RUANG METRIK FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA

Transkripsi

1 RUANG METRIK FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA SKRIPSI Diajukan Kepada Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Universias Negeri Yogyakara Unuk Memenuhi Sebagai Persyaraan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains Oleh Ambar Sio Jai NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2014

2 ii

3 iii

4 iv

5 MOTTO Sapa emen dha inemu, inemonan ing pamburi, jer basuki mawa beya, beya budi luhur yeki, sura dira jayaningra, lebur dening pangasui ~Kinanhi Urip Sejaine Gawe Urup v

6 PERSEMBAHAN Skripsi ini saya persembahkan kepada: Bapak dan Ibu yang erkasih. Tidak ada yang dapa saya sampaikan selain rasa syukur dan erimakasih aas limpahan kasih dan sayang yang selama ini selalu ercurah bagi kami pura-purimu. Adik-adikku; Tio, Tio, Uma, banyak awa canda yang selalu ercipa dalam kebersamaan kia dalam seiap suasana. Dari kalian, aku coba pahami apa iu saling berbagai, mengisi, mengasihi, dan oleransi. Semoga keidaksempurnaan yang keluarga kia miliki, menjadikan kia semakin saling menyayangi. Mei, Agung, Teguh, Febri, Uki, dan Rosyid, erlalu banyak yang ingin disampaikan, hingga ak ahu yang mana yang harus kuuliskan. Namun yang pasi, kebersamaan kia di kelas, perpusakaan, food cour, konrakan, panai, gunung, dan di empa lain yang pernah kia singgahi, akan selalu menjadi kenangan manis penuh ari. Tak perlu foo aaupun video sebagai kenangan, cukup ingaan akan kebersamaan yang ak kan erhapus zaman. Semua eman-eman Maemaika Swadana 2010, aas kebersamaan kia mengenal maemaika sejak empa ahun yang lalu. Tak erasa waku begiu cepa berlalu. Semua eman, saudara, dan keraba, yang idak dapa penulis sebukan sau per sau. vi

7 RUANG METRIK FUZZY DAN SIFAT-SIFATNYA Oleh : Ambar Sio Jai ABSTRAK Ruang merik merupakan himpunan idak kosong yang dilengkapi dengan fungsi jarak. Himpunan fuzzy adalah suau himpunan dimana nilai keanggoaan dari elemennya adalah bilangan real dalam inerval eruup, -. Konsep himpunan fuzzy erus dipelajari dan dikembangkan oleh para ilmuwan baik secara eoriis maupun aplikasi dalam berbagai bidang. Konsep ruang merik fuzzy merupakan perluasan dari ruang merik dan himpunan fuzzy. Tugas akhir ini berujuan menjelaskan pengerian dan sifa-sifa ruang merik fuzzy, kaian ruang merik biasa dan ruang merik fuzzy, sera kekonvergenan dan kelengkapan di ruang merik fuzzy. Penjelasan ruang merik fuzzy dalam skripsi ini menggunakan definisi yang diperkenalkan oleh George dan Veeramani yaiu dengan banuan norm- koninu. Hasil dari skripsi ini adalah berupa kajian enang pengerian ruang merik fuzzy dan ruang merik yang menginduksi suau ruang merik fuzzy dengan suau fungsi keanggoaan dan norm- koninu erenu. Skripsi ini juga mengkaji kaian anara kekonvergenan suau barisan di ruang merik dan kekonvergenan barisan ersebu di ruang merik fuzzy. Kaa Kunci: himpunan fuzzy, ruang merik fuzzy, kekonvergenan, kelengkapan vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjakan kepada Allah SWT, yang elah melimpahkan segala rahma, nikma dan karunia -Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan Skripsi yang berjudul Ruang Merik Fuzzy dan Sifa-Sifanya ini dengan baik. Skripsi ini disusun guna unuk memenuhi persyaraan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Program Sudi Maemaika di Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Universias Negeri Yogyakara. Penulis menyadari sepenuhnya dalam penulisan ini idak lepas dari dukungan, arahan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena iu penulis menyampaikan erima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Harono selaku Dekan Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Universias Negeri Yogyakara yang elah memberikan kesempaan kepada penulis unuk menyeleaikan sudi. 2. Bapak Dr. Sugiman selaku Keua Jurusan Pendidikan Maemaika yang elah memberikan kelancaran dalam pelayanan akademik unuk menyelesaikan sudi. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi selaku Keua Program Sudi Maemaika sekaligus dosen pembimbing yang elah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penulisan skripsi ini. 4. Bapak Nurhadi Waryano, M.Eng, selaku Dosen Penasiha Akademik. Terimakasih unuk semua nasiha, moivasi dan dukungan selama menjadi mahasiswa maemaika swadana viii

9 5. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Maemaika yang memberikan ilmu yang bermanfaa kepada penulis. 6. Keluarga ercina yang selalu memberi moivasi dan semanga. 7. Seluruh Mahasiswa Maemaika Angkaan 2010 sera semua pihak yang elah membanu sehingga skripsi ini bisa erselesaikan dengan baik. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh karena iu, penulis menerima saran dan kriik yang membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Demikianlah skripsi ini penulis susun. Semoga skripsi dapa memberikan manfaa bagi penulis pembaca. Yogyakara, Juli 2014 Ambar Sio Jai ix

10 DAFTAR ISI PERSETUJUAN... ii PENGESAHAN... iii PERNYATAAN... iv MOTTO... v PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... ix DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR SIMBOL... xi BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakang... 1 B. Pembaasan Masalah... 2 C. Perumusan Masalah... 3 D. Tujuan Peneliian... 3 E. Manfaa Peneliian... 3 BAB II KAJIAN TEORI A. Himpunan Fuzzy... 4 B. Ruang Merik... 9 C. Barisan di Ruang Merik BAB III KONSEP DASAR RUANG METRIK FUZZY A. Pengerian Ruang Merik Fuzzy B. Ruang Merik Fuzzy yang Diinduksi dari Ruang Merik x

11 C. Topologi dan Ruang Merik Fuzzy Bola Terbuka, Bola Teruup, dan Himpunan Terbuka di Ruang Merik Fuzzy Topologi yang Diinduksi dari Ruang Merik Fuzzy Hubungan Ruang Merik Fuzzy dan Ruang Hausdorff D. Kekonvergenan dan Kelengkapan di Ruang Merik Fuzzy Barisan Konvergen di Ruang Merik Fuzzy Barisan Cauchy di Ruang Merik Fuzzy Hubungan Barisan Konvergen dan Barisan Cauchy di Ruang Merik Fuzzy Ruang Merik Fuzzy Lengkap Barisan konvergen, Barisan Cauchy, dan Ruang Merik Fuzzy lengkap BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA xi

12 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Fungsi Keanggoaan Himpunan fuzzy dan... 7 Gambar 2.2 Grafik Fungsi Keanggoaan Himpunan fuzzy dan... 8 Gambar 2.3 Grafik Fungsi Keanggoaan Gabungan Himpunan fuzzy dan Gambar 2.4 Grafik Fungsi Keanggoaan Irisan himpunan fuzzy dan... 9 xii

13 DAFTAR SIMBOL : fungsi keanggoaan dari suau himpunan fuzzy : komplemen dari suau himpunan : himpunan semua iik limi dari himpunan ( ) : bola erbuka di ruang merik ( ) dengan jari-jari dan pusa, - : bola eruup di ruang merik ( ) dengan jari-jari dan pusa : unuk seiap : erdapa : elemen suau himpunan : bukan elemen suau himpunan : gabungan dua himpunan : irisan dua himpunan : merik ( ) : ruang merik : himpunan eruup : himpunan dari semua iik inerior : himpunan bilangan asli : himpunan bagian : himpunan kosong : himpunan bilangan real xiii

14 : himpunan erbuka ( ) : himpunan yang memua semua closure poins dari : opologi ( ) : ruang opologi : opologi yang diinduksi oleh merik * + : barisan : elemen dari barisan * + : norm- koninu : himpunan fuzzy pada ( ) ( ) : fungsi keanggoaan dari suau himpunan fuzzy ( ) : ruang merik fuzzy ( ) : merik fuzzy sandar yang diinduksi oleh merik ( ) : bola erbuka pada ( ) dengan pusa dan jari-jari, - : bola eruup pada ( ) dengan pusa dan jari-jari : opologi yang diinduksi oleh merik fuzzy xiv

15 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakang Profesor Lofi A. Zadeh dari Universias California, Barkeley perama kali memperkenalkan eori fuzzy pada ahun 1965 melalui ulisannya yang berjudul Fuzzy Ses. Berdasarkan Wang (1997), pada waku eori fuzzy mulai dipublikasikan, beberapa ilmuwan maemaika berpendapa bahwa eori baru iu sama saja dengan eori probabilias yang sudah lama dikenal dalam dunia maemaika. Mereka menyaakan bahwa eori probabilias sudah cukup unuk menyelesaikan masalah yang mengandung keidakpasian dan yang bisa diselesaikan oleh eori fuzzy. Karena pada awalnya idak ada aplikasi yang nyaa dari eori fuzzy, maka kebanyakan lembaga rise idak menganggap eori fuzzy sebagai bidang peneliian yang serius. Namun, beberapa ilmuwan yang erarik pada eori fuzzy, seperi Richard Bellman, mulai mempelajari eori fuzzy secara mendalam. Seiring dengan perkembangan zaman, eori fuzzy berkembang semakin pesa. Banyak maemaikawan yang mempelajari dan mengembangkan himpunan fuzzy baik aplikasinya dalam berbagai bidang maupun konsep-konsep aau eori-eori erkai himpunan fuzzy. Perkembangan eori fuzzy akhirnya membua para ahli maemaika mulai memperimbangakan unuk mempelajari eori maemaika lain yang dipadukan dengan eori himpunan fuzzy. Salah saunya adalah ruang merik fuzzy. 1

16 Ivan Kramosil dan Jiri Michalek (1975) adalah maemaikawan yang perama kali memperkenalkan konsep ruang merik fuzzy. Pembahasan ruang merik fuzzy erus berkembang. George dan Veeramani (1994) mendefinisikan ruang merik fuzzy menggunakan norm- koninu. Selanjunya banyak maemaikawan yang mempelajari ruang merik fuzzy menggunakan definisi ersebu. Conohnya adalah Sapena (2001) dan Gregori (2009) yang mempelajari sifa-sifa ruang merik fuzzy sesuai dengan definisi ruang merik fuzzy yang digunakan oleh George dan Veeramani. Selanjunya, V. Gregori, A. Lopez-Crevillen, S. Morillas, dan A. Sapena (2009) mempelajari kekonvergenan dan kelengkapan di ruang merik fuzzy sera mendefinisikan barisan p konvergen, p Cauchy, dan ruang merik fuzzy p lengkap. Pembahasan ruang merik fuzzy dan sifa-sifanya banyak dilakukan hingga sekarang. Selain iu peneliian kaian ruang merik dengan ruang merik fuzzy juga poensial unuk erus dikembangkan. Sehingga dalam ugas akhir ini akan dibahas pengerian ruang merik fuzzy, kaian ruang merik dan ruang merik fuzzy, sera konsep barisan konvergen dan barisan Cauchy dalam ruang merik fuzzy, dan ruang merik fuzzy lengkap. B. Pembaasan Masalah Agar pembahasan dalam peneliian ini idak erlalu luas, masalah yang akan dielii dibaasi hanya pada pengerian ruang merik fuzzy, kaian ruang merik dan ruang merik fuzzy, sera konsep barisan konvergen dan barisan Cauchy dalam ruang merik fuzzy, dan ruang merik fuzzy lengkap. 2

17 C. Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai beriku. 1. Bagaimana menjelaskan pengerian ruang merik fuzzy? 2. Bagaimana menjelaskan kaian anara ruang merik dan ruang merik fuzzy? 3. Bagaimana menjelaskan sifa-sifa kekonvergenan dan kelengkapan di ruang merik fuzzy? D. Tujuan Peneliian Adapun ujuan peneliian ini adalah sebagai beriku. 1. Menjelaskan pengerian ruang merik fuzzy. 2. Menjelaskan kaian anara ruang merik dan ruang merik fuzzy. 3. Menjelaskan sifa-sifa kekonvergenan dan kelengkapan di ruang merik fuzzy. E. Manfaa Peneliian Peneliian ini diharapkan dapa bermanfaa sebagai referensi guna melakukan peneliian lebih lanju yang berkaian dengan pengerian dan sifa-sifa ruang merik fuzzy, kaian ruang merik dan ruang merik fuzzy, sera kekonvergenan kelengkapan di ruang merik fuzzy. 3

18 BAB II KAJIAN TEORI A. Himpunan Fuzzy Himpunan egas (crisp) merupakan himpunan yang unuk seiap elemen dalam semesanya selalu dapa dienukan secara egas elemen ersebu merupakan anggoa dari himpunan ersebu aau idak. Namun, himpunan dalam kehidupan sehari-hari idak selalu dapa didefinisikan dengan cara demikian. Misalnya himpunan orang berbadan inggi. Jika didefinisikan bahwa orang inggi adalah orang yang ingginya lebih dari aau sama dengan 1,7 meer, maka orang yang ingginya 1,69 meer ermasuk orang yang idak inggi. Padahal pada kenyaaannya suli unuk menerima bahwa orang yang ingginya 1,69 meer ermasuk orang yang idak inggi. Oleh karena iu, pada ahun 1965 Lofi A. Zadeh mengaasi permasalahan ersebu dengan memperkenalkan eori himpunan fuzzy. Lofi A. Zadeh mengaikan himpunan dengan suau fungsi yang menyaakan deraja kesesuaian unsur-unsur dalam semesanya dengan konsep yang merupakan syara keanggoaan himpunan ersebu. Fungsi dengan sifa demikian disebu fungsi keanggoaan himpunan fuzzy dan nilai fungsi keanggoaan ersebu disebu deraja keanggoaan suau unsur dalam himpunan fuzzy. Fungsi keanggoaan dari suau himpunan fuzzy A dalam semesa X adalah pemeaan μ A dari X ke selang [0,1], yaiu μ A : X [0,1]. Nilai fungsi μ A (x) menyaakan deraja keanggoaan unsur x X dalam himpunan fuzzy A. 4

19 Definisi (George Klir, 1997) Misalkan X adalah himpunan ak kosong. Himpunan fuzzy A di X adalah suau himpunan yang fungi keanggoaannya μ A : X [0,1]. Sehingga himpunan fuzzy A di X dapa dinyaakan sebagai beriku: A = {(x, μ A (x)) x X dan μ A (x) menyaakan deraja keanggoaan x di A}. Berdasarkan definisi himpunan fuzzy di aas, maka himpunan egas (crisp) merupakan kejadian khusus dari himpunan fuzzy, yaiu himpunan fuzzy yang fungsi keanggoaannya hanya bernilai 0 aau 1 saja. Unuk lebih memahami himpunan fuzzy, diberikan sau conoh himpunan fuzzy beriku. Conoh Misalkan X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Didefinisikan himpunan fuzzy A di X dengan fungsi keanggoaan 1 μ A (x) = 1 + (x 5) 2 Maka diperoleh A = {(1, 0.06), (2, 0.1), (3, 0.2)(4, 0.5), (5, 1), (6, 0.5), (7,0.2), (8,0.1), (9,0.06)}. Himpunan fuzzy A dapa disebu himpunan bilangan asli yang deka ke 5. Menuru George Klir (1997), himpunan fuzzy A dan B dalam semesa X dikaakan sama, diulis A = B, jika memenuhi μ A (x) = μ B (x), unuk seiap x X. Himpunan fuzzy A dikaakan merupakan himpunan bagian dari himpunan fuzzy B dalam semesa X, diulis A B, jika memenuhi μ A (x) μ B (x), unuk seiap x X. 5

20 Menuru George Klir (1997), pada himpunan fuzzy dapa didefiniskan operasi komplemen, gabungan dan irisan sebagai beriku. 1. Komplemen dari suau himpunan fuzzy A merupakan himpunan fuzzy A C dengan fungsi keanggoaan μ A C(x) = {1 μ A (x)} unuk seiap x X, dan secara lengkap dapa diulis sebagai beriku: A C = {(x, μ A C(x)) μ A C(x) = {1 μ A (x)}, x X }. 2. Gabungan dua himpunan fuzzy A dan B merupakan himpunan fuzzy A B dengan fungsi keanggoaan μ A B (x) = max{μ A (x), μ B (x)} unuk seiap x X, dan secara lengkap dapa diulis sebagai beriku: A B = {(x, μ A B (x)) μ A B (x) = max{μ A (x), μ B (x)}, x X }. 3. Irisan dua himpunan fuzzy A dan B merupakan himpunan fuzzy A B dengan fungsi keanggoaan μ A B (x) = min{μ A (x), μ B (x)} unuk seiap x X, dan secara lengkap dapa diulis sebagai beriku: A B = {(x, μ A B (x)) μ A B (x) = min{μ A (x), μ B (x)}, x X }. Conoh Misalkan dikeahui himpunan X = [0,100] dan didefinisikan dua himpunan fuzzy pada X yaiu himpunan fuzzy Muda dan himpunan fuzzy Tua dengan fungsi keanggoaan masing-masing didefinisikan sebagai beriku: 6

21 μ Muda (x) = { 1 x, 0 x , unuk x yang lain μ Tua (x) = { x 25 75, 25 x 100 0, unuk x yang lain Maka himpunan fuzzy Muda dan himpunan fuzzy Tua dapa direpresenasikan dengan grafik beriku Muda Himpunan Fuzzy Muda dan Tua Tua 0.8 Nilai fungsi keanggoaan Umur (ahun) Gambar 2.1 Grafik Fungsi Keanggoaan Himpunan Fuzzy Muda dan Himpunan Fuzzy Tua Selanjunya akan dijelaskan komplemen himpunan fuzzy Muda, gabungan himpunan fuzzy Muda dan himpunan fuzzy Tua, dan irisan himpunan fuzzy Muda dan himpunan fuzzy Tua sebagai beriku. 7

22 Muda Himpunan Fuzzy Muda dan Komplemennya Muda c Nilai fungsi keanggoaan Umur (ahun) Gambar 2.2 Grafik Fungsi Keanggoaan Himpunan Fuzzy Muda dan Himpunan Fuzzy Muda C Himpunan Fuzzy Muda U Himpunan Fuzzy Tua 0.8 Nilai fungsi keanggoaan Umur (ahun) Gambar 2.3 Grafik Fungsi Keanggoaan Gabungan Himpunan Fuzzy Muda dan Himpunan Fuzzy Tua 8

23 Muda Tua Nilai fungsi keanggoaan Irisan himpunan fuzzy muda dan himpunan fuzzy ua Umur (ahun) Gambar 2.4 Grafik Fungsi Keanggoaan Irisan Himpunan Fuzzy Muda dan B. Ruang Merik Himpunan Fuzzy Tua Sub-bab ini menjelaskan definisi-definisi dasar enang ruang merik dan opologi. Beberapa eorema yang dipelajari dalam ruang merik dan opologi juga dijelaskan dan diberi conoh. Definisi (Davis, 2005) Diberikan suau himpunan idak kosong X, suau fungsi d: X X R yang memenuhi kondisi beriku, unuk seiap x, y, z X, (i) d(x, y) 0; (ii) (iii) (iv) d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y; d(x, y) = d(y, x); d(x, z) d(x, y) + d(y, z); Maka d disebu merik pada X dan (X, d) disebu ruang merik. 9

24 Selanjunya, dua conoh ruang merik beriku ini diberikan agar definisi ruang merik dapa lebih dipahami. Conoh Himpunan bilangan real R dengan fungsi d 1 yang didefinisikan dengan d 1 (x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan suau ruang merik, sebab (i) d 1 (x, y) = x y 0; (ii) (iii) (iv) d 1 (x, y) = x y = 0 jika dan hanya jika x = y; d 1 (x, y) = x y = y x = d 1 (y, x); d 1 (x, z) = x z = (x y) + (y z) d 1 (x, y) + d 1 (y, z). Jadi erbuki bahwa (R, d 1 ) merupakan ruang merik. Conoh Misalkan X suau himpunan idak kosong dan d 2 : X X R didefinisikan dengan d 2 (x, y) = { 2, jika x y 0 jika x = y unuk seiap x, y X, maka (X, d 2 ) merupakan suau ruang merik, sebab (i) d 2 (x, y) 0; (ii) d 2 (x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y; (iii) d 2 (x, y) = d 2 (y, x); (iv) Jika y = z maka d 2 (x, y) + d 2 (y, z) = d 2 (x, y) = d 2 (x, z) = d 2 (x, z) Jika x = y maka d 2 (x, y) + d 2 (y, z) = d 2 (y, z) = d 2 (x, z) d 2 (x, z) Unuk yang lain, d 2 (x, y) + d 2 (y, z) = = 4 > (x, z). Jadi erbuki bahwa (X, d 2 ) merupakan ruang merik. 10

25 Definisi (Parzynski, 1987) Misal (X, d) suau ruang merik dan A himpunan bagian idak kosong dari X. A disebu erbaas jika erdapa bilangan real posiif M sehingga d(x, y) M, x, y A. Conoh Misalkan ruang merik (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R. Maka A = [0,1] R merupakan himpunan erbaas karena erdapa bilangan real posiif M = 1 sehingga d(x, y) = x y M = 1, x, y [0,1]. Beberapa konsep dasar dalam opologi seperi bola erbuka, himpunan erbuka, himpunan eruup, dan iik limi akan dijelaskan dan diberi conoh. Definisi (Davis, 2005) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan r suau bilangan real dengan r > 0. Bola erbuka pada (X, d) dengan jari-jari r dan pusa x X didefiniskan dengan B d (x, r) = {y X d(x, y) < r}. Conoh Dari Conoh dikeahui (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan ruang merik. Bola erbuka pada (R, d) dengan jari-jari 0.25 dan pusa 0 R didefinisikan dengan B d (0, 0.25) = {y R y < 0.25} = {y R 0.25 < y < 0.25} 11

26 Teorema beriku menjelaskan bahwa dua bola erbuka dengan pusa yang sama maka salah saunya merupakan himpunan bagian dari yang lain. Teorema (Aphane, 2009) Misalkan B d (x, r 1 ) dan B d (x, r 2 ) bola erbuka dengan pusa yang sama yaiu x X, dengan r 1, r 2 > 0. Maka B d (x, r 1 ) B d (x, r 2 ) aau B d (x, r 2 ) B d (x, r 1 ). Buki: i) Jika r 1 = r 2, maka B d (x, r 1 ) = B d (x, r 2 ), sehingga B d (x, r 1 ) B d (x, r 2 ) aau B d (x, r 2 ) B d (x, r 1 ). ii) Jika r 1 r 2, anpa mengurangi kemumuman diasumsikan r 1 > r 2. Misalkan a B d (x, r 2 ), maka d(x, a) < r 2. Karena r 1 > r 2 maka d(x, a) < r 1. Sehingga a B d (x, r 1 ). Jadi B d (x, r 2 ) B d (x, r 1 ). Selanjunya dengan mengasumsikan r 2 > r 1 dan dengan langkahlangkah yang sama dapa dibukikan bahwa B d (x, r 1 ) B d (x, r 2 ). Jadi unuk sebarang B d (x, r 1 ) dan B d (x, r 2 ) bola erbuka dengan pusa yang sama maka B d (x, r 1 ) B d (x, r 2 ) aau B d (x, r 2 ) B d (x, r 1 ). Conoh Dari Conoh dikeahui (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan ruang merik. Misalkan B d (x, r 1 ) dan B d (x, r 2 ) merupakan bola erbuka pada (R, d) dengan pusa yang sama yaiu x R, dengan r 1, r 2 > 0. Maka 12

27 B d (x, r 1 ) = {y R d(x, y) < r 1 } = {y R x y < r 1 }, B d (x, r 2 ) = {y R d(x, y) < r 2 } = {y R x y < r 2 } Jika r 1 = r 2 maka B d (x, r 1 ) = {y R x y < r 1 = r 2 } = B d (x, r 2 ). Jika r 1 < r 2 maka B d (x, r 1 ) = {y R x y < r 1 < r 2 } B d (x, r 2 ). Jika r 2 < r 1 maka B d (x, r 2 ) = {y R x y < r 2 < r 1 } B d (x, r 1 ). Maka B d (x, r 1 ) B d (x, r 2 ) aau B d (x, r 2 ) B d (x, r 1 ). Jika Definisi menjelaskan pengerian bola erbuka, maka Definisi di bawah ini menjelaskan pengerian bola eruup dalam suau ruang merik. Selanjunya diberikan conoh bola eruup melalui Conoh Definisi (Davis, 2005) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan r suau bilangan real dengan r > 0. Bola eruup dengan jari-jari r dan pusa x X didefiniskan dengan B d [x, r] = {y X d(x, y) r}. Conoh Dari Conoh dikeahui (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan ruang merik. Bola eruup pada (R, d) dengan jari-jari 2 dan pusa 0 R didefiniskan dengan B d [0,2] = {y R d(0, y) 2} = {y R y 2} 13

28 Konsep enang iik inerior yang dijelaskan melalui Definisi di bawah ini berkaian dengan konsep himpunan erbuka dalam suau ruang merik yang akan dijelaskan melalui Definisi Definisi (Davis, 2005) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan U himpunan bagian dari X. Suau iik x U disebu iik inerior dari U jika erdapa r > 0 sedemikian sehingga B d (x, r) U. Himpunan dari semua iik inerior U diuliskan dengan InU. Conoh Dikeahui ruang merik (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R. Jika U = {x N: 0 < x 3} X maka InU = {x N: 1 x 2} = {1,2}. Definisi (Davis, 2005) Misalkan (X, d) suau ruang merik. U X disebu erbuka jika unuk seiap x U maka erdapa r > 0 sedemikian sehingga B d (x, r) U. Conoh Jika (X, d) adalah ruang merik diskre dan {x} X, maka {x} merupakan himpunan erbuka, sebab erdapa r = 1 > 0 sehingga bola erbuka dengan pusa x {x}, jari- 2 jari r = 1 2 yaiu B d (x, 1 2 ) = {y X d(x, y) < 1 2 } {x}. Teorema di bawah ini menjelaskan bahwa seiap bola erbuka merupakan suau himpunan erbuka. 14

29 Teorema (T.W. Korner, 2014) Seiap bola erbuka B d (x, r) = {y A d(x, y) < r} merupakan himpunan erbuka, unuk seiap x X dan r > 0. Buki: Misalkan x X, r > 0 dan y B d (x, r). Pilih r 1 > 0 dengan r 1 = r d(x, y). Misalkan z B d (y, r 1 ), maka d(y, z) < r 1. Sehingga berdasarkan peridaksamaan segiiga diperoleh d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + r 1 = d(x, y) + r d(x, y) = r. Karena d(x, z) < r maka z B d (x, r). Sehingga B d (x, r) himpunan erbuka. Teorema (T.W. Korner, 2014) Dikeahui suau ruang merik (X, d). Maka: Buki: (1) dan X erbuka. (2) Jika U α erbuka unuk seiap α I maka α I U α erbuka. n (3) Jika U j erbuka unuk seiap 1 j n maka j=1 U j erbuka. (1) Jelas bahwa idak erdapa suau elemen di, sehingga pernyaaan unuk seiap x maka erdapa r > 0 sedemikian sehingga B d (x, r) bernilai benar. Sehingga erbuka. X jelas erbuka berdasarkan definisi himpunan erbuka. 15

30 (2) Misalkan x α I U α, kemudian pilih β I sedemikian sehingga x U β. Karena U β erbuka, maka dapa dipilih r > 0 sehingga B d (x, r) U β. Karena U β α I U α maka B d (x, r) U α Sehingga α I U α erbuka. α I. (3) Karena U j erbuka, maka unuk seiap x X erdapa r j > 0 sedemikian sehingga B d (x, r j ) U j unuk seiap 1 j n. Misalkan r = min{r 1, r 2,, r j,, r n }, maka B d (x, r) U j unuk seiap n n 1 j n. Sehingga B d (x, r) j=1 U j. Akibanya, j=1 U j erbuka. Conoh Dikeahui suau ruang merik (R, d). Maka: (1) dan R erbuka. (2) Misalkan U 1 = B d (0,2) dan U 2 = {x R 1 < x < 4}, maka U 1 dan U 2 erbuka. Sehingga U 1 U 2 = {x R 2 < x < 4} erbuka. (3) Misalkan U 1 = B d (0,2) dan U 2 = {x R 1 < x < 4}, maka U 1 dan U 2 erbuka. Sehingga U 1 U 2 = {x R 1 < x < 2} erbuka. Definisi (Davis, 2005) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan A himpunan bagian dari X. Suau iik x X disebu iik limi dari A jika unuk seiap r > 0, erdapa y B d (x, r) {x}. Aau dapa diulis {B d (x, r) {x}} A. Himpunan semua iik limi dari A diulis dengan A dan disebu derived se dari A. 16

31 Conoh Dikeahui ruang merik (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R. Jika A = {x R: 0 < x 3} X maka 0 A dan 3 A adalah iik limi dari A. Jika A = {x N: 0 < x 3} X maka 0 A, 1 A, 3 A bukan iik limi dari A. Definisi (Davis, 2005) Suau himpunan bagian F dari ruang merik (X, d) disebu eruup jika F memua seiap iik liminya. Conoh Dikeahui ruang merik (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R. Jika A = {x R: 0 < x 3} X maka A idak eruup karena 0 A adalah iik limi dari A. Jika A = {x R: 0 x 3} X maka A eruup karena A memua semua iik liminya. Teorema (Parzynski, 1987) Suau himpunan bagian F dari ruang merik (X, d) eruup jika dan hanya jika X F merupakan himpunan erbuka. Buki: ( ) Misalkan F eruup. Terdapa dua kemungkinan, yaiu (1) X F =. Berdasarkan Teorema , merupakan himpunan erbuka, sehingga = X F erbuka. 17

32 (2) X F. Ambil sebarang y X F, sehingga y F. Karena F eruup maka F memua semua iik liminya. Sehingga y bukan iik limi F. Maka erdapa r > 0 sehingga B d (y, r) {y} F =. Akibanya B d (y, r) X F. Jadi unuk seiap y X F erdapa r > 0 sehingga B d (y, r) X F. Maka X F erbuka. ( ) Misalkan X F erbuka dan y X F. Maka erdapa B d (y, r) X F. Sehingga erdapa B d (y, r) dengan B d (y, r) F =. Sehingga y bukan iik limi F. Akibanya, jika x iik limi F maka x F. Arinya, F memua semua iik liminya. Sehingga F eruup. Teorema (T.W. Korner, 2014) Dikeahui suau ruang merik (X, d). Maka: Buki: (1) dan X eruup. (2) Jika F α eruup unuk seiap α A maka α A F α eruup. n (3) Jika F j eruup unuk seiap 1 j n maka j=1 F j eruup. (1) adalah himpunan eruup, sebab X = X adalah himpunan erbuka. X adalah himpunan eruup, sebab X X = adalah himpunan erbuka. (2) Karena F α eruup, maka X F α erbuka unuk seiap α A. Sehingga X α A F α = α A (X F α ) merupakan himpunan erbuka. Akibanya α A F α eruup. 18

33 (3) Karena F j eruup maka X F j erbuka unuk seiap 1 j n. Akibanya n n X j=1 F j = j=1 (X F j ) merupakan himpunan erbuka. Sehingga n j=1 F j merupakan himpunan eruup. Teorema menjelaskan bahwa seiap bola erbuka merupakan suau himpunan erbuka, sedangkan Teorema di bawah ini menjelaskan bahwa seiap bola eruup merupakan himpunan eruup. Teorema (Davis, 2005) Seiap bola eruup dalam sebarang ruang merik (X, d) merupakan himpunan eruup. Buki: Misalkan dikeahui sebarang bola eruup B d [x, r] = {y X d(x, y) r}. Akan dibukikan bahwa B d [x, r] himpunan eruup dengan cara menunjukkan bahwa X B d [x, r] merupakan himpunan erbuka. Misalkan z X B d [x, r], maka d(x, z) > r. Misalkan s = d(x, z) r > 0, maka B d [z, s] X B d [x, r]. Misalkan y B d (z, s), maka d(x, z) d(x, y) + d(y, z) sehingga d(x, y) d(x, z) d(y, z) > d(x, z) s = r. Akibanya y X B d [x, r]. Sehingga X B d [x, r] merupakan himpunan erbuka. Jadi erbuki bahwa seiap bola eruup dalam sebarang ruang merik (X, d) merupakan himpunan eruup. 19

34 Definisi (Cain, 1994) Misalkan X sebarang himpunan. Didefinisikan τ koleksi himpunan bagian X yang memenuhi kondisi beriku: (i) τ dan X τ. (ii) Jika U α τ unuk seiap α I maka α I U α τ. n (iii) Jika U j τ unuk seiap 1 j n maka j=1 U j τ. Maka τ disebu opologi pada X dan (X, τ) disebu ruang opologi. Conoh a. Misalkan X = {1,2,3} dan τ = {, {2}, {1,2,3}}. Maka τ merupakan opologi pada X. b. Misalkan X = {1,2,3} dan τ = {, {1}, {2}, {1,2,3}}. Maka τ bukan merupakan opologi pada X sebab {1} {2} = {1,2} τ. c. Misalkan X = {a, b}, maka τ = {, {a, b}, {a}} merupakan opologi pada X. Teorema (T.W. Korner, 2014) Misalkan (X, d) suau ruang merik maka koleksi dari himpunan bagian erbuka membenuk suau opologi. Buki: Sesuai dengan Teorema Teorema di bawah ini menjelaskan bahwa suau merik dapa menginduksi suau opologi merik. 20

35 Teorema (Aphane, 2009) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan didefinisikan τ d sebagai beriku: τ d = {A X x A r > 0 sehingga B d (x, r) A }. Maka τ d adalah suau opologi pada X. Buki: (i) Jelas bahwa τ d dan X τ d. (ii) Misalkan A 1, A 2, A 3,, A i τ d dan U = i I A i. Akan diunjukkan bahwa U τ d. Misalkan a i I A i, maka a A i unuk suau i I. Karena A i τ d, maka erdapa r > 0 sehingga B d (a, r) A i. Sehingga B d (a, r) A i i I A i = U. Jadi U τ d. n (iii) Misalkan A j τ d unuk seiap 1 j n dan V = j=1 A j. Akan diunjukkan bahwa V τ d. Misalkan a n j=1 A j, maka a A j unuk seiap 1 j n. Sehingga unuk seiap 1 j n erdapa r j > 0, sehingga B d (a, r j ) A i. Misalkan r = min{r j } dengan 1 j n. Sehingga r r j unuk seiap 1 j n. Akibanya B d (a, r) A j unuk seiap 1 j n. n Sehingga B d (a, r) j=1 A j = V. Jadi V τ d. Selanjunya τ d disebu opologi merik yang diinduksi oleh merik d. 21

36 Definisi (T.W. Korner, 2014) Suau ruang opologi (X, τ) disebu ruang Hausdorff jika unuk seiap x, y X dengan x y, maka erdapa dua himpunan erbuka U dan V dengan U V = sedemikian sehingga x U dan y V. Conoh Misalkan dikeahui suau ruang opologi (X, τ) dengan X = {a, b, c, d} dan τ = 2 x. Maka (X, τ) merupakan suau ruang Hausdorff sebab a, b X dengan x y, maka erdapa U = {x} dan V = {y} sehingga x U, y V dan U V =. Conoh Misal ruang opologi (X, τ) dengan X = {a, b, c, d} dan τ = {{a, b}, {c, d}, X, }. Maka (X, τ) bukan ruang Hausdorff sebab a, b X dengan a b, sehingga erdapa U = {a, b} dan V = {a, b, c, d} dengan x U, y V dan U V = {a, b}. Teorema (T.W. Korner, 2014) Seiap ruang merik merupakan ruang Hausdorff. Buki: Misalkan (X, d) suau ruang merik dan x, y X dengan x y. Misalkan U = {x} dan V = {y}, maka U V = dengan x U dan y V. Sehingga erbuki bahwa seiap ruang merik merupakan ruang Hausdorff. 22

37 C. Barisan di Ruang Merik Definisi-definisi enang barisan, barisan konvergen, barisan Cauchy, dan ruang merik lengkap akan dijelaskan dalam bagian ini. Selanjunya beberapa eorema yang dipelajari dalam barisan di ruang merik juga dijelaskan dan diberi conoh. Definisi di bawah ini menjelaskan pengerian barisan dalam suau ruang merik dan selanjunya conohnya disampaikan melalui Conoh Definisi (Shirali, 2006) Misalkan (X, d) suau ruang merik. Suau fungsi f: N X disebu barisan jika unuk seiap n N, f(n) = x n X. Conoh Dari Conoh dikeahui (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan ruang merik. Maka {x n } = 1 unuk seiap n N merupakan barisan dalam n ruang merik (R, d), sebab n N, {x n } = 1 n R. Definisi (Parzynski, 1987) Misalkan (X, d) suau ruang merik, {x n } suau barisan di X. Barisan {x n } konvergen ke x X jika unuk seiap ε > 0, erdapa n 0 N sedemikian sehingga d(x n, x) < ε, n n 0. 23

38 Suau barisan {x n } di ruang merik (X, d) konvergen ke x X diulis dengan x n x aau lim d(x n, x) = 0. Conoh Misalkan X = R + {0} dan merik d(x, y) = x y. Maka barisan {x n } yang didiefinisikan dengan x n = 1 unuk seiap n N merupakan barisan yang konvergen n ke 0, sebab unuk seiap ε > 0, maka erdapa n 0 N sedemikian sehingga n 0 > 1. ε Sehingga jika n n 0 maka 1 n 0 = 1 n = 1 n 1 < ε. n 0 Jadi barisan {x n } konvergen ke 0. Definisi (Parzynski, 1987) Suau barisan {x n } dalam suau ruang merik (X, d) disebu barisan Cauchy jika unuk seiap ε > 0, erdapa n 0 N sedemikian sehingga, d(x n, x m ) < ε, n, m n 0 Conoh Barisan {x n } = 1 unuk seiap n N pada Conoh merupakan barisan Cauchy, n sebab unuk seiap ε > 0, maka erdapa n 0 N sedemikian sehingga n 0 > 2 ε. Jika n, m n 0 maka 1 n 1 n 0 dan 1 m 1 n 0. Sehingga unuk seiap n, m n 0 1 n 1 m = 1 n + 1 m < 2 n 0 < ε. Jadi barisan {x n } adalah barisan Cauchy. 24

39 Teorema (Parzynski, 1987) Barisan {x n } yang konvergen dalam suau ruang merik (X, d) adalah barisan Cauchy. Buki: Misal {x n } konvergen ke x X maka unuk seiap ε > 0 erdapa n 0 N sehingga jika n n 0 maka d(x n, x) < ε sehingga d(x n, x) < ε. 2 Misal n, m n 0 maka d(x n, x) < ε dan d(x 2 m, x) < ε. 2 Dengan peridaksamaan segiiga maka d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε + ε = ε. 2 2 Jadi erbuki bahwa barisan yang konvergen dalam suau ruang merik merupakan barisan Cauchy. Pengerian ruang merik lengkap dijelaskan melalui Definisi di bawah ini. Selanjunya unuk lebih memahami ruang merik lengkap diberikan sau conoh ruang merik idak lengkap yaiu Conoh dan dan sau conoh ruang merik lengkap yaiu Conoh Definisi (Parzynski, 1987) Suau ruang merik (X, d) disebu lengkap jika seiap barisan Cauchy dalam (X, d) konvergen. Conoh Misalkan A = (0,1) R dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y A. Maka ruang merik (A, d) bukan merupakan ruang merik lengkap. Sebab, {x n } = 1 merupakan n barisan Cauchy eapi idak konvergen ke suau elemen di A. 25

40 Conoh (Parzynski, 1987) Ruang merik (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan suau ruang merik lengkap. Sebab, erdapa Teorema Krieria Konvergensi Cauchy yang menyaakan bahwa seiap barisan bilangan real {x n } merupakan barisan konvergen jika dan hanya jika {x n } barisan Cauchy. Arinya, misalkan {x n } adalah barisan Cauchy di ruang merik (R, d) maka {x n } merupakan barisan konvergen. Sehingga (R, d) dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y R merupakan ruang merik lengkap. 26

41 BAB III KONSEP DASAR RUANG METRIK FUZZY Bab III erbagi menjadi empa sub-bab, yaiu sub-bab A, sub-bab B, sub-bab C dan sub-bab D. Sub-bab A menjelaskan pengerian ruang merik fuzzy dan conoh ruang merik fuzzy. Sub-bab B menjelaskan kaian ruang merik dan ruang merik fuzzy dan sifa-sifa yang erdapa dalam ruang merik dan ruang merik fuzzy. Sub-bab C membahas pengerian, conoh dan eorema yang berlaku dalam opologi yang dibangun oleh suau ruang merik fuzzy. Selanjunya Sub-bab D menjelaskan pengerian kekonvergenan dan kelengkapan di ruang merik fuzzy. A. Pengerian Ruang Merik Fuzzy Terdapa lebih dari sau cara mendefinisikan ruang merik fuzzy. Definisi ruang merik fuzzy yang diperkenalkan oleh George dan Veeramani, yang digunakan sebagai acuan oleh penulis, menggunakan banuan norm- koninu. Sehingga akan dijelaskan pengerian norm- koninu melalui Definisi dan conoh norm- koninu yaiu Conoh Definisi (Sapena, 2001) Operasi biner : [0,1] [0,1] [0,1] disebu norm- jika memenuhi kondisi: (i) (ii) Operasi biner bersifa komuaif dan asosiaif; Unuk seiap a [0,1], a 1 = a; (iii) Jika a c dan b d maka a b c d, a, b, c, d [0,1]. Jika koninu maka disebu norm- koninu. 27

42 Conoh Operasi biner : [0,1] [0,1] [0,1] didefinisikan dengan a b = a b, a, b [0,1]. Operasi biner adalah norm-, sebab a, b, c, d [0,1] (i) operasi biner bersifa komuaif dan asosiaif, yaiu a b = a b = b a = b a, dan (a b) c = (a b) c = a b c = a (b c) = a (b c); (ii) (iii) unuk seiap a [0,1], a 1 = a 1 = a; jika a c maka a b = a b c b = c b, jika b d maka b c = b c d c = d c, sehingga a b = a b c b = b c d c = c d = c d. Maka adalah norm-. Selajunya dibukikan koninu di (a, b) [0,1] [0,1], yaiu a) Operasi biner erdefinisi di (a, b) karena (a, b) = a b = a b [0,1]; b) lim (x) = a b = a b [0,1], sehingga lim (x) ada; x (a,b) x (a,b) c) (a, b) = a b = lim x (a,b) (x) Jadi adalah norm- koninu. Seperi yang elah dijelaskan sebelumnya bahwa erdapa lebih dari sau cara mendefinisikan ruang merik fuzzy. Definisi ruang merik fuzzy yang diperkenalkan oleh George dan Veeramani yang digunakan sebagai acuan oleh penulis adalah sebagai beriku. 28

43 Definisi (V. Gregori, 2009) Misalkan X suau himpunan idak kosong, suau norm- koninu, dan M suau himpunan fuzzy pada X X (0, ) yang memenuhi kondisi beriku, unuk seiap x, y, z X dan s, > 0, (i) M(x, y, ) > 0; (ii) (iii) (iv) (v) M(x, y, ) = 1 jika dan hanya jika x = y; M(x, y, ) = M(y, x, ); M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s); M(x, y, ): (0, ) (0,1] koninu (X, M, ) disebu ruang merik fuzzy. Nilai M(x, y, ) merepresenasikan deraja kedekaan anara x dan y erhadap. Conoh (V. Gregori, 2009) Misalkan X = (0,1) R. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1] dan misalkan M adalah himpunan fuzzy pada X X (0, ) dengan fungsi keanggoaan yang didefinisikan sebagai beriku: 1, x = y; M(x, y, ) = { xy, x y, 1; xy, x y, > 1 unuk seiap x, y X dan > 0. 29

44 Akan dibukikan bahwa (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. (i) (ii) (iii) (iv) M(x, y, ) > 0 berdasarkan definisi M(x, y, ); M(x, y, ) = 1 jika dan hanya jika x = y berdasarkan definisi M(x, y, ); M(x, y, ) = M(y, x, ) berdasarkan definisi M(x, y, ); Akan dibukikan M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s); x, y, z X dan, s > 0, (1) x = y = z x, y, z X dan, s > 0. Maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = 1. Akibanya M(x, y, ) M(y, z, s) = M(x, z, + s). (2) x y = z Jika, s 1, dan + s 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = xz( + s). Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy 1 = xy = xz xz + xzs = M(x, z, + s). Jika, s 1, dan + s > 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy = xy = xz xz = M(x, z, + s). Jika, s > 1, maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = xz. 30

45 Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy 1 = xy = xz = M(x, z, + s). Jika 1, dan s > 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy = xz xz = M(x, z, + s). Jika > 1, dan s 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy = xz = M(x, z, + s). (3) x = y z Jika, s 1, dan + s 1 maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = yzs dan M(x, z, + s) = xz( + s). Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = yzs = xzs xz + xzs = M(x, z, + s). Jika, s 1, dan + s > 1 maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = yzs dan M(x, z, + s) = xz( + s). Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = yzs = xzs xz + xzs = M(x, z, + s). Jika 1 dan s > 1 maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = yz dan M(x, z, + s) = xz. 31

46 Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = yz = xz = M(x, z, + s). Jika > 1, dan s 1 maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = yzs dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = yzs xz = M(x, z, + s). (4) x y z Jika, s 1, dan + s 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = yzs & M(x, z, + s) = xz( + s). Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy yzs = xy 2 zs < xz + xzs = M(x, z, + s). Jika, s 1, dan + s > 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = yzs dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy yzs = xy 2 zs < xz = M(x, z, + s). Jika 1 dan s > 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = yz dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy yz = xy 2 z < xz = M(x, z, + s). 32

47 Jika > 1, dan s 1 maka M(x, y, ) = xy, M(y, z, s) = yzs dan M(x, z, + s) = xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = xy yzs = xy 2 zs < xz = M(x, z, + s). (v) Berdasarkan definisi dari M(x, y, ) maka M(x, y, ) koninu. (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. Definisi (Sapena, 2001) Suau ruang merik fuzzy (X, M, ) dengan M(x, y, ) yang idak berganung pada nilai disebu ruang merik fuzzy sasioner. Conoh Misalkan X = N. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1] dan M adalah himpunan fuzzy pada X X (0, ) dengan fungsi keanggoaan yang didefinisikan sebagai beriku: unuk seiap > 0. 1 jika x = y M(x, y, ) { 1 jika x y xy Akan diunjukkan bahwa (X, M, ) merupakan ruang merik fuzzy. (i) M(x, y, ) > 0; (ii) M(x, y, ) = 1 jika dan hanya jika x = y; 33

48 (iii) (iv) x, y X dan > 0 jelas bahwa M(x, y, ) = M(y, x, ). Unuk membukikan M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s), diperhaikan beberapa kemungkinan; (1) x = y = z x, y, z X dan, s > 0. Maka M(x, y, ) = 1, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = 1. Akibanya M(x, y, ) M(y, z, s) = 1 = M(x, z, + s). (2) x y = z Maka M(x, y, ) = 1 xy, M(y, z, s) = 1 dan M(x, z, + s) = 1 xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = 1 (3) x = y z xy = 1 xz = M(x, z, + s). M(x, y, ) = 1, M(y, z, ) = 1 yz dan M(x, z, + s) = 1 xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = 1 = 1 = M(x, z, + s). yz xz (4) x y z M(x, y, ) = 1 xy, M(y, z, s) = 1 yz dan M(x, z, + s) = 1 xz. Sehingga M(x, y, ) M(y, z, s) = 1 1 = 1 1 = M(x, z, + s). xy yz xy 2 z xz (v) M(x, y, ) idak berganung pada, sehingga M(x, y, ) adalah fungsi koninu. (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. 34

