), dan fungsi ramp tergeser 3= 1,5( ) u( ) Pulsa = u() 1 = u() Gb.3.3. Ramp satuan 1 = u(), ramp = u(), ramp tergeser 3 = 1,5(-)u(-). 3 = 1,5(-)u(-) Pulsa merupakan fungsi ang muncul pada suatu nilai 1 tertentu dan menghilang pada > 1. Bentuk pulsa ini dapat dinatakan dengan gabungan dua fungsi anak tangga, ang memiliki amplitudo sama tetapi 9

32 berlawanan amplitudo dan berbeda pergeseranna. Persamaan umumna adalah = au( 1 ) au( ) (3.6) 1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga ang pertama dan adalah pergeseran fungsi anak tangga ang ke-dua, dengan > 1. Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah ang memberikan bentuk pulsa, ang muncul pada = 1 dan menghilang pada =. Selisih ( 1 ) disebut lebar pulsa lebar pulsa= 1 (3.7) Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo, ang muncul pada = 1 dan menghilang pada =, ang persamaanna adalah = u( 1) u( ) = { u( 1) u( ) } lebar pulsa 1 1 =u(-1) 1 + = u(-1)-u(-) =-u(-) - Gb.3.4. Fungsi pulsa u(-1)-u(-) Apa anga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, aitu = { u( 1) u( ) }, adalah pulsa beramplitudo 1 ang muncul pada = 1 dan berakhir pada =. Secara umum pulsa beramplitudo A ang muncul pada = 1 dan berakhir pada = adalah = A{ u( 1 ) u( ) }; lebar pulsa ini adalah ( 1 ). Contoh lain: Pulsa ang muncul pada =, dengan lebar pulsa 3 = 4 u( ) u( 3). dan amplitudo 4, memiliki persamaan { } 3 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

33 Fungsi pulsa memiliki nilai hana dalam selang tertentu aitu sebesar lebar pulsana, ( 1), dan di luar selang ini nilana nol. Oleh karena itu fungsi apapun ang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hana dalam selang di mana fungsi pulsana juga memiliki nilai. Dalam praktek, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa perioda Gb.3.5. Deretan Pulsa. Peubah biasana adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol t on sedangkan selang waktu di mana ia menghilang diberi simbol t off. Satu perioda T = t on + t off. Nilai rata-rata deretan pulsa adalah ton rr pulsa = maks (3.8) T dengan maks adalah amplitudo pulsa Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumna adalah { ( ) u( )} = mu( ) A u 1 (3.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis = ma { u ) u( )} ( 1 Perhatikan bahwa u ( ) = 1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp 1= u( ) dengan fungsi pulsa = 1,5{ u( 1) u( 3) } ang hana memiliki nilai antara = 1 dan = 3. Perhatikan bahwa hasil kalina hana memiliki 31

34 nilai antara = 1 dan = 3, dengan kemiringan ang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp. 1 3 = 1 = 3 = u( ) 1,5{ u( 1) u( 3) } { u( 1) u( 3) } = 1 1 =u() =1,5{u(-1)-u(-3)} Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp 1 dan pulsa. Perkalian fungsi ramp 1 mu( ) = dengan pulsa = 1{ u( ) u( b) } membentuk fungsi gigi gergaji = ( m 1) { u( ) u( b) } ang muncul pada t = dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7) =mu() = 1 =m{u()-u(-b)} ={u()-u(-b)} b Gb.3.7. Kurva gigi gergaji Seperti halna pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasana terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8. Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah rr gigi - gergaji = maks (3.1) 3 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

35 dengan maks adalah nilai puncak gigi gergaji Gb.3.8. Gigi gergaji terjadi secara periodik Gabungan Fungsi Ramp Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk = au( ) + b( 1) u( 1 ) + c( ) u( ) +... (3.11) Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, 1= u( ) dan = ( ) u( ) seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari =, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi ang pertama pada saat mencapai = =u() 3 = u() ()u() = ()u() Gb.3.9. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Gb.3.1. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, 1= u( ) dan = 4( ) u( ). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan 33

36 negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi ang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan 3 = 1 + akan menurun mulai dari = =u() = 4()u() 3 = u() 4()u() Gb.3.1. Gabungan ramp 1 dan ramp tergeser. Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa pulsa = u( 1) u( 3) akan kita peroleh bentuk kurva seperti terlihat pada Gb = 4(-)u(-) 3 = {u() 4(-)u(-)}{u(-1)-u(-3)} 1 =u() Gb Kurva {u() 4u()}{u(-1)-u(-3)} Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.1. Gb.3.1. Gelombang segitiga. 34 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

37 Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika ang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalna, kita jumpai dalam osciloscope Domain, Kekontinuan, Simetri Fungsi anak tangga satuan ang tergeser = u( a) hana mempunai nilai untuk a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi ang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hana memiliki nilai pada rentang a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinu. Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hana fungsi ang memiliki sumbu- sebagai sumbu simetri ang akan tetap simetris terhadap sumbu- apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan ang tergeser. 35

