GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1

Transkripsi

1 GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1

2 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan gradient suatu garis 3. Mahasiswa dapat menentukan persamaan garis 4. Mahasiswa dapat mensketsa suatu garis 5. Mahasiswa dapat menentukan sudut antara dua garis sofyan mahfudy-iain Mataram 2

3 Mengingat kembali Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada suatu postulat yang berbunyi sebagai berikut: Melalui dua buah titik yang berbeda terdapat tepat satu dan hanya satu garis lurus Melalui sebuah titik di luar garis yang diberikan ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut Dua postulat di atas akan digunakan dalam menganalisis secara aljabar karakteristik suatu garis dan menyatakannya dalam bentuk persamaan. sofyan mahfudy-iain Mataram 3

4 Sudut Inklinasi Sudut inklinasi dari garis lurus yang berpotongan dengan sumbu-x adalah ukuran sudut non-negatif terkecil yang terbentuk antara garis itu dengan sumbu-x dengan arah berlawanan jarum jam Sudut inklinasi dari garis yang sejajar dengan sumbu-x adalah 0 o Kita gunakan simbol θ untuk menyatakan sudut inklinasi. Sudut inklinasi sebuah garis selalu kurang dari 180 atau π radian dan setiap garis mempunyai sudut inklinasi. Jadi untuk sembarang garis berlaku 0 θ < 180, atau 0 θ <π sofyan mahfudy-iain Mataram 4

5 Sudut Inklinasi sofyan mahfudy-iain Mataram 5

6 Kemiringan (slope) atau Gradien Definisi: kemiringan/slope (dinotasikan m) dari suatu garis adalah nilai tangen dari sudut inklinasinya. Oleh karenanya m = tan sofyan mahfudy-iain Mataram 6

7 Kemiringan (slope) atau Gradien Garis dengan sudut inklinasi = 90 (vertikal), sebab tangen 90 tidak ada/tidak terdefinisi. Jadi garis vertikal mempunyai sudut inklinasi 90 tetapi tidak mempunyai kemiringan. Kadangkadang dikatakan bahwa kemiringan garis vertikal adalah tak hingga atau lambang sofyan mahfudy-iain Mataram 7

8 Kemiringan (slope) atau Gradien Terlepas dari ketiadaan kemiringan garis vertikal, ada suatu hubungan yang sederhana antara kemiringan dengan pasangan koordinat titik pada suatu garis. Kemiringan suatu garis dapat dinyatakan dalam bentuk dari koordinat sembarang dua titik pada garis itu, misalnya melalui titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) seperti pada gambar disamping sofyan mahfudy-iain Mataram 8

9 Kemiringan (slope) atau Gradien Maka kemiringan (m) garis yang melalui titik P 1 dan titik P 2 diberikan oleh: 2 1 m = tan = = y x 2 y x 1 y x 1 1 y x 2 2 di mana x 1 x 2 sofyan mahfudy-iain Mataram 9

10 Latihan Tentukan kemiringan (m) dari garis yang melalui titik-titik berikut: a. A (2,4) dan B ( 4,2) b. P ( 5, 7) dan Q (9, 1) c. C (7,8) dan ( 2,8) d. S ( 2,5) dan T ( 2,7) sofyan mahfudy-iain Mataram 10

11 Persamaan Garis Pandanglah suatu garis yang melalui titik tetap P 1 (x 1, y 1 ) dan mempunyai kemiringan m. (perhatikan gambar). Jika diambil sembarang titik P(x, y) untuk x berbeda dengan x 1 maka dengan rumus kemiringan garis P 1 P adalah m = y x y x 1 1 sofyan mahfudy-iain Mataram 11

12 Persamaan Garis Kemiringan garis akan sama dengan m jika dan hanya jika titik P berada pada garis yang diberikan. Jadi, jika P(x, y) berada pada garis yang diberikan maka harus dipenuhi kesamaan m = y x y x 1 1 sofyan mahfudy-iain Mataram 12

13 Persamaan Garis Jika dilakukan penyederhanaan bentuk pembagian diperoleh persamaan garis sebagai berikut: y y 1 = m(x x 1 ) sofyan mahfudy-iain Mataram 13

14 Latihan Tentukan persamaan garis jika diberikan: a. m = 2 dan melalui titik ( 3, 2) b. m = 2 3 dan melalui titik (5, 2) c. m = 2 dan melalui titik (0,0) 5 d. Melalui titik P (2, 5) dan Q ( 1,3) sofyan mahfudy-iain Mataram 14

15 Tambahan: Mensketsa Garis Untuk mensketsa suatu garis, maka paling tidak dibutuhkan dua titik pada garis tersebut. Dengan dua titik tersebut, maka dengan mudah kita dapat mensketsa garis yang dimaksud. Oleh karena itu cara mensketsanya adalah: a. Menentukan titik potong terhadap sumbu X dan sumbu Y b. Atau jika garis tersebut melalui titik O(0,0), maka tentukan titik yang lain sofyan mahfudy-iain Mataram 15

16 Latihan Sketsalah soal pada Latihan sebelumnya, yaitu pada soal: a, b, c, dan d sofyan mahfudy-iain Mataram 16

17 Sudut antara Dua Garis Dua garis yang berpotongan, l 1 dan l 2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan : Sudut antara garis l 1 dan l 2 dilambangkan dengan (l 1, l 2 ) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang diperlukan untuk memutar garis l 1 dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l 2 Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut: sofyan mahfudy-iain Mataram 17

