JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 1-7, April 2002, ISSN :

Transkripsi

1 JURNAL MAEMAIKA DAN KOMPUER APLIKASI OPIMASI DINAMIS DENGAN PENDEKAAN MAXIMUM PRINCIPLE PADA PERUMBUHAN EKONOMI DAERAH DAN ALOKASI PENDAPAAN BELANJA DAERAH 1 Yusup Supena dan Yayan Jurusan Maemaika Fakulas MIPA Universias Padjajaran Absrac his papers derives a applied maximum principle for dynamic sysem regional developmen progam wih coninous lags, i.e. sysems governed by inegrodifferenial equaions. he resul show ha dynamic opimizaion echnically is powerfull analysis o show opimizaion of governmen revenue pracically. Keyword : Inegrodifferenial, maximum principle, ax effor, ax capaciy, ax collecion lags. 1. PENDAHULUAN Proses pembangunan di daerah dalam rangka oonom memerlukan suau pendekaan yang epa dalam merencanakan proses pembangunan daerah iu sendiri. Ada iga sisi yang akan diliha dalam proses pembangunan daerah, yaiu 1. Poensi Daerah, secara poensi ekonomis, demografis, geografis, dan geologis yang elah ada, aau bahkan masih merupakan poensi, 2. Pencarian poensi ekonomi daerah dengan meliha siklus dua sisi yaiu sisi perilaku konsumen dan sisi perilaku produsen yang berdampak pada perumbuhan ekonomi secara keseluruhan, 3. Alokasi dana yang sesuai dengan dana masuk dan berbanding lurus dengan dana yang keluar. 1 Makalah ini disampaikan pada Seminar Nasional Dalam Rangka Konferda Himpunan Maemaika Indonesia Wilayah Jawa engah dan Daerah Isimewa Yogyakara, 9 Mare 22, Fakulas MIPA Universias Diponegoro Semarang. 1

2 Aplikasi Opimasi Dinamis (Yusup Supena dan Yayan) Seluruh sisi dari proses perencanaan pembangunan memiliki fungsi ujuan yaiu memaksimumkan pendapaan daerah sebagai dana pembangunan dengan meliha pada kesejaheraan rakya. Maksimisasi ersebu memiliki kendala dari dua sisi, yaiu sisi pemerinah, produksi, dan konsumen. Sisi fiskal aau sisi pemerinah, adalah upaya pemerinah unuk menjaring fiskal dari masyaraka, hal ini mencerminkan baik aau buruknya sisem fiskal dalam usaha pemerinah unuk menghimpun dana fiskal. Usaha pemerinah unuk meningkaka fiskal ini disebu sebagai ax Effor (Weiss, 1995 : 175). ax Effor, usaha pemerinah dalam mengumpulkan pajak merupakan fungsi residual dari fungsi kapasias pajak. Selain iu erhambanya proses pengumpulan pajak disebabkan pula kelambaan pengumpulan pajak yang dilakukan oleh wajib pajak erhadap pemerinah. Fenomena ini disebu ax collecion lag. Meliha fenomena ini perlu dilakukan suau proses penyederhanaan dan pemecahan masalah secara dinamis bagaimana secara opimal anara dana masuk, proses, dan dialokasikan secara opimal. Maka penulis coba dengan analisis opimasi dinamis kelambanan koninyu (dynamic opimizaion coninous lags) unuk membua permodelan secara sederhana opimasi ersebu dengan proses pengumpulan dana, ransformasi dana, dan alokasi dana. 2. INJAUAN LIERAUR Opimal Conrol dengan Lag Koninyu Model opimal conrol dengan lag koninyu diperkenalkan oleh Harl-Sehi n m (1984 : 73). Kaakan x( ) R dan u( ) Ω R sebagai sae dan conrol rajecory. Didefinisikan bahwa inerval waku anara (, ). Ambil F( x, u, ), f ( x, u, ), g( x, u, τ, ) merupakan fungsi koninyu diferensial erhadap n R n Ω [, ] dan R {( τ, ) : τ } conrol menjadi, { J F x u d } max ( ( ), ( ), ) Ω <. Kemudian, model opimal = (1) 2

3 JURNAL MAEMAIKA DAN KOMPUER subjec o xɺ ( ) f ( x( ), u( ), ) g( x( τ ), u( τ ), τ, ) dτ (2) = + dengan kondisi awal, x( ) = x( ) (,) ɶ (3) u( ) = u( ) (,) ɶ dengan benuk menransformasikan persamaan inegrodifferenial (2), maka dikenalkan variabel sae baru y(,s) didefinisikan dengan {(, s) :, s } dengan y(, s) g( x( τ ), u( τ ), τ, + s) dτ (4) dengan memperlihakan varibel sae disribusi parameer y(, ), dinoasikan bahwa y(,s) unuk s [, ], maka masalah awal unuk (1) (3) secara mudah dapa diransformasikan sesuai dengan masalah, { J = F x u d } max ( ( ), ( ), ) subjec o xɺ ( ) = f ( x( ), u( ), ) + y(,), (5) y (, s) = g( x( ), u( ),, + s) + y (, s), (6) dengan kondisi awal s x() x x() = ɶ (7) y(, s) = h( s) g( x( τ ), u( τ ), τ, s) dτ ɶ ɶ dengan anda ~ dibawah berari devasi parsial. Penambahan persamaan sae (6) maka dapa dihiung dengan mudah unuk y dan y s dari (4) sera mengkombinasikannya. Persamaan (5) adalah persamaan parameer kelambanan dan (6) sebagai persamaan parameer disribusi yaiu persamaan urunan parsial; sehingga permasalahan ini idak dipecahkan dengan parameer disribusi parameer opimal biasa. (8) 3

4 Aplikasi Opimasi Dinamis (Yusup Supena dan Yayan) Salah sau pendekaan yang erbaik dalam pemecahan masalah opimasi dinamis dapa dipecahkan denga dua pendekaan yaiu Euler Lagrange dan Maximum Principle. Maximum Principle Maximum principle adalah salah sau pendekaan yang erbaik dalam pemecahan masalah opimasi dinamis (Miller, 1979 : 46). Maximum Principle disebu pula sebagai Ponriyagin Maximum Principle. Kaakan u() adalah opimal conrol dari permasalahan (1) (3) dengan rajecory sae x(). Kemudian adanya adjoin fungsi λ( ) erhadap [, ] sehingga dengan Hamilonian dapa didefinisikan sebagai, [ ] H x, u,, λ( ) = F( x, u, ) + λ( ) f ( x, u, ) + λ( τ ) g( x, u,, τ ) dτ (9) maka dengan kondisi yang harus dipenuhi: ( ) [ λ ] H x( ), u( ),, λ H x( ), u,, ( ), u Ω, (1) [ λ ] ɺ λ( ) = H x( ), u( ),, ( ) / x, (11) λ ( ) = (12) eorema berdasarkan kondisi opimal conrol diunjukkan oleh persamaan (1) (12) maka syara cukup unuk opimal jika maksimisasi hamilonian, H = max u H adalah konkav dalam x. Maka maximum principle dengan memegang fungsi sisa S(x()), sehingga fungsi ujuan dalam (1) menjadi, { J = F x u d + Sx } max ( ( ), ( ), ) ( )) maka ransversaliiy condiion (22) menjadi λ ( ) = S( x( )) / x (13) jika S(x) adalah fungsi konkav. 4

5 JURNAL MAEMAIKA DAN KOMPUER 3. APLIKASI Kaakan pad() sebagai pendapaan asli daerah dan br() dinoasikan sebagai belanja ruin di waku. Kemudian, sisem dinamis, dengan pengaruh ax collecion lags erhadap ingka penerimaan, maka dapa dieapkan model, i pad( ) = τ pad( ) + σ f ( pad( µ ), br( µ ), µ, ) dµ (14) dengan µ dan σ adalah ax collecion lags dan respon konsan peneriman pendapaan asli daerah. Pau dicaa bahwa adanya waku koninyu dari sisem dinamis ersebu dalam Harhl-Sehi (1984). Fungsi f menunjukkan pengaruh pengeluaran belanja ruin di waku µ dan pendapaan asli daerah di waku. Beberapa hal yang pening yang pau dicaa bahwa fungsi f menunjukkan adanya fungsi produksi suau daerah. Hal ini disebu pula sebagai Produk Domesik Regional Bruo (PDRB), dimana f = p( br) z( s)( µ ) (Harhl-Sehi, 1984 : 84; Burde-Sehi, 1998; Connors-eichchroew, 1999), dengan p(u) adalah fungsi produksi dan z(s) dinoasikan sebagai fungsi densias dari disribusi ime lag anara belanja daerah u dan peningkaan di p (produksi). Maka hal ini dapa diunjukkan dengan meode maximum principle, dengan memperimbangkan model opimal conrol: { J = r [ π pad br ] d} max exp( ) ( ) ( ) (15) subjec o i p( ) = τ pad( ) + σ p( pad( µ ), br( µ )) z( s)( µ ) dµ dan pad( ) = pad, br( ) unuk. (16) r dinoasikan sebagai sebagai ingka bunga yang konsan, dan π adalah parameer laba yang berhubungan dengan fungsi produksi erhadap pendapaan asli daerah, dan p(pad,u) adalah fungsi produksi oupu PDRB dengan pembelanjaan sebagai inpu. 5

6 Aplikasi Opimasi Dinamis (Yusup Supena dan Yayan) Maka digunakan asumsi maximum principle dengan menggunakan eorema Hamilonian, H = ( π pad br)exp( r) λτ pad + σ p( pad( ), br( )) λ ( µ ) z( µ ) dµ maka [ ] ɺ λ = H / x = π exp( r) + λτ + σ p( pad( ), br( )) / pad λ ( µ ) z( µ ) dµ dengan ransversaliy condiion adalah, λ ( ) = (17) unuk menggambarkan adanya monoonisias hasil dari br, akan dibua dengan asumsi sederhana, p( pad, br) = p( br) sehingga adjoin equaion menjadi, ɺ λ( ) = λτ π exp( r), λ ( ) = (18) Meliha kaidah maximum principle yaiu adanya varibel pengonrol yaiu br yang decreasing reurn o scale maka maksimisasi Hamilonian menjadi, H / u = exp( r) + σ p '( br) λ ( µ ) z( s)( µ ) dµ = (19) dengan memasukkan fungsi implisi eorema ke (44), dibua ke dalam fungsi limi sebagai dalam (6) maka diperoleh, lim exp( r) (2) maka (7) sama dengan (6) sehingga dengan kebijakan biaya ruin/ pembelanjaan yang opimal pembelanjaan / biaya ruin erkonsenrasi di iik awal inerval, sehingga secara monoon menurun dan menuju nol di erminal waku. Semakin efekifnya fungsi linear p(br), dan fungsi adjoin λ( ) adalah menurun secara monoon. Hal ini sesuai dengan konsiensi dengan inerpreasi λ ( ), bayang fungsi produksi / PDRB, dimana keunungan dari penambahan uni di waku dapa melebihi [,), dengan menurun dan meningka. 6

7 JURNAL MAEMAIKA DAN KOMPUER 4. KESIMPULAN Dalam paper ini penulis elah menunjukkan urunan alernaif maximum principle dengan kelambanan koninyu. Dengan menggunakan meode programasi dinamis, dapa menghasilkan fungsi adjoin dan kondisi opimal dengan inerpreasi ekonomi yang sepadan. REFERENSI 1. Burde C. A, Suresh Sehi, On he Maximum Principle for a Class of Discree Dynamical Sysems wih Lags, Journal of Opimizaion heory and Applicaions, 1998, Connors M. M, eichroew D, Opimal Conrol of Dynamic Operaions Research Models, Inernaional exbook Company, Pennsylvania, Harl R. F, S. P. Sehi, Opimal Conrol of a Class of Sysems wih Coninuous Lags : Dynamic Programming Approach and Economic Inerpreaions. Journal of Opimizaion heory and Applicaions, 1984, 43 : 1. May 4. Weiss, John, Economic Policy in Developing Counries : he Reform Agenda, Grea Briain, Prenice-Hall,