TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

Transkripsi

1 Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009

2 Outline Outline 1 dan Sifat 2 Antar 3 Matriks

3 Outline Outline 1 dan Sifat 2 Antar 3 Matriks

4 Outline Outline 1 dan Sifat 2 Antar 3 Matriks

5 Definisi Jika F : V W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka F merupakan transformasi linier jika 1 F(u + v) = F(u) + f (v), u, v V 2 F(ku) = kf(u), u V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m n. Fungsi T : R n R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

6 Definisi Jika F : V W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka F merupakan transformasi linier jika 1 F(u + v) = F(u) + f (v), u, v V 2 F(ku) = kf(u), u V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m n. Fungsi T : R n R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

7 Definisi Jika F : V W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka F merupakan transformasi linier jika 1 F(u + v) = F(u) + f (v), u, v V 2 F(ku) = kf(u), u V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m n. Fungsi T : R n R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

8 Definisi Jika F : V W adalah fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor W, maka F merupakan transformasi linier jika 1 F(u + v) = F(u) + f (v), u, v V 2 F(ku) = kf(u), u V dan semua skalar k Contoh 1 Misalkan A sebuah matriks m n. Fungsi T : R n R m dengan aturan T (x) = Ax merupakan transformasi linier, yang secara khusus disebut sebagai transformasi matriks

9 Contoh 2 Misalkan T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks [ ] cos θ sin θ A = sin θ cos θ yakni perputaran R 2 melalui sudut θ, merupakan transformasi linier Contoh 3 Pemetaan T : V W dengan aturan T (v) = 0, v V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol

10 Contoh 2 Misalkan T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks [ ] cos θ sin θ A = sin θ cos θ yakni perputaran R 2 melalui sudut θ, merupakan transformasi linier Contoh 3 Pemetaan T : V W dengan aturan T (v) = 0, v V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi nol

11 Contoh 4 Pemetaan T : V V dengan aturan T (v) = v, v V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan Jika T : V V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator linier pada V

12 Contoh 4 Pemetaan T : V V dengan aturan T (v) = v, v V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan Jika T : V V merupakan transformasi linier, maka T disebut operator linier pada V

13 Contoh 5 Pemetaan T : V V yang didefinisikan oleh T (v) = kv dengan k skalar, merupakan operator linier pada V. Jika k > 1, T disebut dilasi. Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi

14 Contoh 6 Misal V ruang hasilkali dalam dan W subruang yang memiliki S = {w 1, w 2,..., w r } sebagai basis ortonormal. Misal T : V W dengan aturan T (v) =< v, w 1 > w 1 + < v, w 2 > w < v, w r > w r merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksi ortogonal dari V pada W

15 Contoh 7 Misalkan V = R 3 dengan hasilkali dalam Euclidis. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy. Jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor pada R 3 maka proyeksi ortogonal dari R 3 pada bidang xy diberikan oleh T (v) = (x, y, 0) Contoh 8 Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu basisnya. Maka T : V R n dengan aturan T (v) = (v) S merupakan transformasi linier dari V ke R n.

16 Contoh 7 Misalkan V = R 3 dengan hasilkali dalam Euclidis. {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy. Jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor pada R 3 maka proyeksi ortogonal dari R 3 pada bidang xy diberikan oleh T (v) = (x, y, 0) Contoh 8 Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu basisnya. Maka T : V R n dengan aturan T (v) = (v) S merupakan transformasi linier dari V ke R n.

17 Contoh 9 Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v 0 adalah sebarang vektor tetap di V. Maka T : V R dengan aturan T (v) =< v, v 0 > merupakan transformasi linier

18 Contoh 10 Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riil yang kontinu pada selang 0 x 1 dan misalkan W adalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu pada selang 0 x 1. Maka D : W V dengan aturan D(f ) = f merupakan transformasi linier

19 Contoh 11 Misal V = C [0, 1], maka J : V R dengan aturan J(f ) = 1 merupakan transformasi linier. 0 f (x)dx

20 Sifat Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Sifat 1 T (0) = 0 Sifat 2 T ( v) = t(v), v V Sifat 3 T (v w) = T (v) T (w), v, w V

21 Sifat Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Sifat 1 T (0) = 0 Sifat 2 T ( v) = t(v), v V Sifat 3 T (v w) = T (v) T (w), v, w V

22 Sifat Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Sifat 1 T (0) = 0 Sifat 2 T ( v) = t(v), v V Sifat 3 T (v w) = T (v) T (w), v, w V

23 Sifat Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Sifat 1 T (0) = 0 Sifat 2 T ( v) = t(v), v V Sifat 3 T (v w) = T (v) T (w), v, w V

24 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

25 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

26 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

27 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

28 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

29 Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah ker(t ) = {v V T (v) = 0} Jangkauan dari T adalah R(T ) = {w W v V, T (v) = w} Jika T : V W adalah transformasi linier, maka ker(t ) subruang pada V R(T ) subruang pada W

30 Dimensi Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka dim(ker(t )) disebut nulitas T dim(r(t )) disebut rank T Contoh 1 Misal T : R 2 R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π 4, maka R(T ) = R 2 dan ker(t ) = {0}. Sehingga rank(t ) = 2 dan nulitas(t ) = 0

31 Dimensi Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka dim(ker(t )) disebut nulitas T dim(r(t )) disebut rank T Contoh 1 Misal T : R 2 R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π 4, maka R(T ) = R 2 dan ker(t ) = {0}. Sehingga rank(t ) = 2 dan nulitas(t ) = 0

32 Dimensi Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka dim(ker(t )) disebut nulitas T dim(r(t )) disebut rank T Contoh 1 Misal T : R 2 R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π 4, maka R(T ) = R 2 dan ker(t ) = {0}. Sehingga rank(t ) = 2 dan nulitas(t ) = 0

33 Dimensi Kernel dan Jangkauan Definisi Jika T : V W adalah transformasi linier, maka dim(ker(t )) disebut nulitas T dim(r(t )) disebut rank T Contoh 1 Misal T : R 2 R 2 adalah perputaran R 2 melalui sudut π 4, maka R(T ) = R 2 dan ker(t ) = {0}. Sehingga rank(t ) = 2 dan nulitas(t ) = 0

34 Dimensi Kernel dan Jangkauan Contoh 2 Misal T : R n R m adalah perkalian oleh matriks A berukuran m n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A dan ker(t ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga rank(t ) = dim(ruang kolom A) = rank(a) dan nulias(t ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)

35 Teorema Terkait Dimensi Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier dan dim(v ) = n maka rank(t ) + nulitas(t ) = n Teorema Jika A adalah matriks m n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n rank(a)

36 Teorema Terkait Dimensi Teorema Jika T : V W adalah transformasi linier dan dim(v ) = n maka rank(t ) + nulitas(t ) = n Teorema Jika A adalah matriks m n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah n rank(a)

37 dari R n ke R m Problem Jika T : R n R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, x R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m n

38 dari R n ke R m Problem Jika T : R n R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, x R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m n

39 dari R n ke R m Problem Jika T : R n R m adalah sebarang transformasi linier, maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran m n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi Jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n dan A adalah matriks m n yang vektor-vektor kolomnya adalah T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n ), maka dapat dibuktikan bahwa T (x) = Ax, x R n Dengan demikian setiap transformasi linier T : R n R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, yakni merupakan perkalian oleh matriks yang berukuran m n

40 dari R n ke R m Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut. Teorema Jika T : R n R m adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)

41 dari R n ke R m Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut. Teorema Jika T : R n R m adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)

42 dari R n ke R m Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut. Teorema Jika T : R n R m adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)

43 dari R n ke R m Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut. Teorema Jika T : R n R m adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)

44 dari R n ke R m Hasil analisis tersebut dapat dikonstruksi menjadi teorema berikut. Teorema Jika T : R n R m adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2,..., e n adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkalian oleh A dimana A = [T (e 1 ), T (e 2 ),..., T (e n )] Catatan Matriks A disebut matriks baku untuk T Matriks baku untuk transformasi matriks adalah matriks itu sendiri. (Buktikan!)