38 Soal-Soal Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banak kita jumpai pada bentuk gelombang sinal dalam rangkaian listrik. 1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini : a) 1 : maks = 5, muncul pada =. b) : maks = 1, muncul pada = 1. c) 3 : maks = 5, muncul pada =.. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 3, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. a). 4 = 1+ ; b). 5 = 1+ 3 ; c). 6 = Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada =. b). Amplitudo 1, lebar pulsa, muncul pada =1. c). Amplitudo 5, lebar pulsa 3, muncul pada =. 4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik ang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 1, lebar pulsa, perioda Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 1 dan perioda,5. 6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik ang digambarkan di samping ini. 5 perioda perioda Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

39 Referensi 1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun , sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book, Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material 1, e-book, 1. 37

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat

Lebih terperinci

3. Gabungan Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 00 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia

Lebih terperinci

4. Mononom dan Polinom

4. Mononom dan Polinom Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK

Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan

Integral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR

BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR 1.1 Skalar dan Vektor BAB 1 ANAISA SKAA DANVEKT Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Simbul,, dan z ang digunakan merupakan scalar, dan besarna juga dinatakan dalam

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham i Hak cita ada enulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darublic,

Lebih terperinci

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2 Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval Sudaryatno Sudirham Aritmatika Interval Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

fungsi Dan Grafik fungsi

fungsi Dan Grafik fungsi fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi

Sudaryatno Sudirham. Diferensiasi Suaratno Suirham Diferensiasi Bahan Kuliah Terbuka alam format pf terseia i.buku-e.lipi.go.i alam format pps beranimasi terseia i.ee-cafe.org Pengertian-Pengertian 0-0 Kita telah melihat baha kemiringan

Lebih terperinci

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA

DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER

Lebih terperinci

TM. II : KONSEP DASAR ANALISIS STRUKTUR

TM. II : KONSEP DASAR ANALISIS STRUKTUR TKS 4008 Analisis Struktur I TM. II : KONSE DASAR ANALISIS STRUKTUR Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaa endahuluan Analisis struktur adalah suatu proses

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik () BAB 4 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Pertama Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan

Lebih terperinci

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com

SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan

Lebih terperinci

TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK

TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK TEGANGAN EFFECTIVE (RMS), PEAK DAN PEAK-TO-PEAK ELEKTRONIKA ANALOG (5TEMA) Dosen: Mujahidin Oleh: Lina (1221011) PRODI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS INTERNASIONAL BATAM DESEMBER

Lebih terperinci

Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan

Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan 0. Beban Gabungan Pada kebanakan struktur, elemenna harus mampu menahan lebih dari satu jenis beban, misalna suatu balok dapat mengalami aksi simultan momen lentur dan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

1 Sistem Koordinat Polar

1 Sistem Koordinat Polar 1 Sistem Koordinat olar ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel ang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1.Potensial Listrik Interaksi gaya elektrostatik F dan melalui medan listrik E, di mana kedua besaran fisis tersebut merupakan besaran vektor. Potensial listrik besaran vektor.

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi (3) (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial).. Turunan

Lebih terperinci

x X dapat dipetakan ke setiap y Y. hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y. RELASI : F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:

x X dapat dipetakan ke setiap y Y. hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y. RELASI : F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut: RELASI DAN FUNGSI Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan setiap elemenrange ang membentuk pasangan bilangan berurut. Hubungan himpunan

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA 1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif,

= definit postif untuk konstanta p yang = 0 mempunyai dua akar postif, 000 SOAL UNTUK MATEMATIKA CEPAT TEPAT MATEMATIKA. Fungsi kuadrat y ( p ) ( p ) = + + + definit postif untuk konstanta p yang memenuhi adalah. Jika persamaan kuadrat p ( p p) + 4 = 0 mempunyai dua akar

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi

Lebih terperinci

PENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar.

PENGGUNAAN INTEGRAL. 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat. 2. Menghitung volume benda putar. PENGGUNAAN INTEGRA 1. Menghitung luas suatu daerah ang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.. Menghitung volume benda putar. 9 uas daerah di bawah kurva Volume benda putar ang diputar mengelilingi

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat

Lebih terperinci

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Pertemuan GAIS SINGGUNG DAN GAIS NOMAL Persamaan Garis Singgung melalui titik (, ) - m ( - ) Persamaan Garis Normal melalui titik (, ) - ( - ) m Panjang Subtangens Y m Panjang subnormal m Y Pemakaian Diferensial

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR II HUKUM OHM

LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR II HUKUM OHM LAPORAN PRAKTIKUM FISIKA DASAR II HUKUM OHM Oleh Nama NPM Semester : Yestri Hidayati : A1E011062 : II. B Tanggal Praktikum : Jum at, 06 April 2012 UNIVERSITAS BENGKULU FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi

Lebih terperinci

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

DERET FOURIER. n = bilangan asli (1,2,3,4,5,.) L = pertemuan titik. Bilangan-bilangan untuk,,,, disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L) DERET FOURIER Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang didefinisikan

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci