IKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
|
|
- Suparman Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012
2 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang Vektor Pada Ruang Operasi Vektor Perkalian Cross Latihan Soal SISTEM KOORDINAT 2.1 Sistem Koordinat Cartesius Sistem Koordinat Kutub Sistem Koordinat Bola Sistem Koordinat Tabung 23 3 IRISAN KERUCUT 3.1 Parabola Elips Hiperbola BIDANG DATAR 4.1 Persamaan Bidang Datar Jarak Titik dan Bidang GARIS 5.1 Persamaan Garis Sudut Antara Dua Garis Jarak Titik Ke Garis..46 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 2
3 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmatnya sehingga modul pembelajaran matakuliah Geometri Analitik ini selesai disusun. Modul ini digunakan sebagai salah satu media pembelajaran guna menunjang terlaksananya proses perkuliahan matakuliah Geometri Analitik. Di dalam modul pembelajaran ini terdapat kilasan materi prasyarat, materi yang dibahas, contoh soal, latihan soal, kegiatan diskusi, dan peta konsep yang dapat memudahkan mahasiswa memahami keterkaitan antar materi. Modul ini bukan satu-satunya media untuk belajar bagi mahasiswa, sehingga diharapkan didampingi dengan buku teks, handout, dan sumber lain yang relevan. Kritik dan saran yang membangun penulis harapkan dari berbagai pihak demi perbaikan untuk penyusunan modul berikutnya. Alfiani Athma Putri Rosyadi IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 3
4 1 BAB Pada beberapa bidang, kita sudah mengenal istilah waktu, suhu, massa, dan volume yang masing-masing mempunyai besar (panjang atau nilai). Hal itulah yang dikenal dengan skalar yang dinotasikan dengan lower case italic letter, misalnya a, b, c dst. Selain itu, ada juga beberapa besaran yang sudah kita kenal, antara lain kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan magnet, medan listrik dst yang tidak hanya mempunyai besar tetapi juga mempunyai arah. Besaran tersebut yang dikenal dengan besaran vector. Vektor dinotasikan dengan lowercase boldface letter, misalnya u, v, w dst. Ada beberapa buku yang menggunakan notasi vector seperti misalnya u atau u. Tetapi pada modul ini, kita sepakati bersama bahwa untuk menotasikan vector dengan lo dwercase boldface letter. a Vektor Pada Bidang Cobalah menggambar sepasang garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik O, yang selanjutnya disebut titik pusat/origin. Garis yang horizontal disebut sumbu x sedangkan garis yang vertical disebut sumbu y. Sumbu x dan sumbu y bersama-sama disebut sumbu koordinat serta keduanya membentuk system koordinat kartesius. Gambarkan pada lembar jawaban berikut! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4
5 Sekarang, kita pilih sebuah titik pada sumbu x yang terletak di kanan titik O dan sebuah titik pada sumbu y di atas titik O untuk menetapkan titik pada sumbu x dan y yang bernilai positip. Setiap titik P pada bidang adalah pasangan berurutan (x,y) dari bilangan real yang selanjutnya disebut dengan koordinat. Titik P dengan koordinat (x,y) dinyatakan dengan P(x,y) atau (x,y) Misalkan A = x y, dengan x dan y adalah bilangan real. Sehingga X adalah ruas garis berarah dengan pangkal O dan ujung P(x,y). Garis berarah dari O ke P dinyatakan dengan OP; O disebut pangkal dan P disebut ujung. Bagaimana dengan PO Definisi 1.1 Sebuah Vektor pada Bidang adalah matriks berukuran 2 1, Dengan x, y R a = x y, IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 5
6 Atau vector dapat kita definisikan vector adalah ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu. Karena vector adalah sebuah matrik maka vector a = x 1 y 1 dan, b = x 2 y 2 dikatakan sama (a=b) jika dan hanya jika x 1 = x 2 dan y 1 = y 2 CONTOH Vektor 2 + b 3 dan 7 a adalah sama, jika 2 + b = 7 dan a = 3 Hal ini berarti b = 7 2 = 5 dan a = 3 b. Vektor Pada Ruang Merujuk pada definisi 1.1, cobalah jelaskan pengertian dari vector pada ruang. Tuliskan hasil pemikiran Anda pada lembar jawaban berikut IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 6
7 Perhatikan penjelasan Dosen Anda tentang teknik menggambar koordinat A 1 2 3, selanjutnya tuliskan hasil diskusi dengan teman Anda permasalahan berikut, kemudian tuliskan hasilnya pada lembar yang sudah disediakan Latihan Soal Gambarkan koordinat berikut pada lembar yang sudah disediakan! 1. A 3. B C 3. D IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 7