49 Konsep himpunan erbaas (bounded se) dalam suau ruang merik elah dijelaskan dalam Bab II melalui Definisi 2.2.4, selanjunya dalam konsep ruang merik fuzzy, akan dijelaskan pengerian F-bounded melalui Definisi di bawah ini. Definisi (Sapena, 2001) Misalkan (X, M, ) ruang merik fuzzy dan A himpunan bagian idak kosong dari X. Himpunan A disebu F-bounded jika erdapa > 0 dan 0 < r < 1 sehingga M(x, y, ) > 1 r, x, y A. Conoh Dikeahui ruang merik fuzzy pada Conoh Misal A = {x} (0,1), maka A merupakan himpunan F-bounded karena unuk = 1 dan r = 1, maka M(x, y, ) = 1 > B. Ruang Merik Fuzzy yang diinduksi dari Ruang Merik Penulis elah menjelaskan sifa-sifa ruang merik dalam Bab II. Selanjunya pada bagian ini akan dijelaskan dan diberi conoh suau eorema yang menyaakan bahwa seiap ruang merik menginduksi suau ruang merik fuzzy dengan suau fungsi keanggoaan dan norm- koninu erenu. Teorema (Aphane, 2009) Misal (X, d) adalah suau ruang merik. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1]. 35

50 Misalkan M adalah himpunan fuzzy pada X X (0, ) dengan fungsi keanggoaan yang didefinisikan sebagai beriku: M(x, y, ) = k n k n + md(x, y) x, y X, > 0 dan k, m, n N. Maka (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. Buki: (i) Akan dibukikan bahwa M(x, y, ) = k n k n +md(x,y) > 0. Dikeahui bahwa d merupakan merik, sehingga d(x, y) 0. Karena d(x, y) 0, > 0 dan k, m, n N maka M(x, y, ) = (ii) Akan dibukikan bahwa M(x, y, ) = jika x = y. ( ) ( ) M(x, y, ) = k n k n +md(x,y) = 1 k n = k n + md(x, y) md(x, y) = 0 d(x, y) = 0 x = y x = y maka d(x, y) = 0, sehingga M(x, y, ) = k n k n +md(x,y) = kn k n +0 = 1 k n k n + md(x, y) > 0. k n k n +md(x,y) = 1 jika dan hanya 36

51 (iii) Akan dibukikan bahwa M(x, y, ) = M(y, x, ). Karena d merupakan merik, maka d(x, y) = d(y, x). Sehingga diperoleh M(x, y, ) = k n k n +md(x,y) = k n k n +md(y,x) = M(y, x, ). (iv) Akan dibukikan M(x, y, ) M(y, z, s) M(x, z, + s); x, y, z X dan, s > 0. Karena d merupakan merik, maka d(x, z) d(x, y) + d(y, z). M(x, y, ) M(y, z, s) = = k n k n + md(x, y) ks n ks n + md(y, z) (k n )(ks n ) (k n + md(x, y))(ks n + md(y, z)) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) dan m > 0, sehingga md(x, z) md(x, y) + md(y, z) k( + s) n + md(x, z) k( + s) n + md(x, y) + md(y, z) (k n )(ks n ){k( + s) n + md(x, z)} (k n )(ks n ){k( + s) n + md(x, y) + md(y, z)} = k( + s) n (k n )(ks n ) + (k n )(ks n )md(x, y) + (k n )(ks n )md(y, z) k( + s) n (k n )(ks n ) + (k( + s) n )(ks n )md(x, y) + (k n )(k(s + ) n )md(y, z) = k( + s) n {(k n )(ks n ) + (ks n )md(x, y) + (k n )md(y, z)} 37

52 k( + s) n {(k n )(ks n ) + (ks n )md(x, y) + (k n )md(y, z) + m 2 d(x, y)d(y, z)} = k( + s) n (k n + md(x, y))((ks n ) + md(y, z)) Sehingga (k n )(ks n ){k( + s) n + md(x, z)} k( + s) n (k n + md(x, y))((ks n ) + md(y, z)). (k n )(ks n ) (k n + md(x, y))((ks n ) + md(y, z)) k( + s) n k( + s) n + md(x, z) Akibanya, (k n )(ks n ) M(x, y, ) M(y, z, s) = (k n + md(x, y))((ks n ) + md(y, z)) k( + s) n k( + s) n = M(x, z, + s) + md(x, z) (v) Akan dibukikan bahwa M(x, y, ): (0, ) [0,1] koninu. Dikeahui M(x, y, ) = k n k n +md(x,y). Misalkan f() = k n dan g() = k n + md(x, y), maka M(x, y, ) = k n k n +md(x,y) = f() g(). f() = k n > 0 koninu & g() = k n + md(x, y) > 0 koninu, sehingga f() g() = k n k n +md(x,y) koninu. Maka M(x, y, ): (0, ) [0,1] adalah fungsi koninu. (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. 38

53 Conoh (X, d) adalah suau ruang merik dengan X = R dan merik d yang didefinisikan dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y X. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1] dan M adalah himpunan fuzzy pada X X [0, ) dengan fungsi keanggoaan sebagai beriku: M(x, y, ) = k n k n + md(x, y) x, y X, > 0 dan k, m, n N. Maka (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. Definisi (Sapena, 2001) Misalkan (X, d) adalah ruang merik. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1] dan M himpunan fuzzy pada X X (0, ) dengan fungsi keanggoaan M d (x, y, ) = + d(x, y) maka (X, M d, ) adalah ruang merik fuzzy sandar. Selanjunya M d (x, y, ) = +d(x,y) disebu merik fuzzy sandar yang diinduksi oleh merik d. Conoh (X, d) adalah suau ruang merik dengan X = R dan merik d yang didefinisikan dengan d(x, y) = x y unuk seiap x, y X. 39

54 Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1]. M d adalah himpunan fuzzy pada X X [0, ) dengan fungsi keanggoaan yang didefinisikan sebagai beriku: unuk seiap x, y X, > 0. M d (x, y, ) = + d(x, y) Maka (X, M d, ) adalah ruang merik fuzzy sandar yang diinduksi oleh merik d. Teorema di bawah ini, menjelaskan bagaimana hubungan himpunan erbaas (bounded) dari suau ruang merik, dengan himpunan F-bounded dalam ruang merik fuzzy yang diinduksi oleh merik yang erkai. Teorema (Sapena 2001) Misalkan (X, M d, ) ruang merik fuzzy yang diinduksi oleh ruang merik (X, d) dengan M d (x, y, ) = +d(x,y) unuk seiap, y X, > 0, dan A himpunan bagian idak kosong dari X. Maka A merupakan himpunan F-bounded di (X, M d, ) jika dan hanya jika A erbaas (bounded) di (X, d). Buki: ( ) Misalkan A himpunan bagian idak kosong dari X dan A merupakan himpunan F-bounded di ruang merik fuzzy (X, M d, ), maka erdapa > 0 dan 0 < r < 1 sehingga 40

55 M d (x, y, ) = + d(x, y) > 1 r, x, y A > ( + d(x, y))(1 r) > r + d(x, y) rd(x, y) r > d(x, y)(1 r) r > d(x, y) (1 r) Misalkan M = r (1 r), maka d(x, y) < M, x, y A. Jadi A merupakan himpunan erbaas di (X, d). ( ) Misalkan A himpunan bagian idak kosong dari X dan A erbaas di (X, d), maka erdapa bilangan real posiif M sehingga d(x, y) M, x, y A. Sehingga M d (x, y, ) = Misal <, maka Misal 1 r = +M > M d (x, y, ) =. +d(x,y) +M +M, sehingga + d(x, y) + M >, maka M +M d(x, y, ) > = 1 r. +M Maka erdapa r, dengan 0 < r < 1, sehingga M d (x, y, ) > 1 r unuk seiap x, y A dan > 0. Jadi A himpunan F-bounded di (X, M d, ). + M 41

56 C. Topologi dan Ruang Merik Fuzzy Bagian ini menjelaskan pengerian bola erbuka, himpunan erbuka, dan bola eruup di ruang merik fuzzy. Selain iu, juga dikaji opologi yang diinduksi oleh merik fuzzy. 1. Bola Terbuka, Bola Teruup, dan Himpunan Terbuka di Ruang Merik Fuzzy Definisi (V. Gregori, 2009) Misalkan (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. Bola erbuka B M (x, r, ) dengan pusa x X, jari-jari r dengan 0 < r < 1, > 0 didefinisikan sebagai B M (x, r, ) = {y X M(x, y, ) > 1 r}. Conoh Dikeahui ruang merik fuzzy pada Conoh Bola erbuka B M (x, r, ) dengan pusa 0,5 X dan jari-jari 0,25 dengan = 1 didefinisikan sebagai B M (0,5,0,25, 1) = {y X M(0,5, y, 1) > 0.75} = {y X 0,5 y > 0.75} = {y X y > 0,15}. Teorema dalam Bab II menjelaskan bahwa jika dua bola erbuka dengan pusa yang sama dalam suau ruang merik maka salah saunya merupakan himpunan bagian dari yang lain. Sedangkan Teorema di bawah ini menjelaskan jika dua bola erbuka dengan pusa yang sama dalam suau ruang merik fuzzy maka salah saunya merupakan himpunan bagian dari yang lain. 42

57 Teorema (Aphane, 2009) Misalkan B M (x, r 1, ) dan B M (x, r 2, ) adalah dua bola erbuka dengan pusa yang sama yaiu x X dan > 0 dengan jari-jari masing-masing 0 < r 1 < 1 dan 0 < r 2 < 1. Maka B M (x, r 1, ) B M (x, r 2, ) aau B M (x, r 2, ) B M (x, r 1, ). Buki: Dikeahui bahwa 0 < r 1 < 1 dan 0 < r 2 < 1. i) Jika r 1 = r 2, maka B M (x, r 1, ) = B M (x, r 2, ), sehingga B M (x, r 1, ) B M (x, r 2, ) dan B M (x, r 2, ) B M (x, r 1, ). ii) Jika r 1 r 2, maka anpa mengurangi keumuman diasumsikan 0 < r 1 < r 2 < 1. Sehingga 1 r 2 < 1 r 1. Misal a B M (x, r 1, ), maka M(x, a, ) > 1 r 1, Akibanya, M(x, a, ) > 1 r 2. Arinya a B M (x, r 2, ), sehingga B M (x, r 1, ) B M (x, r 2, ). Selanjunya dengan mengasumsikan 0 < r 2 < r 1 < 1 dan langkah-langkah yang sama dapa dibukikan bahwa B M (x, r 2, ) B M (x, r 1, ). Keerangan: Pembukian diambil dari Aphane (2009) Definisi (Hakan, 2007) Misalkan (X, M, ) adalah ruang merik fuzzy. Bola eruup B M [x, r, ] dengan pusa x X, jari-jari r dengan 0 < r < 1, > 0 didefinisikan sebagai B M [x, r, ] = {y X M(x, y, ) 1 r}. 43

58 Conoh Dikeahui ruang merik fuzzy pada Conoh Bola erbuka B M [x, r, ] dengan pusa 0,5 X dan jari-jari 0,25 dengan = 1 didefinisikan sebagai B M [0,5,0,25, 1] = {y X M(0,5, y, 1) 0.75} = {y X 0,5 y 0.75} = {y X y 0,15}. Konsep himpunan erbuka yang erdapa dalam ruang merik juga erdapa dalam ruang merik fuzzy yang dijelaskan melalui Definisi dan Conoh di bawah ini. Definisi (Aphane, 2009) Misalkan (X, M, ) adalah suau ruang merik fuzzy. Suau himpunan bagian A dari X disebu erbuka jika unuk seiap a A, maka erdapa 0 < r < 1 dan > 0 sehingga B M (a, r, ) A. Conoh Misalkan (X, d) adalah suau ruang merik dengan merik d adalah merik diskre. Didefinisikan norm- koninu a b = a b unuk seiap a, b [0,1]. Misalkan M d adalah himpunan fuzzy pada X X [0, ) dengan fungsi keanggoaan yang didefinisikan dengan M d (x, y, ) = +d(x,y) unuk seiap x, y X, > 0. Maka (X, M d, ) adalah ruang merik fuzzy sandar yang diinduksi oleh merik d. 44

59 Misalkan A = {x} X, maka himpunan A erbuka karena unuk seiap a A, erdapa 0 < r = 1 < 1 dan = 1 > 0 sehingga 2 B M (a, 1 2, 1) = {y X M(a, y, ) = d(a, y) > 1 2 } A. 2. Topologi yang Diinduksi dari Merik Fuzzy Teorema dalam Bab II menjelaskan bagaimana suau merik dapa menginduksi opologi merik. Hal demikian juga erdapa dalam konsep ruang merik fuzzy yang dijelaskan melalui Teorema di bawah ini. Teorema (Tirado, 2012) Misalkan (X, M, ) adalah suau ruang merik fuzzy. Didefinisikan τ M = {A X x A > 0 & r, 0 < r < 1, sehingga B M (x, r, ) A }. Maka τ M adalah suau opologi pada X. Buki: (i) Jelas bahwa τ M dan X τ M. (ii) Misalkan A 1, A 2, A 3,, A i τ M dan U = i I A i. Akan diunjukkan bahwa U τ M. Misalkan a i I A i Karena A i τ M, maka erdapa, maka a A i unuk suau i I. > 0 dan 0 < r < 1, sedemikian sehingga B M (a, r, ) A i. Sehingga B M (a, r, ) A i i I A i = U. Jadi U τ M. 45

60 (iii) Misalkan A 1, A 2, A 3,, A i τ M dan V = i I A i. Akan diunjukkan bahwa V τ M. Misalkan a i I A i Sehingga unuk seiap i I erdapa, maka a A i unuk seiap i I. i > 0 dan 0 < r i < 1, sedemikian sehingga B M (a, r i, i ) A i. Misalkan r = min{r i, i I} dan = min{ i, i I}. Sehingga r < r i dan 1 r 1 r i unuk seiap i I. Akibanya B M (a, r, ) A i unuk seiap i I. Sehingga B M (a, r, ) i I A i = V. Jadi V τ M. Jadi, erbuki bahwa τ M adalah suau opologi pada X. Keerangan: Pembukian diambil dari Aphane (2009) Selanjunya, kaian anara opologi yang diinduksi oleh suau merik dan opologi yang diinduksi oleh merik fuzzy sandar akan dijelaskan melalui eorema di bawah ini. Teorema (Tirado, 2012) Misalkan (X, d) suau ruang merik dan M d (x, y, ) = +d(x,y) adalah merik fuzzy sandar pada X. Maka opologi τ d yang diinduksi oleh merik d dan opologi τ Md yang diinduksi oleh merik fuzzy M d adalah sama, yaiu τ d = τ Md. Buki: 46

61 (i) Akan diunjukkan bahwa menunjukkan bahwa τ d τ Md. Misal A τ d, maka erdapa ε > 0 sehingga B d (x, ε) = {y X d(x, y) ε} A, unuk seiap x A. Misal >, maka M d (x, y, ) = + d(x, y) + ε > + ε. Misal 1 r = +ε, maka M d(x, y, ) > 1 r. Arinya, unuk seiap x A, erdapa r, dengan 0 < r < 1 dan > 0 sehingga B Md (x, r, ) A. Akibanya A τ Md. Hal ini menunjukkan bahwa τ d τ Md. (ii) Akan diunjukkan bahwa menunjukkan bahwa τ Md τ d. Misalkan A τ Md, maka erdapa 0 < r < 1 dan > 0 sehingga B Md (x, r, ) = {y X M d (x, y, ) > 1 r} A unuk seiap x A. M d (x, y, ) = +d(x,y) > 1 r > (1 r) + (1 r)d(x, y) d(x, y) < r 1 r Misalkan ε = r, maka d(x, y) < ε. 1 r Arinya, unuk seiap x A, erdapa ε > 0 sehingga B d (x, ε) A. Akibanya A τ d. Hal ini menunjukkan bahwa τ Md τ d. Karena τ d τ Md dan τ Md τ d maka τ d = τ Md. Keerangan: Pembukian diambil dari Aphane (2009) 47