Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Transkripsi

1 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9

2 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

3 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasilkali titik (dot product) atau hasilkali dalam Euclidean u. v didefinisikan sebagai berikut: u. v = u v cos θ jika u 0 dan v 0 0 jika u = 0 dan v = 0 Catatan: θ sudut antara u dan v dengan 0 θ π 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 3

4 Contoh Tentukan u. v dengan u = (0, 0, 1), v = (0, 2, 2) dan θ = 45, seperti pada gambar di bawah ini: Penyelesaian: u. v = u v cos θ = cos 45 = 2 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 4

5 Bentuk Komponen dari Hasilkali Titik Misalkan u = u 1, u 2, u 3 dan v = v 1, v 2, v 3 adalah vektor-vektor tak nol. Ingat kembali aturan cosinus pada segitiga: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos θ Rumus ini akan digunakan untuk menentukan hasilkali titik dalam bentuk komponen-komponen dari vektor tersebut. 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 5

6 Perhatikan gambar berikut ini: Dengan menggunakan rumus cosinus pada segitiga, maka: PQ 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ (1) 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 6

7 Oleh karena PQ = v u, maka persamaan 1 menjadi: v u 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ Atau Atau u v cos θ = 1 2 u 2 + v 2 v u 2 u. v = 1 2 u 2 + v 2 v u 2 (2) 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

8 Perhatikan bahwa: u 2 = u u 2 2 +u 3 2, v 2 = v v v 3 2 dan v u 2 = (v 1 u 1 ) 2 +(v 2 u 2 ) 2 +(v 3 u 3 ) 2 Substitusi nilai ini pada persamaan (2), diperoleh u. v = 1 u u 2 2 +u v v v ( v 1 u v 2 u v 3 u 2 3 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

9 Jadi untuk hasilkali titik pada ruang berdimensi 3 dengan menggunakan komponen adalah: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Dan hasilkali titik pada ruang berdimensi 2 dengan menggunakan komponen adalah: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 9

10 Menentukan Sudut Antara Dua Vektor Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka sudut antara u dan v dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yaitu: u. v = u v cos θ cos θ = u. v u v 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 10

11 Contoh Tentukan u. v dan sudut θ antara u dan v, dengan u = (1, 5,4) dan v = (3,3,3). Penyelesaian: u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = = 0 cos θ = u = u = 0 u.v v 0 v Jadi sudut antara u dan v adalah 90 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 11

12 Teorema Misalkan u dan v adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3. a. v. v = v 2, yaitu v = v. v 1 2 b. Jika vektor-vektor u dan v adalah tak nol dan θ adalah sudut di antaranya, maka 1. θ adalah lancip jika dan hanya jika u. v > 0 2. θ adalah tumpul jika dan hanya jika u. v < 0 3. θ = π 2 jika dan hanya jika u. v = 0 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 12

13 Bukti Teorema a. Perhatikan bahwa v. v bermakna bahwa sudut antara v dengan v adalah 0, jadi v. v = v v cos 0 = v 2 atau v = (v. v) 1 2 b. Karena θ memenuhi 0 θ π, maka θ adalah lancip jika dan hanya jika cos θ > 0; θ adalah tumpul jika dan hanya jika cos θ < 0; dan θ = π jika dan hanya jika cos θ = 0. Kemudian 2 perhatikan bahwa cos θ memiliki tanda yang sama dengan u. v, karena u. v = u v cos θ, u > 0 dan v > 0. Jadi θ adalah lancip jika dan hanya jika u. v > 0; θ adalah tumpul jika dan hanya jika u. v < 0; dan θ = π jika dan hanya 2 jika u. v = 0. 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 13

14 Contoh Tentukan apakah u dan v membentuk sudut lancip, tumpul atau saling tegak lurus, dengan a. u = (6,1,4) dan v = (2,0,3) b. u = ( 6,0,4) dan v = (3,1,6) c. u = (0,0, 1) dan v = 1,1,1 d. u = (2,4, 8) dan v = 5,3,7 Penyelesaian: a. u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = = 24 b. u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = = 6 c. u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = = 1 d. u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = = 34 Jadi untuk a. dan b. sudut lancip, c. dan d. sudut tumpul. 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 14

15 Sifat-sifat Hasilkali Titik Teorema Jika u, v dan w adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau berdimensi 3, dan k adalah skalar, maka: a. u. v = v. u b. u. v + w = u. v + u. w c. k u. v = ku. v = u. kv d. v. v > 0 jika v 0 dan v. v = 0 jika v = 0 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 15

16 Bukti Teorema (dibuktikan untuk vector pada ruang berdimensi 3 ; untuk vector pada ruang berdimensi 2 dibuktikan secara analog) a. u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = v. u (analog untuk di ruang berdimensi 2) b. u. v + w = u 1 (v 1 +w 1 ) + u 2 (v 2 +w 2 ) + u 3 (v 3 +w 3 ) = u 1 v 1 + u 1 w 1 + u 2 v 2 + u 2 w 2 + u 3 v 3 + u 3 w 3 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 + u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 = u. v + u. w c. k u. v = k u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = k u 1 v 1 + k u 2 v 2 + k u 3 v 3 = ku 1 v 1 + ku 2 v 2 + (ku 3 )v 3 = ku. v d. Jika v 0, maka v. v = u 1 u 1 + u 2 u 2 + u 3 u 3 = u u u 3 2 > 0 Jika v = 0, maka v. v = u 1 u 1 + u 2 u 2 + u 3 u 3 = 0, karena u 1 2 = 0, u 2 2 = 0 dan u 3 2 = 0 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 16