8 c. Operasi Vektor PENJUMLAHAN VEKTOR Definisi 1.2 Misal a = x 1 y 1 dan b = x 2 y 2 vector a + b = x 1 + x 2 y 1 + y 2 ka = kx 1, kx 2 adalah dua vector pada bidang. Hasil jumlah dari a dan b adalah dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar didefinisikan CONTOH Misalkan a = 2 3, b= 4 7 maka a + b = = 2 10 Secara geometri, penjumlahan vector dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan u v Penjumlahan vector menurut aturan segitiga adalah sebagai berikut v u+v u IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 8
9 Sehingga v+u adalah vector yang diwakili oleh segmen garis berarah yang pangkalnya berimpit dengan pangkal v dan ujungnya berimpit dengan ujung u yang telah dipindahkan sedemikian sehingga pangkal u berimpit dengan ujung v. Diskusi Diskusikan permasalahan berikut dengan kelompok Anda. Tuliskan hasil diskusi pada lembar yang sudah disediakan 1. Bagaimana dengan u-v? 2. Bagaimana dengan aturan jajar genjang? IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 9
10 Latihan Soal Misalkan u v w Berdasarkan aturan segitiga, tentukan nilai dari 1. u + v 2. u + w 3. w + v + u 4. u v 5. u v w Tuliskan jawabannya pada lembar jawaban di bawah ini! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 10
11 PERKALIAN TITIK Definisi 1.4 Perkalian titik vector a dan b dituliskan a b (dibaca a dot b) dan didefinisikan sebagai berikut a b = a b cosθ θ adalah sudut antara a dan b Berdasarkan definisi perkalian scalar dua vector tersebut, jika i, j,k berturut-turut adalah vector satuan dengan arah sumbu x, y, dan z, maka: i i = j j = k k = 1 i j = j k = k j = 0 Teorema berikut akan menguraikan beberapa sifat penting dari hasil kali titik. Teorema 1.1 Jika u,v dan w adalah vector-vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k adalah scalar, maka a. u v = v u b. u v + w = u v + u w c. k u v = ku v = u kv d. v v > 0, jika v 0 dan v v = 0 jika v = 0 Definisi 1.5 Jika u = u 1, u 2,, u n dan v = v 1, v 2,, v n adalah sebarang vector pada R n maka hasilkali dalam/perkalian titik kita definisikan dengan u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 11
12 Latihan Soal Berikan contoh tiga buah vector, namakan vector tersebut dengan p, q, r. Selanjutnya tentukan nilai dari 1. p q 2. p q. r Tuliskan hasil jawaban pada lembar berikut! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 12
13 PERKALIAN CROSS Dalam banyak penerapan vector untuk soal-soal geometri, fisika dan teknik, kita perlu membentuk vector di ruang-3 yang tegak lurus terhadap dua vector yang diberikan. Disini akan dijelaskan tentang perkalian vector tersebut Definisi 1.6 Jika u = u 1, u 2, u 3, v = v 1, v 2, v 3 adalah vector di ruang-3, maka hasil kali cross didefinisikan Atau dalam notasi determinan u v = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 u v = u 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 Atau terdapat pola yang dapat digunakan untuk mempermudah pengerjaan, yaitu matriks 2 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Dimana entri baris pertama adalah komponen factor pertama u dan entri baris kedua adalah komponen factor kedua v, maka determinan dalam komponen pertama u x v dapat diperoleh dengan cara mencoret kolom pertama matriks tersebut, determinan dalam komponen kedua kita dapatkan dengan cara mencoret kolom kedua dari matriks tersebut, sedangkan determinan dalam komponen ketiga kita dapatkan dengan cara mencoret kolom ketiga dari matriks tersebut. IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 13
14 CONTOH 3 Tentukan u v, dengan u = 2, 1, 4, v = 1, 3, 2 Penyelesaian u v = , , = 14,0,7 Sehingga dapat dilihat bahwa hasil kali cross antara dua buah vector adalah vector. IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 14
15 LATIHAN AKHIR BAB 1. Misalkan u = 2, 1, 0, v = 1, 2, 1, w = 2, 1, 5, tentukan: a. u v b. 2v + 3u c. u v d. w v) e. w u 2v 2. Misalkan u,v,w adalah vector pada nomor 1, tentukan x yang memenuhi 2u 3v + x = w u 3. Buktikan bahwa tidak ada scalar c,d,e sehingga c 1,0, 2,1 + d 2,0,1,2 + e 1, 2,2,3 = 1,0,1,0 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 15
