Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral"

Transkripsi

1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic

2 Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg- edisi Juli Alamat pos: Kanaakan D-3, Bandung, 435. Fa: (6) () 5347 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

3 BAB 6 Fungsi Trigonometri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. = sinθ; = cosθ sinθ cosθ 3 = tanθ= ; 4 = cotθ= cosθ sinθ 5 = secθ= ; 6 = cscθ=. cosθ sinθ (6.) Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaransatuan, aitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini diperlihatkan pada Gb.6.. Kita menggunakan referensi arah positif berlawanan dengan arah jarum jam; artina sudut θ makin besar jika jarijari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. O θ - [,] -θ Q r P - P Gb.6.. Lingkaran berjari-jari. 3

4 Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP =, maka PQ sin θ= = PQ (6.) r PQ = pada waktu θ = o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = pada waktu θ = 9 o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = pada waktu θ = 8 o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = pada waktu θ = 7 o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = pada waktu θ = 36 o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 7 o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat kita memperoleh sin o sin 7 = ; o = ; sin 9 o = ; sin 36 sin8 = = ; Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r =, maka 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral o OQ cos θ= = OQ r o (6.3) OQ = pada waktu θ =, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = pada waktu θ = π/. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ = pada waktu θ =,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = pada waktu θ = π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutna terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusna. Secara singkat cos o cos 7 = ; o = ; cos9 o = ; cos36 o cos8 = o = ; Pada Gb.6., jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ + OQ = OP =, maka Dari Gb.6.. dapat kita peroleh juga sin ( θ ) + cos ( θ) = (6.4.a)

5 P Q PQ sin( θ) = = = sinθ r r OQ cos( θ) = = cosθ r (6.4.b) (6.4.c) Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP Q sisi tegak selalu lebih kecil dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara dan +. Fungsi Tangent. PQ tan θ = (6.4.d) OQ P Q PQ tan( θ) = = = tanθ (6.4.e) OQ OQ Nilai tanθ akan menjadi jika θ = o, dan akan menuju + jika θ menuju 9 o karena pada waktu itu PQ juga dan tan( θ) akan menuju pada waktu θ menuju 9 o. Jadi tanθ bernilai antara sampai +. Nilai tanθ = bila θ = 45 o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan( θ) = jika θ = 45 o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5. Fungsi Cotangent. OQ cot θ = (6.4.f) PQ OQ OQ cot( θ) = = = cotθ (6.4.g) P Q PQ Nilai cotθ akan menuju + jika θ menuju o karena PQ akan menuju walau OQ menuju ; cotθ = jika θ = 9 o karena OQ =. Sebalikna cotθ akan menuju jika θ menuju karena P Q akan menuju ; cotθ = jika θ = 9 o karena P Q menuju. Lihat pula kurva Gb

6 Fungsi Secan dan Cosecan r secθ = = (6.4.h) cosθ OQ r cscθ = = (6.4.i) sinθ PQ Nilai secθ menuju jika θ menuju 9 o karena OQ menuju dan secθ = pada waktu θ = o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ =. Sementara itu cscθ akan menuju jika θ menuju karena sinθ menuju. Lihat pula Gb.6.7. Relasi-Relasi. Relasi-relasi ang lain dapat kita turunkan dengan mengunakan Gb.6.., aitu cosα sinα cosβ β sinα sinα sinβ α cosα sinβ β - [,] cosα cosβ - Gb.6.. Relasi-relasi sin( α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ cos( α+β) = cosαcosβ sinαsinβ (6.5) Karena sin( β) = sinβ dan cos( β) = cosβ maka kita peroleh pula sin( α β) = sinαcosβ cosαsinβ cos( α β) = cosαcosβ+ sinαsinβ (6.6) 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

7 6.. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat - r θ s Bilangan-nata dengan desimal ang tidak terbatas, π, digunakan untuk menatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan θ= s, s= rθ (6.7) r Jika θ = 36 o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = πr. Jadi jumlah radian dalam sudut 36 o adalah π. Dengan demikian maka ukuran sudut θ = 8 o adalah π rad. θ = 9 o adalah,5π rad. θ = adalah ( /8) rad. dst. 3 o π Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri akan kita gambarkan pada sistem koordinat -, ang kita ketahui bahwa sumbu- adalah sumbu bilangan-nata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus = sin() (6.8) terlihat pada Gb.6.3. ang dibuat untuk nilai dari π sampai +π. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = π/ atau θ = 9 o, mencapai nilai nol pada = π atau θ = 8 o, mencapai minimum (arah negatif) pada =,5π atau θ = 7 o, kembali nol pada = π atau θ = 36 o ; inilah satu perioda. π,5,5 π π π -,5 - -,5 Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda. 7

8 Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus = cos() (6.9) terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum + pada = atau θ = o, mencapai nilai nol pada = π/ atau θ = 9 o, mencapai minimum (arah negatif) pada = π atau θ = 8 o, kembali nol pada =,5π atau θ = 7 o, dan ke nilai maksimum + lagi setelah satu perioda, π. π,5,5 -,5 Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus. Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan perioda sama sebesar π, dengan nilai maksimum dan minimum ang sama aitu + dan. Perbedaan antara keduana terlihat, aitu sin( ) = sin( ) sedangkan cos( ) = cos( ) (6.) Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [,], dan disebut memiliki simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu- dan disebut memiliki simetri genap. Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus ang tergeser sejajar sumbu- sebesar π/. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita natakan dalam cosinus = sin( ) = cos( π / ) (6.) Fungsi Tangent. Selanjutna kita lihat fungsi - perioda π π -,5 sin( ) = tan( ) = (6.) cos( ) 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

9 Karena cos() = pada = +π/ dan π/, maka tan() bernilai tak hingga pada = +π/ dan π/. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.5. Kurva =tan() Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent. cos( ) = cot( ) = = (6.3) sin( ) tan( ) Karena sin() = pada =, maka cot() bernilai tak hingga pada =. Lihat Gb ,5π -π -,5π,5π π,5π Gb.6.6. Kurva = cot () 9

10 Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus. = sec( ) = (6.4.a) cos( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec() bernilai pada = karena pada nilai itu cos() juga bernilai. Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus. = csc( ) = (6.4.b) sin( ) Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc() bernilai pada = kara pada nilai ini sin() bernilai. 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π - - (a) = sec() ,5π -π -,5π -,5π π,5π - (b) = csc() -3 Gb.6.7. Kurva = sec() dan = csc() Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

11 Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut: = sin ; = 3sin ; = cos3 ; = 3cos(+ π / 4) ; = tan( / 3) 6.3. Fungsi Trigonometri Inversi Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan = sin(), maka fungsi sinus inversi dituliskan sebagai = arcsin atau = sin (6.5) Perhatikan bahwa sin bukan berarti /sin, melainkan inversi sinus ang bisa kita baca sebagai: adalah sudut ang sinusna sama dengan. Karena fungsi sinus adalah periodik dari sampai + maka fungsi = sin tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.8.a. Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai ; kita hana meninjau fungsi sinus inversi pada π π. Dengan pembatasan ini maka kita hana terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin. Jadi nilai utama = sin terletak pada π π sin. Kurva fungsi = sin ang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b. Perhatikanlah bahwa pada =, = sin = karena pada = sin() = =. Pada =, = sin = π/ karena sin() = sin(π/) = =. Contoh: = sin () =,5π ; = sin ( ) =,5π sin π = (,5) = ; 6 sin π = (,5) = 6

12 π π -,5π,5π π π - -,5,5 -,5π -,5π a) b) Gb.6.8. Kurva = sin Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3. (fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu- pada Gb.6.8. kita gambarkan horizontal sedangkan sumbu- kita gambarkan vertikal, maka kita akan memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang π π, aitu rentang di mana kita membatasi nilai pada fungsi sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi. Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan π = cos = sin (6.6) Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β= π/ α dan sin α = cosβ. Oleh karena itu jika sin α = maka cos β= sehingga cos = β=π / α=π / sin Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

13 Karena dengan pembatasan π π pada fungsi sinus inversi memberikan π π sin maka nilai-nilai utama dari cos akan terletak pada cos π. Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi cosinus inversi pada nilai utama. Perhatikan bahwa jika sumbu- digambar vertikal sedang sumbu- digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4. dalam rentang π. - π π,75π,5π π,5π a) b) Gb.6.9. Kurva = cos Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah - -,5,5 = tan (6.7) π dengan nilai utama π < tan < Untuk fungsi ini, nilai =±(π / ) tidak kita masukkan pada pembatasan untuk karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada nilai tersebut. Gb.6..a. memperlihatkan kurva = tan lengkap sedangkan Gb.6..b. dibatasi pada nilai,5π< <. 5π. 3

14 ,5π π,5π ,5π -π,5π,5π ,5π -,5π a) b) Gb.6.. Kurva = tan Jika kita mempertukarkan posisi sumbu- dan sumbu- pada Gb.6..b ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. aitu kurva fungsi tangent, dalam rentang π π < tan < Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi. Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan π = cot = tan (6.8) dengan nilai utama < cot < π dan π tidak masuk dalam pembatasan karena pada nilai tersebut menjadi tak hingga. Hubungan (6.8) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip segitiga siku-siku adalah α dan β, maka β=π/ α dan tan α= cotβ. Oleh karena itu jika tan α= maka cot β= sehingga cot = β=π -,5π / α=π / tan Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

15 π,5π Gb.6.. Kurva = cot Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- Gb.6.. ini akan memberikan bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6. Fungsi Secan Inversi. Selanjutna kita memperoleh fungsi secan inversi = sec = cos (6.9) dengan nilai utama π sec π.,75π,5π, Gb.6.. Kurva = sec Fungsi Cosecan Inversi. csc = sin (6.) dengan nilai utama π π csc 5

16 Pertukaran posisi sumbu- dan sumbu- pada gambar kurva kedua fungsi terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversina.,5π,5π ,5π -,5π Gb.6.. Kurva = csc Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan gambar segitiga siku-siku. ). Dari fungsi = sin, aitu sudut ang sinus-na adalah dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan seperti terlihat di bawah ini. Dari gambar ini selain fungsi dapat peroleh cos =, = sin dan sin =, kita =, dst. 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral tan ). Dari fungsi cosinus inversi = cos dapat kita gambarkan segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

17 Selain cos = dari gambar ini kita dapatkan sin =, tan =, dst. 3). Dari fungsi = tan, kita gambarkan segitiga seperti di bawah ini. Selain tan =, kita peroleh sin =, + + cos =, dst + 4). Dari fungsi = sec kita gambarkan Dari gambar ini kita peroleh tan =, sin =, dst. 7

18 Soal-Soal: ) Dari fungsi = cot tentukan sin dan cos ) Dari fungsi = csc tentukan tan dan cos 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

19 BAB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi waktu, sehingga kita akan melihatna dengan menggunakan waktu sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik. Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus ang terjadi setiap detik disebut frekuensi siklus, dengan simbol f, dengan satuan Hertz ( Hz = siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T maka f = (7.) T Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumna, kita menggunakan jumlah radian untuk menatakan sudut. Karena satu siklus perubahan sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut (ω), dan juga dengan perioda (T ), adalah π ω = πf = (7.) T Suatu fungsi cosinus ang memiliki amplitudo (nilai puncak) A dituliskan sebagai πt = Acosωt= Acos (7.3) T Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan ang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menatakan fungsi sinus = sin() atau fungsi cosinus = cos() dengan sebagai peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menatakan fungsi cosinus = cos ωt dengan t sebagai peubah bebas dengan satuan detik. Faktor ω-lah ang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik. 9

20 Gb.7.. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi sinus. Gb.7.. π πt = Acos ωt = Asinωt= Asin (7.4) T A T t -A Gb.7.. Fungsi cosinus πt = Acosωt= Acos T A T t -A Gb.7.. Fungsi sinus πt π = Asinωt= Asin = Acos ωt T Pergeseran fungsi cosinus sebesar T s diperlihatkan pada Gb.7.3. Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah = Acosω πt ( t T ) = Acos s s T T πt Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

21 A T T s t -A Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan pergeseran. Pada Gb.7.. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran adalah T s. Pada Gb.7.. pergeseran adalah π/ ang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu fungsi sinusoidal sembarang, aitu dengan menuliskanna dalam bentuk cosinus, dengan memasukkan pergeseran ang terjadi aitu ang ditunjukkan oleh posisi puncak ang pertama. Untuk selanjutna, peristiwa-peristiwa ang berubah secara sinusoidal kita natakan dengan menggunakan fungsi cosinus, ang dianggap sebagai bentuk normal Perhatikanlah bahwa T s adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga fungsi sinusoidal dengan pergeseran T s kita tuliskan (Gb.7.3) ang dapat pula kita tuliskan = Acos ω = Acos ( t ) T s ( ωt ω ) Pada penulisan terakhir ini, ωt s mempunai satuan radian, sama dengan satuan ωt. Selanjutna πts ϕ =ωts = (7.5) T disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan ( ω ϕ) T s = cos t (7.6)

