Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
|
|
- Vera Tedja
- 8 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus S., Matematika untuk Perguruan Tinggi, Ghalia- Indonesia, Jakarta, []. Suryadi H.S., Pengantar ljabar Linier dan Geometri nalitik, Penerbit Gunadarma, Jakarta, [3]. Seymour Lipschutz, Theory and problems of Linear lgebra, McGraw-Hill, 1968.
2 VEKTOR 1. Definisi Vektor. Notasi 3. Operasi pada Vektor 4. Interpretasi Vektor Secara Geometris 5. Komponen Vektor 6. Dalil pada Operasi Vektor 7. Vektor Satuan 8. Panjang Vektor 9. Perkalian Vektor 3 Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor: perpindahan, kecepatan dan percepatan. B Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu. 4
3 Vektor Penyajian Vektor Geometri: Tanda Panah B Notasi: P atau P 5 Penjumlahan Vektor R=+B 6
4 Penjumlahan Vektor Cara Poligon B R=+B R B 7 Penjumlahan Vektor Cara Jajaran Genjang R=+B B B θ R 8
5 Dua buah vektor dikatakan sama bila memiliki besaran (panjang) dan arah yang sama. Vektor - adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor, tetapi berlawanan arah, dan bila dijumlahkan akan menghasilkan vektor 0. + (-) = 0-9 SelisihVektor R = B R = + (-B) -B R B 10
6 Perkalian Vektor dengan Skalar Perkalian vektor dengan skalar m menghasilkan vektor m. 11 Interpretasi Vektor Secara Geometris x U U = [3 ] U =. [3 ] = [6 4] 3 1 U -U = -1. [3 ] = [-3 -] x 1 -U - 1
7 Interpretasi Vektor Secara Geometris x V W U U = [3 ] V = [ 3] W = U + V = [3 ] + [ 3] = [5 5] T = U V =.? x 1 13 Komponen Vektor Y y θ x X Komponen Vektor : vektor x dan vektor y Komponen-komponen sebuah vektor selalu saling tegaklurus. Komponen skalarnya: x = cos θ y = sin θ 14
8 Komponen Vektor (lanjutan) da cara menyatakan vektor 1. = x + y Y y. + = x y θ = tan 1 y x θ x X 15 Komponen Vektor (lanjutan) Y y rah komponen vektor tergantung pada arah sumbu-sumbu yang digunakan sebagai acuan. θ x X = x + y atau = x + y 16
9 Komponen Vektor (lanjutan) Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki komponen yang sama. u [u 1 u u 3 ] = v [v 1 v v 3 ], jika u 1 = v 1, u = v, u 3 = v 3. Contoh: 1. u =[1 3] dan v =[ 3 1], u v.. Misalkan [ x-y x+y z-1] = [4 3]. Kedua vektor tersebut memenuhi kesamaan bila nilai x = 3, y = -1, z = D. L. Crispina ardede (Oktober 011) Penjumlahan Vektor Berdasarkan Komponennya C = + B C = C x + C y C x = x + B x dan = tan C 1 ( y ) θ C x 18
10 Penjumlahan Vektor Misalkan vektor U = [3 ] dan V = [ 3] U x = 3 dan U y = V x = dan V y = 3 Jika W = U + V, maka W dapat dicari dengan cara W x = U x + V x = 3 + = 5 W y = U y + V y = + 3 = 5 Vektor W = [W x W y ] = [5 5]. Contoh 19 0 Dalil Pada Operasi Vektor Untuk setiap vektor = [a 1, a,, a n ], B = [b 1, b,, b n ], C = [c 1, c,, c n ] R n dan besaran skalar k, m R (R: himpunan bilangan riil), berlaku 1. + B = B + komutatif. + (B + C)= ( + B) + C asosiatif 3. k ( + B) = k + k B distributif = = 0 6. (k+m ) = k + m 7. (km ) = k(m) = m(k) 8. 1 =
11 R 1 Vektor Satuan Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ ukuran/panjang yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat R (R 3 ) dinyatakan dengan i dan j (i, j dan k) yang saling tegaklurus. y y j i = i + x y x j z R 3 k B = B i + B j + x j i y B B k z x Panjang Vektor Besar dan arah vektor diukur langsung. Misalkan, Vektor di R dinyatakan sebagai = x i + y j Panjang Vektor dihitung dengan cara: Misalkan, Vektor B di R 3 dinyatakan sebagai B = B x i + B y j + B z k, Panjang Vektor B dihitung dengan cara: B = = ( x) + ( ) y ( B x) + ( By) + ( B ) z