16 2 BAB Sebelum beranjak pada bab berikutnya, kita akan mempelajari berbagai macam system koordinat yang merupakan salah satu materi penunjang untuk membahas irisan kerucut dan berbagai jenis kurva. a. Sistem Koordinat Cartesius Koordinat cartesius atau koordinat siku-siku dikenalkan oleh dua orang ilmuwan dari perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descrates. Dasar pemikiran mereka adalah menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x, y) Untuk menentukan posisi suatu titik, kita memerlukan sebuah system koordinat. Pada bagian ini kita membahas tentang system koordinat cartesius. Dalam sebuah system koordinat cartesius, terdapat dua buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 2) dan terdapat tiga buah sumbu yang saling tegak lurus (dimensi 3). Kita memfokuskan pembahasan pada dimensi 3, yaitu ada tiga buah sumbu yang saling tegak lurus, misalnya sumbu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang yaitu bidang xy, yz, dan xz yang membagi ruang menjadi delapan oktan (gambar 2.1). Terhadap titik P dalam ruang yang berpadanan suatu bilangan berurut (x,y,z), yaitu koordinat cartesius yang mengukur jarak-jarak berarah dari tiga bidang tersebut. IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 16
17 z Bidang yz Oktan Pertama o x y Bidang xy Gambar 2.1 Berikut adalah tabel pembagian oktan Tabel 2.1 Koord Okt 1 Okt 2 Okt 3 Okt 4 Okt 5 Okt 6 Okt 7 Okt 8 Z X Y b. Sistem Koordinat Kutub Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatunya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain ialah menggunakan koordinat kutub. Untuk mengenal koordinat kutub, kita dapat memulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal di titik 0. Titik tersebut dinamakan titik kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan oleh karena itu disebut sumbu x positip pada system koordinat cartesius. IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 17
18 Setiap titik P adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka r, θ adalah sepasang koordinat kutub dari titik P. Untuk memperjelas pemahaman Anda, lihat gambar 2.2 berikut.. r. θ P(r, θ) Sumbu kutub Gambar 2.2 Koordinat Kutub Latihan Soal Gambarlah koordinat berikut pada kertas yang sudah disediakan! 1. A 2, π 2 2. B 3, 3 2 π 3. C 2, 5π 2 4. D 3, π 2 Setelah menyelesaikan soal tersebut, apa yang dapat Anda simpulkan! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 18
19 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 19
20 HUBUNGAN ANTARA KOORDINAT KUTUB DENGAN KOORDINAT CARTESIUS Untuk memudahkan mencari hubungan antara kedua koordinat tersebut, kita akan membuat sebuah contoh sederhana, misalkan P a, b adalah koordinat cartesius, diskusikan bagaimana menyatakan P pada koordinat kutub? Diskusikan bersama-sama dengan teman kelompok Anda! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 20
21 Latihan Soal 1. Tentukan koordinat cartesius titik berikut yang sudah diketahui koordinat kutubnya! a. K 4, 1 π 3 b. L 5, 1 π 6 2. Tentukan koordinat kutub titik berikut yang sudah diketahui koordinat cartesiusnya! a. M 2 3, 2 b. N 2, 2 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 21
22 c. Sistem Koordinat Tabung Pemberian cartesius persegipanjang x, y, z merupakan salah satu cara untuk merinci posisi titik di ruang dimensi tiga. Dua jenis koordinat yang penting adalah koordinat tabung dan bola. Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub r dan θ sebagai pengganti koordinat cartesius x dan y pada bidang. Sedangkan untuk koordinat z sama seperti dalam koordinat cartesius. Pada koordinat ini, kita membatasi r 0 dan 0 θ < 2π. Untuk lebih memahami koordinat tabung, sketsakan koordinat tabung P 2, π 4, 3 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 22
23 d. Sistem Koordinat Bola Sebuah titik P mempunyai koordinat bola ρ, θ, φ, jika ρ adalah jarak OP dari titik asal P, sedangkan θ adalah sudut kutub yang berhubungan dengan proyeksi P dari P ke bidang xy, dan φ adalah sudut antara sumbu z positip dan ruas garis OP. Kita batasi ρ 0, 0 θ < 2π, 0 φ π Untuk lebih memahami koordinat bola, sketsakan koordinat bola P 2, π 4, π 4 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 23
24 Secara sketsa, kita bisa menggambarkan ketiga koordinat pada gambar 2.3, gambar 2.4, dan gambar 2.5 berikut! y. P x, y, z x z x y gambar 2.3 koordinat cartesius y y. P r, θ, z r z y θ x gambar 2.4 koordinat Tabung IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 24
25 y φ ρ. P ρ, θ, φ y θ. P x gambar 2.5 koordinat Bola Selanjutnya berikut adalah hubungan antara koordinat tabung dan cartesius serta antara ketiga koordinat tersebut. Tugas Anda adalah membuktikan kebenaran dari hubungan ini! Koordinat tabung dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut x = r cos θ, y = r sin θ, z = z r 2 = x 2 + y 2, tan θ = y x Koordinat bola, tabung, dan koordinat cartesius dikaitkan oleh persamaan berikut x = ρ cos φ, θ = θ, z = ρ cos φ x = ρ sin φ cos φ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ ρ = x 2 + y 2 + z 2 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 25
26 LATIHAN AKHIR BAB 1. Ubahlah koordinat tabung berikut ke koordinat cartesius! a. A 6, π, 2 6 b. B 4, 4π, Ubahlah koordinat bola berikut ke koordinat cartesius! a. C 8, π 4, π 6 b. D 4, π 3, 3π 4 3. Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat bola! a. E 2, 2 3, 4 b. F 2, 2, Ubahlah koordinat cartesius berikut ke koordinat tabung! a. G 2,2,3 b. H 4 3, 4,6 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 26
27 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 27
28 3 BAB Pada bagian ini akan dipelajari tiga sub bab yaitu Parabol,Elips, dan hiperbol. Ada beberapa materi yang sudah pernah Anda jumpai di SMA. Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya. Kita potong kerucut itu dengan berbagai bidang dengan sudut yang berbeda dengan sumbu simetri, perhatikan gambar 3.1, 3.2, 3.3 berikut! Gambar3.1 Elips IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 28
29 Gambar3.2 Parabol IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 29
30 Gambar3.3 Hiperbol Sebelum memahami definisi dari elips, parabol, dan hiperbol, akan dijelaskan tentang garis arah, focus, dan keeksentrikan. Perhatikan gambar 3.4 berikut. L P.. F l Gambar 3.4 l adalah suatu garis tetap (garis arah) dan F adalah sebuah titik tetap (fokus) yang tidak terletak pada garis l. Himpunan titik-titik P yang perbandingan antara jarak PF dari fokus dan jarak PL dari garis arah adalah suatu konstanta positip e (keeksentrikan) yang memenuhi hubungan PF = e PL Dinamakan konik/irisan kerucut. Merujuk pada nilai e, didefinisikan sebagai berikut. a. Jika 0 < e < 1 dinamakan elips b. Jika e = 1 dinamakan parabol c. Jika e > 1 dinamakan hiperbol IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 30
31 a. Parabol Definisi 3.1 Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan focus F yang memenuhi hubungan PF = PL. Berikut adalah ilustrasinya. F l Gambar 3.5 parabol dengan e = 1 Selanjutnya, diskusikan dengan kelompok Anda, berdasarkan definisi parabol yang menyatakan bahwa PF = PL, dan menggunakan rumus jarak, tentukan persamaan parabol secara umum! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 31
32 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 32
33 Latihan Soal 1. Tentukan focus dan garis arah parabol y 2 = 12x 2. Tentukan empat jenis parabol yang mungkin, jelaskan! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 33
34 b. Elips Definisi 3.2 Sebuah parabol adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan focus F yang memenuhi hubungan PF = e PL, dengan 0 < e < 1 Berikut adalah contoh elips dengan e = 1 2. F l Gambar 3.6 elips dengan e = 1 2 Persamaan baku dari elips adalah x 2 + y 2 = 1 a 2 b 2 Bilangan 2a adalah garis tengah panjang dan 2b adalah garis tengah pendek. Perhatikan gambar 3.7 berikut. IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 34
35 . B(0, b) A ( a, 0).. b a. F ( c, 0) c F(c, 0). B (0, b). A(a, 0) l Gambar 3.7 Latihan Soal 1. Sketsakan persamaan x 2 + y 2 = 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya! Sketsakan persamaan x 2 + y 2 = 1, kemudian tentukan focus dan keeksentrikannya! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 35
36 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 36
37 c. Hiperbol Definisi 3.3 Sebuah hiperbol adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama dari garis arah l dan focus F yang memenuhi hubungan PF = e PL, dengan e > 1 Berikut adalah contoh elips dengan e = 2 Diskusikan dengan kelompok Anda tentang persamaan hiperbol, kemudian presentasikan di depan kelas! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 37
