MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Transkripsi

1 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear

2 Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan Model Matematika dan lain-lain 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

3 Transformasi Linear Misalkan V dan W adalah ruang vektor T: V W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap a, b V dan α R T a + b T a + T b T αa αt(a) Jika V W maka T dinamakan operasi linear Contoh : Tunjukan bahwa T: R 2 R 3, dimana T x x y y x y Merupakan transformasi linear 3 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

4 Jawab: Ambil unsur sembarang R (contoh α) dan 2 unsur sembarang di R 2, Misalkan u u u, v v 2 v 2 Akan ditunjukan bahwa T u + v T u + T(v) T u + v T u u 2 + v v 2 (u + v ) (u 2 + v 2 ) (u + v ) (u 2 + v 2 ) Terbukti bahwa T u + v T u + T(v) u + v u 2 v 2 u v u 2 + v 2 u u 2 u u 2 + v v 2 v v 2 u u 2 + v v 2 u v u 2 + v 2 T u + T(v) 4 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

5 Akan ditunjukan bahwa T αu α T u T αu T α u u 2 T Terbukti bahwa T αu α T u αu αu 2 αt u α(u u 2 ) (α)( u ) αu 2 αu αu 2 (αu ) αu 2 α u u 2 u u 2 Jadi, T merupakan transformasi linear 5 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

6 Contoh 2: Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M 2 2 ke R yang didefinisikan oleh T A det(a), untuk setiap A M 2 2. Apakah T merupakan Transformasi Linear? Jawab: Misalkan A a a 2 a 2 a 22 M 2 2 Maka untuk setiap α R berlaku αa αa 2 det αa det αa 2 αa 22 α 2 a a 22 a 2 a 2 α 2 det(a) Perhatikan bahwa det αa α det(a) Jadi T bukan transformasi linear 6 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

7 Contoh 3: Diketahui T: P2 (Polinom orde 2) R 2, dimana T a + bx + cx 2 a b a c a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan T( + x + x 2 ) Jawab: a. Ambil unsur sembarang R (contoh α) dan 2 unsur sembarang di P2, Misalkan u u + u 2 x + u 3 x 2, v v + v 2 x + v 3 x 2 Akan ditunjukan bahwa T u + v T u + T(v) T u + v T u + u 2 x + u 3 x 2 + v + v 2 x + v 3 x 2 T (u +v ) + u 2 + v 2 x + (u 3 +v 3 )x 2 (u +v ) u 2 + v 2 (u +v ) (u 3 +v 3 ) 7 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

8 (u +v ) u 2 + v 2 (u +v ) (u 3 +v 3 ) u + v u 2 v 2 u + v u 3 v 3 u u 2 + v v 2 u u 3 + v v 3 u u 2 u u + v v 2 3 v v 3 T u + u 2 x + u 3 x 2 + T v + v 2 x + v 3 x 2 T u + T(v) Akan ditunjukan bahwa T αu α T u T αu T(α u + u 2 x + u 3 x 2 ) T αu + αu 2 x + αu 3 x 2 αu αu 2 αu αu 3 α(u u 2 ) α(u u 3 ) α u u 2 u u 3 α T u + u 2 x + u 3 x 2 α T u 8 4/5/27 Jadi, T merupakan Transformasi Linear MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

9 b. T + x + x 2 Suatu Transformasi Linear T: V W dapat direpresentasikan dalam bentuk: T u Au Untuk setiap u V (A dinamakan matriks Transformasi dari T) Contoh 4: Misalkan, suatu transformasi linear T: R 2 R 3 didefinisikan oleh: T x x y y x y 9 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

10 Jawab: Perhatikan bahwa T x x y y x y Jadi matriks transformasi untuk T: R 2 R 3 adalah A x y Secara umum, jika T: R n R m merupakan transformasi linear maka ukuran matriks transformasi adalah m n 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

11 Misalkan B {v, v 2 } basis bagi ruang vektor V dan T: R 2 R 3 merupakan transformasi linear dimana T v i u i untuk setiap i, 2 Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara: Tulis: Sehingga Jadi T v Av u T v 2 Av 2 u 2 A 3 2 v v u u A u u 2 v v 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

12 Contoh 5: Misalkan Jika v, v 2, v 3 adalah basis bagi R 3. T: R 3 P Transformasi linear didefinisikan T v i setiap i,2,3. p x; p 2 ; p 3 2x Tentukan: Tentukan hasil transformasi dari T 2 Av i p i untuk 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

13 Jawab: Definisikan: p x B ; p 2 B ; p 3 2x B 2 Karena Maka Atau A Av i p i A 2 i 2 3 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

14 Invers matriks dicari dengan OBE: b + b 2 b + b 3 ~ Sehingga A 2 b 2 + b 3 ~ 2 2 Jadi matriks transformasi T adalah /5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