12 Perkalian Titik Misalkan dan B vektor di dalam R n. Hasil kali titik dari dan B adalah.b = 1 B 1 + B n B n. dimana = [ 1... n ], B = [B B 1... B n ]. Dua vektor dan B dikatakan tegak lurus satu sama lain, jika.b = 0. Contoh: Diketahui u = [1-3 -4], v = [ ], w = [ ]. u.v = (-) (-4).(-) = 3 u.w = v.w = Vektor... dan... saling tegak lurus. 3 Perkalian Titik (Lanjutan) Sifat perkalian titik (dot product) dalam R n. Teorema Untuk sembarang vektor u, v, w R n dan sembarang skalar k R berlaku 1. (u + v). w = u.w + v.w. (ku). v = k (u.v) 3. u.v = v.u. 4. u.u 0 dan u.u = 0 jika dan hanya jika u = 0. 4
13 Perkalian Titik Latihan 1. Jika u = [ -7 1], v = [-3 0 4], dan w = [0 5-8], tentukan a). 3u 4v b). u 3v 5w.. Tentukan x dan y jika [4 y] = x[ 3]. 3. Tentukan x, y, z jika [ 3 4] = x[1 1 1] + y[1 1 0] + z[1 0 0] 4. Dari soal no. 1, tentukan a). u. v b). u.w 3. u.(v+w) 5 Panjang Vektor di R n Panjang vektor u = [u 1 u u n ] dinyatakan dengan u u = u. u = u u +... u n Contoh: u = [1-3] u = 1 + ( ) = = 14 6
14 Jarak pada R n Misalkan dua vektor pada R n, u = [u 1 u u n ] dan v = [v 1 v v n ]. Jarak (distance) antara u dan v adalah d( u, v) = (u 1 v1) + (u v) (u n vn ) Contoh: u = [1-4], v = [3 1-5] d( u, v) = = () = 94 (1 3) + (- 1) + ( 3) + (9) + (4 ( 5)) 7 Panjang Vektor dan Jarak pada R n Latihan 1. Tentukan panjang vektor u jika diketahui a). u = [ -7] b). u = [3-1 4]. Tentukan k sedemikian hingga u = 39 dimana u = [1 k - 5]. 3. Hitung jarak antara vektor u dan v, jika a). u = [1 7], v = [6-5] b). u = [3-5 4], v = [6-1] 4. Tentukan harga k sedemikian hingga d(u,v) = 6 dimana u = [ k 1-4], v = [ ] 8
15 RUNG VEKTOR 1. Field. Ruang Vektor di atas Suatu Field 3. Ruang Vektor Bagian 4. Ketergantungan Linier 5. Kombinasi Linier 6. Dimensi dan Basis 9 Field Misalkan K sebuah himpunan. Pada K didefinisikan (dua) operasi yang disebut penjumlahan (+) dan perkalian (. ). K merupakan field bila aksioma-aksioma berikut dipenuhi: 1. K tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (. ). Operasi penjumlahan bersifat asosiatif pada K 3. Terdapat identitas penjumlahan yang juga merupakan anggota K 4. Setiap anggota K memiliki invers penjumlahan yang juga anggota K 5. Operasi penjumlahan bersifat komutatif pada K 6. Operasi perkalian bersifat asosiatif pada K 7. Operasi perkalian bersifat distributif terhadap operasi penjumlahan 8. Operasi perkalian bersifat komutatif pada K 9. Terdapat identitas perkalian yang juga merupakan anggota K 10. Setiap anggota K memiliki invers perkalian yang juga merupakan anggota K 30
16 Field (K, +,. ) adalah Field, jika α, β, γ K dipenuhi: 1. α + β K dan α. β K (tertutup). (α + β) + γ = α + (β + γ) (asosiatif) 3. 0 K α+0 = 0+α = α (0 identitas penjumlahan) 4. α K -α α K α+-α = -α+α = 0 (-α invers penjumlahan dari α) ) 5. α + β = β + α (komutatif) 6. (α.β).γ = α.(β.γ) (asosiatif) 7. α.(β + γ) = α.β + α.γ ; (β + γ).α = β.α + β.γ (distributif) 8. α. β = β. α (komutatif) 9. 1 K α.1 = 1.α = α (1 identitas perkalian) 10. α 0 K α -1 K α.α -1 = α -1.α = 1 (α -1 invers perkalian dari α) 31 Ruang Vektor di tas Suatu Field Misalkan (K, +,. ) adalah Field dan V himpunan tidak kosong dimana, jika u, v V, u + v V dan u V, k K berlaku ku V. Himpunan V disebut Ruang Vektor jika berlaku: 1. u, v, w V, (u + v) + w = u + (v + w). u V, 0 V u+0 = u (0: vektor nol) 3. u V, -u V u+-u = 0 4. u, v V, u + v = v + u M1. k K, u, v V, k(u + v) = ku + kv M. k, l K, u V, (k + l) u = ku + lu M3. k, l K, u V, (k l) u = k (l u) 3 M4. u V, 1 K 1.u = u
17 Ruang Vektor Contoh 1. Himpunan semua n-tuple dari elemen-elemen field K, dimana penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai (a 1, a,, a n ) + (b 1, b,, b n ) = (a 1 +b 1, a + b,, a n + b n ) k (a 1, a,, a n ) = (ka 1, ka,, ka n ) dimana a i, b i K, adalah ruang vektor atas field K.. Misalkan V himpunan semua matriks (mxn) dimana setiap sel berisi anggota K. V merupakan ruang vektor atas K dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian skalar. 33 Ruang Vektor Latihan 1. Tunjukkan bahwa untuk sembarang skalar k dan sembarang vektor U dan V, berlaku k (U V) = ku kv. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b) a, b R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai (a, b) + (c, d) = ((a + c), (b+d)) dan k(a,b) = (ka, b) 34
18 Ruang Vektor Latihan 3. Diketahui himpunan pasangan terurut dari bilangan riil V = {(a, b) a, b R}. Tunjukkan bahwa V bukan ruang vektor atas R di bawah operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada V yang didefinisikan sebagai a). (a, b) + (c, d) = (a, b) dan k(a,b) = (ka, kb) b). (a, b) + (c, d) = ((a+c), (b+d)) dan k(a,b) = (k a, k b) 35 Ruang Vektor Bagian Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor atas field K. W disebut Ruang Vektor Bagian dari V, jika W adalah ruang vektor atas field K, dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada V. Contoh: V = ruang vektor dari semua matriks (mxn) W = himpunan semua matriks (a) dimana a = a. W merupakan ruang vektor bagian dari V. 36
19 Ketergantungan Linier Misalkan V ruang vektor atas field K. Vektor-vektor v 1, v,, v m V dikatakan Bergantung Linier, jika terdapat λ 1, λ,, λ m K yang tidak semua nol, sedemikian hingga λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m = 0 Jika λ 1 = λ = = λ m = 0, maka v 1, v,, v m dikatakan Bebas Linier. 37 Ketergantungan Linier Contoh 1. Vektor u = [1 1 0], v = [1 3-1], w = [5 3 -] bergantung linier, karena 3u + v w = 0.. Tunjukkan bahwa vektor-vektor berikut bebas linier. u = [6 3 4], v = [ ], w = [ ]. 38
20 Ketergantungan Linier Latihan 1. Selidiki apakah vektor-vektor u dan v berikut bebas linier atau bergantung linier. a). u = [3 4], v = [1-3] b). u = [ -3], v = [6-9] c). u = [4 3 -], v = [ -6 7] d). u = [-4 6 -], v = [ -3 1]. Selidiki apakah matriks-matriks berikut bebas linier. a). b). 1 = 1 1 = 3 1 1, B = 1 0 3, B = , C = , C = Ketergantungan Linier Latihan 3. Misalkan V ruang vektor dari polinomial berderajat 3 atas R. (R: himpunan bilangan riil) selidiki apakah u = t 3-3t + 5t + 1 v = t 3 - t + 8t + w = t 3-4t + 9t + 5 bebas linier. 40
21 Kombinasi Linier Misalkan V sebuah ruang vektor atas field K dan v 1, v,, v m V. Sembarang vektor dalam V yang berbentuk λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m disebut Kombinasi Linier dari vektor-vektor v 1, v,, v m. Dengan kata lain, Vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor v 1, v,, v m bila terdapat skalar-skalar λ 1, λ,, λ m sedemikian hingga v = λ 1 v 1 + λ v + + λ m v m 41 Kombinasi Linier Contoh 1. Vektor e 1 = [1 0 0], e = [0 1 0], e 3 = [0 0 1], membangkitkan ruang vektor R 3. [a b c ] R 3, [a b c ] = a [1 0 0] + b [0 1 0] + c [0 0 1] = a e 1 + b e + c e 3. [a b c ] R 3 merupakan kombinasi linier dari e i. Selidiki apakah vektor v = [ ] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor u = [1-0 3] v = [ 3 0 1] w = [ -1 1] 4