18 Sudut antara Dua Garis Dua garis yang berpotongan, l 1 dan l 2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan : Sudut antara garis l 1 dan l 2 dilambangkan dengan (l 1, l 2 ) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang diperlukan untuk memutar garis l 1 dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l 2 Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut: sofyan mahfudy-iain Mataram 18

19 Sudut antara Dua Garis Dua garis yang berpotongan, l 1 dan l 2, akan membentuk sudut yang saling berpelurus (suplemen), salah satu darinya diambil sebagai sudut antara dua garis. Untuk menghindari arti ganda, kita definisikan: Sudut antara garis l 1 dan l 2 dilambangkan dengan (l 1, l 2 ) adalah sudut terkecil dalam arah berlawanan dengan arah putar jarum jam yang diperlukan untuk memutar garis l 1 dengan pusat titik potongnya sehingga berimpit dengan garis l 2 Lebih jelasnya perhatikan gambar berikut: sofyan mahfudy-iain Mataram 19

20 Sudut antara Dua Garis Dari gambar disamping (l 1, l 2 ) = Perhatikan bahwa posisi, l 1 dan l 2 berbeda sofyan mahfudy-iain Mataram 20

21 Sudut antara Dua Garis Suatu rumus sederhana untuk tangen sudut antara dua garis dapat diturunkan dalam bentuk kemiringan dari kedua garis pembentuk sudut tersebut. Misalkan garis l 1 dan l 2 berturut-turut mempunyai sudut inklinasi 1 dan 2 dan kemiringan m 1 dan m 2. Misalkan adalah sudut yang dibentuk oleh garis l 1 dan l 2 seperti pada gambar di samping sofyan mahfudy-iain Mataram 21

22 Sudut antara Dua Garis Diperoleh sudut Antara 2 garis sebagai berikut (coba Anda tunjukkan) atau dengan θ = (l 1, l 2 ) sofyan mahfudy-iain Mataram 22

23 Latihan 1. Jika garis k: 2x y + 4 = 0 dan l: x 2y + 6 = 0, maka tentukanlah besar sudut antara garis k dan l 2. Diketahui garis g: 3x y + 5 = 0 dan garis h: 2x + y + 4 = 0. Jika θ = g, h, maka carilah nilai sin θ 3. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui (2, 6) dan (4, -1) dan garis yang melalui (5, 2) dan (0, 3) 4. Tentukan besar sudut-sudut dalam segitiga yang mempunyai titiktitik sudut dengan koordinat A ( 4, 2), B (12, 2), dan C (8, 6) sofyan mahfudy-iain Mataram 23

24 Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus Dua garis yang mempunyai kemiringan m 1 dan m 2 adalah saling sejajar jika m 1 = m 2 atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal) Dua garis yang mempunyai kemiringan m 1 dan m 2 adalah saling tegak lurus jika m 1 = 1 m 2 Coba Anda buktikan keduanya sofyan mahfudy-iain Mataram 24

25 Garis-garis Sejajar dan Tegak Lurus Dua garis yang mempunyai kemiringan m 1 dan m 2 adalah saling sejajar jika m 1 = m 2 atau kedua garis tidak mempunyai kemiringan (garis yang vertikal) Dua garis yang mempunyai kemiringan m 1 dan m 2 adalah saling tegak lurus jika m 1 = 1 m 2 Coba Anda tunjukkan bagaimana mendapatkan keduanya sofyan mahfudy-iain Mataram 25

26 Latihan 1. Diketahui sebuah garis yang melalui (a, 5) dan (4, 3) sejajar dengan garis yang mempunyai kemiringan. Tentukan nilai a 2. Tentukan persamaan garis yang melalui (1,-2) dan sejajar garis k: 4x + y + 8 = 0 3. Tentukan persamaan garis yang melalui (-4,3) dan tegak lurus garis l: 3x 4y + 12 = 0 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis g: x + 3y + 5 = 0 dan h: 2x + 4y + 10 = 0 dan tegak lurus terhadap garis l: 2x 3y 1 = 0 sofyan mahfudy-iain Mataram 26

27 Persamaan umum garis Persamaan sebarang garis lurus adalah berderajad satu dalam koordinat tegak lurus x dan y (kartesius). Sebaliknya akan ditunjukkan bahwa sebarang persamaan berderajad satu dalam x dan y menyatakan sebuah garis lurus. (Hal ini merupakan jawaban mengapa sebuah persamaan derajad satu disebut persamaan linier). Persamaan umum derajad satu dalam x dan y adalah Ax + By + C = 0 A, B, dan C adalah bilangan tetap dan A dan B tidak keduanya nol sofyan mahfudy-iain Mataram 27

28 Persamaan umum garis Jika ada dua buah persamaan garis A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Apabila: A 1 A 2 B 1 B 2, maka kedua garis berpotongan A 1 A 2 = B 1 B 2 C 1 C 2, maka kedua garis sejajar A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2, maka kedua garis berimpit sofyan mahfudy-iain Mataram 28

29 Persamaan garis bentuk normal Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang p yang tegak lurus atau normal dari titik asal ke garis tersebut, dan sudut yaitu sudut arah positif yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis normalnya yang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. (lihat gambar) sofyan mahfudy-iain Mataram 29

30 Persamaan garis bentuk normal Persamaan bentuk normal dari persamaan garis lurus yang panjang normalnya p dan besar sudut normalnya adalah x cos + y sin p = 0 Diskusikan bagaimana diperoleh persamaan bentuk normal tersebut sofyan mahfudy-iain Mataram 30