17 Vektor-Vektor Ortogonal Vektor-vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. Berdasarkan Teorema b., dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika u. v = 0. Jika u dan v saling tegak lurus, maka disimbolkan u v. 11/11/

18 Proyeksi Ortogonal Sebarang vektor u merupakan penjumlahan dua buah vektor, misal u = w 1 + w 2, dimana w 1 sejajar dengan dengan vektor tak nol tertentu a dan w 2 a. Perhatikan gambar berikut: Vektor w 1 disebut proyeksi ortogonal u pada a (komponen vektor u sepanjang a), disimbokan dengan proj a u Vektor w 2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap u w 2 = u proj a u 11/11/

19 Proyeksi Ortogonal Teorema Jika u dan a adalah vektor-vektor pada ruang berdimensi 2 atau ruang berdimensi 3 dan jika a 0, maka: Komponen vektor u sepanjang a: u. a proj a u = a 2 a Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a: u. a u proj a u = u a 2 a 11/11/

20 Bukti Teorema Perhatikan gambar berikut: u = w 1 + w 2 (1) Misalkan w 1 = proj a u dan w 2 = u proj a u. Karena w 1 sejajar dengan a, maka pastilah w 1 kelipatan skalar dari a, atau w 1 = ka. 11/11/

21 Jadi persamaan (1) menjadi: u = w 1 + w 2 = ka + w 2 (2) Lakukan perkalian titik dengan a pada kedua ruas persamaan (2), yaitu: u. a = ka + w 2. a = ka. a + w 2. a = k a. a + w 2. a = k a 2 + 0, karena a. a = a 2 dan w 2 a Jadi k = u.a a 2 11/11/

22 Oleh karena w 1 = proj a u = ka, maka dan proj a u = ka = u. a a 2 a w 2 = u proj a u = u u. a a 2 a 11/11/

23 Contoh Tentukan proyeksi ortogonal u terhadap a dan tentukan komponen vektor u yang ortogonal terhadap a, dengan: a. u = 3, 1, 7 dan a = (1, 0, 5) b. u = 1, 0, 0 dan a = (4, 3, 8) Penyelesaian: Proyeksi ortogonal u terhadap a adalah: u. a proj a u = a 2 a Jadi yang perlu dicari u. a dan a 2 11/11/

24 a. u = 3, 1, 7 dan a = (1, 0, 5) u. a = 3, 1, 7. (1, 0, 5) = = 32 a 2 = = 26 Proyeksi ortogonal u terhadap a: u. a proj a u = a = 1, 0, 5 = a , 0, Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a: u. a 16 u proj a u = u a = 3, 1, 7 a 2 13 = 55 13, 1, 11 13, 0, /11/

25 b. u = 1, 0, 0 dan a = (4, 3, 8) u. a = 1, 0, 0. (4, 3, 8) = = 4 a 2 = = 89 Proyeksi ortogonal u terhadap a: u. a proj a u = a 2 a = 4 16 (4, 3, 8) = 89 89, 12 89, Komponen vektor u yang ortogonal terhadap a: u. a 16 u proj a u = u a = 1, 0, 0 a 2 89, 12 89, = 15 89, 12 89, /11/

26 Panjang dari komponen vektor u sepanjang a Ingat bahwa panjang dari vektor a adalah a. Jika a pada ruang berdimensi 2, maka a = a a 2 2 Jika a pada ruang berdimensi 3, maka a = a a a 2 3 Jadi panjang dari komponen vektor u sepanjang a adalah: u. a u. a u. a proj a u = a = a 2 a 2 a = a 2 a 11/11/

27 proj a u u. a = a 2 a Ingat kembali: u. v = u v cos θ Berarti u. a = u a cos θ sehingga proj a u = u a cos θ a 2 = u cos θ a 11/11/

28 Rumus antara jarak titik dan garis Misalkan kita ingin mencari jarak antara titik P 0 (x 0, y 0 ) dan garis ax + by + c. 11/11/

29 Untuk maka proj a u = u.a a 2 a Maka untuk proj n QP 0 = QP 0.n n 2 n = QP 0.n n QP 0 = (x 0 x 1, y 0 y 1 ) QP 0. n = a x 0 x 1 + b(y 0 y 1 ) n = a 2 + b 2 Jadi D = QP 0.n n = a x 0 x 1 +b(y 0 y 1 )) a 2 +b 2 11/11/

30 Karena titik Q(x 1, y 1 ) terletak pada garis ax + by + c, maka titik ini memenuhi persamaan garis ini, sehingga: ax 1 + by 1 + c = 0 atau c = ax 1 by 1 Subtitusi nilai ini ke D, diperoleh D = a x 0 x 1 + b(y 0 y 1 ) a 2 + b 2 = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 11/11/

31 Contoh Tentukan jarak antara a. Titik ( 3,1) dengan garis 4x + 3y + 4 = 0 b. Titik (2, 5) dengan garis y = 4x + 2 c. Titik (1,8) dengan garis 3x + y = 5 Penyelesaian : a. D = ax 0+by 0 +c a 2 +b 2 = = /11/

32 Penyelesaian: b. D = ax 0+by 0 +c a 2 +b 2 = ( 2) = 1 17 c. D = ax 0+by 0 +c a 2 +b 2 = ( 5) = /11/