38 4 BAB a. Persamaan Bidang Datar Persamaan umum bidang datar adalah Ax + By + Cz + D = 0. Untuk membuktikan kebenaran bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan bidang datar, kita tentukan sebarang titik, misal P(p,q,r) yang terletak pada bidang tersebut. Sehingga diperoleh bahwa Ap + Bq + Cr + D = 0 D = Ap Bq Cr. Selanjutnya substitusi nilai D pada persamaan awal, yaitu Ax + By + Cz + Ap Bq Cr = 0 A x p + B y q + C z r = 0 Perhatikan bahwa A x p + B y q + C z r = 0 Ai + Bj + Ck. x p i + y q j + z r k = 0 Hal ini berarti bahwa Ai + Bj + Ck merupakan suatu vector yang sudah tertentu besar dan arahnya, sedangkan x p i + y q j + z r k adalah vector yang berpangkal pada P(p,q,r) dan selalu tegak lurus vector Ai + Bj + Ck serta berubah arah tergantung posisi (x, y, z). Jadi, (x, y, z) adalah koordinat titik-titik yang terletak pada bidang yang melalui P(p, q, r) dan tegak lurus Ai + Bj + Ck, yang selanjutnya disebut dengan normal bidang yang disimbolkan dengan n IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 38
39 n (Ax + By + Cz + D = 0) (x, y, z) P(p, q, r) Jadi, Jika sebuah bidang melalui P(X p, Y p. Z p ) dan mempunyai normal Ai + Bj + Ck maka persamaan bidang tersebut adalah A x x p + B y Y p + C z z p = 0 Latihan Soal Tentukan persamaan bidang datar yang melalui titik P 3,2,1, Q 4,1,5 dan R(2,4,3)! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 39
40 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 40
41 b. Jarak Titik dan Bidang Untuk menentukan jarak titik P p, q, r terhadap bidang V Ax + By + Cz + D = 0, kita menentukan terlebih dahulu sebarang titik yang terletak pada bidang tersebut. Untuk lebih mudahnya kita ambil salah satu titik yang memotong sumbu X yaitu D, 0,0, sehingga A diperoleh QP = p + D A i + qj + rk. Misalkan vector normal yaitu n v = Ai + Bj + Ck. Sehingga QP n v = QP n v cos θ (1) dengan θ adalah sudut antara n v dan QP. Dan cos θ = d QP (2), dengan d adalah jarak antara titik P terhadap bidang α. Berdasarkan persamaan (1) dan (2) tentukan nilai d IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 41
42 5 BAB a. Persamaan Garis Perpotongan antara dua bidang datar merupakan sebuah garis lurus. Berdasarkan ini jelaslah bahwa gabungan antara persamaan dua buah bidang datar merupakan suatu persamaan sebuah garis lurus. Tetapi persamaan garis yang terdiri dari gabungan persamaan dua buah bidang datar tidak dapat dengan mudah diketahui posisi garis tersebut. Supaya kita dapat mengetahui posisi garis dengan mudah, persamaan garis yang melalui titik P(a, b, c) dan mempunyai arah pi + qj + rk dapat diperoleh dengan penjabaran sebagai berikut. Misalnya x, y, z adalah sebarang titik yang terletak pada garis yang dimaksud. Maka PQ dapat dinyatakan v. Sehingga PQ = tv dimana t merupakan konstanta yang bernilai positip. Q(x, y, z) P(a, b, c) v Gambar 5.1 Sehingga persamaannya dapat ditentukan sebagai berikut. x a i + y b j + z c k = t(pi + qj + rk) IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 42
43 Hal ini berarti : x a tp, y b tq, z c = tr Sehingga persamaan garis yang melalui titik P(a, b, c) dan mempunyai vector arah p + q + r adalah (x a) p = (y b) q = (z c) r Sedangkan persamaan garis yang melalui P dan Q adalah (x x p ) = (y y p ) = (z z p ) x q x p y q y p z q z p Latihan Soal Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(2, 3,1) dan titik Q 2,1,1 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 43
44 b. Sudut Antara Dua Garis Untuk menentukan sudut antara dua garis, sama halnya dengan menentukan sudut antara dua normal bidang. Misalkan arah garis m adalah m = ai + bj + ck dan arah garis n adalah n = pi + qj + rk, dan sudut yang dibentuk oleh garis itu adalah θ, maka tan θ = m n m n Bagaimana jika kedua garis tegak lurus atau sejajar? IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 44
45 Latihan Soal Tentukan sudut yang dibentuk oleh garis p x + p = 2 2y + p = 1 z = 2p + 3 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 45
46 c. Jarak Titik ke Garis Untuk menentukan jarak antara titik dan garis, kita tentukan titik yang terletak pada garis. Misalkan kita akan menentukan jarak antara titik P dengan garis g, kita tentukan sebarang titik Q pada garis g maka berlaku d = PQ g g Buktikan! IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 46
47 Latihan Soal Untuk menentukan jarak titik P(2,5,1) ke garis g 4x + 5y z = 7 2x + 3y 4z = 1 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 47
48 DAFTAR PUSTAKA 1. Bernard Kolman dkk, Elementary Linear Algebra (7 th edition), Prentice Hall, New Jersey, Howard Anton, Aljabar Linier Elementer (Edisi Ke lima), Erlangga, Jakarta, Soebari, Geometri Analit, IKIP Malang, Malang, 1995 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 48
