Transformasi Satu Peubah Acak (Lanjutan) Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016

Transkripsi

1 Transformasi Satu Pubah Acak (Lanjutan) Dr. Kusman Sadik, M.Si Dpartmn Statistika IPB, 06

2 Transformasi Pubah Acak (Lanjutan) B. Mtod Pnggantian Pubah Mtod ini mrupakan pngmbangan dari mtod fungsi sbaran. Misalkan diktahui fkp bagi p.a. X adalah fx(x). Jika didfinisikan p.a. lainna aitu Y = h(x), maka ingin diktahui fkp bagi Y aitu f Y ().

3 Prhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsina, aitu h(x), harus fungsi satu-satu (on-to-on). Y = h(x) X = h - (Y) F Y () = P(Y ) = P(h(X) ) = P(X h - ()) = F X (h - ()) F Y () = F X (h - ()) 3

4 F Y () = F X (h - ()) slanjutna tntukan turunan dari F Y () di atas untuk mndapatkan fy(): fy() = dfy ( ) dfx [ h ( )] dfx [ h ( )] d[ h ( )] d d d[ h ( )] d karna X = h - (Y), maka prsamaan di atas mnjadi: fy() = dfx [ h ( )] d[ h ( )] dfx ( x) dx f X ( x) d[ h ( )] d dx d dx d 4

5 5 fy() = d dx x f d dx dx x df d h d h d h df X X X ) ( ) ( )] ( [ )] ( [ )] ( [ atau fy() = d dh h f X ) ( )) ( (

6 Torma: Misalkan X adalah p.a. dngan fkp f X (x) pada gugus S R, dan didfinisikan fungsi h : S T sbagai tranformasi satu-satu (on-to-on), shingga invrsna x = h - (), T. Anggap bahwa untuk T, turunan (dh - ())/d ada, kontinu dan tidak sama dngan 0. Maka fungsi kpkatan pluang bagi p.a. ang didfinisikan Y = h(x) adalah: fy() = dh ( ) f X ( h ( )) d, T Catatan : dh ( ) d disbut sbagai Jacobi atau disingkat J. 6

7 Kasus Misalkan p.a. kontinu X mmpunai fkp sbagai brikut: f X (x) = x, 0 < x < Jika didfinisikan p.a. Y = 8X 3, ingin diktahui fkp bagi Y aitu f Y (). Prhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsina harus fungsi satu-satu (on-to-on). Pada transformasi di atas, Y = X 3, mrupakan fungsi satu-satu. Y = h(x) = 8X 3 X = h - (Y) = Y 8 / 3 / 3 Y = dan karna 0 < x < maka 0 < < 8. 7

8 Y = h(x) = 8X 3 X = h - (Y) = dan karna 0 < x < maka 0 < < 8. Y 8 / 3 / 3 Y = J = dh ( ) d = d d 6 / 3 / 3 8

9 J = dh ( ) d = d d 6 / 3 / 3 f Y () = f X ( h ( )) / 3 dh ( ) ( )) d ( h 6 / 3 / 3 f Y () / Shingga fkp bagi p.a. Y adalah f Y ( ), 0 < < 8 / 3 6 Coba ck bahwa f Y () trsbut mrupakan fkp! 9

10 Kasus Misalkan p.a. kontinu X U(, ). Jika kmudian didfinisikan p.a. Y = X, akan ditntukan fkp bagi Y aitu fy(). Karna X U(, ) maka < x < dan < < Y = h(x) = X X = h - (Y) = ln(y) J = dh ( ) d = d ln( ) d 0

11 J = dh ( ) d = d ln( ) d fy() = dh ( ) f X ( h ( )) d ( ) Shingga fkp bagi p.a. Y adalah f Y () ( ), < < Coba ck bahwa fy() trsbut mrupakan fkp!

12 Kasus 3 Misalkan p.a. kontinu X U(0, ). Jika kmudian didfinisikan p.a. Y = -ln(x), akan ditntukan fkp bagi Y aitu fy(). Karna X U(0, ) maka 0 < x < dan > 0 Y = h(x) = -ln(x) X = h - (Y) = -/ J = dh ( ) d = d d / / /

13 J = dh ( ) d = d d / / / f Y () = f X ( h ( )) dh ( ) d. / / Shingga fkp bagi p.a. Y adalah f Y ( ) /, > 0 Coba ck bahwa f Y () trsbut mrupakan fkp. Catatan, fkp ini mrupakan sbaran dngan drajat bbas. 3

14 Kasus 4 Misalkan p.a. kontinu X mmpunai fkp sbagai brikut: fx(x) = /(x x ), - < x < Jika didfinisikan p.a. Y = adalah Normal(0, )., tunjukkan bahwa fkp bagi Y X 4

15 Kasus 5 Misalkan p.a. kontinu X N(, ). Jika kmudian didfinisikan p.a. Y = ax - b, akan ditntukan fkp bagi Y aitu fy(). Karna X N(, ) maka - < x < dan - < < Y = h(x) = ax - b X = h - (Y) = Y b a J = dh ( ) d = d Y b d a a a 5

16 6 J = d dh ) ( = a a a b Y d d fy() = a a b d dh h f X. xp ) ( )) ( ( ) ( ) ( xp a b a a Shingga fkp bagi p.a. Y = ax - b adalah Normal(a - b, (a) )

17 Kasus 6 (Bukan Fungsi Satu-Satu) Misalkan p.a. kontinu X mnbar Normal(0, ) aitu f X (x) = x, - < x < Jika didfinisikan p.a. Y = X, ingin diktahui fkp bagi Y aitu f Y (). Prhatikan bahwa dalam transformasi di atas, Y = X, bukan fungsi satu-satu (on-to-on). Shingga transformasi trsbut harus dipcah dulu agar mnjadi fungsi satu-satu, aitu: - < x 0 dan 0 < x <. 7

18 Untuk - < x 0 Y = h(x) = X X = h - (Y) = Y dan karna - < x 0 maka 0 <. J = dh ( ) d d d = / / f Y ( ) f X ( h ( )) dh ( ) d. / / / 8

19 Untuk 0 < x < Y = h(x) = X X = h - (Y) = Y dan karna 0 < x < maka 0 < <. J = dh ( ) d d d = / / f Y ( ) f X ( h ( )) dh ( ) d. / / / 9

20 0 Shingga fkp bagi p.a. Y adalah 0, ) ( / / / / / / f Y Prhatikan bahwa fkp p.a. Y trsbut mrupakan sbaran Khai-Kuadrat dngan drajat bbas aitu (). Jadi jika X N(0, ) maka Y = X ().

21 Catatan : sbaran Khai-Kuadrat dngan drajat bbas r dapat dinatakan sbagai brikut: f ( ) ( r / ) r ( r / ) /, / 0 untuk r = maka (r/) =, shingga f ( ). (/ ) / / /, 0

22 Kasus 7 (Pubah Acak Diskrt) Untuk transformasi pubah acak diskrt dilakukan sprti pada pubah acak kontinu di atas, hana saja untuk pubah acak diskrt Jacobi slalu sama dngan satu (J = ), aitu fy() = ( h ( )), T f X

23 Misalkan p.a. diskrt X mmpunai aitu: sbaran Poisson(), x fx(x) =, x = 0,,,... x! Jika didfinisikan p.a. Y = 5X, akan ditntukan fkp bagi Y aitu f Y (). Y = h(x) = 5X X = h - (Y) = Y/5 karna X mrupakan p.a. diskrt maka Jacobian =, shingga fy() = ( h ( )) = fx(/5) = f X /5, = 0, 5, 0,... ( / 5)! 3

24 . Roussas, G Introduction to Probabilit and Statistical Infrnc. Acadmic Prss. Nasotion, A. H. dan Ramb, A Tori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Kara Aksara, Jakarta. 3. Hoog RV, McKan JW, Craig AT Introduction to Mathmatical Statistics 6 th Edition. Parson Prntic Hall. 4. Wackrl D, Mndnhall W, Schaffr RL Mathmatical Statistics with Applications 7 th Edition, Duxbur Thomson Larning 5. Pustaka lain ang rlvan. 4

25 Bisa di-download di 5

26 6