15 T Sementara itu, A Ingat bahwa Jadi T 2 B 2 + x + x 5 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

16 Contoh 6: Diketahui basis dari polinom orde dua adalah + x, x + x 2, + x x 2 Jika T: P 2 R 3 adalah transformasi linear dimana T + x 2 ; T x + x 2 2 ; T + x x 2 2 Tentukan T x + x 2 Gunakan konsep membangun ruang 6 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

17 Jawab: Perhatikan bahwa Himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2 Maka polinom tersebut ditulis menjadi x + x 2 k + x + k 2 x + x 2 + k 3 + x x 2 Dengan menyederhakan persamaan diatas, didapat SPL sebagai berikut k + k 3 ቐk k 2 + k 3 k 2 k 3 Dengan solusi k, k 2 2, dan k 3 7 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

18 Atau Jadi kombinasi linear tersebut dapat ditulis dalam bentuk: x + x 2 + x + 2 x + x x x 2 T x + x 2 T + x + 2 x + x x x 2 Karena T merupakan Transformasi linear maka T x + x 2 T + x + 2T x + x 2 + T + x x /5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

19 Kernel dan Jangkauan Misalkan T: V W merupakan transformasi linear. Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W dinamakan KERNEL T notasi ker(t) atau Contoh 7: ker T u v T u } Transformasi linear T: P 2 R 2 T a + bx + cx 2 a b a c Perhatikan bahwa T + x + x 2 Maka + x + x 2 ker(t) Sementara itu, + 2x + x 2 ker T Karena T + 2x + x 2 9 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

20 Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal transformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai vektor tak nol sebagai unsur kernel T. Teorema : Jika T V W adalah transformasi linear maka ker T merupakan subruang dari V Bukti : Ambil a, b ker T sembarang dan α R. Karena setiap a ker T artinyna setiap a V sehingga T a, Maka ker T V 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

21 2. Perhatikan bahwa ker T. Artinya setiap T A oleh karena itu ker T {} 3. Karena a, b ker T dan ker T V Ingat bahwa V merupakan ruang vektor, sehingga berlaku a + b V akibatnya T a + b T a + T b + Jadi a + b ker(t) 4. a ker T dan a V Karena V adalah ruang vektor, maka untuk setiap α R berlaku: T α റa αt റa α Jadi α റa ker(t) Dengan demikian, terbukti bahwa Jika T: V W adalah transformasi linear maka ker(t) merupakan subruang dari ruang vektor V 2 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

22 ker T subruang? Basis ker T? 22 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

23 Contoh 8: Diketahui transformasi linear T: R 3 P 2 dengan a T b c a + b + 2a c x + 2a + b + c x 2 Tentukan basis dan dimensi ker(t) dan R(T) (R(T) adalah jangkauan dari T) Jawab: Perhatikan bahwa: a T b a + b + 2a c x + 2a + b + c x 2 c Ini memberikan a + b 2b c 2a + b + c 23 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

24 Sehingga T a b c a + b 2b c 2a + b + c 2 2 Jadi matriks transformasi bagi T adalah A 2 2 Dengan melakukan OBE pada matriks yang telah diperbesar maka didapat 2 ~ ~ 2 Jadi (,,) adalah satu-satunya anggota dari ker(t). Sehingga, basis ker T dan nulitasnya adalah nol 24 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR a b c

25 Perhatikan hasil OBE, maka basis ruang kolom dari matriks A adalah 2, 2, oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah: { + 2x 2, + 2x + x 2, x + x 2 } sehingga rank(dimensi basis R t )3 25 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

26 Contoh 9: Jawab: Diketahui transformasi linear T: R 4 R 3 didefinisikan oleh: a b a + b T c c 2d d a b + c 2d Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya T a b c d a + b c 2d a b + c 2d 2 2 a b c d 26 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

27 Jadi A Basis ker(t) dan Nulitasnya? 2 2 ker(t) adalah ruang solusi dari T റv A റv a റv b c d R 4 Dengan OBE A 2 ~ ~ /5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

28 ker T ruang solusi dari A റv Yaitu a b c d a b c d s + 2 t; s, t Jadi basis ker T adalah, 2 nulitas Dimensi dari ker T /5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

29 LATIHAN Suatu Transformasi T: R 3 R 2 didefinisikan oleh a T b a 2b c a + c Periksa apakat T merupakan transformasi linear Jika suatu transformasi T: P P 2 diberikan oleh T 2 + x 4 x x 2 dan T + 3x 7 + 2x 2x 2 Tentukan T[3 x] Suatu transformasi linear, T: R 2 R 3. T 3 2 dan T a. Tentukan matriks transformasi dari T b. Tentukan hasil transformasi T 3 c. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T 29 4/5/27 MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

30 THANK YOU