22 Jika ϕ = π/ maka kita mempunai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita menambahkan pergeseran sebesar π/ pada fungsi cosinus. 7.. Kombinasi Fungsi Sinus. Dalam tinjauan selanjutna, jika disebut fungsi sinus, ang dimaksudkan adalah fungsi sinus ang dinatakan dalam bentuk normal, aitu cosinus. Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain ang bukan sinus, dapat dinatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus. Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi jumlah dari beberapa komponen sinus, ang memiliki amplitudo, sudut fasa, dan frekuensi ang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu, fungsi akan terdiri dari komponen-komponen ang berupa komponen searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi dasar f, dan harmonisa ang memiliki frekuensi harmonisa nf. Sebalikna dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi sinus ang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa ang berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus ang menusunna. Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi ang merupakan kelipatan bulat n dari frekuensi dasar f. Frekuensi f kita sebut sebagai frekuensi dasar karena frekuensi inilah ang menentukan perioda T = /f. Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (f o ), harmonisa ketiga (3f ), dan seterusna, ang secara umum kita katakan harmonisa ke-n mempunai frekuensi nf Spektrum Dan Lebar Pita. Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa mempertanakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalna. Bagaimana penebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga mempertanakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponenkomponen tersebut. Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

23 t -4 = 3 cos f t -5 5 t -4 = + 3 cos f t t - 4 = + 3cos πft cos(π( f) t) = + 3cos π ft cos(π( f) t+ π / 4) Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik. Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi ang dinatakan dengan persamaan ( πf t) + 5sin( π( f ) t) 7,5 cos( (4 f ) t) = + 3 cos π Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen berfrekuensi nol karena (t) = A cos(πft) = A jika f =. Komponen sinus ang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen inilah ang mempunai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku ketiga dan keempat adalah harmonisa ke- dan ke-4; harmonisa ke-3 tidak ada. Fungsi ini dinatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku dengan bentuk ang sama aitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan 3

24 di depan bahwa bentuk normal pernataan fungsi sinusoidal adalah menggunakan fungsi cosinus, aitu = Acos( πft+ ϕ). Dengan menggunakan kesamaan sin( πft ) = cos(πft π / ) dan cos( πft ) = cos(πft+ π) persamaan fungsi di atas dapat kita tulis = + 3 cos(πft) + 5 cos(π ft π / ) + 7,5cos(π4 ft+ π) Dalam pernataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap komponen seperti dalam tabel berikut. Frekuensi f f 4 f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fasa π/ π Fungsi ang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernataan suatu sinal (dalam rangkaian listrik misalna). Tabel ini menunjukkan apa ang disebut sebagai spektrum dari sinal ang diwakilina. Suatu spektrum sinal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari frekuensi. Sinal ang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, aitu :, f, f, dan 4f. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut adalah, 3, 5, dan 7,5 satuan (volt misalna, jika ia adalah sinal tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus ang berfrekuensi f, f dan 4f berturut turut adalah, π/, dan π radian. Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik aitu grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi frekuensi. Grafik ang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a) dan grafik ang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b). 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

25 4 Amplitudo Frekuensi [ f ] Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo π Sudut Fasa π/ π/ π Frekuensi [ f ] Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa. Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan sarat tertentu. Fungsi persegi misalna, ang juga periodik, dapat diuraikan menjadi jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian fungsi persegi ini adalah sebagai berikut : A = Acos(πf t π / ) + cos(π3 ft π / ) 3 A A + cos(π5 ft π / ) + cos(π7 ft π / ) Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunai sudut fasa sama besar aitu π/; amplitudona menurun dengan meningkatna frekuensi dengan faktor /n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut. 5

26 Frekuensi: f f 3f 4f 5f.. nf Amplitudo: A A/3 A/5.. A/n Sudut Fasa: - -π/ - -π/ - -π/.. -π/ Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun dari harmonisa-harmonisana. a) b) c) d) e) Gb.7.. Uraian fungsi persegi. a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3. c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5. d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7. e) hasil penjumlahan ang dilakukan sampai pada harmonisa ke-. Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarna kita akan makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan terus sampai ke suatu harmonisa tinggi ang memberikan bentuk fungsi ang kita anggap cukup memuaskan artina cukup dekat dengan bentuk ang kita inginkan. Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudona. Hal ini tidak hana berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum. Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

27 frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap amplitudo harmonisa-harmonisa ang frekuensina di atas frekuensi tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita tetapkan, misalna frekuensi harmonisa ang amplitudona tinggal % dari amplitudo sinus dasar. Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar jika bentuk fungsi ang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan. Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band width). 7

28 Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini dalam format cosinus = Acos( s ) : a). Amplitudo, puncak pertama terjadi pada =, frekuensi siklus siklus/skala. b). Amplitudo, puncak pertama terjadi pada =,, frekuensi siklus siklus/skala. c). Amplitudo, pergeseran sudut fasa o, frekuensi sudut rad/skala. d). Amplitudo, pergeseran sudut fasa +3 o, frekuensi sudut rad/skala.. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan sinus berikut ini = 4+ 5sin πt cos π4t+,sin π8t Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%, tentukan lebar pita fungsi ini. 3. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. o = 3cos(πt 6 ) - sinπt+ cosπ8t 4. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. = cost+ cos3t + cos5t +. cos5t+, cos 5t 5. Ulangi soal sebelumna untuk fungsi berikut. = + cos π5t + 3cos πt + cos π5t+,cos πt 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

29 Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun , sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN ,. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book,. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book,. 9

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral 2 Darpublic BB 7 Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik

Sudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 00 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

6. Fungsi Trigonometri Sudaryatno Sudirham

6. Fungsi Trigonometri Sudaryatno Sudirham 6. Fungsi Tignmeti Sudaatn Sudiham 6.. Peubah Bebas Besatuan Deajat Beikut ini adalah fungsi-fungsi tignmeti dengan sudut θ sebagai peubah-bebas. = sin θ; = cs θ sin θ cs θ 3 = tan θ = ; 4 = ct θ = cs

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

3. Gabungan Fungsi Linier

3. Gabungan Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan:

Ukuran Sudut. Perbandingan trigonometri. 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian. Catatan: Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360 ) = 2π radian Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut

Lebih terperinci

SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A. Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017

SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A. Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017 SIGNAL & SPECTRUM O L E H : G U TA M A I N D R A Rangkaian Elektrik Prodi Teknik Elektro Fakultas Teknik 2017 TUJUAN PERKULIAHAN Memahami berbagai pernyataan gelombang sinyal Memahami konsep harmonisa

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi (3) (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial).. Turunan

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI

PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI PERBANDINGAN DAN FUNGSI TRIGONOMETRI D. Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran Dalam pembahasan sebelumna, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa ang besarna

Lebih terperinci

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno Sudirham i Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaryatmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t

Jika t = π, maka P setengah C P(x,y) jalan mengelilingi ligkaran, t y. P(-1,0). t = 3/2π, maka P(0,-1) t>2π, perlu lebih 1 putaran t<2π, maka = t Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan (C), dengan jari-jari 1 dan pusat dititik asal. X 2 + y 2 = 1 Panjang busur AP = t Keliling C = 2π y Jika t = π, maka P setengah C P(,y)

Lebih terperinci

Trigonometri. Trigonometri

Trigonometri. Trigonometri Penggunaan Rumus Sinus dan Cosinus Jumlah Dua Sudut, Selisih ; Dua Sudut, dan Sudut Ganda Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus ; Pernahkah

Lebih terperinci

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan): Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama.

Trigonometri. G-Ed. - Dua sisi sama panjang atau dua sudut yang besarnya sama. - Dua sisi di seberang sudut-sudut yang sama besar panjangnya sama. Gracia Education Page 1 of 6 Trigonometri Pengertian Dasar Jumlah sudut-sudut dalam suatu segitiga selalu 180. Segitiga-segitiga istimewa: 1. Segitiga Siku-siku (Right-angled Triangle) - Salah satu sudutnya

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM,

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. secara umum ditulis: y= f(x)

Lebih terperinci

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1

PERSIAPAN TES SKL KELAS X, MATEMATIKA IPS Page 1 PERSIAPAN TES SKL X, MATEMATIKA 1. Pangkat, Akar dan Logaritma Menentukan hasil operasi bentuk pangkat (1 6) Menentukan hasil operasi bentuk akar (7 11) Menentukan hasil operasi bentuk logarithma (12 15)

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI

Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI Ringkasan Materi Kuliah Bab II FUNGSI. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR, DAN FUNGSI TRIGONOMETRI. TOPIK-TOPIK YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI.3 FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. FUNGSI REAL, FUNGSI ALJABAR,

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik () BAB 4 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Pertama Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi

Lebih terperinci

BAB II HARMONISA PADA GENERATOR. Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang

BAB II HARMONISA PADA GENERATOR. Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang BAB II HARMONISA PADA GENERATOR II.1 Umum Generator sinkron disebut juga alternator dan merupakan mesin sinkron yang digunakan untuk menkonversikan daya mekanis menjadi daya listrik arus bolak balik. Arus

Lebih terperinci

Sumber:

Sumber: Transformasi angun Datar Geometri transformasi adalah teori ang menunjukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukuranna menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis ang paling umum

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

INTERFERENSI GELOMBANG

INTERFERENSI GELOMBANG INERFERENSI GELOMBANG Gelombang merupakan perambatan dari getaran. Perambatan gelombang tidak disertai dengan perpindahan materi-materi medium perantaranya. Gelombang dalam perambatannya memindahkan energi.

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri

Trigonometri. Bab. Sudut Derajat Radian Kuadran Perbandingan Sudut (Sinus,Cosinus, tangen, cotangen, cosecan, dan secan) Identitas trigonometri Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, konsisten dan jujur

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI 1. E. Grafik Fungsi Trigonometri 11/13/ Peta Konsep. E. Grafik Fungsi Trigonometri

TRIGONOMETRI 1. E. Grafik Fungsi Trigonometri 11/13/ Peta Konsep. E. Grafik Fungsi Trigonometri //05 Jurnal Peta Konsep Daftar Hadir MateriE TRIGONOMETRI SoalLK Kelas X, Semester E. Grafik Fungsi Trigonometri SoalLatihan Materi Umum Ukuran Sudut Perbandingan trigonometri Perbandingan trigonometri

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaatno Sudiham Studi Mandii Fungsi dan Gafik Difeensial dan Integal oleh Sudaatno Sudiham i Dapublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Gafik, Difeensial dan Integal Oleh: Sudaatmo

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. 5. tan (A + B) = tan A.tan. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. 6. tan (A - B) = Sin α = r. Rumus-rumus Sudut Rangkap :

TRIGONOMETRI. 5. tan (A + B) = tan A.tan. Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen. 6. tan (A - B) = Sin α = r. Rumus-rumus Sudut Rangkap : TRIGONOMETRI 5. tan (A + B) tan A + tan B tan A.tan B Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen r Hubungan Fungsi Trigonometri :. sin +. tan. sec 4. cosec 5. cotan 6. 7. cos sin cos cos sin cos sin tan + cot

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham i Hak cita ada enulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darublic,

Lebih terperinci

III HASIL DAN PEMBAHASAN

III HASIL DAN PEMBAHASAN Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =

Lebih terperinci

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com

Trigonometri. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com Bab Trigonometri A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin,

Lebih terperinci

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK

Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan

Lebih terperinci

DAYA ELEKTRIK ARUS BOLAK-BALIK (AC)

DAYA ELEKTRIK ARUS BOLAK-BALIK (AC) DAYA ELEKRIK ARUS BOLAK-BALIK (AC) 1. Daya Sesaat Daya adalah energi persatuan waktu. Jika satuan energi adalah joule dan satuan waktu adalah detik, maka satuan daya adalah joule per detik yang disebut

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

FASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK

FASOR DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASAR RANGKAIAN LISTRIK FASO DAN impedansi pada ELEMEN-elemen DASA ANGKAIAN LISTIK 1. Fasor Fasor adalah grafik untuk menyatakan magnituda (besar) dan arah (posisi sudut). Fasor utamanya digunakan untuk menyatakan gelombang sinus

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Matematika

TRIGONOMETRI Matematika TRIGONOMETRI FTP UB Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Pokok Bahasan Sudut Identitas Trigonometrik Rumus Trigonometrik Fungsi Trigonometrik Sudut Rotasi

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi

TRIGONOMETRI. Jika cos x = a, maka inversnya adalah x = arc cos a. Begitu juga perbandingan trigonometri lainnya, inversnya dilambangkan menjadi Pelatihanosn.com TRIGONOMETRI Konversi Sudut = π putaran= rad = 6 menit 36 8 (6 ) = 36 detik (36") rad = 8 π = π putaran ket : yang didalam kurung merupakan cara penulisan Perbandingan Geometri sin t =

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 3 Integral () (Integral Tak Tentu) Dalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral.

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS

PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS MATEMATIKA PEMINATAN XI - IPA SOAL Perhatikan segitiga di bawah ini! Tentukan nilai sec cosec cot INGAT definisi: sin depan miring cosec sin miring depan cos samping

Lebih terperinci

Matematika Semester IV

Matematika Semester IV F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Modul 10. Fungsi Trigonometri

Modul 10. Fungsi Trigonometri Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

BENTUK GELOMBANG AC SINUSOIDAL

BENTUK GELOMBANG AC SINUSOIDAL BENTUK GELOMBANG AC SINUSOIDAL. PENDAHULUAN Pada bab sebelunya telah dibahas rangkaian resistif dengan tegangan dan arus dc. Bab ini akan eperkenalkan analisis rangkaian ac diana isyarat listriknya berubah

Lebih terperinci

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan

BAB 3 TRIGONOMETRI. csc = sec = cos. cot = tan BB TRIGONOMETRI RINGKSN MTERI. Perbandingan C a B c b a proyektor b proyektum c proyeksi b a + c sin b a cos b c tan sin a cos c. Sifat-sifat Kwadran csc sec cot b sin a b cos c c tan a sin + cos tan +

Lebih terperinci

V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI

V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI V. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 5.1 Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat: 1. menyebutkan definisi sinus, cosinus dan tangen dalam segitiga

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor . Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak

Lebih terperinci

HAND OUT FISIKA DASAR I/GELOMBANG/GERAK HARMONIK SEDERHANA

HAND OUT FISIKA DASAR I/GELOMBANG/GERAK HARMONIK SEDERHANA GELOMBAG : Gerak Harmonik Sederhana M. Ishaq Pendahuluan Gerak harmonik adalah sebuah kajian yang penting terutama jika anda bergelut dalam bidang teknik, elektronika, geofisika dan lain-lain. Banyak gejala

Lebih terperinci

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI

LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERBANDINGAN FUNGSI, PERSAMAAN, DAN IDENTITAS TRIGONOMETRI L - W (Lembar ktivitas Warga elajar) PERNDINGN FUNGSI, PERSMN, DN IDENTITS TRIGONOMETRI Oleh: Hj. IT YULIN, S.Pd, M.Pd MTEMTIK PKET C TINGKT V DERJT MHIR 1 SETR KELS X Created y Ita Yuliana 51 Perbandingan

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

GETARAN DAN GELOMBANG

GETARAN DAN GELOMBANG GEARAN DAN GELOMBANG Getaran dapat diartikan sebagai gerak bolak balik sebuah benda terhadap titik kesetimbangan dalam selang waktu yang periodik. Dua besaran yang penting dalam getaran yaitu periode getaran

Lebih terperinci

BAB VII. TRIGONOMETRI

BAB VII. TRIGONOMETRI BAB VII. TRIGONOMETRI 5. tan (A + B) tan A + tan B tan A.tan B Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen r x Hubungan Fungsi Trigonometri :. sin +. tan 3. sec 4. cosec 5. cotan cos sin cos cos sin cos sin Sin

Lebih terperinci

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi

Catatan Kuliah FI1101 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Catatan Kuliah FI111 Fisika Dasar IA Pekan #8: Osilasi Agus Suroso update: 4 November 17 Osilasi atau getaran adalah gerak bolak-balik suatu benda melalui titik kesetimbangan. Gerak bolak-balik tersebut

Lebih terperinci

PERCOBAAN I KARAKTERISTIK SINYAL AC

PERCOBAAN I KARAKTERISTIK SINYAL AC PERCOBAAN I KARAKTERISTIK SINYAL AC Tujuan : Mengetahui bentuk sinyal sinusoida, persegi ataupun segitiga Memahami karakteristik sinyal sinusoida, persegi ataupun segitiga Mengetahui perbedaan tegangan

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial

3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial Darpublic Nopember 03.arpublic.com 3. Turunan Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial 3.. Turunan Fungsi Trigonometri Jika sin maka sin sin( + ) sin sin cos + cos sin sin Untuk

Lebih terperinci

1 Sistem Koordinat Polar

1 Sistem Koordinat Polar 1 Sistem Koordinat olar ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel ang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI

MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 2 CONTOH SOAL A. ROTASI MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 14 Sesi NGAN TRANSFORMASI A. ROTASI Rotasi adalah memindahkan posisi suatu titik (, y) dengan cara dirotasikan pada titik tertentu sebesar sudut tertentu.

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

FUNGSI Matematika Industri I

FUNGSI Matematika Industri I FUNGSI TIP FTP UB Pokok Bahasan Memproses bilangan Komposisi fungsi dari fungsi Jenis fungsi Fungsi trigonometrik Fungsi eksponensial dan logaritmik Fungsi ganjil dan fungsi genap Pokok Bahasan Memproses

Lebih terperinci

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul.

Siswa menyelesaikan soal-soal prasyarat pada modul. DOKUMENTASI Guru mengucapkan salam kepada siswa. Guru memberikan apersepsi dan motivasi melalui pendahuluan yang terdapat pada awal Modul III dimana berisi hal-hal yang akan dipelajari pada Modul III.

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

Interferensi Cahaya. Agus Suroso Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung

Interferensi Cahaya. Agus Suroso Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung Interferensi Cahaya Agus Suroso (agussuroso@fi.itb.ac.id) Fisika Teoretik Energi Tinggi dan Instrumentasi, Institut Teknologi Bandung Agus Suroso (FTETI-ITB) Interferensi Cahaya 1 / 39 Contoh gejala interferensi

Lebih terperinci

Tabel 1 Sudut terjadinya jarak terdekat dan terjauh pada berbagai kombinasi pemilihan arah acuan 0 o dan arah rotasi HASIL DAN PEMBAHASAN

Tabel 1 Sudut terjadinya jarak terdekat dan terjauh pada berbagai kombinasi pemilihan arah acuan 0 o dan arah rotasi HASIL DAN PEMBAHASAN sudut pada langkah sehingga diperoleh (α i, x i ).. Mentransformasi x i ke jarak sebenarnya melalui informasi jarak pada peta.. Melakukan analisis korelasi linier sirkular antara x dan α untuk masingmasing

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup

Fungsi dan Grafik 7/23/2013. Pembatasan. Pokok Bahasan mencakup 7// Sudaatno Sudiham Pokok Bahasan mencakup Fungsi dan Gafik. Pengetian Tentang Fungsi. Fungsi Linie. Gabungan Fungsi Linie. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometis. Fungsi Tigonometi 7. Gabungan Fungsi

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

KOMUNIKASI DATA SUSMINI INDRIANI LESTARININGATI, M.T

KOMUNIKASI DATA SUSMINI INDRIANI LESTARININGATI, M.T Data dan Sinyal Data yang akan ditransmisikan kedalam media transmisi harus ditransformasikan terlebih dahulu kedalam bentuk gelombang elektromagnetik. Bit 1 dan 0 akan diwakili oleh tegangan listrik dengan

Lebih terperinci

Modulasi Sudut / Modulasi Eksponensial

Modulasi Sudut / Modulasi Eksponensial Modulasi Sudut / Modulasi Eksponensial Modulasi sudut / Modulasi eksponensial Sudut gelombang pembawa berubah sesuai/ berpadanan dengan gelombang informasi kata lain informasi ditransmisikan dengan perubahan

Lebih terperinci

FISIKA. Sesi GELOMBANG BERJALAN DAN STASIONER A. GELOMBANG BERJALAN

FISIKA. Sesi GELOMBANG BERJALAN DAN STASIONER A. GELOMBANG BERJALAN FISIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM KTSP 0 Sesi GELOMBANG BERJALAN DAN STASIONER A. GELOMBANG BERJALAN Gelombang adalah getaran yang merambat. Adapun gelombang berjalan merupakan suatu gelombang di mana setiap

Lebih terperinci

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan

Silabus. Kegiatan Pembelajaran Instrume n. - Menentukan nilai. Tugas individu. (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan Silabus Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMK : MATEMATIKA : XI / TEKNOLOGI, KESEHATAN, DAN PERTANIAN : GANJIL Standar Kompetensi:7. Menerapkan perbandingan, fungsi,, dan identitas

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2007/2008 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 7/8. Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orang tua, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI NAMA : KELAS : A. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SUDUT TRIGONOMETRI 1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sin dan Cos Kegiatan 1 Perhatikan segitiga ABC di Samping! LEMBAR AKTIVITAS SISWA RUMUS TRIGONOMETRI

Lebih terperinci

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri :

TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen Hubungan Fungsi Trigonometri : SMA - TRIGONOMETRI Pengertian Sinus, Cous dan Tangen Sin r y r y Cos r x x Tan x y Hubungan Fungsi Trigonometri :. + cos. tan 3. sec cos cos 4. cosec 5. cotan cos 6. tan + sec + cos + cos cos cos cos tan

Lebih terperinci

Analisis Sinusoida. Dibuat Oleh : Danny Kurnianto Diedit oleh : Risa Farrid Christianti Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto

Analisis Sinusoida. Dibuat Oleh : Danny Kurnianto Diedit oleh : Risa Farrid Christianti Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto Analisis Sinusoida Dibuat Oleh : Danny Kurnianto Diedit oleh : Risa Farrid Christianti Sekolah Tinggi Teknologi Telematika Telkom Purwokerto 1. Fungsi Pemaksa Sinusoida 1.1 Karakteristik sinusoida Kita

Lebih terperinci