22 Kombinasi Linier Latihan 1. Nyatakan vektor v = [1-5] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor u 1 = [1 1 1], u = [1 3], u 3 = [ -1 1]. Nyatakan vektor w = [ -5 3] sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor e 1 = [1-3 ], e = [ -4-1], e 3 = [1-5 7]. 3. Hitung k sedemikian hingga vektor t = [1 - k] merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor v = [3 0 -], w = [ -1-5] Nyatakan matriks P = sebagai kombinasi linier dari 1 1 matriks-matriks 1 = 1 1, 0 B = 0 1 0, 1 C = Dimensi dan Basis Dimensi Suatu ruang vektor V dikatakan Berdimensi n, jika dapat ditemukan sebuah himpunan n vektor anggota V yang bebas linier, sedangkan setiap himpunan (n + 1) vektor anggota V selalu bergantung linier. Dengan kata lain, dalam ruang vektor berdimensi n, jumlah maksimum vektor anggota V yang bebas linier adalah n. Basis Setiap himpunan n buah vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor berdimensi n disebut Basis dari ruang vektor 44
23 Dimensi dan Basis Contoh 1. Misalkan ruang vektor V dibentuk oleh vektor-vektor p = [1-3 1] dan q = [ -4 5 ]. Kedua vektor tersebut tidak berkelipatan, berarti keduanya bebas linier. Dengan demikian, dimensi ruang vektor yang dibentuk oleh vektor-vektor tersebut adalah.. Vektor e 1 = [1 0 0], e = [0 1 0], e 3 = [0 0 1], merupakan basis dari ruang vektor R 3. λ 1 [1 0 0] + λ [0 1 0] + λ 3 [0 0 1] = [0 0 0] λ 1 + λ + λ 3 = 0 λ + λ 3 = 0 λ 1 = λ = λ 3 = 0 λ 3 = 0 Jelas bahwa e 1, e, e 3 bebas linier, dan merupakan basis R Dimensi dan Basis Latihan 1. Selidiki apakah vektor -vektor e 1 = [1 0 0], e = [1 1 0], dan e 3 = [1 1 1], merupakan basis dari ruang vektor R 3.. Selidiki apakah vektor -vektor u = [1 1 ], v = [1 5], dan w = [5 3 4], merupakan basis dari ruang vektor R Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh a). a = [1 1 ], b = [1 5], c = [5 3 4]. b). a = [1 ], b = [ 4 4], c = [1 0 1]. c). a = [1 0 1], b = [3 0 3], c = [ 0 ]. 46
Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinci----- Garis dan Bidang di R 2 dan R
----- Garis dan Bidang di R dan R 3 ----- Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u,
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti
Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciRuang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com
Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinci1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Lebih terperinciCandi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta Telp. : ; Fax. :
ii Aljabar Linear Kata Pengantar iii iv Aljabar Linear ALJABAR LINEAR Oleh : Setiadji Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciProf.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta
BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Basis dan Dimensi Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jika ada vektor-vektor e, e,,
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciAljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor. 2 Oktober 2014
Aljabar Linier Ruang vektor dan subruang vektor 2 Oktober 2014 Pertemuan-2 Pertemuan ke-2 memuat 1. Ruang vektor operasi linier field definisi Contoh Kombinasi linier 1 2. Subruang definisi penentuan subruang
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciPENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm
PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciOperasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Lebih terperinciRuang R n Euclides. Pengertian. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar
Ruang R n Euclides Pengertian Sebuah vektor di R n, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u 1, u 2,..., u n ) Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0,..., 0) Dua vektor
Lebih terperinciSUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Lebih terperinci