45 dari R 2 ke R 2 Rotasi Jika T : R 2 R 2 adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah [ ] cos θ sin θ A = sin θ cos θ Refleksi terhadap sumbu y Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap sumbu y, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 1

46 dari R 2 ke R 2 Rotasi Jika T : R 2 R 2 adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah [ ] cos θ sin θ A = sin θ cos θ Refleksi terhadap sumbu y Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap sumbu y, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 1

47 dari R 2 ke R 2 Refleksi terhadap sumbu x Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 1 Refleksi terhadap garis y = x Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 0 1 A = 1 0

48 dari R 2 ke R 2 Refleksi terhadap sumbu x Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 1 Refleksi terhadap garis y = x Jika T : R 2 R 2 adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah [ ] 0 1 A = 1 0

49 dari R 2 ke R 2 Ekspansi dan Kompresi dalam arah x Jika T : R 2 R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] k 0 A = 0 1 Ekspansi dan Kompresi dalam arah y Jika T : R 2 R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 k

50 dari R 2 ke R 2 Ekspansi dan Kompresi dalam arah x Jika T : R 2 R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] k 0 A = 0 1 Ekspansi dan Kompresi dalam arah y Jika T : R 2 R 2 adalah ekspansi atau kompresi dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, ky). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = 0 k

51 dari R 2 ke R 2 Geseran dalam arah x Jika T : R 2 R 2 adalah geseran dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x + ky, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 k A = 0 1 Geseran dalam arah y Jika T : R 2 R 2 adalah geseran dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, y + kx). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = k 1

52 dari R 2 ke R 2 Geseran dalam arah x Jika T : R 2 R 2 adalah geseran dalam arah x dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x + ky, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 k A = 0 1 Geseran dalam arah y Jika T : R 2 R 2 adalah geseran dalam arah y dengan faktor k, maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, y + kx). Sehingga matriks baku untuk T adalah [ ] 1 0 A = k 1

53 Efek Geometri dari Matriks Resume Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya. Teorema Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran, kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari transformasi-transformasi tersebut dengan urutan yang sesuai.

54 Efek Geometri dari Matriks Resume Jika diperhatikan maka matriks-matriks baku untuk geseran, kompresi, ekspansi dan refleksi merupakan matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya. Teorema Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran, kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari transformasi-transformasi tersebut dengan urutan yang sesuai.

55 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

56 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

57 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

58 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

59 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

60 Hasil Lanjutan Jika T : R 2 R 2 adalah perkalian oleh matriks A yang invertibel, maka 1 bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus 2 bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal 3 bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar 4 bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q 5 bayangan tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik terletak pada garis itu sendiri

61 Matriks Masalah Jika untuk setiap transformasi linier T : R n R m dapat dinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuk sebarang transformasi linier T : V W secara umum?

62 Matriks Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u 1, u 2,..., u n } dan W berdimensi m dengan basis B = {v 1, v 2,..., v m }. Maka x V, [x] B R n dan [T (x)] B R m. Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x] B ke [T (x)] B. Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x] B = [T (x)] B

63 Matriks Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u 1, u 2,..., u n } dan W berdimensi m dengan basis B = {v 1, v 2,..., v m }. Maka x V, [x] B R n dan [T (x)] B R m. Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x] B ke [T (x)] B. Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x] B = [T (x)] B

64 Matriks Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u 1, u 2,..., u n } dan W berdimensi m dengan basis B = {v 1, v 2,..., v m }. Maka x V, [x] B R n dan [T (x)] B R m. Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x] B ke [T (x)] B. Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x] B = [T (x)] B

65 Matriks Ide Dasar Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u 1, u 2,..., u n } dan W berdimensi m dengan basis B = {v 1, v 2,..., v m }. Maka x V, [x] B R n dan [T (x)] B R m. Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x] B ke [T (x)] B. Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni A [x] B = [T (x)] B

66 Matriks Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B dan disimbolkan [T ] B,B Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ] B = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ]

67 Matriks Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B dan disimbolkan [T ] B,B Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ] B = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ]

68 Matriks Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B dan disimbolkan [T ] B,B Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ] B = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ]

69 Matriks Ide Dasar Matriks A berbentuk A = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ] Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B dan disimbolkan [T ] B,B Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah [T ] B = [[T (u 1 )] B, [T (u 2 )] B,..., [T (u n )] B ]