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciKalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperincierkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG. sofyan mahfudy-iain Mataram
GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG PERKENALAN Nama : Sofyan Mahfudy Tempat tgl lahir : Pacitan, 29 Maret 1985 Status : Menikah Pendidikan : Universitas Muhammadiyah Surakarta dan Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2
IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4/14/2012 KUMPULAN DEFINISI DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI Nama Definisi 2.1 Definisi 2.2 Definisi 2.3 Definisi 2.4 Definisi 2.5
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciPERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH
PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciGEOMETRI ANALIT DI R3
GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama
Lebih terperinciBAB I ANALISIS VEKTOR
BAB I ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciKalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Lebih terperinciGeometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd
GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susanto, MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012 KATA PENGANTAR Puji
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciGeometri dalam Ruang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011 Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciVEKTOR YUSRON SUGIARTO
VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar
Lebih terperinciMAKALAH SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT 2 DIMENSI DISUSUN OLEH : HERA RATNAWATI 16/395027/TK/44319
MAKALAH SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT DIMENSI DISUSUN OLEH : HERA RATNAWATI 16/9507/TK/19 DEPARTEMEN TEKNIK GEODESI FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS GADJAH MADA 017 1 KATA PENGANTAR Puji dan syukur kehadirat
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciLINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4 ia nc o3 D.c om Bab r: w be Su m. pa ww ne b Lingkaran Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciMatematika Proyek Perintis I Tahun 1979
Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperincikombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara
Sistem Koordinat Cartesius.. Geometri Analitik Geometri analitik adalah suatu cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2009/2010
SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 9/. Diberikan premis sebagai berikut : Premis : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik. Premis : Jika harga bahan pokok naik maka
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciBAB 21 TRANSFORMASI GEOMETRI 1. TRANSLASI ( PERGESERAN) Contoh : Latihan 1.
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Suatu transformasi bidang adalah suatu pemetaan dari bidang Kartesius ke bidang yang lain atau T : R R (x,y) ( x', y') Jenis-jenis transformasi antara lain : Transformasi Isometri
Lebih terperinciJARAK DUA TITIK KEGIATAN BELAJAR 2
1 KEGIATAN BELAJAR 2 JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan
Lebih terperinciB. Pengertian skalar dan vektor Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu Vektor dan Skalar.
ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan melibatkan
Lebih terperinciSoal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciModul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips
IR Lingkaran Elips 1 Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana 07144110049 Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT 010 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciModul. Geometri Analitik Ruang. Jero Budi Darmayasa
Modul Geometri Analitik Ruang Pada perkuliahan Geometri Analitik Ruang, diawali dengan diskusi tentang sistek koordinat tegak lurus pada ruang. Untuk pembicaraan saat ini, terdapat beberapa kajian yaitu
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciMAT. 10. Irisan Kerucut
MAT. 0. Irisan Kerucut i Kode MAT.0 Irisan Kerucut BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti
Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR
STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinci