PENERAPAN TEORI KENDALI PADA MASALAH INVENTORI

Transkripsi

1 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : PENERAPAN EORI KENDALI PADA MASALAH INVENORI Pari Affani, Faisal, Yuni Yulia Program Sui Maemaika Universias Lambung Mangkura Jl. Jen. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru pari_affani@yahoo.com ABSRAK Peneliian ini akan mengkaji enang penerapan eori Kenali paa masalah Invenori, akan ikembangkan moel perama i mana perminaan inamis an invenori erseia sepanjang waku. Pembahasan ifokuskan paa analisis sisem invenori prouksi yang berbenuk nonlinear an biaya prouksi iperlakukan sebagai fungsi yang masing-masing ingka perseiaan an ingka prouksi. Kemuian iperluas moel perama ke moel yang berikunya i mana penurunan barang iperhiungkan. ingka kerusakan iperhiungkan sebagai fungsi waku engan jumlah yang suah erseia. Unuk keua moel, akan igunakan eori konrol opimal unuk menapakan kebijakan pengenalian secara opimal, sehingga iperoleh hasil yang opimal. Kaa Kunci: eori Kenali, Masalah Invenori. 1. PENDAHULUAN Dalam kehiupan sehari-hari banyak permasalahan yang melibakan eori sisem, eori konrol opimal an beberapa aplikasinya. Salah saunya aalah masalah invenori, masalahnya aalah bagaimana mengaur perubahan perminaan konsumen paa sebuah prouk barang jai. Sehingga perusahaan ersebu harus membua perencanaan yang baik alam memprouksi barang agar sesuai engan jumlah perminaan. Salah saunya engan cara prouk barang yang suah jai harus i mua alam sebuah empa sebelum ipesan oleh konsumen. Hal inilah yang menyebabkan munculnya invenori yang suah enu akan menambah biaya yaiu berupa biaya penyimpanan yang berupa biaya secara fisik menyimpan prouk barang aau biaya yang muncul karena moal perusahaan erika alam benuk barang. Masalah ini apa imoelkan engan menggunakan eknik konrol opimal maemaika, pemrograman inamis an opimasi jaringan. Permasalahan klasik alam invenori berkaian engan perubahan perminaan unuk prouk an masalah lain aalah bagaimana menyeimbangkan anara kepeningan kelancaran prouksi engan harga penyimpanan invenori. Sehingga prouksi apa berjalan lancar seangkan biaya penyimpanan invenori bisa iaur sesuai engan perminaan konsumen. Selain harus mengeluarkan biaya sebenarnya aa keunungan memiliki invenori karena perama invenori apa engan segera memenuhi perminaan konsumen keua engan aanya guang sebagai empa menyimpan invenori selama perioe perminaan seiki an apa melayani perminaan kembali paa saa perioe perminaan inggi. Maka salah sau cara mengaasi permasalahan invenori aalah engan kenali opimal, moel persamaan iferensialnya erlebih ahulu iseerhanakan. Kemuian menenukan nilai opimal ari moel yang suah iseerhanakan ersebu. 38

2 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : INJAUAN PUSAKA.1 FUNGSI KONVEKS Beriku ini akan ibahas efinisi an eorema yang berhubungan engan fungsi konveks yang akan ipakai paa pembahasan-pembahasan berikunya. Defenisi.1.1 (K.V Mial) Anaikan X ϵ K imana K aalah himpunan konveks. Fungsi f(x) ikaakan konveks jika unuk seiap iik x 1 an x alam K,, unuk seiap eorema.1. (Mangasarian 1969) Diberikan himpunan erbuka. Fungsi erifrensial i. Jika konveks i maka unuk seiap.. SISEM PERSAMAAN DIFERENSIAL Beriku ini akan ibahas solusi sisem persamaan iferensial homogen anpa kenali (yaiu engan kenali u = 0) ime vary x ( ) A( ) x( ). (..1) Diefinisikan e A I A A A! 3! a yang merupakan penurunan ere aylor unuk e engan koefisien pangkanya merupakan suau mariks. Diberikan eorema enang mariks ransisi unuk sisem (..1). A eorema..1 Mariks ransisi sisem linear homogen x Ax aalah e Buki: A( s) Buki ilakukan engan mensubsiusikan e ke persamaan x Ax, yaiu A( s) 1 e ( I A( s) A ( s)! A A ( s) 3 A( I A( s) ) A( s) Ae (erbuki). A Solusi sisem x Ax engan x( 0) x0 apa inyaakan engan x( ) e x0. Beriku ini akan ilanjukan engan solusi solusi sisem nonlinear yang menganung vekor kenali berbenuk (..).3 MODEL INVENORI Invenori merupakan invesasi yang paling besar paa sebagian besar perusahaan inusri. Perseiaan iperlukan unuk apa melakukan proses prouksi, penjualan perseiaan bahan menah an barang alam proses iperlukan unuk menjamin kelancaran proses prouksi, seangkan bahan jai harus eap erseia agar memungkinkan perusahaan memenuhi perminaan yang erjai. Perseiaan invenori iempakan paa beberapa iik alam proses proukif engan arus (flows) yang menghubungkan sau iik perseiaan kepaa iik lain. ingka suau perseiaan apa iambahkan (replenishe) aalah kapasias suplai an ingka penurunan perseiaan (sock epleion) aalah eman. Invenori berinak sebagai penyangga (bufffer) anara perbeaan ingka anara suplai an eman. ( s). 39

3 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : Manajemen invenori merupakan salah sau i anara fungsi manajemen operasi yang sanga pening karena invenori memerlukan banyak moal an mempengaruhi penyerahan kepaa pelanggan. Manajemen invenori mempunyai amfak erhaap semua fungsi bisnis, eruama operasi, pemasaran an keuangan. Invenori memberikan layanan kepaa pelanggan yang sanga vial bagi pemasaran. Keuangan berkaian engan keaaan keuangan i seluruh organisasi, ermasuk ana yang ialokasikan unuk invenori. Dan operasi memerlukan invenori unuk menjamin prouksi yang lancar an efisien. Dalam moel invenori memiliki banyak moel engan meoe penyelesaian yang berkisar ari kalkulus seerhana an maemais yang canggih. Hal ini erganung paa sifa perminaan akan sebuah barang. Sehingga berasarkan perminaan moel invenori erbagi menjai ua kelompok besar yaiu eerminisik an probabilisik. Moel eerminisik yaiu moel invenori imana perminaan ikeahui engan pasi, aa jenisnya yang sais aa juga yang inamis. Seangkan moel eerminisik yaiu moel invenori imana perminaan iak ikeahui engan pasi, aa jenisnya yang sasioner yaiu fungsi kepaaan probabilias perminaan eap an aa yang iak sasioner yaiu fungsi kepaaan probabiliasnya berubah-ubah. Salah sau jenis invenori eerminisik aalah Economic Orer Quaniy (EOQ) yang merupakan salah sau moel invenori eerminisik alam menenukan jumlah opimal kuanias invenori alam rangka meminimalkan biaya ahunan. Moel EOQ klasik mengasumsikan bahwa Jumlah perminaan per ahun ikeahui engan pasi an konsan sepanjang ahun an keika perseiaan mencapai iik nol, pemesanan baru sekeika ilakukan an langsung ierima sekeika iu juga sehingga iak erjai kekurangan perseiaan. Menuru Shore (1973) invenori aalah suau sumber aya yang menganggur ari berbagai jenis yang mempunyai nilai ekonomis poensial. Dengan pengerian ini Shore mempunyai anggapan peralaan an pekerja yang menganggur sebagai invenori, paahal kia menenukan segala sumber aya yang menganggur selain bahan sebagai kapasias. Dari sumber perspekif manajemen an akuning sangalah pening membeakan invenori engan kapasias. Kapasias menyajikan poensi unuk memprouksi, seang invenori aalah prouk paa beberapa iik alam proses konversi (perubahan) an isribusi..5 EORI KENDALI OPIMAL Paa bagian ini akan ibahas masalah kenali opimal khususnya paa kasus engan sae akhir an waku akhir ikeahui. Unuk permasalahan ini, penyelesaian menggunakan prinsip maksimum ponryagin. Perumusan masalah Kenali Opimal Diberikan sebuah sysem : ϵ ( 1, ) Dengan x() vekor sae (vekor yang menyaakan keaaan sisem) berukuran nx1 yaiu ], berukuran mx1, f sebuah fungsi bernilai vekor berukuran nx1 yaiu an ( 1, ) С R omain ari sisem awal. Paa sisem ini iasumsikan 0 < m n. Diberikan juga L suau fungsi berharga real paa R n xr m x( 1, ) berbenuk an k fungsi berharga real R n x( 1, ) berbenuk Himpunan S C R n x( 1, ) engan elemen-elemen berupa pasangan iik (x,) engan x sae an alam omain sisem isebu arge. Diasumsikan unuk seiap alam omain ( 1, ) ari sisem awal, erapa himpunan bagian U alam R m. Misalkan koleksi semua U ilambangkan engan Ώ yaiu Ώ = { U : ϵ ( 1, ) } 40

4 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : U isebu kenala (consrain) paa waku an Ώ isebu kenala. Jika U merupakan himpunan semua u() unuk seiap alam ( 1, ) sehingga : U() ϵ U : unuk seiap ϵ ( 1, ). Maka u isebu himpunan semua kenali yang memenuhi kenala Ώ aau himpunan semua amissible konrol. Diberikan 0 ϵ ( 1, ) an x 0 ellemen i R n maka u ϵ U (amissible konrol u), misal noasi : Dengan menyaakan kenali paa selang waku, aalah penyelesaian unggal ari sisem (3.1) yang memenuhi syara awal x )= x 0. Kenali U ikaakan membawa x 0 ke arge se S (aau ke S). Jika himpunan beririsan engan S. Jika 1 waku perama kali x() = masuk i alam S, maka noasi x 1 = x( 1 ) = menyaakan konisi akhir sisem. Paa sisem kenali opimal, masalah yang ihaapi aalah memaksimumkan fungsi berharga real paa R n x( 1, ) xuxr n, yang iefenisikan engan engan K an L fungsi-fungsi yang elah iperkenalkan i awal. Dengan konisiawal x )= x 0 an konisi akhir awal fungsi iulis engan, yaiu Maka apa inyaakan sebagai J(u) saja. Dari keerangan ersebu i aas, masalah kenali opimal apa inyaakan sebagai sisem engan argae se S, performance fungsional, himpunan amissible konrol U, an sae awal X 0 paa waku 0 aalah menenukan kenali u ϵ U yang memaksimalkan performance funcional. Sebarang kenali u * yang memberikan solusi erhaap masalah kenali opimal isebu engan kenali opimal. Paa kasus kenali opimal engan sae akhir an waku akhir ikeahui, arge se S berbenuk S = { }x{ } yaiu berupa iik engan elemen erenu i R n an elemen erenu i ( 1, ). 3.HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 MODEL ANPA KEKURANGAN BARANG Sebuah perusahaan manufakur yang memprouksi sebuah prouk. Diasumsikan bahwa kepuusan manajer i masa yang akan aang ihaapkan erbaas, engan panjang perencanaan sebesar. Keerbaasan rencana i masa yang akan aang aalah sanga pening an harus epa karena banyak perusahaan yang peuli engan jangka menengah kegiaan pasar. Unuk 0, misalkan I() aalah ingka invenori paa waku, an misalkan D(,I()) an h (I()) aalah masing-masing merupakan ingka perminaan an ingka biaya. K(P()) menunjukkan ingka biaya yang sesuai engan ingka prouksi P() paa waku. Anaikan ρ 0 menjai ingka poongan harga. Semua fungsi iasumsikan nonnegaif, koninu an eriferensialkan. 41

5 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : Menginga > 0, masalah konrol opimal akan iperoleh sebagai beriku: ( ) min J ( P, I) e h( I( )) K( P( )) P( ) D(, I ( )) 0 I ( ) P ( ) D (, I ( )), I (0) I 0, I ( ) I Moel igambarkan sebagai masalah konrol opimal engan sau sae variabel yaiu ingka invenori, an sau variabel konrol yaiu ingka manufakur. Paa saa perminaan erjai paa ingka D an prouksi erjai paa ingka kenali P, maka I() berkembang sesuai engan inamika berbenuk sae persamaan. Kenala P() D(,I()) engan persamaan sae iperoleh I() I 0 an ingka I senaniasa iak kekurangan. Oleh karena iu, kekurangan ingka I iak iperbolehkan. Dengan menggunakan prinsip maksimum Ponryagin iperoleh konisi yang iperlukan (P*,I*) menjai penyelesaian masalah yang opimal (ρ) harus konsan β, koninu an fungsi eriferensialkan λ an sebuah fungsi koninu μ, isebu fungsi Lagrange muliplier, sehingga : H(,I *,P *, λ) H(,I **,P, λ) sehingga seiap P() D (,I * ()) (1) ( ) L(, I, P,, ) I () I(0) = I 0, λ() = β, (3) L(, I, P,, ) 0, P (4) P( ) D(, I( )) 0, ( ) 0, ( ) P( ) D(, I( )) 0, (5) Dimana : H(, I, P, ) e h( I( )) K( P( )) ( ) P( ) D(, I( )) (6) aalah merupakan fungsi Hamilonian an L(, I, P,, ) e h( I( )) K( P( )) ( ) ( ) P( ) D(, I( )), (7) aalah fungsi Lagrange. Persamaan () aalah equivalen engan ( ) e h( I( )) ( ) ( ) D(, I( )). (8) I I Persamaan (4) aalah equivalen engan ( ) ( ) e K( P( )). (9) P Berasarkan persamaan (5). Unuk sebarang, kia apakan salah sau ari P( ) D(, I( )) = 0 aau P( ) D(, I( )) > 0. Kasus 1 P( ) D(, I( )) = 0, alam beberapa subse S paa inerval [0,]. Kemuian I () = 0 paa S. Dalam kasus ini I* jelas konsan paa S an P * () = D(,I ** ()) (10) unuk seiap S. 4

6 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : Dengan subsiusi persamaan (9) ke persamaan (8) maka iperoleh * * * ( ) e h( I ( )) K( P ( )) D(, I ( )) I P I. Dengan menginegralkan persamaan ini kia menapakan benuk eksplisi fungsi ajoin λ ari konsana β. Lalu benuk eksplisi fungsi pengali Lagrange µ apa iperoleh ari Persamaan (9). Perhaikan bahwa jika µ aalah fungsi yang iperoleh iak non-negaif, maka solusi yang iberikan alam Persamaan (10) iak apa berlaku. Kasus P( ) D(, I( )) > 0, unuk [0,]\S. Kemuian () = 0 alam [0,]\S. Dalam kasus ini engan konisi (3), (8) an (9) menjai ( ) e h( I( )) D(, I( )), I(0) I0, ( ), an I I ( ) e K( P( )). P Dengan mengkombinasikan persamaan ini engan persamaan sae akan memberikan hasil persamaan ifferensial ore ua : ( ) P K( P) D(, I) K( P) h( I), P I I(0) I0, K( P( )) e (11) P I P KP hi Dari ilusrasi ersebu akan iperoleh, misalkan K(P) =, h(i) = an D(,I) = 1 () + (I) imana K,h an aalah konsana posiive. Dari fungsi ini berari iperoleh (P *,I * ) merupakan masalah opimal berari solusi (ρ) menjai : h I( ) I( ) ( ) I( ) ( ) 1( ), I(0) I0, I( ) I K (1) Ini merupakan masalah nilai awal engan ua iik baas ( PBV ) yang akan iselesaikan alam proposisi beriku : Proposisi 1 Solusi I* ari ( PBV ) iberikan oleh an P * iberikan oleh * m1 m I () = a1e + ae + Q (), (13) * m 1 m P () = a 1 (m 1+ )e + a (m + )e + Q() +Q()+ 1() (14) i mana konsana a 1, a, m 1, an m iberikan alam pembukian i bawah ini, an Q() aalah solusi kusus Persamaan (1). Buki Persamaan (1) apa iselesaikan engan menggunakan meoe sanar. Maka iperoleh persamaan karakerisiknya h m m ( ) 0 K mempunyai ua akar nyaa berlawanan ana, akan iperoleh nilai ari 1 h 1 h m1 4 ( ) 0 an m K 4 ( ) 0 K 43

7 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : an karena iu I*() iberikan oleh (13), i mana Q () aalah solusi erenu ari persamaan (1). Konisi awal an akhir igunakan unuk menenukan konsana a 1 an a sebagai beriku. Dari konisi awal an konisi akhir iperoleh a 1 + a + Q (0) = I 0 an m1 m a1e + ae + Q ()= I. Dengan memisalkan nilai b 1 = I 0 Q(0) an b = I Q(), akan iperoleh sisem ua persamaan linear engan ua variable yang iak ikeahui yaiu a 1 + a = b 1 m1 m a1e + ae = b yang memiliki solusi unik beriku : m m 1 b e b1 b1e b a1 an a m1 m m1 m e e e e Pernyaaan ari P* isimpulkan menggunakan pernyaaan I* an persamaan sae. Dari analisis i aas kia memiliki ciri eorema beriku solusi opimal ( ). EOREMA 1 Solusi opimal (P*, I*) ari ( ) mempunyai benuk yang iberikan alam Persamaan (10) paa S, an benuk alam Persamaan (13) - (14) paa [0, ] \ S. CONOH 1. Perhaikan sebuah sisem prouksi engan karakerisik sebagai beriku: Awal an ingka perseiaan akhir, masing-masing I(0) = 0, I() = 10; sauan biaya an fakor iskon h = 0.1, K = 5, an ρ = 0. Rencana yang akan aang aalah = 5, an perminaan sock-epenen aalah seemikian rupa sehingga = 0,1, 1 () = cos () + 1. Variasi ingka prouksi opimal an ingka perseiaan yang opimal iampilkan alam Gambar 1. Biaya yang opimal iemukan unuk J = 139,5014. Mengubah benuk fungsi perminaan engan mengambil 1 () = e an menjaga semua parameer lainnya iak berubah menghasilkan grafik igambarkan alam Gambar. Nilai fungsi ujuan berubah ke J = 87, MODEL DENGAN KEERGANUNGAN BARANG Dalam bagian ini, iasumsikan bahwa prouk mengalami kemerosoan semenara i sok. Unuk 0, anaikan θ (, I ()) aalah ingka kemerosoan paa ingka perseiaan I() paa waku. Dengan menggunakan noasi yang sama seperi paa bagian sebelumnya. Masalah pengenalian opimal menjai: ( ) P( ) D(, I ( )) (, I ( )) 0 min J ( P, I) e h( I( )) c P( ) D(, I( )) K( P( )) I ( ) P ( ) D (, I ( )) (, I ( )), I (0) I 0, I ( ) I i mana c > 0 aalah biaya uni. Konisi yang iperlukan (1) - (4) eap sama engan H(, I, P, ) e h( I) C( P( )) D(, I) K( P) ( ) P( ) D(, I) (, I) (15) 44

8 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : L(, I, P,, ) e (, I, P, ( )) ( ) P( ) D(, I) (, I) (16) Sehingga persamaan (5) menjai P( ) D(, I) (, I) 0, ( ) 0, ( ) P( ) D(, I) (, I) 0 (17) Dari persamaan (), (4) an (16) iperoleh ( ) e h( I) C D(, I) ( ( ) ( )) D(, I) (, I) I I I I (18) ( ) ( ) e K( P) C P (19) Sekarang engan menggunakan (17). Kemuian, alam beberapa subse S paa [0,] akan iperoleh P( ) D(, I( )) (, I( )) 0 sehingga opimal conrol ari kasus ini aalah : * * * P ( ) D(, I ( )) (, I ( )), unuk seiap S. (0) Paa se [0,]\S, nilai ari P( ) D(, I( )) (, I( )) 0. Menggunakan argumen yang sama seperi paa bagian sebelumnya, iperoleh persamaan iferensial ore ua sebagai beriku: ( ) ( ) (, ) (, ) P K P D I I K( P) C h( I) C D(, I), P I I P (1) I I Dan I(0) = I 0, K ( P ( )) e. P KP hi Kemuian iasumsikan K(P) =, h(i) = and(,i) = 1 () + (I) an θ(,i) = θ 1 () + θ (I) imana K,h,, θ aalah konsana posiif. Kemuian ari benuk persamaan iferensial alam P menjai persamaan iferensial ore ua alam benuk I ( ) ( ) h I I ( )( ) I( ) ( ), K () Dengan α() = ( )( 1( ) 1( )) 1( ) 1( ) c, an I(0) I0, I( ) I. Penyelesaian masalah nilai awal engan ua iik baas beriku ini engan menggunakan persamaan (13) iperoleh : 1 h m1 4 ( )( ) K 1 h m 4 ( )( ) K m I Q( ) ( I0 Q(0)) e a1, m1 m e e m1 ( I0 Q(0)) e I Q( ) m1 m a, e e imana Q () aalah solusi kusus ari persamaan (). 45

9 Jurnal Maemaika Murni an erapan Vol.6 No. Desember 01 : Nilai ari P* isimpulkan menggunakan I* bersama engan persamaan sae. Akhirnya, seperi paa eorema.1, solusi opimal (P*, I*) ari (ρ θ ) iberikan paa [0, ]\S oleh solusi ari persamaan iferensial () an prouksi yang opimal sesuai paa S, elah iberikan alam benuk (0). CONOH. Memperimbangkan sisem prouksi Conoh.1 an Misalkan I() = 0 an biaya uni c = 0,1. ingka kerusakan sehingga θ 1 () = sin () +1, θ = 0,1. Konrol yang opimal an sae akan iampilkan alam Gambar 3. Opimal nilai fungsi objekif J = 773,404. Unuk menilai ampak ari ingka kerusakan paa nilai fungsi ujuan yang opimal, kami meneapkan θ 1 = 0 an nilai bervariasi ari θ ari 0,0005 hingga 0,56. Seperi yang iunjukkan oleh abel i bawah, hasil yang opimal sebagai θ kenaikan biaya meningka. Θ 0,0005 0,001 0,00 0,004 0,008 0,016 0,03 0,064 0,18 0,56 J 46,97 449,14 450,54 453,37 459,05 470,53 493,98 54,78 647,6 883,77 4. KESIMPULAN Konrol yang opimal secara eksplisi iperoleh unuk ua level perseiaan yang berganung paa invenori prouksi. Moel ini apa iperluas alam berbagai cara. Misalnya bukannya meminimalkan oal biaya, melainkan ingin memaksimalkan oal uni prouksi i mana ingka penapaan ari keua fungsi ari waku an ari ingka perseiaan. 5. DAFAR PUSAKA [1] Anon, H., Calculus. Drexel Universiy, John Wiley & Sons, New York. [] Affani, P., 011. Kenali Opimal sysem perguangan engan prouksi yang mengalami kemerosoan. esis, Yogyakara. [3] Burghes, D.N Inroucion o Conrol heory Incluing Opimal Conrol.John Wiley & Sons. New York. [4] Chi-song Chen, Linear Sysem heory an Design, Maison Avenue New York. [5] Ewin K.P Chong, An inroucion o Opimizaion, John Wiley & Sons. New York. [6] Frank L.Lewis, Applie Opimal Conrol & Esimaion. he Universiy of exas a Arlingon. New York. [7] Hamy A.aha Operaions Research an Inroucion.Prenice Hall Inernaional, Inc.Philippines. [8] Olser, G.J., Mahemaical Sysem heory, 1. Delf Universiy of echnlogy. Neherlans. [9] Shepley L.Ross Differenial Equaion. 3 Eiions, John Wiley & Sons. New York. [10] Shey S.P an hompson G.L Opimal Conrol heory : Applie o Managemen science an economics. eiions. 46